ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessione suppletiva

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1 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO Sessione suppletiva PROBLEMA Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. Si consideri la funzione reale f m di variabile reale tale che: f m = m + m, dove m è un parametro reale non nullo. a) Trovare gli insiemi di definizione, di continuità e di derivabilità della funzione. b) Indicata con C la curva rappresentativa della funzione f () corrispondente ad m =, studiarla e disegnarla in un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali, dopo aver determinato, in particolare, le equazioni dei suoi asintoti e il comportamento nel punto A di ascussa. c) Calcolare l area della regione finita di piano deitata dalla curva C e dalla retta parallela all asse delle ascisse condotta per il punto A. PAROLE CHIAVE Informazioni m è un parametro reale non nullo C la curva rappresentativa della funzione f () corrispondente ad m = Obiettivi Trovare gli insiemi di definizione Trovare gli insiemi di continuità 3 Trovare gli insiemi di derivabilità della funzione 4 Studiarla 5 Disegnarla 6 Dopo aver determinato le equazioni dei suoi asintoti 7 Dopo aver determinato il comportamento nel punto A di ascissa 8 Calcolare l area della regione finita di piano deitata dalla curva C e dalla retta

2 Poiché l espressione in modulo m è positiva per > m distinguiamo i due casi in cui m è positivo oppure m è negativo.. m positivo m, allora la funzione si può scrivere f m = (la condizione m, poiché > m, è sempre vera). m + m = m ; < m allora la funzione si può scrivere nella forma f m = (la condizione 3m, poiché < m, è sempre vera). + m + m = + 3m ; m m 3m Per m > l insieme di definizione è l insieme dei numeri reali.. m negativo m, la funzione è f m = con m (m appartiene all intervallo di studio) m, < m la funzione è f m = con 3m (3m appartiene all intervallo di studio) + 3m ; 3m m m Quindi nel caso di m negativo l insieme di definizione della funzione è {m,3m} obiettivo Dallo studio del punto precedente si desume che per m positivo la funzione è sempre definita per qualsiasi valore reale, mentre per m negativo si hanno due punti di discontinuità in = m e = 3m; infatti per = 3 si ha: =+ e 3m + 3m 3m + + 3m = ; per = m si ha: = e m m m + m =+ ; obiettivo Per lo studio della derivabilità della funzione calcoliamo la derivata prima nei due casi: > m < m ( m) f () = = m ( m) = ( m) ( m) ( m) f () = ( + 3m) ( ) = + 6m + ( + 6m) = ( + 3m) ( + 3m) ( + 3m) 3 SCIENTIFICO

3 Sia per m > che per m < si ha: Quindi in entrambi i casi (m < e m > ) la funzione è continua e derivabile nel relativo insieme di definizione, ad esclusione di = m dove la funzione è continua ma non derivabile. obiettivo 3 m ( + 6m) ( + 3m) = 8 e m + ( m) ( m) =. Imponendo la condizione m = si ha la funzione f () = il cui insieme di definizione è ; la funzione è continua per = ma non derivabile. La C passa per l origine +, degli assi cartesiani. Agli estremi del campo di esistenza la curva tende all infinito, infatti Per determinare gli eventuali asintoti obliqui, distinguiamo due casi: f < ; la funzione è quindi m = () f () = = e + 3 ; l asintoto in questo caso ha equazione y = 3. f ; la funzione è quindi m = () f ( ) = = e ; + l asintoto in questo caso ha equazione y = +. q = [ f () ]= ; + Determiniamo gli eventuali punti estremanti con lo studio della derivata: <, f () = ( + 3) ( ) ( + 6) = la derivata prima si annulla per = ( + 3) ( + 3) ; e = 6 ed è positiva per < < 6; ± + =+. q = [ f () + ]= 3; 6 ( + 6) ( + 3) > + Figura si ha quindi un punto di minimo in O(,)., ( ) ( ) f () = = la derivata (si annulla per = ) è sempre ( ) ( ) ; positiva in questo intervallo. ( ) ( ) > + Figura 4

4 Nel punto A (,4), già studiato in precedenza, la funzione è continua ma non derivabile; infatti La tangente sinistra nel punto A alla curva C ha equazione y = 8, mentre quella destra ha equazione y = 4; quindi il punto A è un punto angoloso della curva. Il grafico della funzione è in figura 3. Figura 3 Determiniamo le intersezioni fra la curva C e la retta y = 4, passante per A (,4) e parallela all asse. <, che ammette la soluzione = 6; si ha l intersezione B ( 6,4)., y = ; =, y = 4 la cui soluzione (doppia) è =, cioè il punto A(,4). y 4 6 O Figura 4 5 SCIENTIFICO

5 L area richiesta si determina con l integrale 4 d = 4 + d = e dopo aver diviso il numeratore per il denominatore si può scrivere d = ln obiettivo d = = 4 9ln9.5. PROBLEMA Una piramide retta, di vertice V, ha per base il triangolo ABC, rettangolo in A, la cui AB area è 4a,dove a è una lunghezza assegnata. Si ha inoltre che e che il BC = 3 5 piano della faccia VAB della piramide forma col piano della base ABC un angolo j tale che sen j = 3. a) Calcolare l altezza della piramide. 4 b) Controllato che essa è a, calcolare la distanza del vertice C dal piano della faccia 5 VAB. c) Condotto, parallelamente alla base ABC, un piano a che sechi la piramide e considerato il prisma retto avente una base coincidente con il triangolo sezione e per altezza la distanza di a dalla base ABC, calcolare per quale valore di tale distanza il prisma ha volume massimo. d) Il prisma di volume massimo ha anche la massima area totale? PAROLE CHIAVE Informazioni Una piramide retta Triangolo ABC, rettangolo in A 3 a è una lunghezza assegnata 4 4 Controllato che essa è 5 a Obiettivi Calcolare l altezza della piramide Calcolare la distanza del vertice C dal piano della faccia VAB 3 Calcolare per quale valore di tale distanza il prisma ha volume massimo 4 Il prisma di volume massimo ha anche la massima area totale? 6

6 Raggio In un triangolo rettangolo circoscritto ad un cerchio l ipotenusa è uguale alla somma dei due cateti diminuita del diametro. Conoscendo il rapporto fra un cateto e l ipotenusa R B C del triangolo ABC, base della piramide, si può porre AB = 3, BC = 5, e per la terna pitagorica, AC O = 4. Dalla formula dell area si ha: AB AC 3 4 A quindi = 4a T = ;, da cui si S ricava = a; i lati sono AB = 6a, AC = 8a e BC = a. A Figura 5 La piramide è retta quindi il piede della sua altezza cade nel centro del cerchio inscritto in ABC. Il raggio r del cerchio inscritto si ricava con BC = AB + AC r; a = 6a + 8a r; r = a. L altezza VO della piramide si ricava con VO = OT tg j, cioè VO = a 5 = 4 5 a. obiettivo Per determinare la distanza del punto C dal piano della faccia VAB si può ricorrere alla formula inversa del volume della piramide: V CK = 3V Area(VAB ). V = Area(ABC ) VO; 3 B R C V = 3 4a 4 5 a = 9 5 a3. Per determinare l area della faccia VAB, T A O S Figura 6 Area(VAB ) = AB VT, Apotema Nel caso di una piramide retta l apotema è uguale per le tre facce: VT = VR = VS dobbiamo calcolare l apotema VT: VT = VO sen j = 4 3 a 5 = 6 5 a; quindi Area(VBA ) = AB VT = 6a 6 5 a = 78 5 a. 3 9 La distanza richiesta è CK = 5 a3 96 = 78 3 a. 5 a Un metodo alternativo e più semplice è quello di considerare il triangolo rettangolo ACK, di cui conosciamo AC = 8a e della base ABC): CK = AC sinj = 8a 3 = 96 3 a. sen j = 3 (angolo formato dalla faccia VAB con il piano obiettivo 7 SCIENTIFICO

7 V Poiché il piano a è parallelo alla base ABC, la sezione ottenuta è un triangolo A B C, simile a quello della base; quindi si può scrivere la seguente proporzione: p :p =VO : VO avendo indicato con p il perimetro del triangolo ABC, con p il perimetro di A B C e con VO la distanza del piano a dal vertice V. B B C O A O C Posto VO =, si ha: Per la similitudine tra i due triangoli, i lati del triangolo A B C sono proporzionali ai numeri 3, 4, 5, cioè si può scrivere: A B : B C : A C =3:4:5 e componendo (A B +B C +A C ):A B =( ):3; p : A B = : 3, 5 : A B = : 3, da cui si ricava In modo analogo si ricava L area del triangolo è l altezza del prisma è 4a: p = 4 5 a:; p = 5. B C = 5, A Area( A B C ) = A B A C = 5 4 ; O O = 4 5 a. C = 5 3. Il volume del prisma è quindi: 5 V() = con < < a = 5a a. A A B = 5 = 5 4. Figura 7 Studiamo la derivata prima: 5 V () = a si annulla per = e = 6 ed è positiva per < < 6 Il volume del prisma è massimo quando = 6 cioè quando l al- 8 ; a a 5 a. 5 a, tezza del prisma è 8 5 a, l altezza è: 4 5 a = 4 5 a 6 5 a. obiettivo 3 L area del prisma è data dalla somma dell area di base e dell area laterale: Area (basi) = 5 4, Area (laterale) = a. A() = a = 5a La derivata prima, A 35 () = 4a si annulla per < 44 ed è positiva per = 44 6, 35 a 35 a; l area del prisma è massima per = 44 valore diverso da quello trovato per il volume massimo. 35 a, obiettivo 4 8

8 . Considerata una funzione reale di variabile reale f (), si prendano in esame le due seguenti proposizioni: A: condizione necessaria e sufficiente affinché f () sia definita in un punto a è che sia continua in a. B: condizione necessaria e sufficiente affinché f () sia continua in un punto a è che sia derivabile in a. Una sola delle seguenti combinazioni è corretta: individuarla e fornire un esauriente giustificazione della risposta: a) A vera - B vera; b) A vera - B falsa; c) A falsa - B vera; d) A falsa - B falsa. La risposta corretta è la d); entrambe le condizioni sono sufficient37 5.(ma none necessarea.)]tj 9 SCIENTIFICO

9 I relativi volumi si ottengono dal prodotto delle aree per l altezza, uguale per tutte le parti. Quindi le frazioni di cubo corrispondenti alle varie parti sono 5, 5,,e. 3. Calcolare se esiste un numero naturale n per il quale risulti: n n k = k = Posto da cui n ( +) n n = k n k k,si ha (+) n = n = 48576, k = n = log = ln48576 ln =. 4. Sia f () una funzione reale di variabile reale, derivabile con derivata continua in f (t)dt tutto il campo reale, tale che f () = ed f () =. Calcolare: cos Per le condizioni poste si può applicare il teorema di De L Hopital f (t)dt cos = f () sin = f () 4cos = 4 = 5. Dimostrare che la derivata, rispetto ad, della funzione a,dove a è un numero reale positivo diverso da, è a ln a. a +h a h h N.B. h a h h = h a a h a h se h allora y ; a h = h h y y log a + y = lna; infatti posto a h = y,ah = + y,siha:h = log a + ; y a (a h ) = = a a h = a lna. h h h h y log a + y y = log a e = lna 6. Fra i rettangoli di dato perimetro determinare quello di area massima. Indicate con, y (,y > ) le due dimensioni del rettangolo e p il perimetro, si ha: + y = p; + y = p; y = p. L area è A () = y = (p ) = p ; la derivata prima, A () = p, si annulla per = p ed è positiva per < p quindi l area è massima per = p cioè quando il ;, rettangolo ha le due dimensioni uguali ovvero è un quadrato. 3

10 7. Una primitiva della funzione f ()è +. Se è possibile calcolare determinare il valore dell integrale. In caso contrario spiegare perché il calcolo non è d, possibile. Dalle condizioni si ha posto f d = f (t)dt = t + t = 4 + = 5. f ()d = + + c [ ] e si deve calcolare, se possibile, = t,e = t, d = dt, = t =, = t = si ottiene: f d; 8. In un piano, riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali (Oy), sia T un trapezoide di base [a,b] relativo alla funzione f(), continua in tale intervallo. Dimostrare la formula che esprime il volume del solido generato dal trapezoide quando ruota di un giro completo attorno all asse. Se la funzione f() è costante si ha un rettangolo e il volume del solito generato dalla rotazione (cilindro) è V = π K (b a) con K = f(). Se invece f() non è costante si procede come nel caso dell integrale definito per il calcolo dell area di un trapezoide: si suddivide l intervallo [a, b], in n parti uguali = a, = + h, = + h... n b, essendo h = b a n ; si calcola per ogni intervallo i il valore minimo m i e il valore massimo M i della funzione f(); si determinano le somme v n = π n i= (m i ) b a n e V n V n = π solido di rotazione per difetto e per eccesso, e si ha che v n V V n, con V volume del solido; n i= (M i ) b a che rappresentano il volume del n, y f () O a b Figura 9 3 SCIENTIFICO

11 Le somme del tipo V n sono le somme generalizzate riferite alla funzione f() e al suo integrale a b f ()d Sapendo che v n = n n b V n = Vsi ha V = π f ()d. a 9. Calcolare la derivata della funzione sen rispetto alla variabile, ricorrendo alla definizione di derivata di una funzione. sin( + h) sin = h h cos h + h + sinh = cos( + h) = cos = cos h h h + h sin = h. Considerata una funzione reale di variabile reale f(), derivabile almeno due volte in un dato punto a, affinché la funzione f() abbia in a un punto di flesso la condizione f (a) = è: a) necessaria e sufficiente; b) necessaria ma non sufficiente; c) sufficiente ma non necessaria. Una sola alternativa è corretta: individuarla e fornire un esauriente spiegazione della risposta. La risposta corretta è la b) Infatti basta considerare la funzione y = 4,che nel punto =, pur avendo derivate prima e seconda nulle, non ha un flesso. 3