A Politecnico di Torino II Facoltà di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche I 13 Gennaio 2009

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1 A Esame di Istituzioni di Matematiche I 13 Gennaio 2009 Determinare l equazione del piano passante per il punto A = (2, 1, 3) e perpendicolare al vettore v dato da v = Au, dove A = , u = π : 2x + 5y 8z + 33 = 0 Esercizio 2. Studiare al variare del parametro k le intersezioni tra i seguenti due piani: Se k = 1 : 1 soluzioni Se k 1 : soluzioni kx + 2y + 4z 3 = 0, x 2y + 4kz = 0. Esercizio 3. 1) Scrivere la definizione di derivata di una funzione f(x) in un punto x 0 ; 2) Date le funzioni: f(x) = 1 x e g(x) = 1 x, scrivere la funzione f(g(x)) e determinarne il dominio e la derivata. f(g(x)) = f( 1 x) = 1 1 x Domf(g(x)) = {x R x < 1} (f(g(x)) = 1 2 (1 x) 3 1) Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di una funzione f(x) nel punto di ascissa x 0 ; 2) Scrivere l equazione della retta tangente alla funzione f(x) = x + log x nel punto x 0 = 1. y = 2x 1

2 1) Definizione di punto critico di una funzione f(x); 2) Determinare la natura dei punti critici della funzione x = Massimo x = Minimo f(x) = e(x 1)2 x 1 Calcolare il seguente limite 1 lim x 0 log(1 + x) cos 2 x 1 + x B Esame di Istituzioni di Matematiche I 13 Gennaio 2009 Determinare l equazione del piano passante per il punto A = ( 1, 3, 2) e perpendicolare al vettore v dato da v = Au, dove A = , u = π : 11x y + 2z + 10 = 0 Esercizio 2. Studiare al variare del parametro k le intersezioni tra i seguenti due piani: Se k 2 : 1 soluzioni Se k = 2 : soluzioni 2x + 2ky + 8z 1 = 0, x 2y 2kz + 3 = 0. Esercizio 3. 1) Scrivere la definizione di derivata di una funzione f(x) in un punto x 0 ; 2) Date le funzioni: f(x) = x 1 e g(x) = log x, scrivere la funzione g(f(x)) e determinarne il dominio e la derivata. g(f(x)) = g( x 1) =log( 1 x) Domf(g(x)) = {x R x > 1} (g(f(x)) = 1 2(x 1)

3 1) Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di una funzione f(x) nel punto di ascissa x 0 ; 2) Scrivere l equazione della retta tangente alla funzione f(x) = x x nel punto x 0 = 1. y = x + 1 1) Definizione di punto critico di una funzione f(x); 2) Determinare la natura dei punti critici della funzione x = 2 2 Massimo x = Minimo Calcolare il seguente limite 1 f(x) = e(x+1)2 x + 1 lim x 0 sin 2 x + x xe x A Esame di Istituzioni di Matematiche I 16 Gennaio ) Prodotto vettoriale: definizione e proprietà. 2) Dati i vettori u = (1, 1, 2) e v = (0, 2, 3), determinare uno o più vettori perpendicolari sia a u che a v ed aventi modulo pari a 2. w = ( 7t, 3t, 2t) con t = ± 1 31 Esercizio 2. 1) Determinare il numero di soluzioni del seguente sistema: 2) Interpretare geometricamente il risultato. Se k = 2 : 1 soluzioni Se k 2 :! soluzione { 2x1 3x 2 + 5x 3 = 0 x 1 + 2x 2 7x 3 = 0 kx 1 2x 2 4x 3 = 0

4 Esercizio 3. 1) Trovare una funzione f(x) tale che il dominio della funzione log(f(x)) sia tutto R. 2) Determinare il dominio di g(x) = log(cosx), per x [0, 2π]. Dom g(x) = {x R 3π 2 < x < 2π} Determinare il dominio e calcolare i limiti agli estremi del dominio di f(x) = log(e x4 +2 x 3 + 3) Domg(x) = R {0} lim x f(x) = + lim x f(x) = 3 lim x 0 + f(x) = + lim x 0 f(x) = 2log3 1) Definizione del polinomio di Taylor di grado n di una funzione f(x) centrato in un punto x 0. 2) Calcolo del polinomio di Taylor di grado 1 centrato in x 0 = 0 di f(0) = 0 f(x) = tan 2 x 2x 2 + 3x + 1. Dire, giustificando la risposta, se la funzione f(x) = e x + 1 è invertibile. In caso di risposta affermativa, disegnare un grafico qualitativo della sua inversa.

5 B Esame di Istituzioni di Matematiche I 16 Gennaio ) Prodotto vettoriale: definizione e proprietà. 2) Dati i vettori u = (2, 0, 1) e v = (3, 2, 1), determinare uno o più vettori perpendicolari sia a u che a v ed aventi modulo pari a 5. w = (2t, 5t, 4t) con t = ± 1 3 Esercizio 2. 1) Determinare il numero di soluzioni del seguente sistema: 2) Interpretare geometricamente il risultato. Se k = 3 : 1 soluzioni Se k 3 :! soluzione { 5x1 x 2 + x 3 = 0 2x 1 + 3x 2 4x 3 = 0 kx 1 + 4x 2 5x 3 = 0 Esercizio 3. 1) Trovare una funzione f(x) tale che il dominio della funzione 2) Determinare il dominio di g(x) = 1 sin x, per x [0, 2π]. Dom g(x) = {x R 0 < x < π} 1 f(x) sia tutto R. Determinare il dominio e calcolare i limiti agli estremi del dominio di Domg(x) = R {0} lim x f(x) = + lim x f(x) = log5 lim x 0 + f(x) = + lim x 0 f(x) = log5 f(x) = log(e x2 +1 x + 5)

6 1) Definizione del polinomio di Taylor di grado n di una funzione f(x) centrato in un punto x 0. 2) Calcolo del polinomio di Taylor di grado 1 centrato in x 0 = 0 di f(x) = arctan2 x 5x 3 3x + 2. f(0) = 0 Dire, giustificando la risposta, se la funzione f(x) = x è invertibile. In caso di risposta affermativa, disegnare un grafico qualitativo della sua inversa. A Esame di Istituzioni di Matematiche I 3 Febbraio 2009 Sono dati i vettori u = (k, 1, 3) e v = ( 2, 2, 6). a) Determinare per quale valore di k il vettore u e perpendicolare al vettore v. b) Posto k = 1, scrivere l equazione cartesiana del piano passante per A = (2, 1, 3) e perpendicolare a u. c) Scrivere l equazione parametrica della retta parallela a v e passante per B = ( 1, 2, 3). d) In che relazione stanno il piano e la retta (paralleli, perpendicolari...)? a)k = 10 b)x y + 3z 10 = 0 { x = 1 2t c) y = 2 + 2t z = 3 6t d) Sono incidenti Esercizio 2. Sono date le matrici A = ( ) 2 3, B = 4 1 ( ) a) Determinare gli autovalori di A. b) Calcolare C = (A B I). c) Calcolare C 1. d) Data una matrice quadrata n n, dire quando e invertibile. a)λ = {2; ( 5} ) 9 13 b)c =. 6 10

7 c)c 1 = ( 1 12 ) ( ). Esercizio 3. Data la funzione f(x) = 1 log(x 2). 1) Determinarne il dominio. 2) Determinare il segno della derivata. 3) Motivando la risposta, dire se la funzione e invertibile o meno. a)domf(x) = (2, 3) U (3, + ) b)f (x) < 0 Calcolare nell intorno del punto x = 1 il polinomio di Taylor di secondo grado della funzione f(x) = cos[x(1 + π) 1]. f(x) = (1 + π)2 (x 1) 2 + o((x 1) 2 )) 1) Definizione di punto di flesso. 2) Determinare il punto critico e il punto di flesso della funzione f(x) = xe x. x = 1 P.to critico x = 2P.to di flesso 1) Enunciare il teorema di Lagrange. 2) Data la funzione f(x) = x 2 5x + 2, determinare per quale punto e soddisfatto il teorema di Lagrange nell intervallo [0, 2]. x = 1

8 B Esame di Istituzioni di Matematiche I 3 Febbraio 2009 Sono dati i vettori u = (3, k, 2) e v = ( 6, 2, 4). a) Determinare per quale valore di k il vettore u e perpendicolare al vettore v. b) Posto k = 1, scrivere l equazione cartesiana del piano passante per A = (1, 2, 3) e perpendicolare a u. c) Scrivere l equazione parametrica della retta parallela a v e passante per B = (2, 1, 3). d) In che relazione stanno il piano e la retta (paralleli, perpendicolari...)? a)k = 13 b)3x + y 2z + 1 = 0 { x = 2 6t c) y = 1 2t z = 3 + 4t d) Sono perpendicolari Esercizio 2. Sono date le matrici A = ( ) 1 3, B = 3 1 a) Determinare gli autovalori di A. b) Calcolare C = (A B I). c) Calcolare C 1. d) Data una matrice quadrata n n, dire quando e invertibile. a)λ = { 2; ( 4} ) 9 6 b)c =. 8 9 c)c 1 = ( 1 33 ) ( ). ( ) Esercizio 3. Data la funzione f(x) = 1 e x ) Determinare in quale punto di R la funzione non e definita. 2) Calcolare il limite della funzione per x. 3) Motivando la risposta, dire se la funzione e invertibile o meno. a)x = 2 b)lim = 1 c)f (x) < 0

9 Calcolare nell intorno del punto x = 1 il polinomio di Taylor di secondo grado della funzione f(x) = log[x(1 + e) 1]. f(x) = e e (x 1) 1 2 (1+e e 2 ) 2 (x 1) 2 + o((x 1) 2 )) 1) Definizione di punto di flesso. 2) Determinare il punto critico e il punto di flesso della funzione f(x) = xe x. x = 1 P.to critico x = 2P.to di flesso 1) Enunciare il teorema di Lagrange. 2) Data la funzione f(x) = x 2 + 3x 2, determinare per quale punto e soddisfatto il teorema di Lagrange nell intervallo [0, 2]. x = 1 A Esame di Istituzioni di Matematiche I 17 Aprile 2009 a) Indicare la formula per il calcolo dell angolo tra due vettori dati u e v. b) Definire il prodotto misto tra tre vettori c) Determinare per quali valori di α i tre vettori u = (2, 1, α), v = (1, 2, α) e w = ( 1, 2, 0) sono complanari. α = 0 Esercizio 2. Sono dati i due punti A = (3, 1, 2), B = (1, 2, 3) e il vettore u = ( 1, 4, 3). a) Determinare l equazione del piano che contiene sia i due punti che il vettore. b) Scrivere l equazione parametrica della retta passante per A e parallela a u. a)π = x + 7y + 9z 14 { x = 3 t b) y = 1 + 4t z = 2 + 3t c) Sono perpendicolari

10 Esercizio 3. Data la funzione f(x) = sin 1 log x. 1) Determinarne il dominio. 2) Calcolare la derivata. 3) Determinare il dominio della derivata. a)x e b)f (x) = (cos 1 logx) logx ( 1 x ) c)0 < x < e 1) Dare la definizione di retta tangente. 2) Determinare la retta tangente alla funzione nel punto x = π/4 y = 4x π + 2 f(x) = 1 cos 2 x, a) Enunciare il teorema di De L Hôpital. b) Calcolare il seguente limite lim = 0 lim x 0 x 3 3x 2 x 2 sin x 1) Determinare i punti critici della funzione 2) Determinare la loro natura. x = 0 P.to di massimo y = 1 e x3.

11 B Esame di Istituzioni di Matematiche I 17 Aprile 2009 a) Indicare la formula per il calcolo dell angolo tra due vettori dati u e v. b) Definire il prodotto misto tra tre vettori c) Determinare per quali valori di α i tre vettori u = (α, 2, 2), v = ( 2α, 2, 1) e w = (0, 3, 2) sono complanari. α = 0 Esercizio 2. Sono dati i due punti A = (2, 1, 3), B = (3, 1, 1) e il vettore u = (2, 3, 4). a) Determinare l equazione del piano che contiene sia i due punti che il vettore. b) Scrivere l equazione parametrica della retta passante per A e parallela a u. a)π = 4x + 4y + z + 9 = 0 { x = 2 + 2t b) y = 1 + 3t z = 3 4t d) Sono perpendicolari Esercizio 3. Data la funzione f(x) = cos 1 e x. 1) Determinarne il dominio. 2) Calcolare la derivata. 3) Determinare il dominio della derivata. a)x e b)f (x) = (sin 1 e x ) e x ( e x ) c)x < 0 1) Dare la definizione di retta tangente. 2) Determinare la retta tangente alla funzione nel punto x = π/4 f(x) = 1 sin 2 x,

12 a)y = 4x + π + 2 a) Enunciare il teorema di De L Hôpital. b) Calcolare il seguente limite lim = 0 log(x + 1) x lim x 0 sinx x 2 1) Determinare i punti critici della funzione 2) Determinare la loro natura. x = 0 P.to di massimo y = 1 e x2. Esame di Istituzioni di Matematiche I 12 Giugno 2009 a) Enunciare il teorema di Rouché Capelli nel caso particolare di un sistema omogeneo. b) Determinare il numero di soluzioni del seguente sistema: c) Interpretare geometricamente il risultato. { 3x1 + kx 2 2x 3 = 0 x 1 2x 2 5x 3 = 0 kx 1 2x 2 4x 3 = 0 1 soluzione k Esercizio 2. 1) Scrivere l equazione cartesiana del piano π soddisfacente le seguenti condizioni: passante per A = (1, 0, 3) e B = ( 1, 2, 3) e parallelo a u = 2j + 3k. 2) Determinare i vettori ortogonali al piano π di modulo 2. 3) Dare la definizione e una regola di calcolo del modulo di un vettore. a)π = 18x + 6y 4z 6 = 0 b) z = (18α, 6α, 4α) con α = ± 1 94

13 Esercizio 3. Data la funzione f(x) = e2x3 1 log(cosx), 1) determinarne il dominio, per x [0, 2π]; 2) calcolare lim x 0 + f(x); 3) calcolare f (x). a)x [0, 2π] b)lim = 0 3 b) e2x 6x 2 log(cosx) (e 2x3 1 1) cosx ( sinx) (log(cosx)) 2 Data la funzione f(x) = x 3 3, 1) disegnare il suo grafico; 2) dire se è invertibile, giustificando la risposta; 3) scrivere l equazione della retta tangente al suo grafico nel punto di ascissa x = 1. b)e invertibile perche iniettiva c)y = 3x 1 1) Definire il polinomio di Taylor di ordine n centrato in x 0 di una funzione f(x). 2) Scrivere il polinomio di Taylor del quarto ordine centrato in zero della funzione f(x) = 3xe x. 3x + 3x x x4 + o(x 4 ) 1) Dare la definizione di intervalli di concavità e convessità di una funzione f(x). 2) Studiare la concavità della funzione f(x) = x 4 6x x 2 12x + 27 precisandone gli (eventuali) punti di flesso. x = {1; 2} P.ti di flesso

14 Esame di Istituzioni di Matematiche I 3 Luglio 2009 Sono dati i vettori u = (2, 1, 3) e v = (2, k, 1). a) Determinare per quale valore di k il vettore u e perpendicolare al vettore v. b) Determinato cosi k, scrivere l equazione cartesiana del piano passante per A = ( 1, 1, 3) e perpendicolare a v. c) Scrivere l equazione parametrica della retta parallela a u e passante per B = (2, 6, 3). d) In che relazione stanno il piano e la retta (paralleli, perpendicolari...)? e) Definire il prodotto vettoriale. a)k = 7 b)π = 2x 7y z 2 = 0 { x = 2 + 2t c) y = 6 + t z = 3 3t d)paralleli Esercizio 2. a) Enunciare la regola di Cramer. b) Date le matrici A = ( ) ( ) 2 k 2 3, B =. 3 1 k 2 determinare per quale valore di k la matrice A B non e invertibile. c) Posto k = 1, calcolare (A B) 1 3I. b)k = 3 ( 11 c)c = ) Esercizio 3. Data la funzione a) Determinarne il dominio. b) Calcolarne la derivata. c) Calcolarne il limite per x +. f(x) = a)domf(x) = (1, 2)U(2, + ) b)f (x) = log(x 1) x 1 x 1 log 2 (x 1) c)lim = + x log(x 1).

15 Data la funzione f(x) = sin(2x) 1 a) Disegnarne il grafico nell intervallo [ π/2, π/2]. b) Calcolarne la retta tangente nel punto π/2. y = 2x + π 1 a) Enunciare il teorema di Rolle. b) Determinare per quale punto c, nell intervallo [0, 1], la funzione f(x) = 2x soddisfa il teorema di Lagrange. c = Discutere la eventuale monotonia della funzione Sempre crescente f(x) = e x2 1 2x Esame di Istituzioni di Matematiche I 10 Settembre 2009 Sono dati il vettore u = ( 1, 2, 4), e i punti P 1 (2, 1, 3) e P 2 (4, 2, 1). a) Determinare il piano contenente il vettore e i due punti. b) Scrivere l equazione della retta perpendicolare al piano e passante per P 2. c) Definire il prodotto misto di tre vettori. a)(4, 4, 1) b)π = 4x + 4y + z 9 = 0 { x = 4 + 4t c) y = 2 + 4t z = 1 + t

16 Esercizio 2. a) Enunciare il Teorema di Rouché-Capelli. b) Determinare α R in modo che il sistema abbia un unica soluzione. α = 2 { αx + 2y = 0 αx y = 3 2x + 3y = 5 Esercizio 3. a) Enunciare il Teorema di de L Hôpital; b) Calcolare il seguente limite lim = 0 x sinx lim x 0 tan 2 x. a) Definire la retta tangente il grafico di una funzione f(x); b) Scrivere l equazione della retta tangente alla funzione f(x) = 1 sin x tanx y = x( 2 2 2) π π 2 nel punto di ascissa x = π 4. a) Disegnare i grafici delle seguenti funzioni: log x, log x + 2, log x 3, log(x 1), log(x + 4). b) Dire, giustificando la risposta, se sono funzioni derivabili o no. Determinare gli eventuali punti di massimo o minimo locale della funzione f(x) = x 3 4 log x 5. x = P.to di min locale