Esame di Stato di Liceo Scientifico Corso di Ordinamento

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1 Corso di Ordinamento Soluzione dei Temi di Matematica proposti nella Sessione Ordinaria

2 Sommario Problema Punto Punto 4 Punto 5 Punto 4 6 Problema 7 Punto 7 Punto 7 Punto 9 Punto 4 Questionario Quesito Quesito Quesito Quesito 4 Quesito 5 Quesito 6 Quesito 7 Quesito 8 Quesito 9 Quesito 4

3 Problema Punto f 4 Studio della funzione Dominio La funzione è definita su tutto l asse reale, ossia Df Simmetrie Risultando f 4 4 f la funzione è simmetrica rispetto all origine Segno Intersezioni con gli assi cartesiani Posto 4 la cui discussione è riassunta nello schema sottostante f si ottiene la disequazione: f + + Pertanto risulta:,, f f per ; f,, Le intersezioni con gli assi cartesiani sono i punti, Discontinuità Comportamento negli estremi del dominio La funzione non presenta discontinuità Risulta lim f F, O, e F, La funzione, essendo una razionale di terzo grado non presenta nessun asintoto Studio della monotonia Massimi e minimi relativi Risulta f ' 4 e tale derivata è positiva e, di conseguenza, la funzione è crescente, per,, 6 Ha il massimo locale nel punto M, e il minimo locale nel punto 6 m, La funzione non presenta punti di non derivabilità Convessità, concavità, punti di flesso Risulta f '' 6 e tale derivata è positiva e, di conseguenza, la funzione è convessa, per, Nell origine la curva presenta un punto di flesso la cui tangente è la retta t : y 4

4 Studio della funzione g sin La funzione assegnata ha un periodo pari a T e, pertanto, il suo studio può essere limitato all intervallo, Le intersezioni con gli assi sono i punti O,, G, e G, Il massimo lo assume quando sin, quindi nel punto per sin, quindi nel punto Grafico m, M,, mentre il minimo lo assume Punto y 4 Dal sistema si ottiene l equazione y Applicando Ruffini si ottiene: 4 che ammette come soluzione Il sistema è equivalente al sistema: S,, S, S, e y y, le cui soluzioni sono: 4

5 sono i punti estremanti della funzione compresi in detto intervallo I punti di massimo sono: 7 M,, M,, M,, M 5 4, e M 9 5, ; oppure, in forma compatta, l insieme dei punti di M k, k, I punti di minimo sono: 9 m,, 5 m,, m,, m 4,, m 7 5, I punti di G g a tangente orizzontale la cui ascissa 6,6 oppure, in forma compatta, l insieme dei punti di Punto La regione R richiesta è quella colorata in figura L area di R si può calcolare con il seguente integrale: sin d 4 d Data la simmetria della funzione G g rispetto al punto,, il primo integrale è nullo Pertanto: R 4 d m k, k, 5

6 Punto 4 Sezionando la regione R con piani perpendicolari all asse delle ascisse si ottengono dei rettangoli le cui dimensioni sono, rispettivamente, h e g h I volumi infinitesimi sono: dv sin d f g f dv d d Si osservi che: i volumi i volumi f dv sono positivi per,, negativi per, dv sono negativi, in quanto tale è la funzione g g Pertanto il volume totale è dato dall integrale: 4 f g sin 4 V dv dv d d sind sind cos D cos d 4 5 cos 64 cos cos cos d sin m litri 6

7 Problema Punto Ammettendo la funzione un massimo nel punto di ascissa 4, la derivata prima in tale punto, per il teorema di Fermat, deve essere nulla Determino la derivata prima della funzione Risulta: a a b f ' a e a b e e Impongo le condizioni b 4 a 4a b e da cui come volevasi Punto f e f ' 4 b ossia a f e Studio della funzione a b Dominio La funzione è definita su tutto l asse reale, ossia Simmetrie Risulta: Df e f e f f e f Pertanto, la funzione non presenta particolari simmetrie Discontinuità Comportamento negli estremi del dominio Asintoti La funzione non presenta discontinuità Risulta: lim f lim e in quanto la funzione e è un infinito di ordine superiore alla funzione La retta y è un asintoto orizzontale destro Risultando lim f lim, la funzione è illimitata inferiormente e e non ammette asintoto orizzontale sinistro f Risulta lim lim e e, pertanto la funzione non ammette asintoti obliqui 7

8 Studio della monotonia Massimi e minimi relativi 4 Risulta f ' e,4 4, e tale derivata è positiva per,4 crescente, per, decrescente per 4 Ha il massimo assoluto nel punto M 4; e La funzione non presenta punti di non derivabilità Segno Intersezioni con gli assi cartesiani e Posto f si ottiene la disequazione: Di conseguenza, la funzione è Per quanto visto nel comportamento negli estremi del dominio e nella monotonia e osservato che: f e e 84 f e e 8 la funzione ammette uno zero in un punto, Pertanto risulta, f f per, ; f, Le intersezioni con gli assi cartesiani sono i punti, F, F e Calcolo di con il metodo di Newton o delle tangenti Per determinare il valore di uso il metodo delle tangenti Determino la derivata seconda della funzione 4 4 '' f e e e e 7 Risulta: Essendo 9 7, il punto d innesco del processo è in quanto di segno f '' opposto a quello della derivata seconda La successione è così definita: f n n n f ' n Dal seguente schema n f f ' -,87755,6 -,8976 -,566, ,8768 -,786,474 -,8768,,47 si nota che un valore approssimato di è 87 n n n 8

9 Convessità, concavità, punti di flesso 9 Come determinato nel punto precedente, risulta f '' e 7 La derivata seconda è positiva per 7, Pertanto la funzione è: 7, ; convessa concava,7 7 Nel punto F 7,6e la curva presenta un punto di flesso Grafico Punto L area richiesta è quella colorata in azzurro nel grafico a lato La determino come differenza dell area del rettangolo individuato dalla retta y per f, e l area individuata dalla funzione dall asse delle X e dalle rette e Risulta: A e d e d e d D e d e e e d e e e 9e e 9e 9 9e 6 9

10 Punto 4 f y : Riporto la tabella fornita inserendo i valori di f i e di i Anno i y i,97,,49,7,8,76,65 i f,5,74,79,76,68 f y,,,,6,9,4,7 i i y fornite e i valori di Le differenze tra le i f i son minori di e, pertanto, la funzione è accettabile Per stabilire se l evoluzione del fenomeno non porterà a profitti inferiori ai, determino il valore della funzione per un relativamente grande, ad esempio per Risulta f,9 f y, Dovendo essere ossia f y f i da cui,9 y,9 non ho garanzia che il reddito non possa scendere al di sotto di, i i

11 Questionario Quesito Indicato con r 6cm 6dm il raggio della sfera, il diametro della stessa è d r dm e risulta essere il diametro del cilindro,, il diametro della Posto l altezza del cilindro, con circonferenza di base è 44 Il volume del cilindro è: 44 V La derivata prima è V ' 44 che risulta positiva 4 per, 4 Il volume del cilindro è massimo per 4 dm e vale: V 4 dm dm 44 6 dm 96 dm 54litri 4 Quesito Sia, y P, con, un punto generico della curva La sua distanza dal punto di coordinate 4, è 4 4 d La derivata prima di d' d è che risulta essere positiva per Pertanto il punto della curva y 7, più vicino al punto di coordinate 4; è il punto R 7 7,

12 Quesito Il volume del solido W si può ottenere come differenza tra il volume del cilindro di altezza 8 e raggio di base, e il volume del solido ottenuto dalla rotazione del ramo della funzione inversa y, ossia y, attorno all asse y Il volume del cilindro è V 8 Cilindro Il volume della funzione y è y V d d Il volume del solido W è W VCilindro V y 5 5 Quesito 4 Ricordo la definizione di combinazione semplice di n elementi di classe k Siano n e k con k n Si definisce combinazione semplice di n elementi distinti di classe k i gruppi che si formano prendendo k degli n elementi, in modo tale che due gruppi differiscano almeno per un elemento Il numero delle combinazioni semplici di n elementi di classe k è: n nn n n k Cnk, k k! Imponendo Cn,4 Cn,, con n 4, si ottiene l uguaglianza: n n n n n n n 4 n, donde n 7 4 Scartando le soluzioni n, n e n si ottiene Quesito 5 Come si evince dal grafico, l area richiesta è formata da una parte positiva e da una negativa Il calcolo dell area richiesta è dato da: A cos d cos d sin sin sin sin sin sin sin sin

13 Quesito 6 Ricordo la formula di sottrazione della tangente e un limite notevole: tg tg tg da cui tg tg tg tg tg ; tg tg tg lim Il limite proposto si può determinare nel seguente modo: tg tg tg tg tg tg lim lim lim tg tg tg Quesito 7 Posto P, la funzione P è definita e continua in Studio il segno della sua derivata prima P' e tale derivata è sempre strettamente positiva Di Risulta conseguenza la funzione è strettamente crescente Osservato, inoltre, che: P e P, per il teorema degli zeri, l equazione proposta ha una sola soluzione appartenente all intervallo, Quesito 8 Il problema della quadratura del cerchio è uno dei problemi classici che non possono essere risolti utilizzando soltanto riga e compasso Preso un cerchio di raggio r, bisogna costruire un quadrato di area pari a quella del cerchio Indicato con l il lato del quadrato da trovare, deve sussistere la seguente relazione: r l ossia l r Posto per semplicità r, si tratta di costruire un quadrato il cui lato misura l Nel 88 fu dimostrata l impossibilità di tale costruzione che deriva dal fatto che è un numero trascendente Quesito 9 Considero un triangolo rettangolo ABC di ipotenusa AB Indicato con D il punto medio di AB, il vertice C ha distanza dal punto medio uguale alla distanza BD, in quanto il vertice C deve insistere sulla circonferenza di centro D e raggio BD Tracciata la perpendicolare ad AB per il suo punto medio, essa risulta l asse di AB, ossia il luogo dei punti del piano, individuato da AB e dall asse, equidistanti da A e da B Resta da verificare che anche il punto C è equidistante da tale asse Per farlo devo dimostrare che:

14 Preso un punto P appartenente ad a AB, esso è equidistante da B e da C; Preso un punto P equidistante da B e da C, esso appartiene ad a AB Preso un punto P appartenente ad a AB il triangolo CDP è un triangolo rettangolo retto in D congruente al triangolo BPD e quindi BP CP Preso un punto P equidistante da A da B e da C, dovendo essere equidistante da A da B necessariamente appartiene all asse a AB ed è così provata la seconda parte Quesito La risposta corretta è la D) Spiegazione La funzione III risulta crescente negli stessi intervalli in cui la funzione II è positiva ed è decrescente negli stessi intervalli in cui la funzione II è negativa Inoltre gli zeri della funzione II corrispondono ai punti di massimo e minimo locali della funzione III Per, la funzione III è convessa e la funzione I è positiva, mentre per, la funzione III è concava e la funzione I è negativa 4