Vettori. Un vettore il cui modulo è uguale a zero è detto vettore nullo ed è notato 0 G. vettori pag. 1

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1 Vettori La noione di ettore, cioè di segmento orientato di retta, che pò rappresentare la grandea e la direione di na fora, di na elocità o di n acceleraione, entrò nella matematica discretamente. Aristotele sapea che le fore possono essere rappresentate da ettori e che l aione combinata di de fore pò essere ottenta mediante qella che è comnemente nota come regola del parallelogramma, Morris Kline, Storia del pensiero matematico, Einadi, pag.905 Vettori geometrici Possiamo immaginare i ettori geometrici come delle frecce. Chiameremo modlo la lnghea del ettore. Diremo che de ettori paralleli hanno la stessa direione. De ettori hanno lo stesso erso se oltre ad aere la stessa direione pntano dalla stessa parte edi figre. Diremo che de ettori sono eqialenti, o gali, se hanno stesso modlo direione e erso. tre ettori con stessa direione tre ettori con stesso modlo de ettori con gale direione e modlo ma con erso opposto tre ettori eqialenti Noteremo n ettore tramite na lettera in minscolo e grassetto, come, oppre con na lettera in minscolo con sopra na freccina, come G. Il so modlo sarà notato oppre G. Un ettore il ci modlo è gale a ero è detto ettore nllo ed è notato 0 G. ettori pag.

2 Per effettare la somma di de ettori disponiamo la coda di no in corrispondena della pnta dell altro e disegnamo il ettore che a dalla coda libera alla pnta libera edi figra. + Un ettore pò essere moltiplicato per n nmero reale qalsiasi e si parla allora di moltiplicaione di n ettore per no scalare. La somma + corrisponde alla moltiplicaione 2. Il ettore ha stesso modlo e stessa direione di ma erso opposto ,5 Se sono dati de ettori del piano non nlli e non paralleli a e b, allora qalsiasi ettore del piano pò essere scritto come combinaione lineare dei ettori a e b; essi costitiscono na base con ci esprimere qalsiasi ettore del piano. Nello spaio tridimensionale na base sarà costitita da tre ettori. b a = 4 a - b 4 a - b Una base comoda è qella costitita da ettori di modlo e tra loro perpendicolari base ortonormata. Esercii: b = α a + β b a α = β = a Esprimi il ettore come combinaione lineare dei ettori a e b; = a + b b Esprimi il ettore 2 come combinaione lineare dei ettori a e b; 2 = a+ b c Esprimi il ettore come combinaione lineare dei ettori a e b; ettori pag. 2

3 Vettori nello spaio cartesiano Nello spaio dotato di n sistema di assi cartesiani ad ogni pnto geometrico associamo le se coordinate. In qesto spaio tiliiamo come base tre ettori di modlo, con direione e erso in accordo con gli assi cartesiani, che chiamiamo i, j, k edi figra qi sotto a destra. È na base ortonormata. P 0; 4; O 0; 0; 0 i k j Qalsiasi ettore potrà esprimersi come combinaione lineare dei ettori della base; = αi + βj + γk. Diremo che i tre nmeri reali α, β e γ sono le componenti di nella base che abbiamo scelto. Così n ettore sarà caratteriato dalle se componenti e scrieremo: = α β γ Per esempio il ettore che a dall origine degli assi O0; 0; 0 al pnto P0; 4; ha per componenti i nmeri 0, 4 e, e pò essere scritto: P 0; 4; OP= 0 4 OP = 0 i + 4 j + k O 0; 0; 0 Le componenti del ettore OP coincidono con le coordinate del pnto P P 0; 4; PQ = 0 i - j - 2 k Q 0; ; Il ettore che a dal pnto P0; 4; al pnto Q0; ; si scrierà: PQ= 0 Le componenti del ettore PQ si ottengono sottraendo alle coordinate del pnto Q qelle del pnto P ettori pag.

4 Prime operaioni con le componenti Le componenti del ettore OP che partendo dall origine ragginge n qalsiasi pnto P P ; P ; P, corrispondono alle coordinate del pnto P. OP = P P P Otteniamo il ettore che a da qalsiasi n pnto P P ; P ; P ad n qalsiasi pnto Q Q ; Q ; Q, sottraendo alle coordinate del pnto di arrio Q qelle del pnto di partena P. Il modlo di n ettore ag = a PQ = Q P Q P Q P è la radice qadrata della somma dei qadrati delle se componenti ag = La somma ag + b G di de ettori ag = a La moltiplicaione di n ettore ag = per no scalare λ n nmero reale si ottiene moltiplicando ogni componente per λ. e b G = b b si ottiene sommando le corrispondenti componenti ag + G b = a + b = a + b + b + b a λag = λ a = λa λ λ Per i ettori del piano aremo gli stessi risltati ma inece di tre componenti ne abbiamo solo de Eserciio: = OP Q 0; ; 2 PO = = OQ O 0; 0; 0 PO + OQ = + = = PQ P 4; ; 0 OQ - OP = - = Completa la figra inserendo le componenti dei diersi ettori e disegnando i ettori PO, OQ e PO + OQ. Calcola inoltre il modlo del ettore PQ ettori pag. 4

5 ag Prodotto scalare Si ottiene il prodotto scalare di de ettori moltiplicando i loro modli per il coseno dell angolo che essi formano. È chiamato prodotto scalare perchè il risltato non è n ettore ma no scalare n nmero reale. Gli inglesi parlano di Dot Prodct poichè spesso lo si nota sando n pntino tra i de ettori. ag b G = ag b G cos γ L angolo γ è l angolo che i de ettori formano qando li mettiamo coda-a-coda normalmente si intende il più piccolo dei de angoli che formano anche se entrambi hanno lo stesso coseno. γ Il prodotto scalare di de ettori si ottiene anche a partire dalle loro componenti base ortonormata: ag G b = a b = a b + + b b Così, conoscendo le componenti di de ettori, possiamo determinare l angolo che essi formano: Esempio: Cerchiamo l angolo γ tra de ettori ag = γ = cos 5 e b G = ag b G ag b G 2 calcoliamo il prodotto scalare tramite le componenti: ag b G = ; 4 calcoliamo anche il modlo dei de ettori: ag = = 29 e ora determiniamo l angolo che formano i de ettori : γ = cos Proprietà algebriche: 2 = +8 6=, bg = +4+9 = cos bg ag bg = < ř ag G b = G b ag commtatia ag bg + cg = ag G b +ag cg distribtia rispetto alla somma ag λb G = λ ag G b associatia rispetto alla moltiplicaione per no scalare Alcni risltati: Esempio: ag b G ag G b = 0 Il prodotto scalare di de ettori perpendicolari è gale a ero G i G j =0 ag ag = ag 2 Il prodotto scalare di n ettore per se stesso è gale al qadrato del so modlo ig i G = ag i G =a ag j G = ag k G = Il prodotto scalare di n ettore per no dei ettori della nostra base ortonormata è gale alla componente del ettore associata a qel ettore base = 5 ettori pag. 5