A) Intorni in R. Chiamiamo intorno di x R ogni intervallo aperto contenente x. Ciascuno di essi contiene un intorno sferico di x, ]x-r, x+r[, r >0.

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1 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 1 CTOPOLOGIA DI R C Poniamo R = R {+, - } A) Intorni in R Chiamiamo intorno di x R ogni intervallo aperto contenente x. Ciascuno di essi contiene un intorno sferico di x, ]x-r, x+r[, r >0. Chiamiamo intorni di + le semirette aperte ]a, + [, a R {- }. Ciascuno di essi contiene un intervallo ]M, + [, con M reale positivo. Chiamiamo intorni di - le semirette aperte ], a[, a R {+ }. Ciascuno di essi contiene un intervallo ]-, -M[, con M reale positivo. Proprietà dell'intersezione. Sia x R e siano I ed I' due suoi intorni. Allora anche I I' è un intorno di x. Proprietà T2 o di Hausdorff. Siano x ed x' appartenenti ad R, x x'. Allora esistono un intorno I di x ed un intorno I' di x' tali che I I' = ø.

2 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 2 B) Punti d'accumulazione in R Siano E R ed x 0 R. a) x 0 è detto punto di accumulazione di E se in ogni intorno di x 0 esistono (infiniti) elementi di E diversi da x 0. Ossia, per ogni intorno I di x 0 si ha I E\{x 0 } ø. Il derivato D(E) di E è l'insieme dei punti di accumulazione di E in R. b) x 0 si dice punto non isolato di E se x 0 E D(E); si dice isolato se x 0 E\D(E) c) x 0 si dice interno ad E se esiste un intorno di x 0 interamente contenuto in E. In tal caso, x 0 è anche punto non isolato di E. In R per un intervallo tutti i punti diversi dagli estremi sono interni; il derivato è la sua chiusura, comprendente anche gli estremi. Invece, tutti i punti di N sono isolati; il derivato è {+ }.

3 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 3 DEFINIZIONE DI LIMITE Siano dati: - un sottoinsieme non vuoto E di R, - una funzione f:e R, - un x0 R, che sia punto di accumulazione per E (ossia x0 D(E)) - un elemento l R. Dati E R, E, x0 D(E), l R, diremo che f ha limite l per x tendente ad x0 su E se per ogni intorno I di l esiste un intorno J di x0 tale che per ogni x E J, x x0 si ha f(x) I. NOTE: a) La condizione x 0 D(E) assicura che l'insieme E J\{x 0 } è sempre non vuoto qualunque sia l'intorno J di x 0. b) I valori di x che determinano il limite di f sono quelli di un intorno U di x 0, ossia si può calcolare il limite su E U anziché su tutto E.

4 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 4 Teorema di unicità del limite. Siano E R, f:e R, x 0 D(E). Se f ha due limiti l ed l' per x tendente ad x 0 su E, allora l = l'. Dimostrazione. Supponiamo per assurdo l l'. (Nelle figure seguenti si suppone l < l'). Per la proprietà di Hausdorff esistono un intorno I di l ed un intorno I' di l' tali che I I' = ø.

5 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 5 Poiché l è un limite per x tendente ad x 0 su E ed I è un intorno di l, per la definizione di limite esiste un intorno J di x 0 tale che per ogni x E J\{x 0 } si ha f(x) I.

6 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 6 Ma anche l' è un limite per x tendente ad x 0 su E ed I' è un suo intorno, quindi per la definizione di limite esiste un intorno J' di x 0 tale che per ogni x E J'\{x 0 } si ha f(x) I'.

7 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 7 Per la proprietà dell'intersezione, anche J J' è un intorno di x 0, e poiché x 0 D(E), l'insieme E (J J') ha infiniti elementi. Possiamo allora prendere un elemento x E (J J'), x x 0. Ma allora si ha contemporaneamente f(x) I e f(x) I. In definitiva, f(x) I I'=ø, assurdo. Allora non può essere l l'. Dunque, l = l'.

8 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 8 Come calcolare un limite? 1. - Nei punti non isolati di E, il candidato come limite l di f per x x 0 è f(x 0 ), ossia il valore della funzione in x 0. Se ciò accade, ossia se l = f(x 0 ), la funzione si dice continua in x Per una successione s:n R, l'unico limite si fa per n +. Si può cercarlo attribuendo ad n valori sempre più grandi Sia B E, che abbia ancora x 0 come punto di accumulazione e calcoliamo il limite della restrizione di f a B. Se esiste, è il candidato ad essere il limite di f su E. Se cambiando sottoinsieme si trova un limite diverso, allora la funzione non ha limite su E. Solitamente questi sottoinsiemi sono: B = {x E x > x0} oppure B = {x E x < x0}. I due limiti in tal caso di chiamano rispettivamente limiti destro e sinistro di f in x0: ( ) ( ) lim + x"x 0 f x lim # x"x 0 f x Se esistono e sono uguali, il limite esiste.

9 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 9 ESERCIZIO: Calcoliamo tutti i limiti della funzione logaritmo. Siano E = R + = ]0, + [ ed f:e R, tale che f(x) = ln(x) (in base e). Distinguiamo tre casi: 1) x 0 = 0. Assegnando ad x valori sempre più prossimi a zero, vedremo che log(x) decresce sempre più verso il -, per cui ipotizziamo lim ln ( x ) = #$. x"0 Verifica: sia I = ]-, -M[ un intorno di -, M > 0. La condizione f(x) I diventa ln(x)<-m. Per la crescenza di ex si deduce: x = e ln x ( ) <e "M = 1 e M Poniamo J = ]-, e-m[, che M>0 è un intorno di zero e per ogni x J E=]0, e M[ si ha f(x) I.Dunque, lim ln x x"0 ( ) = #$

10 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 10 2) x 0 = +. Sostituiamo ad x valori sempre più grandi: anche ln(x) cresce e sembra tendere a +. Ipotizziamo lim ln x x"+# ( ) = +#. Verifica: sia I = ]M, + [ un intorno di +, M > 0. La condizione f(x) I diventa ln(x) > M, da cui segue x > em. Poniamo allora J = ]em, + [, che è sempre un intorno di + e allora, per ogni x J E (= J), si ha f(x) I. Dunque, lim ln x x"+# ( ) = +#. 3) Sia infine x 0 E: ipotizziamo che sia # lim ln( x) = ln% & x ( x"x $ 0. ' 0 Verifica. Sia I = ]log(x 0 )-ε, log(x 0 )+ε[ un intorno di log(x 0 ), con ε > 0. La condizione f(x) I diviene: log(x 0 )- ε < log(x) < log(x 0 )+ ε -ε < log(x)-log(x 0 ) < ε. -ε < log(x/x 0 ) < ε e "# < x x 0 <e # x 0 "e #$ < x < x 0 "e $ ( essendo x 0 > 0) % Poniamo quindi J = x 0 "e #$, x 0 "e $ & ' Per ogni x J (= J E) si ha f(x) I, dato che i passaggi eseguiti sono tutti reversibili. Ma J è un intorno di x 0? Occorrono alcuni passaggi: "# < 0 < # $ e "# < e 0 < e # ( ) *

11 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 11 Ricordiamo che e0 = 1. Di qui otteniamo: x 0 "e #$ < x < x 0 "e $. Questa condizione è proprio quella che serve per affermare che x 0 J in ogni caso. Dunque, J è l'intorno di x 0 cercato e il risultato è "vero". Conseguenza: la funzione logaritmo è continua in ogni x 0 ]0, + [. Altre funzioni continue su R: - le costanti f(x) = c - l identità f(x) = x - il seno: f(x) = sin(x) La verifica delle prime due è immediata, mentre più difficile è dimostrare l ultima. Dalla continuità di queste funzioni dedurremo con teoremi generali la continuità delle altre funzioni elementari: polinomi, funzioni razionali fratte funzioni esponenziali e logaritmiche coseno, tangente, arcotangente radicali e funzioni potenza valore assoluto

12 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 12 Teorema della permanenza del segno. Siano E R, f:e R, x 0 D(E), lim x"x0 f(x)=l#r. a) Se l > 0 esiste un intorno J di x0 tale che per ogni x E J\{x 0 } si ha f(x) > 0. b) Se l < 0 esiste un intorno J di x0 tale che per ogni x E J\{x 0 } si ha f(x) < 0. Dimostrazione. a) Sia I = ]0, + [. Allora I è un intorno di l, quindi, per la definizione di limite, esiste un intorno J di x0 tale che per ogni x E J\{x0} si ha f(x) I, ossia f(x) > 0. In modo analogo si dimostra anche b). Inverso parziale del teorema della permanenza del segno. Siano E R, f:e R, x 0 D(E), lim x"x0 f(x)=l#r. a) Se esiste un intorno J' di x0 tale che per ogni x E J'\{x 0 } si ha f(x) > 0, allora l 0. b) Se esiste un intorno J' di x0 tale che per ogni x E J'\{x 0 } si ha f(x) < 0, allora l 0. Dimostrazione. a) Se fosse l < 0 si andrebbe contro quanto affermato nel teorema precedente. b) Idem.

13 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 13 Primo teorema del confronto (o dei carabinieri). Siano E R, x 0 D(E), siano f,g,h:e R, ed esista un intorno J di x0 tale che per ogni x E J\{x0} si abbia f(x) g(x) h(x) Se lim f(x) = lim h(x) = l R, anche x"x0 x"x0 lim g(x) esiste ed è uguale ad l. x"x 0 ESEMPIO: "x > 0, #1 $ sin x Poiché lim x"+# $1 x = 0= lim ( ) $ 1 % #1 x $ sin ( x ) x"+# sin(x) del confronto, lim = 0 x"+# x x $ 1 x 1, allora per il teorema x

14 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 14 Secondo teorema del confronto. Siano E R, x 0 D(E), f, g:e R, ed esista un intorno J di x0 tale che per ogni x E J\{x0} sia f(x) g(x). a) Se lim x"x0 f(x) = +, anche lim x"x0 g(x) = +. b) Se lim x"x0 g(x) = -, anche lim x"x0 f(x) = -. NOTA. Le funzioni periodiche non hanno limite per x ±. Per esempio, sia f(x) = sin(x). Se consideriamo la sua restrizione al { }, allora sottoinsieme B = x = k " # k $ Z sen(x) su B vale costantemente 0 ed anche il limite per x ± di sin(x) su B vale 0. Dunque 0 è il solo candidato ad essere il limite del seno per x ± su R. Tuttavia, non è così. Se si prende l intorno I = # 0 " 1 2, & % $ 2' ( di 0, in ogni intorno J di + o di ci sono degli x per cui sin(x) = 1, (x = π/2 + 2kπ, k Z) e quindi sin(x) I. Perciò il limite non c è.

15 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 15 Il teorema degli zeri E' data la funzione f:r + R, f(x )=x!ln (x )-1, il cui grafico è in figura e che taglia l'asse x in un punto c. Come trovarlo? Restringiamo la funzione all'intervallo [1, 2], in cui f(1) = -1 < 0, f(2) 0.38 > 0. Il suo punto medio è = 1.5, ed è una prima approssimazione della radice. Si ha f(1.5) < 0.

16 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 16 Se l'approssimazione non è sufficiente, scegliamo il nuovo intervallo [1.5, 2], in cui f(1.5)<0, f(2)>0, ed è lungo metà del precedente, ossia 1/2. Il suo punto medio è = 1.75, ed è una 2 nuova approssimazione della radice; si ha f(1.75) -0,02<0. Se non ci basta, consideriamo il nuovo intervallo [1.75, 2], in cui f(1.75)<0, f(2)>0, lungo metà del precedente, ossia 1/4. Il punto medio dell'intervallo [1.75, 2] è = e si ha f(1.875) 0,179>0. 2 Si noti che l'approssimazione è peggiorata.

17 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 17 Consideriamo allora il nuovo intervallo [1.75, 1,875], in cui f(1.75)<0, f(1,875)>0, lungo metà del precedente, ossia 1/8. Ad ogni passo, l'intervallo si dimezza e l'approssimazione tende a migliorare. a b m=(a+b)/2 f(m) ,5-0, ,5 2 1,75-0, ,75 2 1,875 0, ,75 1,875 1,8125 0, ,75 1,8125 1, , ,75 1, , , ,75 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0001

18 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 18 Il teorema degli zeri (B. Bolzano). Siano a, b R, a < b, f:[a, b] R, continua, tale che f(a) ed f(b) hanno segni opposti. Allora esiste c ]a, b[, tale che f(c) = 0 Si prenda il punto medio m 1 = a+b 2 di [a, b]. Se f(m 1 )=0, la radice è trovata, c=m 1 ed abbiamo finito. Altrimenti, si avrà f(m 1 ) > 0 o f(m 1 ) < 0. " Nel primo caso poniamo a 1 = a $ #. $ b 1 =m % 1 Nel secondo poniamo a 1 =m $ 1 # $ b 1 =b " %. In entrambi i casi otteniamo un nuovo intervallo, [a 1, b 1 ], sul quale f è continua e tale che f(a 1 )<0 ed f(b 1 )>0. Il vantaggio è che il nuovo intervallo è la metà del primo: b 1 -a 1 = (b-a)/2. Possiamo ripetere il procedimento a partire dal nuovo intervallo: prendere il suo punto medio m 2, ecc.

19 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 19 Se non siamo fortunati, il procedimento proseguirà indefinitamente, producendo due successioni: a a 1 a 2... a n b n... b 2 b 1 b. tali che per ogni n 1 si ha f(a n )<0, f(b n )>0 e b n "a n = b"a 2 n n #$ %%%%%%# 0 Per la continuità di R, le due successioni racchiudono un unico numero, c, tale che a n <c<b n per ogni n 1. Si ha allora lim a n = c = lim b n. n"# n"# Questo punto c è la radice cercata. Infatti, poiché f(an)<0 ed f(bn)>0 per ogni n 1, per il teorema della permanenza del segno e la continuità di f si ha: f(c)= lim f(a n )#0 n!" f(c)= lim f(b n!" n )$0 % ' & ' (' ) f(c)= 0 NOTA. Ogni strumento di calcolo termina il suo procedimento quando la differenza tra a n e b n è tanto piccola che non riesce più a distinguerli e quindi per lui sono uguali. A questo punto esso pone c = a n

20 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 20 Le derivate Un viaggio Bologna Centrale - Rimini. Partenza ore 7, arrivo ore 8, durata 1 ora Distanza: 100 Km. La velocità media è 100 Km/ora. La distanza da Bologna di una località è una funzione s = s(t) del tempo. Fissati due "istanti" t 1 e t 2, la velocità media fra le corrispondenti località s(t 1 ) ed s(t 2 ) è: v m = spazio percorso tempo impiegato = s(t 2)" s(t 1 ) t 2 "t 1

21 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 21 Il tachimetro della locomotiva fornisce un altro tipo di velocità, che varia continuamente. Essa si può pensare misurata "istante per istante" e viene detta velocità istantanea. Per definirla al tempo t 0, calcoliamo la velocità media nell'intervallo fra t 0 ed un istante t via via più prossimo a t 0. Più precisamente, la velocità istantanea v(t 0 ) al tempo t 0 si definisce così: ( ) # s( t 0 ) s t lim t"t 0 t # t 0 Se si ripete per ogni istante t 0, nasce una funzione del tempo detta velocità di quel treno.

22 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 22 In un allevamento, si pesa ogni giorno un capo di bestiame. Il peso è una funzione del tempo, p = p(t). Nel periodo fra due date t 1 e t 2, l'accrescimento medio è dato dal rapporto p(t 2 ) " p(t 1 ) t 2 " t 1 fra aumento di peso e tempo trascorso. L accrescimento istantaneo del capo di bestiame al tempo t 0 è: p(t) # p(t lim 0 ) t"t 0 t # t 0 Se si ripete per ogni istante t 0, si ottiene la funzione accrescimento di quel capo.

23 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 23 Siano E un intervallo ed f:e R una funzione continua. Il suo grafico y = f(x) è una curva del piano cartesiano. Siano P 0 = (x 0, f(x 0 )) e P = (x, f(x)) distinti. La retta PP 0 si chiama secante. Il suo coefficiente angolare è f(x) " f(x 0 ) x " x 0. La tangente in P 0 al grafico y = f(x) di f è per definizione la retta per P 0 il cui coefficiente angolare è lim x"x 0 f(x) # f(x 0 ) x # x 0. Se ha senso ripetere ciò per ogni x 0 si ottiene la funzione pendenza di f.

24 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 24 Siano E R, E ø, f:e R, x 0 un punto non isolato di E. La funzione x " f(x) # f(x 0 ) x # x 0 definita su E\{x 0 } è detta rapporto incrementale relativo ad f e ad x 0. Chiamiamo derivata f'(x 0 ) di f in x 0 il f(x) # f(x lim 0 ) x"x 0 x # x, se esiste. 0 Diremo che f è derivabile in x 0 se f(x) # f(x lim 0 ) x"x 0 x # x 0 esiste ed è finito. Se tutti i punti di E sono non isolati e in essi la funzione f è derivabile, nasce una nuova funzione f':e R, detta derivata di f su E, che ad ogni x E associa la derivata f'(x) di f in x.

25 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 25 TIPI DI PUNTI DI MINIMO RELATIVO estremo punto angoloso cuspide p. di discontinuità punto critico punto critico

26 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 26 f:e R, x 0 E, Teorema di Fermat Siano E R, per f. Se x 0 è ad E ed f è in x 0 allora f '(x 0 ) = 0.. Sia x 0 un punto interno ad E e di minimo relativo per f: esiste un intorno J di x 0 tale che per ogni x J E si ha f(x) f(x 0 ). Allora il segno del rapporto incrementale x " f(x)# f(x 0) x#x è 0 per ogni x J E perché il numeratore è 0. Per l'inverso del teorema di permanenza del segno si ha quindi: f "(x 0 )= lim f(x)$ f(x 0 ) x#x + x$x % f(x)$ f(x 0 ) f "(x 0 )= lim x#x 0 $ x$x 0 & 0 ' ) ) ) ( ) ) ) * + f "(x 0 )= 0. Se il punto x 0 non è interno ad E, oppure se f non è derivabile in x 0, non possiamo applicare questo teorema.

27 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 27 I TEOREMI DI ROLLE E LAGRANGE. Sia f:[a, b] R, continua su [a, b], derivabile almeno su ]a, b[. Se f(a) = f(b) allora esiste c ]a, b[ tale che f'(c) = 0. Sia f:[a, b] R, continua su [a, b] e derivabile almeno su ]a, b[. Allora esiste c ]a, b[ tale che f "(c)= f(b)# f(a) b#a.. Ossia, c'è un punto in cui la pendenza della curva è uguale alla pendenza media della curva fra i punti A e B.

28 L. Verardi Alcuni lucidi su limiti, continuità e derivate 28 Tabella di derivate e primitive di alcune funzioni funzione derivata primitiva 1 0 x x n, n 1 n.x n-1 x n+1 /(n+1) 1/x, x 0-1/x 2 log x 1/x n, x 0, n 2 n/x n+1 x -n+1 /(-n+1) sin(x) cos(x) - cos(x) cos(x) - sen(x) sin(x) tan(x) 1+(tan(x)) 2 - ln cos(x) ex ex ex ln(x), x > 0 1/x x.ln(x) - x tan "1 ( x ) 1/(1+x 2 ) -ln(1+x 2 )/2 sign(x), x 0 0 x x sign(x), x 0 (x. x )/2 x 1/(2 x), x > 0 2 x 3 /3