Il polinomio di Taylor di grado 1.

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1 Analisi Matematica Ingegneria Informatica Gruppo 4, canale 6 Argomenti 26 ottobre 207 Il polinomio di Taylor di grado.. Esercizio. Sia f() una funzione derivabile in a. Se poniamo otteniamo con facili passaggi: ε = ε() = f() f(a) a f (a) f() = f(a) + f (a) ( a) + ε ( a) () ove ε è una funzione di tale che ε = 0. a La formula () si chiama formula (sviluppo) di Taylor di punto iniziale a con il resto del primo ordine nella forma di Peano. Il polinomio p () = f(a) + f (a) ( a) è il polinomio di primo grado che meglio approssima f, nel senso che il suo valore e quello della sua derivata prima coincidono in a con quelli di f. Tale polinomio si chiama polinomio di Taylor di grado della funzione f, con punto iniziale a. In [s] esso viene chiamato linearizzazione di f in a. Il termine ε ( a), che è infinitesimo di ordine superiore al primo per a, non ci dice nulla sull errore che commettiamo valutando i valori del polinomio al posto dei valori della funzione. 2. Esercizio. Nel caso a = 0 la formula di Taylor si chiama formula di Maclaurin. Riconoscere la correttezza delle seguenti formule, ove ε è una funzione infinitesima per t 0: e t = + t + ε t sin t = t + ε t cos t = + ε t ( + t) α = + αt + ε t log( + t) =... arctan t = Esercizio. Usando gli sviluppi di Taylor, determinare gli asintoti obliqui a + delle seguenti funzioni: log(2 + 4 ) 4. Esercizio. Esercizio importante. Studiare la dispensa: 5. Esercizio. Esercizio importante. Studiare gli sviluppi asintotici dal formulario di Analisi : 6. Esercizio. Ricordare che funzioni dello stesso ordine (in particolare funzioni asintotiche) hanno gli stessi o-piccoli. 7. Esercizio. Usando gli sviluppi di Taylor/Maclaurin, determinare i seguenti iti: sin ( ( 2 log + ) ) tan cos sin + 2 e 2 + sin 3 (e ) 3 log 2 ( + ) cos log 3 ( ) cos log( ) sin 2

2 8. Esercizio. Svolgere gli esercizi sugli sviluppi di Taylor che si trovano in: 9. Esercizio. Usando gli sviluppi di Taylor/Maclaurin, determinare i seguenti iti: e e 3 sin 2 4 cos sin 2 2 log cos + sin tan( ) sin( ) ( ) 2 + log(2 2 ) sin e + 2 cos ( sinh 3 cos ) + 3 log( + sin ) e Esercizio. Al variare di α, β > 0 calcolare: (sin β)( cos α) (2 β ) 2 log(α + β). Esercizio. Da (Esercizi settimanali, Foglio 7) svolgere tutti gli esercizi. 2. Esercizio. Svolgere gli esercizi delle pagine seguenti. 2

3 Analisi Matematica , Canali 2 e 3 F. Albertini, G. Colombo Usando la scala degli infiniti e/o i iti fondamentali (o sviluppi al primo ordine), calcolare i seguenti iti: [R = 0] [R = + ] log( + sin ) 44 log ( ) + e cos e sin log ( + 3) [R = ] [R = 0] [R = /3] + log [R = ] π log / + [R log log (e + 2) + sin ( + ) sin 5 + sin sin cos 2. = + ] [R = ] [R = 5] [R = + ]

4 sin sin(2) 2. [R = 0] log(log ) + log. [R = 0] Calcolare al variare del parametro α R +. sin(tan( 2)). sin( 2) [R = ] [R = ] [R = 3/2] [R = + ] e α2 + 5 sin +0 2 [R = α] 8. Calcolare al variare dei parametri α, β R cos(α) cos(β) 2 [R = β2 α 2 2 ] 9. Calcolare al variare del parametro a > 0 a sin(e ) [ se a < 7 allora R = 0, se a = 7 allora R =, se a > 7 allora R = + ]

5 Analisi Matematica , Canali 2 e 3 F. Albertini, G. Colombo. Determinare l ordine di infinitesimo di tan( + 3 ) + 4 /3 per 0 + e calcolare il seguente ite al variare del parametro a > 0: + a sin 2 + e 2 tan( + 3 ) + 4 /3 2. Calcolare il seguente ite: ( ) e 2 + cos( 2) + ( 2)4 sin log( ) ( 2) 3. Determinare l ordine di infinitesimo di a log( 2 ) 2 tan 2 per 0 + al variare del parametro a > 0 e calcolare il seguente ite al variare del parametro a > 0: e 4 2 a log( 2 ) 2 tan Calcolare per ogni valore reale del parametro α il ite + α 2 2 log() + sin() 4 log( + ) + e 2 + α. 5. Determinare l ordine di infinitesimo di (log 2) + 3 sin ( ) per 0 + e calcolare per ogni valore reale del parametro α il ite 6. a) Dato il ite calcolare ( n 2 + log(n!) + cos n) ( sin n b) [FACOLTATIVO] Dimostrare a) (log 2) + 3 sin ( ) sin(α 2 ) + (cos ) 2. + e 3/2 log(n!) n n 2 = 0, () ( ) log(n + ) arctan n ( ) ) log(n ). n

6 Risultati Esercizio n. Ordine di infinitesimo = 3, valore del ite: a < 3 3/4 a = 3 0 a > 3. Esercizio n.2 Esercizio n.3 Ordine di infinitesimo: Valore del ite: Ris. 0 a a < 2 4 a = 2 2 a > 2. 0 a < 2 a = 2 /4 a > 2. Esercizio n.4 Esercizio n.5 { 2/3 α = 0 0 α 0 Ordine di infinitesimo = 2, valore del ite: { + α = 0 log 2 α α 0 Esercizio n.6 Si ha log(n!) = log n + log(n ) log 2 = Siccome log n = o(n) per n, allora n log(n!) n 2 = 0. Il ite è 2. n log k n log n. k=

7 Analisi Matematica Canali e 2 F. Albertini, G. Colombo Esercizi sui iti, parte 3. Determinare l ordine di infinitesimo di tan( + 3 ) + 4 /3 per 0 + e calcolare il seguente ite al variare del parametro a > 0: + a sin 2 + e 2 tan( + 3 ) + 4 /3 2. Determinare l ordine di infinitesimo di a log( 2 ) 2 tan 2 per 0 + al variare del parametro a > 0 e calcolare il seguente ite al variare del parametro a > 0: e 4 2 a log( 2 ) 2 tan Calcolare per ogni valore reale del parametro α il ite + α 2 2 log() + sin() 4 log( + ) + e 2 + α. 4. Determinare l ordine di infinitesimo di (log 2) + 3 sin ( ) per 0 + e calcolare per ogni valore reale del parametro α il ite (log 2) + 3 sin ( sin(α 2 ) + (cos ) 2. + e 3/2 5. Calcolare al variare del parametro a > 0 il ite ( ) 2 3a log + e arcsin2 () + cos log( sinh ) 6. Calcolare il ite seguente: n + 5n! 5 n ( ) 2+n3 n 3 log + n 2n 2 log( + n) ) n n3 7. Per ogni valore di α R determinare il ite seguente: 2 sin(α) + 3 sin + 2 cos( ) + 8. Determinare l ordine di infinitesimo di + tan 3 ( n) e sin 3 ( n) per n +, e calcolare il ite della successione a n = + ( ) tan3 n e sin 3 ( n) ) e sin2 ( n) 2 e n 2 n 3+a ( per n + al variare del parametro a R.