1) Calcolare, se esiste, il limite seguente. 1 cos x + log(1 + x) lim 1) 2) Dire per quali numeri reali x converge la serie. ( 1) n ( e 1 n 1.

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1 Prova scritta di Analisi Matematica I del giorno Appello riservato a studenti fuori corso o ripetenti 1) Calcolare, se esiste, il ite seguente 1 cos x + log(1 + x) x 0+ x(e x 1) ) Dire per quali numeri reali x converge la serie ( 1) n ( e 1 n 1 ) x n studiarla e disegnarne il grafico. 4) Calcolare f(x) = x + 1 x 3 dx e x x + x 1

2 Prova scritta di Analisi Matematica I - C.1 del giorno ) Calcolare, se esiste, il ite seguente ) Studiare la serie (1 cos x)(sin x + x cos x) x 0+ (x x + sin x) sin x al variare del parametro reale α. studiarla e disegnarne il grafico. [ log 1 + ] n + 1 n 1 n α f(x) = arcsin x x + 1 4) Calcolare π 4 0 x sin x cos 4 x dx

3 Prova scritta di Analisi Matematica I - C. del giorno ) Calcolare, se esiste, il ite seguente ) Studiare la serie al variare del parametro reale α. studiarla e disegnarne il grafico. (1 cos 3 x)(arcsin x + x cos x) x 0+ (x sin x + x)x sin x [ ] n+1 n 1 e n α 1 f(x) = arccos x x + 1 4) Calcolare π π 4 x cos x sin 4 x dx

4 Prova scritta di Analisi Matematica I - C.3 del giorno ) Calcolare, se esiste, il ite seguente ) Studiare la serie x 0+ (1 cos x)(x + sin x cos x) (sin x x + sin x) arcsin x [ ] n + 1 n 1 arcsin al variare del parametro reale α. studiarla e disegnarne il grafico. f(x) = arcsin n α x x + 1 4) Calcolare π 4 0 sin x cos 3 x dx

5 Prova scritta di Analisi Matematica I - C.4 del giorno ) Calcolare, se esiste, il ite seguente ) Studiare la serie x 0+ (1 cos 3 x)(x + arctg x cos x) (x arcsin x + sin x) arcsin x sin x [ ] n + 1 n 1 arctg al variare del parametro reale α. studiarla e disegnarne il grafico. f(x) = arccos n α x x + 1 4) Calcolare π π 4 cos x sin 3 x dx

6 Prova scritta di Analisi Matematica I - Prova di recupero del giorno N.B. I candidati hanno a disposizione 45 minuti per svolgere l esercizio loro assegnato. Si raccomanda di scrivere il proprio nome e cognome A STAMPATELLO su ognuno dei fogli che saranno consegnati. 1) Studiare la funzione e disegnarne il grafico ) Calcolare l integrale seguente f(x) = ( ) x + 1 log x dx x (log x + 1) log x + log x +

7 Prova scritta di Analisi Matematica I - C.1 del giorno ) Data la successione seguente a n = n + 1 n + 3 n N calcolarne gli estremi inferiore e superiore. ) Studiare la serie al variare dei parametri reali positivi α e β. [ ( 1 + sin 1 ) ] β n α 1 f(x) = arctg 3 x(1 x) determinare l insieme immagine dell intervallo [0, + [ tramite f. 4) Calcolare l integrale improprio seguente 1 1 x x x 1 dx

8 Prova scritta di Analisi Matematica I - C. del giorno ) Data la successione seguente a n = n + 1 n + 3 n N calcolarne gli estremi inferiore e superiore. ) Studiare la serie al variare dei parametri reali positivi α e β. [ ( 1 + arctg 1 ) ] β n α 1 ( f(x) = log 1 + ) x 1 logx determinare l insieme immagine dell intervallo [1, + [ tramite f. 4) Calcolare l integrale improprio seguente x 3x + dx

9 Prova scritta di Analisi Matematica I - C.3 del giorno ) Data la successione seguente a n = 3n + n + 3 n N calcolarne gli estremi inferiore e superiore. ) Studiare la serie al variare dei parametri reali positivi α e β. f(x) = [ ( 1 + tg 1 ) ] β n α 1 x 1 + arctg x x 1 determinare l insieme immagine dell intervallo [1, + [ tramite f. 4) Calcolare l integrale improprio seguente + 1 arctg 1 x x 3 dx

10 Prova scritta di Analisi Matematica I - C.4 del giorno ) Data la successione seguente a n = n + 3 n + 4 n N calcolarne gli estremi inferiore e superiore. ) Studiare la serie al variare dei parametri reali positivi α e β. [ ( 1 + arcsin 1 ) ] β n α 1 ( f(x) = arctg x ) x + x determinare l insieme immagine dell intervallo [0, + [ tramite f. 4) Calcolare l integrale improprio seguente x 1 log x x dx

11 Prova scritta di Analisi Matematica I per studenti Fuori Corso o Ripetenti del giorno ) Calcolare il ite seguente n [ n + n n ] n. ) Studiare la serie al variare del parametro reale positivo α. 3) Disegnare il grafico della funzione logn + n n α + 1 f(x) = x + 3 x ) Calcolare l integrale π 0 dx cos x

12 Prova scritta di Analisi Matematica I del giorno ) Provare l uguaglianza n k=1 ( 1 ) 35 = (k + 5)(k + 6) n(6n + 1) 6(n + 6) n N. ) Calcolare il ite seguente x 0 sin(7x) 7 sin x x cosh x sinh x 3) Date le funzioni f(x) = x 5 + x + x + 3, g(x) = arcsin 1 x 1 + x determinarne i rispettivi campi di esistenza. Quindi determinare l insieme immagine di f e gli intervalli di monotonìa di g, per quest ultima precisando se esistono punti del campo di esistenza in cui g non esiste. 4) Calcolare l integrale seguente π 0 dx 3 sin x + 4 cos x + 13

13 Prova scritta di Analisi Matematica I del giorno ) Studiare la serie numerica n α n 3 1 al variare del parametro reale α. ) Calcolare i iti seguenti 3) Studiare la funzione 3 log[(x 1) ] (x ) x + (x 4) 5 f(x) = (x 6x + 9), [ x 3 + e (x 9) 1 ] 4. x ex e x 1 e disegnarne il grafico. Può essere omesso lo studio della derivata seconda. 4) Calcolare le primitive della funzione nel campo di esistenza. g(x) = e x cosh x sinh x

14 Prova scritta di Analisi Matematica I del giorno ) Studiare la serie numerica ) Calcolare il ite seguente ( 1) n n arctg n n. + 3n 1 x 0 + sin x 1 x. f(x) = 1 x x determinarne il campo di esistenza. Dire poi in quali punti essa è derivabile, giustificando la risposta. Determinare massimo e minimo assoluti di f nel proprio campo di esistenza, se esistono. 4) Determinare una funzione f : ], + [ \ {1} R derivabile tale che (1) f (x) = x x+8 x 3 +x +3x 5 x ], + [ \ {1} () f(0) = 3 arctg 1, f( 3 1) = log ( 3 ).

15 Prova scritta di Analisi Matematica I del giorno ) Studiare la serie numerica 1 n + 3n determinandone la somma nel caso in cui converga. ) Calcolare il ite seguente (e x e) x 1 + (x 1) sin(π x). studiarla e disegnarne il grafico. 4) Calcolare l integrale seguente f(x) = x x 1 e x arctge x (1 + e x ) dx.