COMUNICAZIONE OPZIONE SPORTIVA QUESTIONARIO QUESITO 1

Transcript

1 COMUNICAZIONE OPZIONE SPORTIVA QUESTIONARIO QUESITO 1 È noto che e x2 dx = π. Stabilire se il nmero reale, tale che e x2 dx = 1, è positivo o negativo. Determinare inoltre i valori dei segenti integrali, motivando le risposte: A = x 7 e x2 dx B = e x2 dx C = e 5x2 dx Osserviamo che la fnzione f(x) = e x2 è pari e positiva ed il so grafico è del tipo: Il valore dell integrale fornito è gale all area compresa fra il grafico della fnzione e l asse delle x. 0 Dalla simmetria del grafico dedciamo che e x2 dx e x2 dx = 1, deve essere > 0: = π 2 < 1. Qindi, essendo Per calcolare l integrale A osserviamo che la fnzione integranda è dispari, qindi, l integrale è nllo: A = x 7 e x2 dx = 0. Scientifico Comnicazione Opzione 1/ 8

2 Calcoliamo l integrale B: 0 π B = e x2 dx = 2 e x2 dx = 2 ( e x2 dx e x2 dx) = 2 1 = 2 π = B 0 2 ( ) Calcoliamo l integrale C. Effettando la sostitzione 5x = t otteniamo 5dx = dt, qindi (notato che se x ± anche t ± ): 1 C = e 5x2 dx = C = e t2 5 dt = 1 5 e t2 1 dt = 5 π = π 5 = C QUESITO 2 Data na parabola di eqazione y = 1 ax 2, con a > 0 si vogliono inscrivere dei rettangoli, con n lato sll asse x, nel segmento parabolico delimitato dall asse x. Determinare a in modo tale che il rettangolo di area massima sia anche il rettangolo di perimetro massimo. La parabola ha il segente grafico: Indicata con x l ascissa del vertice A del rettangolo appartenente al primo qadrante, con 0 x 1 a rislta: Area(ABCD) = 2x(1 ax 2 ) = 2x 2ax 3 = A(x) Calcoliamo la derivata prima: A (x) = 2 6ax 2 0 se x 2 1 3a 1 3a x 1 3a Scientifico Comnicazione Opzione 2/ 8

3 La fnzione è qindi crescente da 0 a 1 3a e decrescente da 1 3a fino a 1 a : l area è qindi massima se x = 1 3a. Calcoliamo il perimetro del rettangolo: 2p(ABCD) = 4x A + 2y A = 2(2x + 1 ax 2 ); qesta fnzione è massima se lo è: y = ax 2 + 2x + 1 Si tratta di na parabola con la concavità rivolta verso il basso, qindi il massimo si ha in corrispondenza del vertice: x V = b = 1 ( che soddisfa le limitazioni della x). 2a a Affinché l area ed il perimetro del rettangolo siano entrambi massimi deve essere: 1 3a = 1 a, da ci 1 3a = 1 qindi a = 3. a2 QUESITO 3 Un recipiente sferico con raggio interno r è riempito con n liqido fino all altezza h. Utilizzando il calcolo integrale, dimostrare che il volme del liqido è dato da: V = π (rh 2 h3 3 ). Il volme richiesto si pò ottenere dalla rotazione completa attorno all asse x dell arco della circonferenza di eqazione x 2 + y 2 = r 2 con estremi ( r; 0) e (h r; 0): b V = π f 2 (x)dx a h r = π y 2 dx r h r = π (r 2 x 2 )dx r = π [r 2 x x3 h r 3 ] = = π (rh 2 h3 3 ) = V r = Scientifico Comnicazione Opzione 3/ 8

4 QUESITO 4 Un test è costitito da 10 domande a risposta mltipla, con 4 possibili risposte di ci solo na è esatta. Per sperare il test occorre rispondere esattamente almeno a 8 domande. Qal è la probabilità di sperare il test rispondendo a caso alle domande? Si tratta di na distribzione binomiale con n=10, p=1/4 (probabilità di 1 sccesso, cioè di rispondere correttamente ad na domanda) e q=3/4. La probabilità di avere almeno 8 sccessi eqivale a: p = p(10,8) + p(10,9) + p(10,10) = ( ) (1 4 ) ( ) + ( ) (1 4 ) ( ) + (10 10 ) (1 4 ) ( ) = = = 0,042 % = p(x 8) 410 QUESITO 5 Qali pnti del grafico della fnzione f(x) = 2 hanno distanza minima dall origine? 2 x Il generico pnto P della crva ha coordinate P = (x; 2 x2). Vista la simmetria della crva possiamo sppore x>0. Calcoliamo la distanza tra P e l origine O: d(x) = x x 4 Qesta distanza è minima se lo è il so qadrato, cioè la fnzione di eqazione: y = x x 4 Scientifico Comnicazione Opzione 4/ 8

5 Stdiamo la derivata prima (con x>0): y = 2x 16 0 se x 5 x6 6 8 da ci x 8, x 2 La fnzione è qindi crescente se x > 2 e decrescente se 0 < x < 2; presenta qindi n minimo relativo (che è anche minimo assolto) in x = 2. La corrispondente ordinata di P è 1. La minima distanza è 3. Esistono qindi de pnti che hanno distanza minima dall origine: (± 2; 1). Osserviamo che i pnti richiesti sono i pnti di tangenza della circonferenza con centro nell origine e tangente al grafico della fnzione: N.B. Il minimo di x x4 si pò determinare anche per via elementare, tilizzando la segente proprietà: se il prodotto delle potenze di de grandezze è costante, la somma delle de grandezze è minima qando esse sono proporzionali agli esponenti. Cioè: se x a y b = k, con a, b e k costanti reali positive, la somma x + y è minima se x = y. a b Nel nostro caso si ha: (x 2 ) 2 ( 4 x 4)1 = 4, qindi x x2 è minima se x4 trovato con il metodo delle derivate. 4 = x 4 2 1, da ci: x6 = 8, x = 2, come QUESITO 6 Si stabilisca se la segente affermazione è vera o falsa, gistificando la risposta: Esiste n polinomio P(x) tale che: P(x) cos (x) < 10 3, x R. L affermazione è falsa. Scientifico Comnicazione Opzione 5/ 8

6 P(x) cos (x) rappresenta la distanza fra i pnti A = (x; P(x)) e B = (x; cos (x)). Osserviamo che la fnzione polinomiale y = P(x) è illimitata, qindi, per esempio, qando x tende a più infinito essa tende a più o meno infinito. La fnzione coseno è invece limitata fra -1 e 1: la distanza AB tende qindi a più infinito e pertanto non esiste alcn polinomio per ci valga la disgaglianza indicata PER OGNI X REALE. QUESITO 7 Una pedina è collocata nella casella in basso a sinistra di na scacchiera, come in figra. Ad ogni mossa, la pedina pò essere spostata o nella casella alla sa destra o nella casella sopra di essa. Scelto casalmente n percorso di 14 mosse che porti la pedina nella casella d'angolo opposta A, qal è la probabilità che essa passi per la casella indicata con B? Per raggingere la posizione A la pedina deve spostarsi di 7 caselle a destra e di 7 in alto; i possibili percorsi sono qindi pari alle permtazioni con ripetizioni di 14 oggetti (le mosse) di ci 7 gali fra di loro (spostamenti a destra) e altri 7 gali fra di loro (spostamenti in alto): nmero percorsi possibili = 14! 7! 7! = 3432 Per raggingere la posizione B la pedina deve spostarsi di 3 caselle a destra e di 5 in alto; i possibili percorsi sono qindi pari alle permtazioni con ripetizioni di 8 oggetti (le mosse necessarie per raggingere B) di ci 3 gali fra di loro (spostamenti a destra) e altri 5 gali fra di loro (spostamenti in alto): nmero percorsi favorevoli fino a B = 8! 3! 5! = 56 La pedina deve poi spostarsi da B ad A, poiché sono richieste 14 mosse e per far ciò deve spostarsi di 4 caselle a destra e di 2 in alto; tali spostamenti sono qindi dati da: nmero percorsi da B ad A = 6! 4! 2! = 15 Qindi il nmero dei percorsi favorevoli è dato dal prodotto = 840 La probabilità richiesta è qindi: p = nmero percorsi favorevoli nmero percorsi possibili = = = 24.5 % 143 Scientifico Comnicazione Opzione 6/ 8

7 QUESITO 8 Calcolare il valore del limite: 6 5x + 6 lim x 6 x 2 8x + 12 senza adoperare la regola di de l Hȏpital. Osserviamo che il limite presenta la forma indeterminata [ 0 ]. Per eliminare la forma 0 indeterminata moltiplichiamo nmeratore e denominatore per 6 + 5x + 6 e scomponiamo il denominatore: (6 5x + 6)(6 + 5x + 6) lim x 6 (x 6)(x 2)(6 + 5x + 6) = lim 36 (5x + 6) x 6 (x 6)(x 2)(6 + 5x + 6) = 5(x 6) = lim x 6 (x 6)(x 2)(6 + 5x + 6) = lim 5 x 6 (x 2)(6 + 5x + 6) = 5 4(12) = 5 48 QUESITO 9 Data la fnzione f(x) definita in R, f(x) = e x (2x + x 2 ), individare la primitiva di f(x) il ci grafico passa per il pnto (1, 2e). Integrando de volte per parti si ha: e x (2x + x 2 )dx = (2x + x 2 )e x (2 + 2x)e x dx = = (2x + x 2 )e x [(2 + 2x)e x 2e x dx] = (2x + x 2 )e x (2 + 2x)e x + 2 e x + k = = x 2 e x + k La primitiva passante per (1, 2e) si ottiene ponendo: 2e = 1 2 e 1 + k, da ci k = e La primitiva di f(x) il ci grafico passa per il pnto (1, 2e) ha qindi eqazione: y = x 2 e x + e Scientifico Comnicazione Opzione 7/ 8

8 QUESITO 10 Sia f la fnzione così definita nell intervallo ]1, ): x 2 f(x) = t dt ln t Scrivere l eqazione della retta tangente al grafico di f nel so pnto di ascissa e. e Calcoliamo l ordinata del pnto: e f( e) = t dt = 0 ln t e Il coefficiente angolare della tangente è dato da f ( e). Ricordiamo la segente proprietà slla derivata della fnzione integrale (consegenza del teorema fondamentale del calcolo integrale e del teorema slla derivata della fnzione composta): Se F(x) = g(x) a f(t) dt allora F (x) = f(g(x)) g (x) x2 Nel nostro caso si ha: f (x) = 2x, qindi: ln (x 2 ) f ( e) = 2e e. La tangente ha qindi eqazione: y y 0 = m(x x 0 ), y 0 = 2e e(x e), y = 2e e x 2e 2 Con la collaborazione di Angela Santamaria Scientifico Comnicazione Opzione 8/ 8