Esame di stato di istruzione secondaria superiore Indirizzi: Scientifico comunicazione opzione sportiva Tema di matematica

Transcript

1 Esame di stato di istruzione secondaria superiore Indirizzi: Scientifico comunicazione opzione sportiva Tema di matematica Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario PROBLEMA Sia dato un sistema di assi cartesiani Oxy in cui l unità corrisponde a metro. Una particella puntiforme si muove lungo l asse delle ascisse, nel verso positivo, partendo dall origine, con una velocità di metri al secondo. Quando la particella si trova in un generico punto x = a, costruisci un triangolo prendendo le tangenti alla curva di equazione y = ax x nei punti di ascissa e a.. Determina l area del triangolo in funzione di a; quanto vale l area del triangolo dopo 5 secondi?. Dopo quanti secondi il triangolo diventa equilatero? 3. Esprimi in funzione di a l angolo θ formato dalle due tangenti alla curva di equazione y = ax x nei punti di ascissa e a; utilizzando l espressione di θ in funzione di a, verifica la correttezza della risposta che hai fornito al punto precedente. 4. Quando la particella si trova nel generico punto x = a, determina l area della superficie limitata superiormente dalle due rette tangenti e inferiormente dalla curva di equazione y = ax x.

2 Punto Consideriamo i punti O = (,), A = (a, ). SVOLGIMENTO La tangente alla curva y = ax x in O = (,) ha equazione: y = f () x = [a x] x= x = a x La tangente alla curva y = ax x in A = (a, ) ha equazione: y = f (a) (x a) = [a x] x=a (x a) = a (x a) = ax + a Le due tangenti si intersecano nel punto B = ( a, a ). Di seguito la figura in cui è rappresentato il triangolo OBA di cui calcolare l area. Il triangolo OBA è isoscele e la sua area è:

3 S(OBA) = OA BH = a a = a3 4 Dopo 5 secondi sono stati percorsi a = metri pertanto l area del triangolo è: Punto Il triangolo è equilatero se S() = 5 m OB = OA Essendo OB = a + a4 = a 4 4 a +, il triangolo è equilatero se: a a + = a a + = a + = 4 a = 3 a = ± 3 Scartando la soluzione negativa a = 3, il triangolo è equilatero se a = 3 e lo diventa dopo 3 secondi. Alternativamente il triangolo è equilatero quando gli angoli sono di 6 ovvero quando l angolo formato dalla retta OB con l asse delle ascisse è pari a 6. Considerando che, da un punto di vista geometrico, il coefficiente angolare a della retta OB di equazione y = ax coincide con la tangente dell angolo formato dalla retta OB con l asse delle ascisse, deduciamo che il triangolo è equilatero se: Punto 3 a = tan(6 ) = 3 Consideriamo la figura seguente in cui è raffigurato il triangolo con i relativi angoli.

4 La tangente dell angolo formato dalle due tangenti è pari a: tan( θ) = m OB m AB = a + m OB m AB a Se < a < ovvero < θ < 45 si ha tan( θ) < pertanto a a tan( θ) = a = a θ = tan ( a a ) Se a > ovvero 45 < θ < 9 si ha tan( θ) > pertanto Quindi in conclusione: a a tan( θ) = a = a θ = tan ( a a ) ed il triangolo è equilatero se: θ = tan ( a a ) tan ( a a ) = 3 tan ( a a ) = 3

5 a a = 3 a 3 a 3 = a = ± 3 a =, a = ed il valore accettabile è a = 3 come trovato in precedenza. Punto 4 Di seguito la regione di piano R di cui calcolare l area. E possibile calcolare tale area per differenza tra l area del triangolo OBA e l area sottesa dal segmento parabolico: S(R) = a3 a 4 (ax x ) dx = a3 4 [ax x3 a 3 ] = a3 4 (a3 a3 3 ) = a3 4 a3 6 = a3 Alternativamente l area del segmento parabolico, per il teorema di Archimede, è pari ai 3 dell area del rettangolo circoscritto.

6 Il rettangolo circoscritto ha base a ed altezza pari all ordinata del vertice della parabola ovvero a, di 4 conseguenza l area del rettangolo sarà a3 e l area del segmento parabolico a3 = a

7 PROBLEMA Fissato un numero reale k >, si definiscono le funzioni: f k (x) = k ln(x) e g k (x) = e x k i cui grafici sono indicati, rispettivamente, con F k e G k.. Verifica che, qualunque sia k >, le due funzioni f k e g k sono tra loro inverse; definite inoltre le funzioni: stabilisci se si verifica a(x) = b(x), x R. a(x) = f k (g k (x)) e b(x) = g k (f k (x)). Indicata con r la retta di equazione y = x, determina l'equazione della retta s, parallela a r e tangente al grafico F della funzione f (x) = ln(x). Determina inoltre l'equazione della retta t, parallela a r e tangente al grafico G della funzione g (x) = e x. Rappresenta i grafici F e G insieme alle rette s e t e stabilisci qual è la distanza minima tra un punto di F e un punto di G. 3. Verifica che l'equazione f 3 (x) = g 3 (x) possiede due soluzioni sapendo che, qualunque sia k >, gli eventuali punti d'intersezione tra il grafico F k e il grafico G k coincidono con i punti di intersezione tra uno qualsiasi di tali grafici e la retta di equazione y = x. Stabilisci inoltre per quali valori k > i grafici F k e G k sono secanti, per quali valori sono disgiunti e per quale valore essi sono tangenti. 4. Sia A la regione limitata compresa tra i grafici F e e G e e gli assi cartesiani. Determina l'area di A ed il volume del solido generato ruotando A attorno a uno degli assi cartesiani.

8 SVOLGIMENTO Punto La funzione f k (x) = k ln(x) ha come dominio x > e la derivata prima f k (x) = k è sempre x positiva nel dominio, di conseguenza la funzione è strettamente crescente ed è quindi invertibile. La sua inversa è: y = k ln(x) ln(x) = y k x = ey k Invertendo le variabili x ed y otteniamo che la funzione inversa di f k (x) = k ln(x) è g k (x) = e x k. La funzione g k (x) = e x k ha come dominio R e la derivata prima g k (x) = k ex k è sempre positiva nel dominio, di conseguenza la funzione è strettamente crescente ed è quindi invertibile. La sua inversa è: y = e x k x = ln(y) x = k ln(y) k Invertendo le variabili x ed y otteniamo che la funzione inversa di g k (x) = e x k è f k (x) = k ln(x). Calcoliamo ora a(x) = f k (g k (x)) e b(x) = g k (f k (x)), si ha: a(x) = k ln (e x k) = k x = x, x R k b(x) = e k ln(x) k = e ln (x) = x, x > Di conseguenza a(x) = b(x) solo per x > e non per x R. Punto L equazione della retta s, parallela a r e tangente al grafico F è: y = x + q Detto S = (a, a + q) il punto di tangenza, la condizione di tangenza a f (x) = ln(x) è soddisfatta se f (a) = a = a = Imponendo l uguaglianza tra f (x) e s nel passaggio per il punto di tangenza S = (, + q) si ha: ln() = + q q = ln() Quindi il punto di tangenza è S = (, + ln()) e la retta tangente è: s : y = x + ln()

9 L equazione della retta t, parallela a r e tangente al grafico G è: y = x + q Detto T = (a, a + q) il punto di tangenza, la condizione di tangenza a g (x) = e x è soddisfatta se g (a) = ea = e a = a = ln () Imponendo l uguaglianza tra g (x) e t nel passaggio per il punto di tangenza T = ( ln(), ln() + q) si ha: = ln() + q q = ln () Quindi il punto di tangenza è T = ( ln(), ) e la retta tangente è: Di seguito il grafico. t : y = x + ln () La distanza minima tra un punto di F e un punto di G è la distanza tra i punti di tangenza T ed S: d = ( ln ) + ( ln ) = ( ln ).87 Punto 3 Consideriamo la funzione h(x) = f 3 (x) g 3 (x) = 3 ln(x) e x 3, x > Si ha:

10 h() = 3 ln() e 3 = e 3 < h() = 3 ln() e 3 > h(4) = 3 ln(4) e 4 3 > h(5) = 3 ln(5) e 5 3 < di conseguenza le funzioni f 3 (x) e g 3 (x) si intersecano in punti ad ascisse: α (,) β (4,5) Per verificare che le intersezioni siano solo, verifichiamo che le intersezioni tra f k (x) = k ln(x) e la retta y = x siano al massimo al variare di k. Consideriamo la funzione h (x) = f k (x) x = k ln(x) x, x > La derivata prima è h (x) = k x Se k < la funzione h (x) è strettamente decrescente e poichè lim h (x) = + x + lim h (x) = x si deduce che h (x) ha un unica radice ed appartiene all intervallo (,). Se k > si ha: lim h (x) = x + lim h (x) = x + lim x + k x kx (ln x k ) = lim ( x) = x + Inoltre per k > la funzione h (x) è strettamente crescente in (, k) e strettamente decrescente in (k, + ) pertanto (k, k ln k k) è punto di massimo relativo; in particolare tale massimo relativo avrà ordinata positiva se di conseguenza k ln k k > ln k > k > e

11 se k < e, considerando il comportamento di h (x) nell intorno dello e di +, deduciamo che la funzione h (x) non ha alcuna radice reale; se k = e, considerando il comportamento di h (x) nell intorno dello e di +, deduciamo che la funzione h (x) ha una radice doppia x = e; se k > e, considerando il comportamento di h (x) nell intorno dello e di +, deduciamo che la funzione h(x) ha radici reali. Quindi: se k < e i grafici F k e G k sono disgiunti; se k = e i grafici F k e G k sono tangenti; se k > e i grafici F k e G k sono secanti. Di seguito 3 grafici relativi alle 3 differenti situazioni: k = e, k = e, k = e +.

12 Punto 4 Consideriamo la figura seguente in cui è raffigurata la regione A:

13 L area richiesta è pari a: e S(A) = e x e e dx e ln x dx = [e e x e e] e [x(ln x )] e = = (e e) e( + ) = e e Il volume dato dalla rotazione di A intorno all asse delle ascisse è: e V(A) = e x e e dx (e ln x) = ( e3 e ) e (e ) = ( e3 dx = [ e e ex ] e [x(ln x ln x + )] e = + e e ) = + 4e e ( e3 )

14 QUESTIONARIO. Considerati nel piano cartesiano i punti A(,) e B(, ), sia R la regione piana delimitata dal segmento AB e dall arco di curva avente equazione y = 4 sin x, con x. Calcolare il massimo perimetro che può avere un rettangolo inscritto in R avente un lato contenuto nel segmento AB.. Si consideri la funzione f(x) = nell intervallo [p, p] e, detto Γ il suo grafico, sia t la retta x tangente a Γ nel suo punto di ascissa p. Determinare, al variare di p, le aree delle due parti in cui la retta t divide la regione finita di piano compresa fra Γ e l asse delle ascisse. 3. Determinare l equazione della superficie sferica di centro C(,,) tangente al piano di equazione x y z = e le coordinate del punto di contatto tra la superficie sferica e il piano. 4. Verificare che cos n (x) dx = n n cosn (x) dx per n > e usare questo risultato per calcolare cos 4 (x) dx. 5. Si lancia n volte un dado regolare a sei facce. Qual è il più piccolo valore di n tale che la probabilità che non esca mai il numero 3 sia minore dello,%? 6. Data la funzione y = x ax + b 3, determinare i valori dei coefficienti a e b per i quali il grafico della funzione è tangente nel punto di ascissa x = alla retta di equazione y = 7x Date le curve γ e γ di equazione rispettivamente y = x + e y = x 8x + 9, sia t la retta che è tangente a entrambe. Stabilire l area della regione di piano di area finita che è delimitata da γ, γ e t. 8. Una variabile casuale, a valori nell intervallo [, ], è distribuita secondo la densità di probabilità data dalla funzione f(x) = { 3 4 x, x, < x Stabilire il valore medio e il valore mediano di questa variabile casuale. 9. Determinare il luogo geometrico dei punti P(x, y, z) equidistante dai punti ti A(,,) e B( 3,,).. Verificare che la funzione y(x) = e x sin x è soluzione dell equazione differenziale y + y + y =.

15 SVOLGIMENTO. Consideriamo la figura seguente. Il rettangolo R ha vertici: C = (x, ), D = ( x, ), E = (x, 4 sin x), F = ( x, 4 sin x) Il perimetro del rettangolo è pari a: p(x) = ( x) + 4 sin x = ( x + 4 sin x) La derivata prima della funzione perimetro è: p (x) = ( + 4 cos x) ed è positiva se cos x > x < 3 Di conseguenza la funzione perimentro è strettamente crescente per x < 3 e strettamente decrescente per 3 < x pertanto il perimetro è massimo per x = 3 e misura p ( 3 ) = ( ) =

16 . La retta t ha equazione: dove f (p) = p pertanto la retta diventa: t: y = f (p)(x p) p t: y = p (x p) p = x p p La retta tantente interseca l asse delle ascisse in (p, ). Consideriamo la figura seguente in cui, considerando p >, sono rappresentate le regioni di piano in cui la tangente t divide la regione finita di piano compresa fra Γ e l asse delle ascisse. I punti A, B e C hanno coordinate A = (p, ), B = (p, ), C = (p, ). p L area del triangolo ABC è: S(ABC) = AC CB L area della regione in grigio chiaro è: p S(ABD) = dx x p = p p = = [ln x] p p = ln(p) ln(p) = ln() Quindi al variare di p le aree in cui la tangente t divide la regione finita di piano compresa fra Γ e l asse delle ascisse misurano rispettivamente e ln().

17 3. La retta perpendicolare al piano di eqauzione x y + z = e passante per il centro C(,,) ha equazione parametrica: x = + t { y = t z = + t Sostituendo tale equazione parametrica nell equazione del piano, troviamo il punto di intersezione tra la retta ed il piano: x y + z = + t + + t + + t = 3t = 6 t = pertanto il punto di intersezione è P(3, 3,4). Il raggio della superficie sferica è: RC = (3 ) + ( 3 + ) + (4 ) = 3 Quindi l equazione della sfera è: (x ) + (y + ) + (z ) = 4. Si ha: cos n (x) dx = cos(x) cos n (x) dx ed applicando l integrazione per parti si ricava:

18 cos n (x) dx = cos(x) cos n (x) dx = [sin(x) cos n (x)] = = (n ) sin (x) cos n (x) dx = + (n ) sin (x) cos n (x) dx = = (n ) [ cos (x)] cos n (x) dx = = (n ) cos n (x) dx (n ) cos n (x) dx cos n (x) dx + (n ) cos n (x) dx = (n ) cos n (x) dx n cos n (x) dx = (n ) cos n (x) dx (n cos n ) (x) dx = cos n (x) dx n Applicando il risultato a cos 4 (x) dx si ricava: cos 4 (x) dx = 3 4 cos (x) dx = 3 4 dx = La probabilità che, lanciando una volta un dado regolare a 6 facce, non esca 3 è pari a p = 5 6. Lanciando n volte il dado, la probabilità che non esca mai 3 è p n = ( 5 6 )n. Imponendo che tale probabilità sia minore di, si ha: ( 5 6 )n <, ln [( 5 6 )n ] < ln( 4 ) n ln ( 5 4 ln ) < 4 ln n > ln( 5 6 ) Quindi con n = 5 si ottiene una probabilità inferiore a,%. 6. Il valore assoluto nella funzione y = x ax + b 3 ha senso solo se i coefficienti a e b sono di segno discorde. Assumiamo quindi che a e b siano di segno discorde. E possibile scrivere la funzione y = x ax + b 3 nel seguente modo:

19 y = ax 3 + bx 3 ax 3 bx 3 { se x b a, x b a se b a < x < b a La derivata prima della funzione è: y = 3ax + b 3ax b { se x b a, x b a se b a < x < b a Il passaggio per il punto (, ) implica che: a + b 3 = a + b = Il grafico di y è tangente alla retta y = 7x 9 nel punto (, ) se y () = 7 ovvero se oppure 3a + b = 7 se b a + b a Consideriamo ora a + b a b. 3a + b = 7 se < b a + b < a I coefficienti a e b deve soddisfare il seguente sistema: la cui soluzione è: a + b = { 3a + b = 7 { a = 3 b = ed è accettabile in quanto soddisfa la condizione a + b. In questo caso l equazione della funzione è

20 y = x 3x 3 = x(3x ) 3 = 3x 3 x 3 Consideriamo ora a + b < a < b. I coefficienti a e b devono soddisfare i seguenti sistemi: la cui soluzione è: a + b = { 3a + b = 7 a = 3 { b = ed è accettabile a + b < e corrisponde alla precedente con il segno invertito. In questo caso l equazione della funzione è Quindi i coefficienti a e b sono y = x 3x + 3 = x(3x ) 3 = 3x 3 x 3 { a = 3 = 3 oppure {a b = b = e la funzione richiesta in ambo i casi è y = 3x 3 x 3.

21 7. Sia T = (a, b) il punto di tangenza di t con γ e S = (c, d) il punto di tangenza di t con γ. Il coefficiente angolare della tangente a γ è: m = f (a) = a mentre il coefficiente angolare della tangente a γ è: m = f (c) = c 8 Imponendo l uguaglianza si ricava: a = c 8 c = a + 4 La retta tangente a γ ha equazione: y = a(x a) + a + La retta tangente a γ ha equazione: y = a(x a 4) + (a + 4) 8(a + 4) + 9 Imponendone l uguaglianza si ricava: a(x a) + a + = a(x a 4) + (a + 4) 8(a + 4) + 9 ax a + = ax a 8a + a + 8a + 6 8a a + = a 8a 7 8a = 8 a = L equazione della tangente è quindi: y = (x + ) + + = x ed i punti di tangenza sono rispettivamente: T = (,), S = (3, 6) Di seguito la figura in cui viene raffigurata in grigio la regione di piano delimitata da γ, γ e t.. Le due curve si intersecano nel pinto A = (,). L area richiesta è pari a:

22 S = (x + + x) = (x + ) (x + )3 = [ ] 3 3 dx + (x 8x x) 3 dx + (x 3) dx = (x 3)3 + [ ] 3 3 = = 6 3 dx = 8. Verifichiamo innanzitutto che f(x) è una densità di probabilità ovvero che Si ha: f(x) dx = ( 3 4 x ) f(x) dx = dx + ( ) = ( 3 ) + ( ) = = dx = [ x 3 x3 ] + [ x ] = Il valore medio è pari a: E[X] = xf(x) dx = ( 3 x 4 x3 ) dx + ( x) = ( 6 6 ) + (5 6 4 ) = = 3 48 dx = [ x 6 x4 6 ] + [ x 4 ] = Poichè p( X ) = ( 3 4 x ) dx = [ x 3 x3 ] = 4 p( X ) = ( ) dx = [ x ] = 3 4 deduciamo che il valore mediano appartiene all intervallo [,]. Indichiamo con y il valore mediano, per definizione di valore mediano si ha: y f(x) dx = e + y f(x) dx = Nel caso in esame, ricordando che il valore mediano appartiane all intervallo [,], y è valore mediano se:

23 dx = y y = y = 5 6 y = 3 y = 4 9. Imponendo PA = PB si ha: (x ) + (y ) + (z ) = (x + 3) + (y ) + (z ) x + y y + + z 4z + 4 = x + 6x y 4y z 6x y + 4z + 8 = 3x y + z + 4 = Quindi il luogo dei punti equidistanti è il piano di equazione 3x y + z + 4 =. Alternativamente il luogo geometrico dei punti equidistanti è il piano perpendicolare ad AB passante per il punto medio di AB. Il punto medio di AB è M = ( 3, 3, ) ed il piano ha parametri direttori a = 3 = 3, b = =, c = =, di conseguenza il piano perpendicolare ad AB e passante per M ha equazione: 3 (x + 3 ) + (y 3 ) (z ) = 3x y + z + 4 =. Le derivate prima e seconda della funzione soluzione sono: y (x) = e x sin x + e x cos x y (x) = e x sin x e x cos x e x cos x e x sin x = e x cos x Sostituendo nell equazione differenziale si ricava: e x cos x + ( e x sin x + e x cos x) + e x sin x = = e x cos x e x sin x + e x cos x + e x sin x = Avendo dimostrato l identità deduciamo che y(x) = e x sin x è soluzione dell equazione differenziale y + y + y =.