Gruppo N 2. Il candidato risolva tutti gli esercizi sotto indicati, illustrando con chiarezza, rigore e sintesi i procedimenti. Esercizio (1) Si ponga

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1 Gruppo N Il candidato risolva tutti gli esercizi sotto indicati, illustrando con chiarezza, rigore e sintesi i procedimenti utilizzati. Esercizio (1) Si ponga (a) F(x) = ln(3 + sin t )dt. Giustificando le asserzioni, rispondere ai seguenti quesiti. 1) L espressione in (a) è definita su tutto R: perché? Se la funzione F : R R è definita come in (a) ) Determinare l insieme A ove F è derivabile, e calcolare la derivata prima. 3) Determinare l insieme A ove F ammette derivata seconda, e calcolare la derivata seconda. 4) F è una funzione pari (F(x) = F( x)), dispari (F(x) = F( x)), o né pari né dispari? 5) Determinare gli insiemi ove F è crescente ed ove F è decrescente, e gli eventuali massimi e minimi. 6) F è periodica? Sì, no, perché? 7) Stabilire se esistono finiti o infiniti i limiti lim x ± F(x). 8) Si enuncino i teoremi utilizzati per calcolare la derivata seconda di F, discutendo la necessità delle ipotesi. 9) Mostrare che esiste un numero reale q tale che la funzione G(x) = F(x) qx è limitata su R; determinare q. Soluzione: 1) Per ogni t R si ha 1 sin t 1 3+sin t 4. Quindi la funzione f : R R, f (t) = ln(3 + sin t ), è definita come composizione delle funzioni t 3+sin t e ln, ed è continua su R in quanto composizione di funzioni continue; quindi f è localmente integrabile in R e F è definita su tutto R. Un grafico qualitativo di f (t) è riportato nella seguente figura:

2 /8 Un grafico qualitativo di F(x) è riportato nella seguente figura: ) Essendo f continua su R, dal Teorema Fondamentale del Calcolo segue che la funzione integrale F è derivabile in R (quindi A = R) e F (x) = f (x) = ln(3 + sin x ) per ogni x R. 3) In R \ {}, f è derivabile in quanto composizione di funzione derivabili e dal Teorema di derivazione della funzione composta (Regola della catena) segue che, se x, Dato che F (x) = f (x) = cos x 3 + sin x { x cosx x = 3+sinx, se x >,, se x <. cosx 3 sinx lim f (x) = 1 e lim x 3 f (x) = 1 x + 3, concludiamo che f è derivabile a sinistra in con derivata sinistra f () = 1 3 e f è derivabile a destra in con derivata destra f +() = 1 3. Quindi f = F non è derivabile in ; di conseguenza, F non ammette derivata seconda in e A = R \ {}.

3 3/8 4) Osserviamo che f è una funzione pari, cioè f ( t) = f (t) per ogni t R. Quindi, effettuando il cambio di variabile s = t nell integrale x f (t)dt, si ottiene F(x) = x x f (t)dt = f ( s)ds = f (s)ds = F( x), per ogni x R, cioè F è una funzione dispari. 5) Essendo sin x 1 per ogni x R, si ha che F (x) = f (x) = ln(3 + sin x ) ln > per ogni x R. Quindi F è strettamente crescente su R. In particolare F non ha alcun punto di estremo relativo. 6) La funzione F non è periodica; infatti, essendo strettamente crescente, F(x + T ) > F(x) per ogni x R e T >. 7) Dato che, come osservato nel punto 5, f (t) ln > per ogni t R, dal criterio del confronto per gli integrali impropri segue che lim x + F(x) = + f (t) dt = +. Essendo F dispari, si conclude per simmetria che lim F(x) =. x 8) I teoremi utilizzati per calcolare la derivata seconda di F sono il Teorema Fondamentale del Calcolo e il Teorema di derivazione della funzione composta (Regola della catena). Teorema Fondamentale del Calcolo. Siano f una funzione localmente integrabile nell intervallo (a,b) e x (a,b). Sia F la funzione integrale definita da F(x) = x f (t)dt, x (a,b). Se f è continua in x (a,b), allora F è derivabile in x e F ( x) = f ( x). Osserviamo che senza l ipotesi di continuità della funzione integranda in x, la funzione integrale potrebbe non essere derivabile in x, come mostra il seguente esempio: la funzione { 1, se x ( 1,), f : ( 1,1) R, f (x) = 1, se x [,1), non è continua in e la sua funzione integrale F(x) = f (t)dt = x non è derivabile in. D altra parte l ipotesi di continuità della funzione integranda in x non è necessaria per la derivabilità della funzione integrale; infatti, se la funzione f ha in x una discontinuità eliminabile, allora F è derivabile in x e F ( x) = lim x x f (x). Teorema di derivazione della funzione composta (Regola della catena). Siano I,J R due intervalli, x un punto interno ad I, f : I R una funzione derivabile in x tale che f (x ) sia interno a J e g : J R una

4 funzione derivabile in f (x ). Allora la funzione composta g f è ben definita in un intorno di x e derivabile in x e vale la formula (g f ) (x ) = g ( f (x )) f (x ). 4/8 Osserviamo che l ipotesi che f sia derivabile in x e g sia derivabile in f (x ) non è necessaria per la derivabilità in x della funzione composta, come mostra il seguente esempio: la funzione f : R R, f (x) = x, non è derivabile in e la funzione parte negativa { g : R R, g(x) = x x, se x <, =, se x, non è derivabile in f () =, mentre la funzione composta g( f (x)) = è costante e derivabile in. 9) Per ogni x, esiste k N tale che πk x < π(k + 1), cosicché x = kπ +τ con τ = x kπ [,π); quindi, essendo t ln(3+sint) periodica di periodo π, si ha che F(x) = Dato che ln(3 + sint)dt = π πk πk ln(3 + sint)dt + πk ln(3 + sint)dt = k ln(3 + sint)dt + ln(3 + sint)dt ( 1 π ) τ = πk ln(3 + sint)dt + ln(3 + sint)dt π ( 1 π ) ( 1 π = x ln(3 + sint)dt τ ln(3 + sint)dt π π τ τ ln(3 + sint)dt = ln(3 + sint)dt π ) τ + ln(3 + sint)dt. ln(3 + sint)dt, otteniamo che, posto q = π 1 π ln(3 + sint)dt e G(x) = F(x) qx, τ G(x) = F(x) qx = τq + ln(3 + sint)dt τq + πq 4πq per ogni x. Essendo G = F(x) qx una funzione dispari su R e limitata su [, + ), concludiamo che G è limitata su R. Soluzione alternativa: Osserviamo che G(x) = ( f (t) q)dt, con f (t) = ln(3 + sin t ). Inoltre G è somma delle due funzioni dispari F(x) e qx, e quindi è dispari; pertanto G è limitata su R se e soltanto se è limitata su (, + ). Ed è una funzione continua su R.

5 5/8 Ora, se G è limitata su (, ), allora necessariamente la successione G(kπ), con k N, è limitata. Ma G(kπ) = kπ ( f (t) q)dt = k 1 ( j+1)π j= jπ che è limitata se e soltanto se π ( f (t) q)dt = q = 1 π ( f (t) q)dt = k π π f (t)dt = F(π) π ( f (t) q)dt, Non rimane che da verificare che per q = F(π) π la funzione G sia davvero limitata in (, ). Per t > vale l uguaglianza f (t) = ln(3 + sint), quindi se definiamo f (t) = ln(3 + sint) e G(x) = ( f (t) q)dt, si ha che per x > vale l uguaglianza G(x) = G(x), e f (t) è una funzione periodica di periodo π. Ora, per ogni x R G(x + π) G(x) = = = +π +π x π ( f (t) q)dt ( f (t) q)dt ( f (t) q)dt =, ( f (t) q)dt cioè anche G(x) è una funzione periodica di periodo π. Ma una funzione continua e periodica non può che essere limitata. Ne segue che anche G(x) è una funzione limitata.. γ C γ A C B A C A B γ B γ A A B C C A B γ C γ B FIGURA 1. FIGURA. Esercizio () 1) Si considerino i tre vertici A, B, C del triangolo in figura 1, in cui l angolo in A è retto e i lati AB e AC hanno la medesima lunghezza l. Siano γ A, γ B e γ C le tre circonferenze con centri in A, B, C rispettivamente, con la proprietà che le circonferenze siano a due a due tangenti, con gli interni disgiunti. Si calcoli l area della regione del triangolo ABC che non è interna a nessuna delle tre circonferenze γ A, γ B e γ C, indicata in grigio nella figura 1. ) Si dimostri che dati tre punti qualsiasi A, B, C non allineati nel piano euclideo, esistono uniche tre circonferenze γ A, γ B e γ C con centri in A, B, e C rispettivamente, con la proprietà che le circonferenze siano a due a due tangenti, e abbiano gli interni disgiunti, come in figura.

6 6/8 Soluzione: 1) Osserviamo che se A e B sono due punti distinti nel piano, e γ A e γ B sono due circonferenze con centri in A e B, allora se le circonferenze γ A e γ B sono tra loro tangenti in un punto che chiamiamo P, la retta tangente comune alle due circonferenze in P è ortogonale ad entrambi i raggi AP e BP, da cui segue che P è allineato ai due centri A e B. Se le circonferenze hanno interni disgiunti, il punto P è un punto del segmento AB. Chiamiamo ora A il punto in cui le circonferenze γ B e γ C sono tra loro tangenti: per quanto visto poco sopra esso è un punto interno al segmento BC. Allo stesso modo si definiscano i punto B e C, come indicato in figura 1. Dato che il triangolo BAC è retto in A e isoscele, le lunghezze dei suoi lati sono AB = l AC = l BC = l Se indichiamo con r A, r B e r C i raggi delle tre circonferenze γ A, γ B, e γ C rispettivamente, si ha r A = AC = AB r B = BC = BA r C = CA = CB. Dato che il triangolo è simmetrico rispetto alla bisettrice dell angolo in A, risulta r B = r C, da cui r B = r B + r C = BC = l = r B = r C = l. Dato che r A + r B = AB = l, si ha anche che ( ) r A = l r B = l l = 1 l. Possiamo ora calcolare l area della regione indicata in grigio nella figura 1, semplicemente sottraendo all area del triangolo le aree dei tre settori circolari AC B, BA C e CA B. L area del triangolo ABC è uguale a l, mentre le aree dei settori circolari si calcolano facilmente considerando che gli angoli in A, B e C sono rispettivamente 9, 45 e 45, e l area è una funzione lineare dell angolo: Area(AC B ) = 9 36 πr A Area(BA C ) = πr B Area(CA B ) = πr C.

7 7/8 Di conseguenza Area della regione A B C = l πr A 4 πr B 8 (( ) ) ( π 1 l π = l l 4 8 = l π (( 3 4 ) + 1 ) l ( 1 = π 4 ( ) ) l. ) Siano dati i tre centri A, B e C non allineati. Siano a, b e c le lunghezze dei lati BC, CA e AB del triangolo. Allora valgono le disuguaglianze triangolari, cioè (*) a + b c >, a b + c >, a + b + c >. Si considerino ora due circonferenze con centro in A e B, con raggi r A > e r B > : esse sono tra di loro tangenti con interni disgiunti se e soltanto se r A + r B = AB. Infatti, se r A + r B > AB, gli interni non sono disgiunti. Se r A + r B < AB, le circonferenze non sono tangenti. Infine, se r A + r B = AB, allora sono tangenti. Quindi il problema è equivalente a determinare tre raggi r A, r B e r C (positivi) tali che le circonferenze di raggio r A, r B, e r C siano tangenti a due a due, cioè tali che soddisfino il sistema di equazioni r A + r B = c (**) r B + r C = a r C + r A = b. Il sistema (**) si risolve in modo semplice, e si ottiene il sistema r A = 1 ( a + b + c) r B = 1 (a b + c) r C = 1 (a + b c). Ciò significa che se esiste una soluzione, questa è unica. Perché alla soluzione del sistema di equazioni corrisponda una soluzione del problema, è sufficiente che r A, r B e r C siano tutti positivi. Per le disuguaglianze triangolari (*), per ogni scelta dei tre punti A, B e C non allineati la corrispondente soluzione (r A,r B,r C ) ha componenti tutte positive, e quindi esistono uniche le tre circonferenze γ A, γ B e γ C cercate. )

8 Soluzione alternativa: Osserviamo che si ottiene direttamente l esistenza di una soluzione se si considera l incentro I del triangolo ABC, e i piedi A, B e C delle tre altezze passanti per I. Le tre circonferenze cercate sono quelle con centri in A, B e C e passanti rispettivamente per B e C, A e C, A e B (si veda la figura 3). 8/8 C γ C B I A γ A A C B γ B FIGURA 3. Con i medesimi centri A, B e C possono esistere altre soluzioni? Si può procedere di fatto come nel punto precedente, osservando che il sistema lineare nelle r A, r B e r C è non degenere e non può avere più di una soluzione.