x = t y = t z = t 3 1 A = B = 1 2

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1 11/1/05 Teoria: Enunciare e discutere il teorema di Lagrange. Esercizio 1. Determinare l equazione cartesiana del piano passante per P 0 = (1,, 1) e contenente i vettori u = (,, ) e v = (1, 5, 4). Risposta 18x 14y 1t + 59 = 0 Esercizio. Per quale valore di α il piano x + αy 1 z + 5 = 0 e la retta x = 1 1 t y = t z = t risultano paralleli e per quale perpendicolari? Risposta Risultano paralleli per α = Perpendicolari per α = 16. Esercizio. Siano date le matrici 1 1 A = B = 1 1 Determinare la matrice (A B( I) 1.) 0 1 Risposta (A B I) 1 = Esercizio 4. Determinare al variare di α il numero di soluzioni del sistema lineare { x + y = 1 x y = αx y = 1 Risposta Per α 1 nessuna soluzione, per α = 1 una soluzione Esercizio 5. Determinare il dominio e il limite per x della funzione f(x) = x x Risposta Dominio x <. lim x f(x) = Esercizio 6. Determinare gli eventuali punti di massimo e minimo stazionario della funzione f(x) = x e 1 8x Risposta x = 1 4 punto di minimo, x = 1 4 punto di massimo Esercizio 7. Calcolare la derivata della funzione x f(x) = sin x Risposta f (x) = 1 x 1/ sin x x cos x sin x

2 Esercizio 8. Scrivere l equazione della retta tangente al grafico della funzione f(x) = x log x + nel punto x 0 = 1. Risposta y = x + 1 Esercizio 9. Calcolare l integrale x e x dx Risposta I = 1 + k ex Esercizio 10. Calcolare l area della regione finita di piano compresa tra la curva di equazione y = sin x e le rette y = π x + e y = π x. Risposta L area vale 1/1/05 Teoria: Il Teorema di Rouché Capelli. Esercizio 1. Scrivere l equazione cartesiana del piano passante per A = (, 1, 0) e B = (5,, ) e parallelo a u = i k. Risposta 4x 11y 8z + = 0 Esercizio. Dati i vettori u = ( 5, 4, 1), v = (0,, ) e w = (α, 1, ), determinare α R in modo che u v sia perpendicolare a w. Risposta α = Esercizio. Date le matrici A = A T B Risposta A T B 1 = 1 ( ) 1 5 e B = 1 0, calcolare la matrice Esercizio 4. Determinare, al variare del parametro α R, il numero di soluzioni del sistema { x y + z = 5 6x + αy + z = 10 Dare un interpretazione geometrica del risultato ottenuto. Risposta Per α = 4 ho soluzioni. Per α 4 ho 1 soluzioni. Esercizio 5. Trovare il dominio della funzione e determinarne il limite per x +. Risposta lim X + f(x) = 0 f(x) = cos x + 5 e x e

3 Esercizio 6. Trovare il dominio e i punti di massimo e minimo locale della funzione f(x) = x 4 x 4 log x. Risposta Dominio: x > 0. x = 4 punto di massimo Esercizio 7. Calcolare la derivata della funzione f(x) = x log x sin x. Risposta f (x) = (log x+1) sin x x log x cos x x (sin x ) Esercizio 8. Scrivere il polinomio di Taylor del secondo ordine centrato in x 0 = 0 della funzione f(x) = tan x + e x Risposta P (x) = 1 + x 1 Esercizio 9. Calcolare, per parti, log x dx. x Risposta I = 1 x log x x + k Esercizio 10. Calcolare l area della regione di piano individuata dalle curve y = x(x + 1) e y = x(x + 1). Risposta L area vale 5 1//05 Teoria: Definizione di derivata di una funzione in un punto, suo significato geometrico e punti di non derivabilitá. Esercizio 1. a) Determinare la retta passante per i punti A = (, 1, ) e B = (1,, 1). b) Determinare per quale valore di α la retta e il piano x αy + z + 1 = 0 sono paralleli. Risposta { x = 1 + t r = y = t z = 1 t α = 4 Esercizio. Dati i vettori u = (1,, 1), v = (, 1, ) e w = 5i + j + 7k, verificare se i vettori u v e w sono paralleli. Risposta Non sono paralleli Esercizio. Date le matrici A = e B =, calcolare la matrice (A B I) T. 1 Risposta (A B I) T = 1 1 4

4 Esercizio 4. Determinare, al variare del parametro α R, il numero di soluzioni del sistema { x + αy = 4 x y = x y = Risposta Per α nessuna soluzione. Per α = una soluzione. Esercizio 5. a) Determinare il dominio e calcolare la derivata della funzione f(x) = log( x). b) Verificare se la funzione é concava o convessa. Risposta a) x 0 b) la funzione convessa Esercizio 6. Determinare gli eventuali punti di massimo o minimo locale della funzione f(x) = 1 x x. Risposta x = [] 1 punto di massimo Esercizio 7. Determinare la retta tangente alla funzione f(x) = cos x nel punto x 0 = π/4. Risposta y = x π Esercizio 8. Calcolare Risposta Il limite vale 0 Esercizio 9. Calcolare l integrale lim x 1 x 1 log x (1 + x)e x dx. Risposta I = e x (1 + x) Esercizio 10. Calcolare l area della regione di piano individuata dalle funzioni y = x, y = x e l asse y. Risposta L area vale 5 0//05 Teoria: Definizione di derivata puntuale e di derivata di funzione. Esercizio 1. Determinare un vettore perpendicolare al piano contenente i punti A = (, 1, ), B = (1,, 1) e C = (, 1, 1).

5 Risposta Il vettore (4, 8, 5) Esercizio. Determinare α e β in modo che u v +w sia uguale al vettore nullo, essendo u = (, 1, α), v = (1,, 1), w = (β,, β). Risposta α = 0 e β = 1 Esercizio. Date le matrici A = il sistema A X = B. Risposta x = 7 e y = 1 1, B = e X = Esercizio 4. Determinare per quale valore di α la matrice A = α non é invert- 1 ibile. Calcolare l inversa ( per α ) = 5. 5 Risposta A 1 = Esercizio 5. Determinare il dominio della funzione f(x) = x x +. x, risolvere con Cramer y Risposta Il dominio dato da x 1 Esercizio 6. Determinare gli eventuali punti di massimo o minimo locale della funzione f(x) = log x + 1/x. Risposta x = ± sono punti di minimo locale Esercizio 7. Determinare la retta tangente alla funzione f(x) = x + x nel punto x 0 = 1. Risposta y = Esercizio 8. Data la funzione f(x) = e 1/x, calcolarne la derivata e il limite per x 0. Risposta lim x 0 + e 1 x = 0, lim x 0 e 1 x = + Esercizio 9. Calcolare l integrale (1 + x) sin x dx. Risposta I = (1 + x) cos x + sin x + k Esercizio 10. Calcolare l area della regione di piano individuata dalla funzione y = x, dalla retta y = 4 e dall asse y. Risposta L area vale 8 6 8/6/05

6 Teoria: Il Teorema di Rouché Capelli. Esercizio 1. Scrivere l equazione del piano passante per A(1, 0, ) e B(, -1, 1) e parallelo al vettore u = (1, 1, 1). Risposta y-t+4 = 0 Esercizio. Dati i vettori u = (α, 1, 1), v = (, 1, 0) e w = (, 1, ), dire per quali valori del parametro α risultano complanari. Risposta α = Esercizio. Date le matrici A = e B =, calcolare la matrice (A B) ( 1 ) Risposta (A B) 1 = 1 5 Esercizio 4. Determinare, al variare del parametro β R, il numero di soluzioni del sistema { x1 βx + x = 0 x 1 + x x = 0 x 1 + x x = 0 Risposta Per α = 1 ho soluzioni. Per α 1 ho 1 soluzione Esercizio 5. Determinare il dominio e calcolare i limiti agli estremi del dominio della funzione f(x) = tan x x in [0, π]. Risposta Dominio: x 0 x π. Limiti: lim x 0 f(x) = 1, lim x π f(x) = +, lim x π + f(x) = Esercizio 6. Calcolare la derivata della funzione cos x sin x 1 cos x f(x) = log(1 cos x). Risposta f (x) = Esercizio 7. Determinare i punti di massimo e di minimo relativi della funzione f(x) = e x (x 1). Risposta x = 1 punto di massimo, x = 1 + punto di minimo Esercizio 8. Determinare la retta tangente al grafico della funzione nel punto x = 1. Risposta y = 4e x e f(x) = e x +x 1

7 Esercizio 9. Calcolare l integrale e x x dx mediante la sostituzione y = x. Risposta I = e x + k Esercizio 10. Calcolare l area della regione di piano del primo quadrante individuata dalle funzioni y = x, y = x e l asse y. Risposta L area vale 4 15/6/05 Teoria: Teorema di Lagrange e sue conseguenze. Esercizio 1. Scrivere l equazione della retta passante per A(, 1, ) e perpendicolare al piano x y + z = 5. Risposta { x = + t y = 1 t z = + t Esercizio. Dati i vettori u = (α, 1, ), v = (,, ) e w = (1,, 1), dire per quali valori del parametro α risulta u v w =. Risposta α = 0 Esercizio. Date le matrici A = 1 α e B = ( a) calcolare la matrice C = A B, b) determinare se esistono valori di α tali che C risulti invertibile. Risposta a) C = α + α 5α + 4 b) Non esistono valori di α per cui la matrice 1 5 risulti invertibile Esercizio 4. Determinare, al variare del parametro β R, il numero di soluzioni del sistema { x1 + βx = 1 x 1 + x = x 1 + x = Risposta Una soluzione β R Esercizio 5. Determinare il dominio della funzione Risposta x > 0 f(x) = x log x 1 + x. ),

8 Esercizio 6. Calcolare la derivata della funzione f(x) = cos(1 log x). Risposta f (x) = sin ( 1 log x ) log x x Esercizio 7. Determinare i punti di massimo e di minimo relativi della funzione f(x) = e x +x 4. Risposta x = punto di minimo Esercizio 8. Determinare il polinomio di Taylor del primo ordine centrato in x = 0 della funzione cos x x + 1. Risposta P 1 = 1 x Esercizio 9. Calcolare l integrale cos(e x ) e x dx. Risposta I = sin e x + k Esercizio 10. Calcolare l area della regione di piano del secondo quadrante individuata dalle funzioni y = 1 x e y = x + 1. Risposta L area vale 1 6 0/6/05 Teoria: Il calcolo dei limiti con la regola di De L Hôpital Esercizio 1. Determinare per quale valore di k il piano kx y + 4z = 1 e la retta { x = 1 t y = + 6t z = 1 8t sono paralleli e per quale sono perpendicolari. Esercizio. Dati i vettori u = (,, 1), v = ( 1,, 1) e w = ( 5,, 6), verificare se è valida l uguaglianza u v = i + k ( + w. ) 1 Esercizio. Date le matrici A = e B =, calcolare la matrice A 4 1 B. Esercizio 4. Determinare, al variare del parametro k R, il numero di soluzioni del sistema { x1 x + x = 1 x 1 x x = x 1 + kx + x =

9 Esercizio 5. Determinare l equazione della retta tangente alla funzione nel punto x = 0 f(x) = e x Esercizio 6. Determinare il dominio e i limiti agli estremi del dominio della funzione f(x) = 1 1 cos x per valori di x compresi nell intervallo [ π/, π/]. Esercizio 7. Determinare i punti di massimo e di minimo relativi della funzione Esercizio 8. Determinare il seguente limite f(x) = e x /x. lim = e x 1 x 0 ± sin x /9/05 Teoria: Il Teorema de L Hôpital. { x = t Esercizio 1. Dire se la retta r : y = t 1 intersesca, è parallela o è contenuta nel z = 1 + t piano π : x + y z =, giustificando la risposta. Risposta r interseca π Esercizio. Dati i vettori u = (,, 4), v = (1, 0, 1) e w = (1, α, ), determinare α in modo che u + v, u v e w siano complanari. Risposta α = Esercizio. Sia data la matrice A = k a) Stabilire per quali valori del parametro reale k la matrice A è invertibile. b) Posto k = 0 risolvere il sistema AX = 0, dove X = Risposta a) Per k 5 A invertibile b) x, y, z = 0 Esercizio 4. Date le matrici 1 A = B = x y z. C = 1 1

10 e ricordando che con I si indica ( la matrice ) identità, calcolare A (C B) + I. Risposta A (C B) + I = 9 4 Esercizio 5. Studiare il dominio e calcolare la derivata della funzione f(x) = e 9 x. Risposta Dominio: x. f (x) = e 9 x Esercizio 6. Calcolare la derivata della funzione x 9 x f(x) = log(log(1 + sin x)). Risposta f 1 1 (x) = sin x cos x log(1+sin x) 1+sin x Esercizio 7. Studiare la concavità della funzione f(x) = (x 1) 1 precisandone gli (eventuali) punti di flesso. Risposta x = ± 1 sono punti di flesso. Per x < 1 la funzione convessa. Per 1 < x < 1 la funzione concava mentre per x > 1 la funzione convessa. Esercizio 8. Scrivere la formula di Taylor arrestata al secondo ordine per la funzione f(x) = x log x 1 x nel punto (1, f(1)). Risposta P (x) = 1 + (x 1) (x 1) Esercizio 9.Applicando la regola di integrazione per parti, calcolare π 0 x cos x dx. Risposta L integrale vale - Esercizio 10. Calcolare l area della regione finita di piano, del primo quadrante, compresa tra la curva di equazione y = sin x e la retta y = π x. Risposta L area vale 1- π 4 15/9/05 Teoria. Definizione e proprietà delle funzioni continue. Esercizio 1. a) Dato il piano π di equazione x y + 4z = 5, scrivere l equazione parametrica della retta r perpendicolare a π e passante per il punto A = (,, ). b) Dire per quale valore di α R la retta r è perpendicolare a quella di equazione { x = + αt y = 1 t z = t

11 Risposta a) { x = + t r : y = t z = + 4t b) α = Esercizio. Dire per quali valori di α R i vettori u = (1,, 1), v = (, α, 1) e w = (,, 1) risultano complanari. Risposta α = 1 Esercizio. Determinare, al variare del parametro k R, il numero di soluzioni del sistema { x1 + x + x = 1 x 1 + x + x = 1 x 1 + x + kx = 0 Risposta Per k ho una soluzione. Per k = ho 1 soluzioni Esercizio 4. Calcolare l inversa della matrice 1 4 A = Risposta A 1 = Esercizio 5. Calcolare la derivata della funzione f(x) = (tan x) Risposta f (x) = (tan x) 1 cos ( 1 x) x Esercizio 6. Trovare il dominio della funzione x + f(x) = log x 5 e determinarne il limite per x +. Risposta Dominio: x > 5. lim x + f(x) = 0 Esercizio 7. Determinare i punti di massimo e di minimo relativi della funzione f(x) = e x+ (x+1). Risposta x = un punto di minimo, mentre x = 0 di massimo Esercizio 8. Scrivere l equazione della retta tangente al grafico della funzione f(x) = x 5 cos(x 1) nel punto (1, f(1)). Risposta y = 5x 4 Esercizio 9. Calcolare 1 x sin(1 + 1 x ) dx mediante la sostituzione x = y. Risposta I = cos ( x) + k Esercizio 10. Calcolare l area della regione di piano delimitata dalle curve y = sin x e y = sin x sull intervallo [0, π]. Risposta L area vale 4.