Polinomio di Taylor.

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1 Polinomio di Taylor. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova 20 novembre 2015 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 1/ 55

2 Polinomio di Taylor Dalla teoria della derivazione, sappiamo che se f : (a, b) R è derivabile in x 0 (a, b) allora cioè f (x 0 ) = x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0 ( ) f (x) f (x0 ) 0 = f (x 0 ) x x0 x x 0 ( f (x) f (x0 ) f ) (x 0 )(x x 0 ) = x x0 x x 0 ovvero, f (x) f (x 0 ) f (x 0 )(x x 0 ) = o(x x 0 ) e quindi, f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + o(x x 0 ). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 2/ 55

3 Polinomio di Taylor La scrittura f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + o(x x 0 ). dice che in un intorno di x 0 la funzione f si può approssimare con il polinomio di primo grado f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ). Problema. Se più in generale la funzione f : (a, b) R è differenziabile n volte, esiste un polinomio di grado n che approssima f in un intorno di x 0, ovviamente meglio del polinomio di primo grado sopra indicato f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 )? Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 3/ 55

4 Formula di Maclaurin La scrittura f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + o(x x 0 ). nel caso particolare x 0 = 0 diventa f (x) = f (0) + f (0)(x) + o(x). e si chiama formula di Maclaurin di grado 1. Per la formula di Maclaurin di grado n cercheremo T n, polinomio di grado n, tale che più in generale per x 0. f (x) = T n (x) + o(x n ) Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 4/ 55

5 Formula di Maclaurin Definizione (Formula di Maclaurin (o Mac Laurin o MLaurine), 1717) Sia f : (a, b) R derivabile n volte in 0. Allora la scrittura f (x) = n k=0 è nota come formula di Maclaurin. Inoltre n k=0 si chiama polinomio di Maclaurin. f (k) (0) x k + o(x n ) k! f (k) (0) x k k! Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 5/ 55

6 Formula di Maclaurin. Esempio 1. Esempio Calcolare il polinomio di Maclaurin di di ordine n. Svolgimento. f (x) = e x Essendo f (k) (x) = e x per ogni k N, naturalmente f (k) (0) = e 0 = 1 e quindi da T n (x) = n f (k) (0) k=0 k! x k ricaviamo n k=0 x k k! = 1 + x + x x n n!. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 6/ 55

7 Formula di Maclaurin. Esempio Figura : In alto. La funzione e x in [ 1, 1] (in nero), la formula di Maclaurin T k di grado 1 (in verde), la formula di Maclaurin di grado 2 (in rosso), la formula di Maclaurin di grado 3 (in magenta). In basso. L errore assoluto e x T k (x) in [ 1, 1], relativamente alla formula di Maclaurin T k di grado 1 (in verde), la formula di Maclaurin di grado 2 (in rosso), la formula di Maclaurin di grado 3 (in magenta). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 7/ 55

8 Formula di Maclaurin. Esempio 1. Nota. Notiamo dalla figura che La qualità dell approssimazione migliora al crescere del grado del polinomio di Maclaurin. L approssimazione è buona solo in un intorno di 0. L errore assoluto vicino a 0 è piccolo, ma non è così in x = 1. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 8/ 55

9 Formula di Maclaurin. Esempio 2. Esempio Calcolare il polinomio di Maclaurin di di ordine n. Svolgimento. Da f (x) = sin(x) f (k) (x) f (k) (0) f (0) (x) = sin(x) f (0) (0) = 0 f (1) (x) = cos(x) f (1) (0) = 1 f (2) (x) = sin(x) f (2) (0) = 0 f (3) (x) = cos(x) f (3) (0) = 1 f (4) (x) = sin(x) f (4) (0) = Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 9/ 55

10 Formula di Maclaurin. Esempio 2. abbiamo da T n (x) = n f (k) (0) k=0 k! x k T n (x) = x x 3 3! + x 5 5! x 7 x 2n ( 1)n 7! 2n + 1! e quindi per x 0 sin(x) = x x 3 3! + x 5 5! x 7 x 2n ( 1)n 7! 2n + 1! + o(x n ). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 10/ 55

11 Formula di Maclaurin. Esempio Figura : In alto. La funzione sin(x) in [ 1, 1] (in nero), la formula di Maclaurin T k di grado 1 (in verde), la formula di Maclaurin di grado 2 (in rosso), la formula di Maclaurin di grado 3 (in magenta). In basso. L errore assoluto sin(x) T k (x) in [ 1, 1], relativamente alla formula di Maclaurin T k di grado 1 (in verde), la formula di Maclaurin di grado 2 (in rosso), la formula Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 11/ 55

12 Formula di Maclaurin. Esempio 2. Nota. Notiamo dalla figura che La qualità dell approssimazione migliora al crescere del grado del polinomio di Maclaurin. L approssimazione è buona solo in un intorno di 0. L errore assoluto vicino a 0 è piccolo, ma non è così in x = 1 (evidente nel caso T 1 ). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 12/ 55

13 Formula di Maclaurin. Esercizio. Esercizio Mostrare che log(1 + x) = x x x 3 3 x 4 Nota. Valutiamo log(1.2) tramite log(1 + x) = x x ( 1)n 1 x n 2 + x 3 3 x x n ( 1)n 1 Grado Maclaurin Errore Assoluto n + o(x n ). n + o(x n ) Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 13/ 55

14 Formula di Maclaurin. Esercizio. Nota. Valutiamo log(6) tramite log(1 + x) = x x x 3 3 x ( 1)n 1 x n Grado Maclaurin Errore Assoluto n + o(x n ) Questa tabella ci dice che ha senso approssimare il log(1 + x) con la formula di Maclaurin, solo per x 0. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 14/ 55

15 Formula di Taylor. Definizione (Formula di Taylor, 1715) Sia f : (a, b) R derivabile n volte in x 0 (a, b). Allora la scrittura f (x) = n k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k + o((x x 0 ) n ) k! è nota come formula di Taylor di ordine n, centrata in x 0, con resto di Peano. Inoltre n k=0 si chiama polinomio di Taylor. f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 15/ 55

16 Formula di Taylor. Teorema Siano f : [a, b] R e x 0 [a, b]. Se f è n volte derivabile in [a, b]; f è n + 1 volte derivabile in [a, b]\x 0 ; f (n) è continua in [a, b] allora per ogni x [a, b]\x 0 esiste ξ(x) tra x e x 0 tale che f (x) = T n (x) + (x x 0) n+1 f (n+1) (ξ(x)) (n + 1)! dove T n è il polinomio di Taylor di ordine n e centro x 0 della funzione f. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 16/ 55

17 Formula di Maclaurin. Teorema Valgono le seguenti formule di Maclaurin: e x = 1 + x + x x n n! + o(x n ); sin(x) = x x x 5 2n+1 x 5! ( 1)n (2n+1)! + o(x 2n+2 ); cos(x) = 1 x x 4 2n x 4! ( 1)n (2n)! + o(x 2n+1 ); sinh(x) = x + x x 5 5! x 2n+1 (2n+1)! + o(x 2n+2 ); cosh(x) = 1 + x x 4 4! x 2n (2n)! + o(x 2n+1 ); log(1 + x) = x x x ( 1)n+1 x n n + o(x n ); (1+x) α = 1+α x+ α(α 1)x α(α 1)(α 2)x 3 α 3! +...+( n ( ) α dove per ogni α R, n 0, n ) x n +o(x n ) = α(α 1)(α 2)...α(α 1)(α n+1) n! ; Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 17/ 55

18 Formula di Maclaurin. arctan(x) = x x x 5 2n+1 x ( 1)n (2n+1) + o(x 2n+2 ); tan(x) = x + x x 5 + o(x 6 ); arcsin(x) = x + x x 5 + o(x 6 ); tanh(x) = x x x 5 + o(x 6 ). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 18/ 55

19 Su o(f (x)). Ricordiamo le seguenti Notazione. Definizione f (x) = o(g(x)) per x x 0 x x0 f (x) g(x) = 0. Se x x0 f (x) = 0, x x0 g(x) = 0 e f = o(g) allora f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a g per x x 0. Esempio Si mostra facilmente che x 2 = o(x) per x 0; x 5 = o(x) per x 0; Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 19/ 55

20 Algebra degli o(f (x)). Teorema Vale la seguente algebra degli o-piccoli, per x 0: o(x α ) ± o(x β ) = o(x min(α,β) ); o(k x α ) = o(x α ) per k R; k o(x α ) = o(x α ) per k R; x α o(x β ) = o(x α+β ); o(x α ) o(x β ) = o(x α+β ); x α = o(x β ) per ogni β < α; o(x α ) = o(x β ) per ogni β < α. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 20/ 55

21 Algebra degli o(f (x)). Traccia. Per dimostrare gli asserti basta usare le definizioni di o(x k ). Mostriamo ad esempio che o(x α ) ± o(x β ) = o(x min(α,β) ) Non è restrittivo supporre α = min(α, β). Se f (x) = o(x α ), g(x) = o(x β ) allora allora da β α 0 f (x) ± g(x) f (x) x 0 x α = x 0 x α e quindi è provato l asserto. f (x) x 0 x α = g(x) x 0 x β = 0 ± g(x) x 0 x α = x 0 f (x) x α ± g(x)x β α x 0 x β = 0 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 21/ 55

22 Algebra degli o(f (x)). Mostriamo come seconda cosa che o(x α ) o(x β ) = o(x α+β ) Se f (x) = o(x α ), g(x) = o(x β ) allora Di conseguenza f (x) x 0 x α = g(x) x 0 x β = 0. f (x) g(x) f (x) x 0 x α+β = x 0 x α g(x) x β = 0 cioè o(x α ) o(x β ) = o(x α+β ). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 22/ 55

23 Algebra degli o(f (x)). Mostriamo come terza cosa che Se f (x) = o(x α ) allora o(x α ) = o(x β ) per ogni β < α. f (x) x 0 x α = 0 Mostriamo che se β < α allora f (x) x 0 x β = 0. Infatti se β < α allora se α β > 0 e f (x) x 0 x β = f (x) x β = f (x) x α β α f (x)x α β = x 0 x 0 x 0 α cioè o(x α ) = o(x β ) per ogni β < α. = 0 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 23/ 55

24 Ordine di infinitesimo. Definizione Si dice ordine di infinitesimo di una funzione infinitesima f (per x 0), quell α R + tale che per un certo L R\{0} f (x) x 0 x α = L Nota. Calcolare l ordine di infinitesimo di f è equivalente a trovare α tale che, per L R, f (x) = L x α + o(x α ). Infatti, dividendo ambo i membri per x α e passando al ite per x 0, f (x) x 0 x α = L + o(x α ) x 0 x α = L. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 24/ 55

25 Calcolo di ite. Esempio Si calcoli x + sin(x) + log(1 + x) x 0 e x 1 + x 2 Svolgimento. Osserviamo che, per quanto noto dalla formula di Maclaurin e x = 1 + x + x xn n! + o(x n ) e quindi e x 1 = x + x xn n! + o(x n ); sin(x) = x x3 3! + x5 5! x7 x2n+1 7! ( 1)n 2n+1! + o(x n ). log(1 + x) = x x2 2 + x3 3 x4 xn ( 1)n 1 n + o(x n ). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 25/ 55

26 Calcolo di ite. Di conseguenza, visto che o(x)/x 0 per x 0, x + sin(x) + log(1 + x) x + (x + o(x 2 )) + (x + o(x)) x 0 e x 1 + x 2 = x 0 (x + o(x)) + o(x) = x 0 3x + o(x 2 ) + o(x) x + o(x) + o(x) x(3 + o(x 2 )/x + o(x)/x) = x 0 x(1 + o(x)/x + o(x)/x) 3x = x 0 x = 3 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 26/ 55

27 Calcolo di ite. Nota. La tecnica consiste nel determinare che il numeratore è del tipo C 1 x α + o(x α ) che il numeratore è e quindi calcolare C 2 x β + o(x β ) C 1 x α + o(x α ) x 0 C 2 x β + o(x β ) = C 1 x α x 0 C 2 x β. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 27/ 55

28 Ulteriori sviluppi. Esempi I. Esempio Per x 0, si ha Traccia. sin( x) = x x 3/2 6 + x 5/2 + o(x 5/2 ) 5! Scrivere lo sviluppo sin(y) = y y 3 3! + y 5 5! + o(y 5 ) e porre y = x. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 28/ 55

29 Ulteriori sviluppi. Esempi II. Esempio Per x 0, si ha Traccia. e x2 = 1 + x 2 + x x 6 3! + o(x 6 ) Scrivere lo sviluppo e y = 1 + y + y y 3 3! + o(y 3 ) e porre y = x 2. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 29/ 55

30 Ulteriori sviluppi. Esempi III. Esempio Per x 0, si ha e x2 +1 = e + e x 2 + e x e x 6 3! + o(x 6 ) Traccia. Scrivere lo sviluppo e x2 = 1 + x 2 + x4 2 + x6 3! + o(x 6 ) e osservare che Nota. e x2 +1 = e e x2 = e (1 + x 2 + x x 6 3! + o(x 6 )). I conti appena fatti richiedono di lavorare con funzioni infinitesime e quindi non si adattano ad oggetti quali cos(1 + x 3 ) in un intorno di 0, poichè x 0 cos(1 + x 3 ) = cos(1) 0. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 30/ 55

31 Ulteriori sviluppi. Esempi IV. Esempio Per x 0, si ha (sin(x)) 2 = x 2 x o(x 4 ) Traccia. Scrivere lo sviluppo sin(x) = x x3 3! + o(x 3 ) e osservare che (sin(x)) 2 = (x x ) 3 2 3! + o(x 3 ) ( ) = x 2 x (o(x 3 )) 2 2x x 3 3! 3! + 2xo(x 3 ) 2 x 3 3! o(x 3 ) = x 2 + x o(x 6 ) x o(x 4 ) o(x 6 ) = x 2 x o(x 4 ). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 31/ 55

32 Ulteriori sviluppi. Esercizio svolto. Esercizio Calcolare cos(2 x) e 2x x 0 + sin(x) x Traccia. E una forma 0/0. Si noti che x 0 +, ma la teoria vale lo stesso (perchè?). Si vede subito che sin(x) x = (x 3 /6) + o(x 3 ); dallo sviluppo di cos(y) = 1 (y 2 /2) + o(y 2 ) abbiamo per x > 0, y = 2 x cos(2 x) = 1 ((2 x) 2 /2) + o((2 x) 2 ) = 1 2x + o(x) Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 32/ 55

33 Ulteriori sviluppi. Esercizio svolto. dallo sviluppo e y = 1 + y + y y 3 3! + o(y 3 ) abbiamo Quindi, e 2x = 1 2x + ( 2x)2 2 + ( 2x)3 3! + o(y 3 ) = 1 2x + o(x) cos(2 x) e 2x = (1 2x + o(x)) (1 2x + o(x)) = o(x) o(x) = o(x) e non si capisce bene cosa sia a meno di infinitesimi cos(2 x) e 2x. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 33/ 55

34 Ulteriori sviluppi. Esercizio svolto. Andiamo ad un ordine maggiore. Da cos(y) = 1 (1/2)y 2 + (1/4!)y 4 + o(y 4 ) ricaviamo dopo qualche conto cos(2 x) = 1 2x + (2/3)x 2 + o(x 2 ) e 2x = 1 2x + 2x 2 + o(x 2 ) da cui cos(2 x) e ( 2x) = (1 2x + (2/3)x 2 + o(x 2 )) (1 2x + 2x 2 + o(x 2 )) e facilmente, cos(2 x) e 2x x 0 + sin(x) x = (2/3)x 2 2x 2 + o(x 2 ) = (4/3)x 2 + o(x 2 ) (4/3)x 2 + o(x 2 ) = x 0 + (x 3 /6) + o(x 3 ) = (4/3)x 2 = + 3 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 34/ 55

35 Nota sui iti x f (x). Nota. Osserviamo che posto t = 1/x f (x) = f x + t 0 + ( ) 1. t Di conseguenza, dopo una opportuna trasformazione, possiamo calcolare con le tecniche introdotte, pure iti del tipo f (x). x + Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 35/ 55

36 Nota sui iti x f (x). Esempio Calcolare x + 1 sin( 1 ) x 2 x 2. 1 x 4 Traccia. Ricordando che in un intorno di 0 sin(t) t = (t 3 /6) + o(t 3 ) sin(t 2 ) t 2 = (t 6 /6) + o(t 6 ) per t = 1/x x + 1 sin( 1 ) x 2 x 2 t 2 sin(t 2 ) = 1 x 4 t 0 + t 4 = t 0 + (t 6 /6) + o(t 6 ) t 4 = 0 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 36/ 55

37 Esercizi. Esercizi Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 37/ 55

38 Esercizi svolti, I. Esercizio Calcolare con gli infinitesimi 3 x sin(x + x 2 ) 1 + log(1 + x) x 0 + x arctan(x) Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 38/ 55

39 Esercizi svolti, I. Traccia. E del tipo 0/0 (indeterminato). Calcoliamo l espansione del numeratore, ottenendo un risultato del tipo 3 x sin(x + x 2 ) 1 + log(1 + x) = C 1x α + o(x α ). Dagli sviluppi di Maclaurin: e quindi 3 x = e log(3)x = 1 + log(3)x + o(x); sin(x + x 2 ) = (x + x 2 ) + o(x); log(1 + x) = x + o(x); 3 x 1 sin(x + x 2 ) + log(1 + x) = log(3)x + o(x) (x + x 2 ) + o(x) + (x + o(x)) = log(3)x + o(x). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 39/ 55

40 Esercizi svolti, I. Calcoliamo l espansione del denominatore. Da x a o(x b ) = o(x a+b ) e arctan(x) = x + o(x) x arctan(x) = x(x + o(x)) = x 2 + xo(x) = x 2 + o(x 2 ) Quindi il ite vale log(3)x + o(x) L = x 0 + x 2 + o(x 2 = +. ) Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 40/ 55

41 Esercizi svolti, II. Esercizio Calcolare con gli infinitesimi x + 2x 3 sin(x) x 0 log(1 + x 3 ) Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 41/ 55

42 Esercizi svolti, II. Traccia. E del tipo 0/0 (indeterminato). Calcoliamo l espansione del numeratore, ottenendo un risultato del tipo x + 2x 3 sin(x) = C 1 x α + o(x α ). Sappiamo che sin(x) = x x 3 /6 + o(x 3 ); e quindi x + 2x 3 sin(x) = x + 2x 3 (x x 3 /6 + o(x 3 )) = 2x 3 + x 3 /6 + o(x 3 ) = (13/6)x 3 + o(x 3 ). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 42/ 55

43 Esercizi svolti, II. Quindi Calcoliamo l espansione del denumeratore, ottenendo un risultato del tipo log(1 + x 3 ) = C 2 x β + o(x β ). Da log(1 + y) = y + o(y) abbiamo per y = x 3 log(1 + x 3 ) = x 3 + o(x 3 ) x + 2x 3 sin(x) (13/6)x 3 + o(x 3 ) x 0 log(1 + x 3 = ) x 0 x 3 + o(x 3 = 13/6 ) Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 43/ 55

44 Esercizi svolti, III. Esercizio Calcolare con gli infinitesimi log(1 + x) sin(x) x 0 1 cos(x) Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 44/ 55

45 Esercizi svolti, III. Traccia. E del tipo 0/0 (indeterminato). Calcoliamo l espansione del numeratore, ottenendo un risultato del tipo log(1 + x) sin(x) = C 1 x α + o(x α ). Sappiamo che sin(x) = x x 3 /6 + o(x 3 ); log(1 + x) = x x 2 /2 + o(x 2 ); e quindi log(1 + x) sin(x) = (x x 2 /2 + o(x 2 )) (x x 3 /6 + o(x 3 )) = x 2 /2 + o(x 2 ). Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 45/ 55

46 Esercizi svolti, III. Quindi Calcoliamo l espansione del denumeratore, ottenendo un risultato del tipo 1 cos(x) = C 2 x β + o(x β ). Da cos(x) = 1 x 2 /2 + o(x 2 ) abbiamo 1 cos(x) = x 2 /2 + o(x 2 ) log(1 + x) sin(x) x 2 /2 + o(x 2 ) = x 0 1 cos(x) x 0 x 2 /2 + o(x 2 ) = 1. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 46/ 55

47 Esercizi svolti, IV. Esercizio Calcolare con gli infinitesimi x 0 e x3 x 4 +x cos(x) sin(x 2 ) Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 47/ 55

48 Esercizi svolti, IV. Traccia. E del tipo 0/0 (indeterminato). Calcoliamo l espansione del numeratore. Notiamo che e x3 x 4 +x cos(x) = e x 2 x 3 +1 cos(x). e mostriamo che exp(x 2 /x 3 + 1) cos(x) = C 1x α + o(x α ). Sappiamo che e y = 1 + y + o(y) implica per y = x 2 x 3 +1 e x2 x 3 +1 = 1 + x 2 cos(x) = 1 x 2 /2 + o(x 2 ); e quindi essendo o( x2 x 3 +1 )) = o(x 2 ) (perchè?) x o( x 2 x ); e x2 x 3 +1 cos(x) = (1 + x 2 x o( x 2 x )) + (1 x 2 /2 + o(x 2 )) = 2x 2 + (x 3 + 1)x 2 2(x 3 + 1) + o(x 2 ) (1) Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 48/ 55

49 Esercizi svolti, IV. Calcoliamo l espansione del denumeratore, ottenendo un risultato del tipo sin(x 2 ) = C 2x β + o(x β ). Da sin(y) = y + o(y) abbiamo per y = x 2 sin(x 2 ) = x 2 + o(x 2 ) Quindi x 0 e x3 x 4 2x 2 +(x 3 +1)x 2 +x cos(x) + o(x 2 ) 2(x = 3 +1) = 3/2. sin(x 2 ) x 0 x 2 + o(x 2 ) Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 49/ 55

50 Esercizi. Esercizio Calcolare con gli infinitesimi e/o con la regola de l Hopital x 0 sin(x) sinh(x) e x x cosh(x) Traccia. Mostrare che sin(x) sinh(x) = x 3 /3 + o(x 3 ) e x x cosh(x) = x 3 /6 + o(x 3 ) e quindi il ite vale 2. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 50/ 55

51 Esercizi. Esercizio Mostrare che, al variare di α, L α = x 0 27x 5 + log(1 + x 7 ) 1 + x α sin 5 (x) vale 27/α se α 0, + se α = 0. Esercizio Mostrare che, e sin(x) 1 x x 0 x log(x) = 0 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 51/ 55

52 Esercizi. Esercizio Mostrare che x 2 log(x) + x 3 sin(1/x) x x = 0. 1 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 52/ 55

53 Esercizi. Esercizio Calcolare, per ogni valore reale del parametro α, il seguente ite: 2 x sin(αx) 1 + x 3 x cos( x) 1 log(1 + x) 2 Esercizio Determinare l ordine di infinitesimo di x sin(x) x 2, cioè per quale α minimo si abbia x sin(x) x 2 0. x 0 + x α Calcolare quindi x sin(x) x 2 x 0 + (1 cos(x))x Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 53/ 55

54 Esercizi. Esercizio Calcolare,il valore dei parametri α, β reali affinchè la funzione { sin(x)+cos(x) e x2 /2 f (x) = 2x, x > 0 2α e x 3 β x, x 0 sia continua in R: sia derivabile in R. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 54/ 55

55 Esercizi. Esercizio Calcolare, per ogni valore reale del parametro α, il seguente ite: arctan(x + x 2 ) x x 0 + x α sin(x 2 ) Esercizio Calcolare, per ogni valore reale del parametro α, il seguente ite: 1 + tan(x 3 ) e x3 x 0 + (e x2 1)x α Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 55/ 55