Analisi matematica I. Sviluppi di Taylor e applicazioni. Sviluppi di Taylor. Operazioni sugli sviluppi di Taylor e applicazioni

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Analisi matematica I. Sviluppi di Taylor e applicazioni. Sviluppi di Taylor. Operazioni sugli sviluppi di Taylor e applicazioni"

Transcript

1 Analisi matematica I e applicazioni Operazioni sugli sviluppi di Taylor e applicazioni Politecnico di Torino 1

2 e applicazioni Formule di Taylor con resto di Peano: caso e n =0 n =1 Formule di Taylor con resto di Peano: caso generale Dimostrazione caso Formule di Taylor con resto di Lagrange Proprietà del polinomio di Taylor Primi esempi n =2 notevoli Politecnico di Torino 2

3 Formule di Taylor con resto di Peano:... f continua in x 0 f(x) =f(x 0 )+o(1), x x 0 posto si ha Tf 0,x0 (x) =f(x 0 ) polinomio di grado 0 f(x) =Tf 0,x0 (x)+o(1), x x Politecnico di Torino 3

4 Formule di Taylor con resto di Peano:... 7 Formule di Taylor con resto di Peano:... f derivabile in x 0 per x x 0 f(x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )+o(x x 0 ) posto Tf 1,x0 (x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 ) 1 polinomio di grado, si ha f(x) =Tf 1,x0 (x)+o(x x 0 ), x x Politecnico di Torino 4

5 Formule di Taylor con resto di Peano: Politecnico di Torino 5

6 Formule di Taylor con resto di Peano:... f derivabile volte in x 0 n f(x) =Tf n,x0 (x)+o (x x 0 ) n, x x 0 11 Formule di Taylor con resto di Peano:... con Tf n,x0 (x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 ) n! f (n) (x 0 )(x x 0 ) n nx f (k) (x 0 ) = (x x 0 ) k k! k=0 = polinomio di Taylor di f in x 0 di grado n Politecnico di Torino 6

7 Formule di Taylor con resto di Peano: Politecnico di Torino 7

8 f derivabile 2 volte in x 0 ; cerchiamo a R Dimostrazione caso n = 2 tale che f(x) =Tf 2,x0 (x)+o (x x 0 ) 2, x x 0 con Tf = f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )+a(x x 0 ) 2 2,x0 (x) 15 Dimostrazione caso n = 2 Pertanto deve valere f(x) f(x 0 ) f 0 (x 0 )(x x 0 ) a(x x 0 ) 2 lim =0 x x 0 (x x 0 ) 2 Applicando il Teorema di de l Hôpital, la condizione equivale a f 0 (x) f 0 (x 0 ) 2a(x x 0 ) lim x x 0 2(x x 0 ) = Politecnico di Torino 8

9 Dimostrazione caso n = 2 Ovvero 1 lim x x 0 2 f 0 (x) f 0 (x 0 ) (x x 0 ) a =0 da cui a = 1 2 lim f 0 (x) f 0 (x 0 ) x x 0 (x x 0 ) = 1 2 f 00 (x 0 ) 17 In definitiva, abbiamo trovato polinomio di secondo grado soddisfa Dimostrazione caso n = 2 a R tale che il Tf 2,x0 (x) = = f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 )+ 1 2 f 00 (x 0 )(x x 0 ) 2 f(x) =Tf 2,x0 (x)+o (x x 0 ) 2, x x Politecnico di Torino 9

10 f derivabile in per la seconda formula dell incremento finito possiamo scrivere Ricordando che I(x 0 ),, f(x) =f(x 0 )+f 0 (x)(x x 0 ), con x (x, x 0 ) oppure x (x 0,x) Tf 0,x0 (x) =f(x 0 ), si ha f(x) =Tf 0,x0 (x)+f 0 (x)(x x 0 ) Caso n = Politecnico di Torino 10

11 Caso generale f derivabile (n +1) - volte in I(x 0 ) f(x) =Tf n,x0 (x)+ x x 0 =0 con compreso tra e 1 (n +1)! f (n+1) (x)(x x 0 ) n+1 Se lo sviluppo di Taylor si dice sviluppo di Maclaurin x x Politecnico di Torino 11

12 f Tf n,0 (x) funzione pari (dispari) Dimostrazione caso Proprietà contiene solo potenze pari (dispari) f funzione pari 23 Dimostrazione Nota: una funzione dispari definita nell origine è necessariamente ivi nulla Infatti, sia g una funzione dispari g(x) = g( x) 2g(0) = 0 g(0) = Politecnico di Torino 12

13 Dimostrazione f in x 0 =0 f 0,f 000, Sia ora una funzione pari e derivabile volte Quindi e il polinomio di Taylor sono funzioni dispari f 0 (0) = f 000 (0) = =0 Tf n,0 (x) soltanto termini con potenze pari n contiene 25 Unicità del polinomio di Taylor f :(a, b) R derivabile volte in x 0 (a, b) se esiste un polinomio tale che n P n (x) di grado n f(x) =P n (x)+o (x x 0 ) n, x x 0 P n (x) =Tf n,x0 (x) Politecnico di Torino 13

14 Esempio 1 Calcoliamo i polinomi di Maclaurin della funzione f(x) =5 2x +3x 2 + x 4 Tf 0,x0 (x) =5 f(x) =5+o(1), x 0 Tf 1,x0 (x) =5 2x f(x) =5 2x + o(x), x Politecnico di Torino 14

15 Esempio 1 Calcoliamo i polinomi di Maclaurin della funzione f(x) =5 2x +3x 2 + x 4 Tf 2,x0 (x) =5 2x +3x 2 = Tf 3,x0 (x) f(x) =5 2x +3x 2 + o(x 2 ), x 0 =5 2x +3x 2 + o(x 3 ), x 0 Tf 4,x0 (x) =5 2x +3x 2 + x 4 = Tf n,x0 (x) = f(x), n 4 29 Esempio 2 Calcoliamo i polinomi di Taylor centrati in Poiché f(x) =5 2x +3x 2 + x 4 f 0 (x) = 2+6x +4x 3 f 00 (x) =6+12x 2 f 000 (x) =24x f (4) (x) =24 f (n) (x) =0, n >4 x 0 =1 30 di 2006 Politecnico di Torino 15

16 Esempio 2 Si ha f(1) = 7, f 0 (1) = 8, f 00 (1) = 18, f 000 (1) = 24, f (4) (1) = 24, f (n) (1) = 0, n >4 31 Esempio Risulta Tf 0,x0 (x) =7 Tf 1,x0 (x) =f(x 0 )+f 0 (x 0 )(x x 0 ) = f(1) + f 0 (1)(x 1) =7+8(x 1) Politecnico di Torino 16

17 Esempio Risulta Tf 0,x0 (x) =7 Tf 1,x0 (x) =7+8(x 1) 33 Esempio Risulta Tf 1,x0 (x) =7+8(x 1) Tf 2,x0 (x) = Tf 1,x0 (x)+ 1 2 f 00 (1)(x x 0 ) 2 =7+8(x 1) + 9(x 1) Politecnico di Torino 17

18 Esempio Risulta Tf 2,x0 (x) =7+8(x 1) + 9(x 1) 2 Tf 3,x0 (x) = Tf 2,x0 (x)+ f 000 (x 0 ) (x x 0 ) 3 3! =7+8(x 1) + 9(x 1) 2 +4(x 1) 3 35 Esempio Risulta Tf =7+8(x 1) + 9(x 1) 2 +4(x 1) 3 3,x0 (x) Tf 4,x0 (x) = Tf 3,x0 (x)+ f (4) (x 0 ) (x x 0 ) 4 4! Politecnico di Torino 18

19 Esempio Risulta Tf =7+8(x 1) + 9(x 1) 2 +4(x 1) 3 3,x0 (x) Tf 4,x0 (x) =7+8(x 1) + 9(x 1) (x 1) 3 +(x 1) 4 = Tf n,x0 (x), n > Politecnico di Torino 19

20 Consideriamo la funzione Funzione esponenziale f(x) =e x Per ogni k N, risulta f (k) (x) =e x, f (k) (x 0 )=e x 0, f (k) (0) = 1 39 Funzione esponenziale Lo sviluppo di Maclaurin con resto di Peano di ordine è k=0 n e x =1+x + x2 2 nx = + + xk k! x k k! + o(xn ), x xn n! + o(xn ) Politecnico di Torino 20

21 Funzione esponenziale Lo sviluppo di Maclaurin con resto di Lagrange è e x =1+x + x2 2 nx = k=0 + + xk k! x k k! + e x (n +1)! xn+1, + + xn n! + e x (n +1)! xn+1 x compreso tra 0 e x 41 Funzione esponenziale Politecnico di Torino 21

22 Funzione esponenziale 43 Funzione esponenziale Politecnico di Torino 22

23 Funzione esponenziale 45 Poniamo x =1 resto di Lagrange di Approssimazione numero e nello sviluppo di Maclaurin con f(x) =e x ; abbiamo e= nx k=0 1 k! + ex (n +1)!, 0 < x< Politecnico di Torino 23

24 Approssimazione numero e La quantità e n = nx k=0 1 k! è un approssimazione per difetto del numero L errore è dato da e e n = e x (n +1)! e 47 Approssimazione numero e Poiché 0 < x<1 risulta 1 < e x < e < 3 Quindi si ha stima 1 (n +1)! < e e n < 3 (n +1)! Politecnico di Torino 24

25 Alcuni valori della successione e n 49 Funzione esponenziale Lo sviluppo di Taylor in ordine n è x 0 con resto di Peano di e x =e x 0 +e x 0 (x x 0 )+... +e x 0 nx = k=0 e x 0 (x x 0) n + o (x x 0 ) n n! (x x 0) k + o (x x 0 ) n, x x 0 k! Politecnico di Torino 25

26 Funzione esponenziale Lo sviluppo di Taylor in x 0 con resto di Lagrange è e x =e x 0 +e x 0 (x x 0 )+... = +e x 0 nx k=0 e x 0 (x x 0) n (x x 0) k k! n! x compreso tra x e x 0 + ex (n +1)! (x x 0) n+1 + ex (n +1)! (x x 0) n+1 51 Funzione logaritmo Consideriamo la funzione Ne cerchiamo lo sviluppo di Taylor in ordine n. Si ha f(x) =logx x 0 =1 di f 0 (x) = 1 x = x 1, f 00 (x) =( 1)x 2, f 000 (x) =( 1)( 2)x 3 In generale, per ogni k intero, f (k) (x) =( 1) k 1 (k 1)!x k, f (k) (1) = ( 1) k 1 (k 1)! Politecnico di Torino 26

27 Consideriamo la funzione f (k) (1) = ( 1) k 1 (k 1)! Dunque Funzione logaritmo (x 1)2 log x =(x 1) n 1 (x 1)n +( 1) + o (x 1) n n nx k 1 (x 1)k = ( 1) + o (x 1) n, x 1 k k=1 f(x) =logx 53 Funzione logaritmo Consideriamo la funzione f(x) =log(1+x) Ne cerchiamo lo sviluppo di Maclaurin di ordine Dallo sviluppo n log y = nx k 1 (y 1)k ( 1) k k=1 + o (y 1) n, y Politecnico di Torino 27

28 log y = Ponendo nx k 1 (y 1)k ( 1) k k=1 y =1+x, si ha Funzione logaritmo + o (y 1) n, y 1 log(1 + x) = nx ( 1) k=1 k 1 xk k + o(xn ), x 0 = x x ( 1)n 1 xn n + o(xn ) 55 Funzione logaritmo Politecnico di Torino 28

29 Funzione logaritmo 57 Funzione logaritmo Politecnico di Torino 29

30 Funzione logaritmo 59 Funzione seno Consideriamo la funzione f(x) =sinx Ne cerchiamo lo sviluppo di Maclaurin di ordine La funzione è dispari e quindi contiene soltanto potenze dispari. Si ha n f 0 (x) =cosx, f 000 (x) = cos x Politecnico di Torino 30

31 Funzione seno Consideriamo la funzione In generale, per ogni k intero, f (2k+1) (x) =( 1) k cos x, f (2k+1) (0) = ( 1) k f(x) =sinx 61 Funzione seno Consideriamo la funzione f(x) =sinx Dunque, se n =2m +2, sin x = x x3 3! + x5 5!... +( 1) m x2m+1 (2m +1)! + o(x2m+2 ) mx = ( 1) k x 2k+1 (2k +1)! + o(x2m+2 ), x 0 k= Politecnico di Torino 31

32 Funzione seno 63 Funzione seno Politecnico di Torino 32

33 Funzione seno 65 Funzione seno Politecnico di Torino 33

34 Funzione seno 67 Funzione coseno Consideriamo la funzione f(x) =cosx Ne cerchiamo lo sviluppo di Maclaurin di ordine La funzione è pari e quindi contiene soltanto potenze pari. Si ha n f 00 (x) = cos x, f (4) (x) =cosx Politecnico di Torino 34

35 Funzione coseno Consideriamo la funzione f(x) =cosx In generale, per ogni k intero f (2k) (x) =( 1) k cos x, f (2k) (0) = ( 1) k 69 Funzione coseno Consideriamo la funzione f(x) =cosx Dunque, se n =2m +1, cos x =1 x2 2 + x4 4!... +( 1) m x2m (2m)! + o(x2m+1 ) mx = ( 1) k x2k (2k)! + o(x2m+1 ), x 0 k= Politecnico di Torino 35

36 Funzione coseno 71 Funzione coseno Politecnico di Torino 36

37 Funzione coseno 73 Funzione coseno Politecnico di Torino 37

38 Funzione coseno 75 Funzioni elevamento a potenza Consideriamo le funzioni con α R Ne cerchiamo lo sviluppo di Maclaurin di ordine Si ha f 0 (x) =α(1 + x) α 1, f(x) =(1+x) α, n f 00 (x) =α(α 1)(1 + x) α 2, f 000 (x) =α(α 1)(α 2)(1 + x) α Politecnico di Torino 38

39 Consideriamo le funzioni con α R Funzioni elevamento a potenza E, in generale, per ogni intero f(x) =(1+x) α, k, f (k) (x) =α(α 1)...(α k +1)(1+x) α k f (k) (0) k! = α(α 1) (α k +1) k! = µ α k 77 Funzioni elevamento a potenza Consideriamo le funzioni con Dunque α R f(x) =(1+x) α, (1 + x) α α(α 1) =1+αx + x µ 2 α + x n + o(x n ) n nx µ α = x k + o(x n ), x 0 k k= Politecnico di Torino 39

40 Funzioni elevamento a potenza: caso α = 1 Consideriamo la funzione f(x) =(1+x) 1 = 1 1+x 79 Funzioni elevamento a potenza: caso α = 1 µ 1 Calcoliamo i coefficienti binomiali µ k 1 = ( 1)( 2) =1 2 2 µ 1 = ( 1)( 2)( 3) = 1 3 3! µ 1 ( 1)( 2) ( k) = =( 1) k k k! Politecnico di Torino 40

41 Funzioni elevamento a potenza: caso α = 1 Dunque 1 1+x =1 x + x2 +( 1) n x n + o(x n ) nx = ( 1) k x k + o(x n ), x 0 k=0 81 Funzioni elevamento a potenza: caso α = 1/2 Consideriamo la funzione f(x) =(1+x) 1/2 = 1+x Politecnico di Torino 41

42 Funzioni elevamento a potenza: caso α = 1/2 Calcoliamo i coefficienti binomiali µ µ = = 1 2 ( 1 2 1) 2 = ( 1 2 1)( 1 2 2) 3! = 1 16 µ 1/2 k 83 Funzioni elevamento a potenza: caso α = 1/2 E dunque lo sviluppo arrestato all ordine funzione f(x) = 1+x è 3 della 1+x = x 1 8 x x3 + o(x 3 ), x Politecnico di Torino 42

43 Funzioni elevamento a potenza: caso α = 1/2 85 Funzioni elevamento a potenza: caso α = 1/ Politecnico di Torino 43

44 Funzioni elevamento a potenza: caso α = 1/2 87 Funzioni elevamento a potenza: caso α = 1/ Politecnico di Torino 44

45 Tabella sviluppi di Maclaurin notevoli e x =1+x + x xk k! + + xn n! + o(xn ) log(1 + x) =x x ( 1)n 1 xn n + o(xn ) x2m+1 sin x = x x3 +( 1) m (2m +1)! + o(x2m+2 ) 3! + x5 5! cos x =1 x2 2 + x4 4! +( 1) m x2m (2m)! + o(x2m+1 ) 89 Tabella sviluppi di Maclaurin notevoli (1 + x) α =1+αx + α(α 1) x µ α x n + o(x n ) n 1 1+x =1 x + x2 +( 1) n x n + o(x n ) 1+x = x 1 8 x x3 + o(x 3 ) Politecnico di Torino 45

Sviluppi di Taylor e applicazioni

Sviluppi di Taylor e applicazioni Sviluppi di Taylor e applicazioni Somma di sviluppi Prodotto di sviluppi Quoziente di sviluppi Sviluppo di una funzione composta Calcolo di ordini di infinitesimo e di parti principali Comportamento locale

Dettagli

Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria Formule di Taylor Ottobre 2012

Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1. Federico Lastaria Formule di Taylor Ottobre 2012 Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it Formule di Taylor Ottobre 2012 Indice 1 Formule di Taylor 1 1.1 Il polinomio di Taylor...............................

Dettagli

Analisi matematica I. Confronto locale di funzioni. Simboli di Landau. Infinitesimi ed infiniti Politecnico di Torino 1

Analisi matematica I. Confronto locale di funzioni. Simboli di Landau. Infinitesimi ed infiniti Politecnico di Torino 1 Analisi matematica I Confronto locale di funzioni Infinitesimi ed infiniti 2 2006 Politecnico di Torino 1 Confronto locale di funzioni Definizioni dei simboli di Landau Proprietà dei simboli di Landau

Dettagli

Peccati, Salsa, Squellati, Matematica per l economia e l azienda, EGEA 2004

Peccati, Salsa, Squellati, Matematica per l economia e l azienda, EGEA 2004 1 Peccati, Salsa, Squellati, Matematica per l economia e l azienda, EGEA 004 Formula di Taylor Generalizziamo la formula che abbiamo introdotto nella sezione 11 del capitolo 5, cercando d approssimare

Dettagli

41 POLINOMI DI TAYLOR

41 POLINOMI DI TAYLOR 4 POLINOMI DI TAYLOR DERIVATE DI ORDINI SUCCESSIVI Allo stesso modo della derivata seconda si definiscono per induzione le derivate di ordine k: la funzione derivata 0-ima di f si definisce ponendo f (0

Dettagli

Polinomi di Taylor. Hynek Kovarik. Analisi A. Università di Brescia. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 1 / 27

Polinomi di Taylor. Hynek Kovarik. Analisi A. Università di Brescia. Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 1 / 27 Polinomi di Taylor Hynek Kovarik Università di Brescia Analisi A Hynek Kovarik (Università di Brescia) Polinomi di Taylor Analisi A 1 / 27 Introduzione Sia f : I R e sia x 0 I. Problemi: come approssimare

Dettagli

I POLINOMI DI TAYLOR. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Sviluppi di Taylor cap7.pdf 1

I POLINOMI DI TAYLOR. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Sviluppi di Taylor cap7.pdf 1 I POLINOMI DI TAYLOR c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Sviluppi di Taylor cap7.pdf 1 Il simbolo o piccolo Siano f (x) e g(x) funzioni infinitesime per x x 0 e consideriamo f (x) il lim

Dettagli

I POLINOMI DI TAYLOR. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Sviluppi di Taylor cap7.pdf 1

I POLINOMI DI TAYLOR. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Sviluppi di Taylor cap7.pdf 1 I POLINOMI DI TAYLOR c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 17/18 Sviluppi di Taylor cap7.pdf 1 Calcolo di forme indeterminate del tipo 0/0 Avevamo già visto (cap4a.pdf, pag. 1) che quando si deve

Dettagli

1 prof. Claudio Saccon, Dipartimento di Matematica Applicata, () December 30, / 26

1 prof. Claudio Saccon, Dipartimento di Matematica Applicata, () December 30, / 26 ANALISI 1 1 UNDICESIMA LEZIONE DODICESIMA LEZIONE TREDICESIMA LEZIONE Derivata - definizione e teoremi di calcolo delle derivate Massimi e minimi relativi e teorema di Fermat Teorema di Lagrange Monotonia

Dettagli

Polinomio di Taylor.

Polinomio di Taylor. Polinomio di Taylor. Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova 20 novembre 2015 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Polinomio di Taylor. 1/

Dettagli

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 2 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 2 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 2 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,

Dettagli

SVILUPPI DI TAYLOR Esercizi risolti

SVILUPPI DI TAYLOR Esercizi risolti Esercizio 1 SVILUPPI DI TAYLOR Esercizi risolti Utilizzando gli sviluppi fondamentali, calcolare gli sviluppi di McLaurin con resto di Peano delle funzioni seguenti fino all ordine n indicato: 1. fx log1

Dettagli

Analisi Matematica (A L) Polinomi e serie di Taylor

Analisi Matematica (A L) Polinomi e serie di Taylor a.a. 2015/2016 Laurea triennale in Informatica Analisi Matematica (A L) Polinomi e serie di Taylor Nota: questo file differisce da quello proiettato in aula per la sola impaginazione. Polinomio di Taylor

Dettagli

Matematica e Statistica per Scienze Ambientali

Matematica e Statistica per Scienze Ambientali per Scienze Ambientali Derivate - Appunti 1 1 Dipartimento di Matematica Sapienza, Università di Roma Roma, Novembre 2013 Retta secante un grafico e rapporto incrementale Sia f una funzione e x 0 un punto

Dettagli

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x. Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente

Dettagli

Definizione (Derivata come limite del rapporto incrementale) Se esiste finito (cioè, non + o ) il limite del rapporto incrementale

Definizione (Derivata come limite del rapporto incrementale) Se esiste finito (cioè, non + o ) il limite del rapporto incrementale Funzione derivabile. La derivata. Dati: f I R funzione; I R intervallo aperto ; x 0 I. Definizione (Derivata come ite del rapporto incrementale) Se esiste finito (cioè, non + o ) il ite del rapporto incrementale

Dettagli

Forme indeterminate e limiti notevoli

Forme indeterminate e limiti notevoli Forme indeterminate e iti notevoli Limiti e continuità Forme indeterminate e iti notevoli Forme indeterminate Teorema di sostituzione Limiti notevoli Altre forme indeterminate 2 2006 Politecnico di Torino

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor

Corso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Polinomi e serie di Taylor Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli

Dettagli

1 Polinomio di Taylor 1. 2 Formula di Taylor 2. 3 Alcuni sviluppi notevoli 2. 4 Uso della formula di Taylor nel calcolo dei limiti 4

1 Polinomio di Taylor 1. 2 Formula di Taylor 2. 3 Alcuni sviluppi notevoli 2. 4 Uso della formula di Taylor nel calcolo dei limiti 4 1 POLINOMIO DI TAYLOR 1 Formula di Taylor Indice 1 Polinomio di Taylor 1 Formula di Taylor 3 Alcuni sviluppi notevoli 4 Uso della formula di Taylor nel calcolo dei iti 4 5 Soluzioni degli esercizi 6 La

Dettagli

Esercitazione sugli sviluppi in serie di Taylor

Esercitazione sugli sviluppi in serie di Taylor Esercitazione sugli sviluppi in serie di Taylor Davide Boscaini Queste sono le note da cui ho tratto le lezioni frontali del 1 e 13 Gennaio 011. Come tali sono ben lungi dall essere esenti da errori, invito

Dettagli

21 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE

21 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE 21 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE Definizione Sia f una funzione reale di variabile reale. Allora, dati x, y domf con x y, si definisce il rapporto incrementale di f tra x e y come P f (x, y = f(x

Dettagli

DERIVATE. Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta è corretta. 1. Data la funzione f(x) =2+ x 7, quale delle seguente affermazioni èvera?

DERIVATE. Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta è corretta. 1. Data la funzione f(x) =2+ x 7, quale delle seguente affermazioni èvera? DERIVATE Rispondere ai seguenti quesiti. Una sola risposta è corretta.. Data la funzione f(x) =+ x 7, quale delle seguente affermazioni èvera? (a) f(x) nonè derivabile in x =0 (b) f (0) = (c) f (0) = (d)

Dettagli

Metodi Matematici per l Economia anno 2017/2018 Gruppo B

Metodi Matematici per l Economia anno 2017/2018 Gruppo B Metodi Matematici per l Economia anno 2017/2018 Gruppo B Docente: Giacomo Dimarco Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Ferrara https://sites.google.com/a/unife.it/giacomo-dimarco-home-page/

Dettagli

27 DERIVATE DI ORDINI SUCCESSIVI

27 DERIVATE DI ORDINI SUCCESSIVI 27 DERIVATE DI ORDINI SUCCESSIVI Definizione Sia f derivabile sull inervallo I. Se esise la derivaa della funzione x f (x) in x, allora (f ) (x) si dice la derivaa seconda di f in x, e si denoa con f (x)

Dettagli

I - LA FORMULA DI TAYLOR

I - LA FORMULA DI TAYLOR I - LA FORMULA DI TAYLOR Data una funzione, ci si chiede se è possibile approssimarla con una funzione più semplice, per esempio con un polinomio, in un intorno di un punto assegnato. Vedremo che questa

Dettagli

Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.4, 3.9. Esercizi 3.4, 3.9.

Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.4, 3.9. Esercizi 3.4, 3.9. Appunti sul corso di Complementi di Matematica - mod Analisi prof. B.Baccelli 200/ 07 - Funzioni vettoriali, derivata della funzione composta, formula di Taylor. Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale

Dettagli

Calcolo integrale. Regole di integrazione

Calcolo integrale. Regole di integrazione Calcolo integrale Linearità dell integrale Integrazione per parti Integrazione per sostituzione Integrazione di funzioni razionali 2 2006 Politecnico di Torino Proprietà Siano e funzioni integrabili su

Dettagli

ANALISI MATEMATICA. Prova scritta del 20/12/ FILA 1

ANALISI MATEMATICA. Prova scritta del 20/12/ FILA 1 ANALISI MATEMATICA CORSO C - CdL INFORMATICA Prova scritta del 0//004 - FILA ESERCIZIO Studiare la funzione f(x) log x log x determinando in particolare a) campo di esistenza ed eventuali asintoti; b)

Dettagli

25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE

25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE 25 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE Definizione Sia f una funzione reale di variabile reale. Allora, dati x, y domf con x y, si definisce il rapporto incrementale di f tra x e y come P f (x, y = f(x

Dettagli

Politecnico di Torino II Facoltà di Architettura - 5 Luglio 2011 Esercizio 1. Sono date le matrici 2 1, B = 1 4

Politecnico di Torino II Facoltà di Architettura - 5 Luglio 2011 Esercizio 1. Sono date le matrici 2 1, B = 1 4 A Politecnico di Torino II Facoltà di Architettura - 5 Luglio 20 Esercizio. Sono date le matrici A = ( ) 2, B = 4 ( ). 2 a) Calcolare la matrice A. b) Enunciare ed applicare la regola di Cramer per determinare

Dettagli

17 LIMITI E COMPOSIZIONE

17 LIMITI E COMPOSIZIONE 17 LIMITI E COMPOSIZIONE L operazione di ite si comporta bene per composizione con funzioni continue. Teorema. Sia gx) = y 0 e sia f continua in y 0. Allora esiste fgx)) = fy 0 ). Questo teorema ci dice

Dettagli

Campo di Esistenza. Il campo di esistenza di una funzione f è il dominio più grande su cui ha significato la legge f.

Campo di Esistenza. Il campo di esistenza di una funzione f è il dominio più grande su cui ha significato la legge f. Campo di Esistenza Il campo di esistenza di una funzione f è il dominio più grande su cui ha significato la legge f. ESERCIZIO. Determinare il campo di esistenza della funzione f(x) = 9+2x. Soluzione:

Dettagli

Polinomio di Mac Laurin e di Taylor

Polinomio di Mac Laurin e di Taylor Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia Dip. di Scienze Statistiche e Matematiche Silvio Vianelli Appunti del corso di Matematica Generale Polinomio di Mac Laurin e di Taylor Anno Accademico

Dettagli

Argomenti della Lezione

Argomenti della Lezione 23.. Esperimenti. ANALISI Argomenti della Lezione 23. Formula di Taylor 25 novembre 20 Il caso della funzione e x I polinomi di Taylor associati a e x e alla scelta di x 0 = 0 sono da cui T m (x) = + x

Dettagli

Esercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.

Esercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio. Esercizi svolti 1. Sia sin(x ) f(x) = x ( 1 + x 1 ) se x > 0 a x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.. Scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa

Dettagli

ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari

ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari Sommario Proprietà dell estremo superiore per R... 2 Definitivamente... 2 Successioni convergenti... 2 Successioni monotone... 2 Teorema di esistenza del limite

Dettagli

f(x) f(x 0 ) = m R ; (1.1) lim f(x) f(x 0 ) m(x x 0 ) lim (x x 0 ) f (n) (x 0 )

f(x) f(x 0 ) = m R ; (1.1) lim f(x) f(x 0 ) m(x x 0 ) lim (x x 0 ) f (n) (x 0 ) I polinomi i Taylor Il resto i Peano Una funzione f efinita in un intorno i un punto x 0 si ice erivabile in x 0 se e solo se a sua volta la (1.1) equivale a lim f(x) f(x 0 ) x x 0 = m R ; (1.1) f(x) f(x

Dettagli

Soluzioni degli esercizi sulle Formule di Taylor

Soluzioni degli esercizi sulle Formule di Taylor Soluzioni degli esercizi sulle Formule di Taylor Formule di MacLaurin più usate (h, n numeri interi non negativi; a numero reale): e t =+t + t! + t3 tn +... + 3! n! + o(tn ) ln( + t) =t t + t3 3 t4 4 +...

Dettagli

Limiti e continuità. Teoremi sui limiti. Teorema di unicità del limite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei limiti

Limiti e continuità. Teoremi sui limiti. Teorema di unicità del limite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei limiti Limiti e continuità Teorema di unicità del ite Teorema di permanenza del segno Teoremi del confronto Algebra dei iti 2 2006 Politecnico di Torino 1 Se f(x) =` ` è unico Per assurdo, siano ` 6= `0 con f(x)

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria, Settore Informazione (gruppi 2-3), A.A. 2007/2008 Docente: Antonio Ponno

Corso di Laurea in Ingegneria, Settore Informazione (gruppi 2-3), A.A. 2007/2008 Docente: Antonio Ponno Programma del Corso di Matematica A Corso di Laurea in Ingegneria, Settore Informazione (gruppi 2-3), A.A. 2007/2008 Docente: Antonio Ponno Premessa (D) dopo un teorema o una proposizione citati sta ad

Dettagli

Diario del Corso Analisi Matematica I

Diario del Corso Analisi Matematica I Diario del Corso Analisi Matematica I 1. Martedì 1 ottobre 2013 Presentazione del corso. Nozioni di Teoria degli Insiemi. Numeri Naturali, loro proprietà, rappresentazione geometrica, sommatoria, principio

Dettagli

Proposizioni. Negazione di una proposizione. Congiunzione e disgiunzione di due proposizioni. Predicati. Quantificatori.

Proposizioni. Negazione di una proposizione. Congiunzione e disgiunzione di due proposizioni. Predicati. Quantificatori. Corso di laurea in Ingegneria elettronica e informatica - A13 Programma di Analisi matematica 1 - A13106 Anno accademico 2015-2016 Prof. Giulio Starita 1 - Insiemi, logica, numeri I concetti primitivi.

Dettagli

Ingegneria civile - ambientale - edile

Ingegneria civile - ambientale - edile Ingegneria civile - ambientale - edile Analisi - Prove scritte dal 7 Prova scritta del 9 giugno 7 Esercizio Determinare i numeri complessi z che risolvono l equazione Esercizio (i) Posto a n = n i z z

Dettagli

Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni.

Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni. Corsi di Laurea in Ingegneria Elettronica e Telecomunicazioni. Università di Pisa. Prima prova scritta di Analisi Matematica I. Soluzioni. Esercizio. Si consideri la successione c n ) n N definita dalla

Dettagli

PROGRAMMA di Analisi Matematica 1 A.A , canale 3, prof.: Francesca Albertini Ingegneria area dell Informazione

PROGRAMMA di Analisi Matematica 1 A.A , canale 3, prof.: Francesca Albertini Ingegneria area dell Informazione PROGRAMMA di Analisi Matematica A.A. 204-205, canale 3, prof.: Francesca Albertini Ingegneria area dell Informazione Testo Consigliato: - Analisi Matematica, Teoria e Applicazioni, A. Marson, P. Baiti,

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Limiti di funzioni

Corso di Analisi Matematica Limiti di funzioni Corso di Analisi Matematica Limiti di funzioni Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 39 1 Definizione di ite 2 Il calcolo dei

Dettagli

Corso di Analisi Numerica

Corso di Analisi Numerica Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Corso di 4 - DERIVAZIONE NUMERICA Lucio Demeio Dipartimento di Scienze Matematiche 1 Calcolo numerico delle derivate 2 3 Introduzione Idea di base L idea di base

Dettagli

Confronto locale di funzioni

Confronto locale di funzioni Confronto locale di funzioni Equivalenza di funzioni in un punto Sia A R ed f, g due funzioni definite in A a valori in R. Sia x 0 R un punto di accumulazione per A. Definizione. Si dice che f è equivalente

Dettagli

Esercizi di prove scritte di Analisi Matematica I con schema di soluzione Paola Loreti. April 5, 2006

Esercizi di prove scritte di Analisi Matematica I con schema di soluzione Paola Loreti. April 5, 2006 Esercizi di prove scritte di Analisi Matematica I con schema di soluzione Paola Loreti April 5, 6 ESERCIZI. Studiare la convergenza della serie numerica al variare di γ IR.. Calcolare l integrale π n=

Dettagli

24 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE

24 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE 24 IL RAPPORTO INCREMENTALE - DERIVATE Definizione Sia f una funzione reale di variabile reale. Allora, dati x, y 2 domf con x 6= y, sidefinisceilrapporto incrementale di f tra x e y come P f (x, y) =

Dettagli

Dispense del corso di Analisi II

Dispense del corso di Analisi II Dispense del corso di Analisi II versione preliminare Paolo Tilli Dipartimento di Matematica Politecnico di Torino email: paolo.tilli@polito.it 2 dicembre 2004 Capitolo 2 Serie di potenze 2. Introduzione

Dettagli

Esame di MATEMATICA CORSO BASE del

Esame di MATEMATICA CORSO BASE del Esame di MATEMATICA CORSO BASE del Cognome Matricola Nome Esercizio. Si consideri il seguente sistema x 3y + z =5 x ky +z = k kx y z = Si trovino il numero delle soluzioni al variare del parametro k e

Dettagli

Docente: Anna Valeria Germinario. Università di Bari. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 1 / 22

Docente: Anna Valeria Germinario. Università di Bari. A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica ITPS 1 / 22 Laurea in Informatica e Tecnologie per la Produzione del Software Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale e approssimazioni, formula di Taylor Docente: Anna Valeria Germinario Università di Bari

Dettagli

ANALISI MATEMATICA. Ottavio Caligaris - Pietro Oliva

ANALISI MATEMATICA. Ottavio Caligaris - Pietro Oliva ANALISI MATEMATICA Ottavio Caligaris - Pietro Oliva CAPITOLO 12 LA FORMULA DI TAYLOR La formula di Taylor nasce dall esigenza di trovare buone approssimazioni, facilmente calcolabili, per le funzioni

Dettagli

Riproduzione vietata. Capitolo 1. Serie di funzioni. 1.1 Serie di funzioni

Riproduzione vietata. Capitolo 1. Serie di funzioni. 1.1 Serie di funzioni Capitolo 1 Serie di funzioni In questo capitolo trattiamo le serie di funzioni in generale e il primo importante esempio di tali serie: le serie di potenze. Nel capitolo precedente abbiamo visto la definizione

Dettagli

Esercizi svolti sugli integrali

Esercizi svolti sugli integrali Esercizio. Calcolare il seguente integrale indefinito x dx. Soluzione. Poniamo da cui x = t derivando rispetto a t abbiamo t = x x = t dx dt = quindi ( t x dx = ) poiché t = t, abbiamo t dt = = in definitiva:

Dettagli

Universita degli Studi di Ancona - Facolta di Ingegneria Laurea in Ing. Elettronica (VO) Ing. Informatica e Automatica - Ing. delle Telecomunicazioni

Universita degli Studi di Ancona - Facolta di Ingegneria Laurea in Ing. Elettronica (VO) Ing. Informatica e Automatica - Ing. delle Telecomunicazioni Universita degli Studi di Ancona - Facolta di Ingegneria Laurea in Ing. Elettronica (VO) Ing. Informatica e Automatica - Ing. delle Telecomunicazioni ANALISI NUMERICA - Primo Parziale - TEMA A (Prof. A.M.Perdon)

Dettagli

Derivate. Capitolo Cos è la derivata?

Derivate. Capitolo Cos è la derivata? Capitolo 8 Derivate 8.1 Cos è la derivata? Consideriamo una funzione y f(x) e disegnamo il suo grafico. Sia x 0 nel dominio di f e consideriamo il punto (x 0, f(x 0 )) del grafico. Vogliamo determinare

Dettagli

Analisi Matematica. Serie numeriche, serie di potenze, serie di Taylor

Analisi Matematica. Serie numeriche, serie di potenze, serie di Taylor a.a. 2014/2015 Laurea triennale in Informatica Analisi Matematica Serie numeriche, serie di potenze, serie di Taylor Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili

Dettagli

Corso di Analisi Matematica 1 - professore Alberto Valli

Corso di Analisi Matematica 1 - professore Alberto Valli Università di Trento - Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Ingegneria per l Ambiente e il Territorio - 07/8 Corso di Analisi Matematica - professore Alberto Valli 7 foglio di esercizi - 8 novembre 07

Dettagli

Appunti di ANALISI MATEMATICA II Corso di Laurea Triennale in Matematica

Appunti di ANALISI MATEMATICA II Corso di Laurea Triennale in Matematica Appunti di ANALISI MATEMATICA II Corso di Laurea Triennale in Matematica Umberto Massari Anno accademico 3-4 SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI. Successioni di funzioni: convergenza puntuale ed uniforme Sia

Dettagli

FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI CONTINUE - ESERCIZI SVOLTI 1) Verificare che x è continua in x 0 per ogni x 0 0 ) Verificare che 1 x 1 x 0 è continua in x 0 per ogni x 0 0 3) Disegnare il grafico e studiare i punti di discontinuità

Dettagli

Analisi Matematica 1+2

Analisi Matematica 1+2 Università degli Studi di Genova Facoltà di Ingegneria - Polo di Savona via Cadorna 7-700 Savona Tel. +39 09 264555 - Fax +39 09 264558 Ingegneria Gestionale Analisi Matematica +2 A.A 998/99 - Prove parziali

Dettagli

Derivate. Paola Mannucci e Alvise Sommariva. Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica. 12 novembre 2014

Derivate. Paola Mannucci e Alvise Sommariva. Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica. 12 novembre 2014 Derivate. Paola Mannucci e Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica 12 novembre 2014 Paola Mannucci e Alvise Sommariva Derivate. 1/ 106 Approssimazione Problema. Data

Dettagli

Diario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2016/17)

Diario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2016/17) Diario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2016/17) 16 settembre 2016 (2 ore) Presentazione del corso. Numeri naturali, interi, razionali, reali. 2 non è razionale. Come si risolve 2 + 1 = 0? 19 settembre

Dettagli

34 LO STUDIO DI FUNZIONE

34 LO STUDIO DI FUNZIONE 4 LO STUDIO DI FUNZIONE Possiamo riassumere parte di quello che abbiamo visto nelle ultime lezioni come un algoritmo per studiare le proprietà (ed eventualmente tracciare un grafico approssimato) di una

Dettagli

Programma delle lezioni svolte nel corso CLEM di Matematica Generale, Lettere M-Z, Prof. F. Manzini.

Programma delle lezioni svolte nel corso CLEM di Matematica Generale, Lettere M-Z, Prof. F. Manzini. Programma delle lezioni svolte nel corso CLEM di Matematica Generale, Lettere M-Z, Prof. F. Manzini. 1. Generalità sul corso e sulle modalità di esame. Insiemi ed operazioni sugli insiemi. Applicazioni

Dettagli

Insiemi limitati Funzioni limitate, massimo e minimo Funzioni suriettive, iniettive e biiettive Funzione inversa Funzioni monotone Funzioni composte

Insiemi limitati Funzioni limitate, massimo e minimo Funzioni suriettive, iniettive e biiettive Funzione inversa Funzioni monotone Funzioni composte Limiti e continuità Richiami sulle unzioni - parte II Insiemi limitati Funzioni limitate, massimo e minimo Funzioni suriettive, iniettive e biiettive Funzione inversa Funzioni monotone Funzioni composte

Dettagli

A.A. 2016/17 - Analisi Matematica 1

A.A. 2016/17 - Analisi Matematica 1 A.A. 2016/17 - Analisi Matematica 1 Argomenti svolti, libro di testo di riferimento: P. Marcellini, C. Sbordone: Elementi Calcolo. Liguori Editore. O. Bernardi: Temi d esame senza tema. Ed. Libreria Progetto.

Dettagli

Il teorema di Lagrange e la formula di Taylor

Il teorema di Lagrange e la formula di Taylor Il teorema di Lagrange e la formula di Taylor Il teorema del valor medio di Lagrange, valido per funzioni reali di una variabile reale, si estende alle funzioni reali di più variabili. Come si vedrà, questo

Dettagli

Elenco dei Simboli. Appendice A. N: insieme dei numeri naturali. Z: insieme dei numeri interi. Q: insieme dei numeri razionali.

Elenco dei Simboli. Appendice A. N: insieme dei numeri naturali. Z: insieme dei numeri interi. Q: insieme dei numeri razionali. Appendice A Elenco dei Simboli : per ogni, qualunque, tutti. : esiste almeno uno.!: esiste un unico. : nonesiste. N: insieme dei numeri naturali. Z: insieme dei numeri interi. Q: insieme dei numeri razionali.

Dettagli

SOLUZIONI COMPITO del 1/02/2013 ANALISI MATEMATICA I - 9 CFU INGEGNERIA MECCANICA - INGEGNERIA ENERGETICA INGEGNERIA AMBIENTE e TERRITORIO TEMA A

SOLUZIONI COMPITO del 1/02/2013 ANALISI MATEMATICA I - 9 CFU INGEGNERIA MECCANICA - INGEGNERIA ENERGETICA INGEGNERIA AMBIENTE e TERRITORIO TEMA A SOLUZIONI COMPITO del /0/0 ANALISI MATEMATICA I - 9 CFU INGEGNERIA MECCANICA - INGEGNERIA ENERGETICA INGEGNERIA AMBIENTE e TERRITORIO TEMA A Esercizio Osserviamo che la serie proposta è a termini di segno

Dettagli

Soluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - 10/07/09. C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni

Soluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - 10/07/09. C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni Soluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - /7/9 C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni Proff. K. Payne, C. Tarsi, M. Calanchi Esercizio. a La funzione f è limitata e essendo lim fx

Dettagli

Funzioni derivabili (V. Casarino)

Funzioni derivabili (V. Casarino) Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente

Dettagli

Matematica I, Derivate e operazioni algebriche.

Matematica I, Derivate e operazioni algebriche. Matematica I, 6.0.202 Derivate e operazioni algebriche.. Prima di iniziare questa lezione, conviene rendere espliciti due fatti che sono impliciti nella definizione informale di derivata, banalmente verificabili

Dettagli

Pietro Baldi. Analisi matematica I. Programma d esame, anno accademico Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Biomedica, cognomi A-I.

Pietro Baldi. Analisi matematica I. Programma d esame, anno accademico Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Biomedica, cognomi A-I. Pietro Baldi Analisi matematica I Programma d esame, anno accademico 2013-2014 Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Biomedica, cognomi A-I. Il libro di testo adottato durante il corso è Analisi Matematica

Dettagli

Calcolo differenziale 179

Calcolo differenziale 179 Calcolo differenziale 179 4. Sviluppi di Taylor In questa sezione ci addentriamo in uno dei temi centrali dell analisi, ossia la tecnica di approssimazione locale di una funzione (sufficientemente regolare)

Dettagli

Continuità di funzioni

Continuità di funzioni Continuità di funzioni Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica 2 novembre 2015 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva

Dettagli

ARGOMENTI SETTIMANA 1.

ARGOMENTI SETTIMANA 1. Programma di Analisi Matematica 1 (Canale ICM) svolto per lezioni - A. Languasco - A. Benvegnù 1 Date d esame: 24/1/217, aule P3-Lu3-Lu4; ore 9.-12.; 24/2/217, aule P3-Lu3-Lu4; ore 9.- 12.; 28/6/217, aule

Dettagli

Analisi Matematica 1

Analisi Matematica 1 Analisi Matematica 1 Schema provvisorio delle lezioni A. A. 2015/16 1 Distribuzione degli argomenti delle lezioni Argomento ore tot Numeri reali 11 11 Numeri complessi 1 12 Spazio euclideo 2 14 Topologia

Dettagli

Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 4) FUNZIONI ELEMENTARI.

Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 4) FUNZIONI ELEMENTARI. Matematica per l Economia Sottoinsieme L-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Bari 4) FUNZIONI ELEMENTARI Giovanni Villani FUNZIONI ELEMENTARI Funzione potenza con esponente n N Si definisce

Dettagli

INTRODUZIONE ALL ANALISI MATEMATICA

INTRODUZIONE ALL ANALISI MATEMATICA INTRODUZIONE ALL ANALISI MATEMATICA Intervalli e intorni Funzioni in R e classificazione Proprietà delle funzioni: pari e dispari monotone periodiche Intervallo Un intervallo di estremi a e b è un insieme

Dettagli

TASSI DI ACCRESCIMENTO

TASSI DI ACCRESCIMENTO TASSI DI ACCRESCIMENTO Sia N il numero di individui di una data popolazione. N varia col tempo: N= f(t) Se indichiamo con t 1 e t 2 due istanti distinti di tempo, allora f(t 1 ) ed f(t 2 ) sono i numeri

Dettagli

b x 2 + c se x > 1 determinare a, b e c in modo che f sia continua in R, determinare a, b e c in modo che f sia anche derivabile in R

b x 2 + c se x > 1 determinare a, b e c in modo che f sia continua in R, determinare a, b e c in modo che f sia anche derivabile in R 9.. Esercizio. Data la funzione x tg( π x) se x < 4 f(x) = a se x = b x 2 + c se x > ANALISI Soluzione esercizi 9 dicembre 20 determinare a, b e c in modo che f sia continua in R, determinare a, b e c

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor

Corso di Analisi Matematica. Polinomi e serie di Taylor a.a. 2013/14 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Polinomi e serie di Taylor Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli

Dettagli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1. EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti 1. Determinare la soluzione dell equazione differenziale (x 2 + 1)y + y 2 =. y + x tan y = 2. Risolvere il problema di Cauchy y() = 1 2 π. 3. Risolvere il problema

Dettagli

La formula di Taylor per funzioni di più variabili

La formula di Taylor per funzioni di più variabili La formula di Taylor per funzioni di più variabili Il polinomio di Taylor Due variabili. Sia A R 2 un aperto, f : A R una funzione sufficientemente regolare, (x, y) un punto di A. Sia (h, k) un vettore

Dettagli

Derivate di funzioni

Derivate di funzioni Derivate di funzioni Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica 9 novembre 2015 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica I

Esercizi di Analisi Matematica I Esercizi di Analisi Matematica I (corso tenuto dal Prof Alessandro Fonda) Università di Trieste, CdL Fisica e Matematica, aa 2012/2013 1 Principio di induzione 1 Dimostrare che per ogni numero naturale

Dettagli

Corso di Analisi Matematica

Corso di Analisi Matematica Corso di Laurea in Ingegneria Edile Corso di TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Lucio Demeio Dipartimento di Ingegneria Industriale e delle Scienze Matematiche Teorema di Estremi locali Richiamiamo la

Dettagli

Limiti e continuità. Limiti di funzioni

Limiti e continuità. Limiti di funzioni Limiti e continuità Limite all ininito di una unzione Limite al inito di una unzione Continuità di una unzione Limite ininito al inito di una unzione Limiti laterali di una unzione Punti di discontinuità

Dettagli

Materiale coperto nel corso di Analisi Matematica 1 Ingegneria, docente S. Cuccagna A.A. 2011-12

Materiale coperto nel corso di Analisi Matematica 1 Ingegneria, docente S. Cuccagna A.A. 2011-12 Materiale coperto nel corso di Analisi Matematica 1 Ingegneria, docente S. Cuccagna A.A. 2011-12 Martedì 4 Ottobre Settembre 2011 16-19 3 ore Numeri naturali. Definizione di minimo di un sottoinsieme di

Dettagli

Polinomi di Taylor e convessità

Polinomi di Taylor e convessità CAPITOLO 1 Polinomi di Taylor e convessità In questo capitolo completiamo lo studio del grafico di una funzione aggiungendo le informazioni su convessità e concavità. Rimandiamo al corso di Analisi 1 per

Dettagli

Pietro Baldi. Analisi matematica I

Pietro Baldi. Analisi matematica I Pietro Baldi Analisi matematica I Programma svolto nell anno accademico 2013-2014, dal 25 settembre al 20 dicembre 2013 Lezioni 1-36 Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Biomedica, cognomi A-I. Il libro

Dettagli

Il teorema di Stone Weierstrass

Il teorema di Stone Weierstrass APPENDICE B Il teorema di Stone Weierstrass Definizione B.1. Siano X un insieme non vuoto e A un sottospazio vettoriale dello spazio delle funzioni a valori reali (risp. complessi) su X. Si dice che A

Dettagli

LEZIONI ED ESERCITAZIONI DI FISICA Prof. Francesco Marchi 1 Esercitazione su: angoli, funzioni e formule goniometriche Indice 1 Goniometriche 1.1 Introduzione.............................. 1. La soluzione

Dettagli

Appunti di Analisi Matematica 2

Appunti di Analisi Matematica 2 Corso di Laurea in Statistica Matematica e trattamento Informatico dei Dati Appunti di Analisi Matematica 2 Francesca Astengo Università di Genova, A.A. 2006/2007 Questi sono alcuni appunti che ho preparato

Dettagli

Teorema delle Funzioni Implicite

Teorema delle Funzioni Implicite Teorema delle Funzioni Implicite Sia F una funzione di due variabili definita in un opportuno dominio D di R 2. Consideriamo l equazione F (x, y) = 0, questa avrà come soluzioni coppie di valori (x, y)

Dettagli

0.5 setgray0 0.5 setgray1 Integrazione indefinita di funzioni trascendenti

0.5 setgray0 0.5 setgray1 Integrazione indefinita di funzioni trascendenti Esercizi di riepilogo e complemento 3 0.5 setgray0 0.5 setgray Integrazione indefinita di funzioni trascendenti Indicheremo con R(x,x,...,x n ) una funzione razionale dipendente dalle variabili x,x,...,x

Dettagli

CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA UNIVERSITÀ DEL SALENTO Prova parziale di ANALISI MATEMATICA I - 15/11/2017 Prova A

CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA UNIVERSITÀ DEL SALENTO Prova parziale di ANALISI MATEMATICA I - 15/11/2017 Prova A Prova parziale di ANALISI MATEMATICA I - 5//207 Prova A da Si studino l insieme di definizione ed il segno della funzione definita fx) = log 2 ) 2 sinx3 cos x+5) + arctan 3 x 3 x + π 4 ) 2 Si risolva la

Dettagli