Derivazione. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara

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1 Derivazione Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara) Derivazione 1 / 27

2 (Pendenza retta tangente) Abbiamo già individuato il problema della determinazione della pendenza della retta tangente in un punto al grafico di una funzione (problema D). Sia P(,f( )) il punto in cui vogliamo valutare la pendenza della retta tangente, e Q(,f()) un qualsiasi altro punto del grafico di f,. La pendenza m() della retta per P e Q vale m() = f() f( ) = incremento di f incremento di, questo rapporto è detto rapporto incrementale o quoziente di Newton. Posto = + h, h R, il rapporto incrementale diventa La pendenza limite sarà dunque, f( + h) f( ). h f() f( ) lim f( + h) f( ) = lim, h h e rappresenta la definizione naturale di pendenza della retta tangente. Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara) Derivazione 2 / 27

3 (Legge di moto, velocità e accelerazione) Supponiamo che un oggetto si muova lungo una linea retta e che la posizione y sia una funzione del tempo t, y = s(t). La velocità media v m dell oggetto nell intervallo di tempo [t, t + h], h > è data da v m = s(t + h) s(t). h I limite della velocità media per h fornisce la velocità istantanea dell oggetto all istante t s(t + h) s(t) v(t) = lim. h h Abbiamo che l accelerazione media dell oggetto nello stesso intervallo di tempo sarà data da v(t + h) v(t) a m =. h Potremo quindi definire l accelerazione istantanea dell oggetto come v(t + h) v(t) a(t) = lim. h h Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara) Derivazione 3 / 27

4 (Tasso di accrescimento) Sia p(t) il numero di cellule al tempo t, il tasso di accrescimento medio nell intervallo [t, t 1] è uguale a r(t 1, t ) = p(t1) p(t) t 1 t. Può essere utile considerare la variazione istantanea al tempo t definita come p(t 1) p(t ) lim = L(t t 1 t ). t 1 t Se L(t ) > vuol dire che al tempo t la popolazione sta crescendo, per L(t ) =, la popolazione è stazionaria, mentre se L(t ) < significa che la popolazione sta diminuendo. Definizione (Derivata) Sia f : I R, I intervallo di R, e sia I un punto interno a tale intervallo. Se esiste finito il limite f() f( ) lim, la funzione è detta derivabile in. Tale limite prende il nome di derivata della funzione f nel punto, e viene indicato con f ( ). Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara) Derivazione 4 / 27

5 Osservazione (Notazioni) La derivata di f in può essere indicata in modi differenti, tra cui f ( ), y df, dy d, = d. Normalmente utilizzeremo il primo simbolo f ( ) salvo quando sarà comodo ricorrere a un altro. Se scriviamo, = + h, si ottiene la definizione equivalente f f( + h) f( ) ( ) = lim. h h Nel caso in cui I = [a,b], se = a oppure = b si può parlare di derivata destra f +(a) in = a e di derivata sinistra f (b) in = b, se esistono i limiti f +(a) f() f(a) = lim, f f() f(b) a + a (b) = lim, b b o gli analoghi limiti per h + oppure per h. Ovviamente la derivata in, punto interno, esiste se e solo se esistono e sono uguali la derivata destra e sinistra in, f +( ) = f ( ). Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara) Derivazione 5 / 27

6 (Calcolo di derivate dalla definizione) Calcoliamo le derivate delle funzioni elementari, f () = c (costante) in = 2; f 1() =, in = e = 1; f 2() = sin in = ; f 3() = 2 in = 1. f (2) f () f (2) c c = lim = lim = ; f 1(1) = f 1(1 + h) f 1(1) lim = lim h h h = ( (1 + h) 1)( (1 + h) + 1) lim h h( (1 + h) + 1) (1 + h) 1 = h = lim h f 1,+() f 1(h) f 1() h = lim = lim h + h h + h = + ; f 2() f 2(h) f 2() sin h = lim = lim h h h h = 1; f 3(1) f 3() f 3(1) 2 1 = lim = lim = 2. h h( (1 + h) + 1) = 1 2 ; Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara) Derivazione 6 / 27

7 (Valore assoluto) Consideriamo la funzione valore assoluto f() =, R, e =, si ha lim = lim = lim sign(). Sappiamo che quest ultimo limite non esiste (vale 1 a destra e 1 a sinistra), quindi f non ha derivata in e non è derivabile in questo punto. Esempio (Equazione retta tangente) Sia f : I R, I, la retta tangente in (,f( )) ha pendenza f ( ). Nel caso di funzione derivabile possiamo scrivere l equazione di questa retta, infatti per f ( ) = y f( ), da cui la retta tangente T ha equazione T = f( ) + f ( )( ). Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara) Derivazione 7 / 27

8 (Equazione retta tangente - continuazione) f y (,f( ) f ( ) T Se f ( ) = + (o ), possiamo considerare come retta tangente la retta di equazione =. Si osservi come nelle vicinanze del punto il grafico della retta tangente T e il grafico di f siano essenzialmente sovrapposti. Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara) Derivazione 8 / 27

9 Funzione derivata Sia f : I R, possiamo considerare i punti del dominio I in cui tale funzione è derivabile e costruire una nuova funzione che associ a il valore f (), f (), f derivabile in. La nuova funzione così definita si chiama funzione derivata e sarà indicata con f (). Esempio (Derivate di alcune funzioni) Se consideriamo la funzione f() = c (costante), R, facilmente si verifica che f è definita su tutta la retta reale e che f () =, R. Se f() = dalla definizione otteniamo subito + h lim = 1, R. h h Consideriamo adesso la funzione valore assoluto. Per la funzione f() = è derivabile e risulta f() = sign(). Infatti f() = se e f() = se <. Quindi dal caso precedente la derivata della funzione varrà f () = 1 se e f () = 1 se <. Ossia f () = sign(). Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara) Derivazione 9 / 27

10 (Derivate di alcune funzioni - continuazione) Calcoliamo ora le derivate di f() = 2 e f() = 1/. Nel primo caso otteniamo Nel secondo ( + h) 2 2 2h + h 2 lim = lim = lim(2 + h) = 2. h h h h h lim h 1 + h 1 h Infine la funzione radice f() =, fornisce = lim h ( + h) h( + h) = lim h 1 ( + h) = 1. f () = lim h = lim h + h ( = lim h h + h h( + h + ) = lim h + h )( + h + ) h( + h + ) 1 = 1 + h + 2. Si noti che non sempre le funzioni f e f hanno il medesimo dominio: f() =, R con f () = sign(), R \ {}, e f() =, con f () = 1 2, >. Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara) Derivazione 1 / 27

11 sign() 7 y 1.5 y y y Figura: Le funzioni e 2 e le rispettive derivate sign() e. Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara) Derivazione 11 / 27

12 1/ 1/ y 2 1 y /(2 ) y 2 y Figura: Le funzioni 1/ e e le rispettive derivate 1/ 2 e 1/(2 ). Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara) Derivazione 12 / 27

13 (Derivata di un monomio) Sia ora g() = p, p N, p >, si ha g( + h) g() ( + h) p p lim = lim, h h h h ricordando che la differenza tra potenze a p b p si può scrivere come si ottiene a p b p = (a b)(a p 1 + a p 2 b ab p 2 + b p 1 ), h ( lim ( + h) p 1 + ( + h) p ( + h) p 2 + p 1) = p p 1. h h L ultima uguaglianza segue dal fatto che abbiamo p termini tutti convergenti a p 1 per h. Si deduce quindi che la funzione derivata esiste per ogni reale e p > in N g() = p g () = p p 1. La formula precedente in realtà risulta valida per tutti i valori di e p in R per i quali è definito p 1. Si veda l esempio successivo. Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara) Derivazione 13 / 27

14 La funzione esponenziale e il logaritmo naturale Abbiamo incontrato nel capitolo precedente il numero e come limite per della funzione ( ). Se nelle funzioni esponenziali e logaritmiche scegliamo a = e, con e costante di Nepero, otteniamo la funzione esponenziale la cui inversa è detta logaritmo naturale y = e, R, log e y = lny =. Tali funzioni godono di particolari proprietà che affronteremo nel seguito. Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara) Derivazione 14 / 27

15 (Una derivata notevole) Osserviamo che il limite ln (1 + ) lim = 1. Segue infatti da ln (1 + ) ( = ln (1 + ) 1/ = ln 1 + z) 1 z, dove z = 1/. Nel caso di limite destro, abbiamo ( ln (1 + ) lim = lim + ln z = ln (e) = 1. z + z) Analogamente per il limite sinistro, da cui si verifica il limite considerato. Questo dimostra che d d ln (1 + ) = = 1. Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara) Derivazione 15 / 27

16 Teorema (Regole di derivazione) Siano f, g due funzioni definite in I e derivabili in I, c una costante, allora i) la funzione cf è derivabile in e (cf) ( ) = cf ( ); ii) la funzione f + g è derivabile in e (f + g) ( ) = f ( ) + g ( ); iii) la funzione f g è derivabile in e (f g) ( ) = f ( ) g ( ); iv) la funzione fg è derivabile in e (fg) ( ) = f ( )g( ) + f( )g ( ); v) se g( ) la funzione f/g è derivabile in e vale (f/g) ( ) = f ( )g( ) f( )g ( ) (g ( )) 2. Dimostrazione. Riportiamo la dimostrazione solo per la regola iv). Sommiamo e togliamo la quantità f( + h)g( ) al numeratore del rapporto incrementale in modo tale da separare il contributo incrementale di f e di g, si ottiene (f( + h) f( ))g( ) + f( + h)(g( + h) g( )) lim h h (f( + h) f( )) = g( ) lim h h da cui la formula desiderata attraverso le proprietà dei limiti. + lim h f( + h)(g( + h) g( )) h Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara) Derivazione 16 / 27

17 Derivabilitá e continuitá Nella dimostrazione abbiamo sottinteso la continuità delle funzioni derivabili, per cui f( + h) f( ) per h. Supponiamo f derivabile in, si ha lim f( + h) = lim (f( + h) + f() f()), h h ma f() è una costante rispetto al limite, quindi f( + h) f() lim f( + h) = f() + lim h = lim hf () = f(). h h h h Possiamo quindi concludere che una funzione derivabile é continua. Osservazione Il viceversa è falso. Per esempio la funzione f() = è continua in ogni reale ma non è derivabile in =. Da un punto di vista grafico infatti il concetto di continuità equivale alla possibilità di tracciare il grafico della funzione senza staccare la penna dal foglio. La derivabilità invece è una richiesta aggiuntiva, ossia che il grafico della funzione sia liscio ossia non presenti spigoli. Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara) Derivazione 17 / 27

18 (Derivate delle funzioni polinomiali) Nel caso di funzioni f, g derivabili per appartenente a un dominio comune, le regole di calcolo permettono di costruire nuove derivate (cf) (), (f ± g) (), (fg) (), (f/g) () per g(). Le regole di derivazione possono anche essere utilizzate più volte consecutivamente, in questo modo possiamo dimostrare, per esempio, che tutte le funzioni polinomiali sono derivabili e vale p() = a + a 1 + a a n n p () = a 1 + 2a na n n 1, da cui si deduce che anche la funzione derivata è una funzione polinomiale di grado almeno uno inferiore alla funzione di partenza. Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara) Derivazione 18 / 27

19 (Derivate delle funzioni trigonometriche) Ricordando che il limite, per h, di sin(h)/h vale 1 e la formula sin 2 t = (1 cos2t)/2, si ha cos h 1 lim = lim 2 sin2 (h/2) sin (h/2) = lim ( sin(h/2)) =. h h h h h h/2 Il limite appena trovato rappresenta la derivata della funzione coseno in =, cos () =. Vediamo ora il calcolo della derivata della funzione seno in R, da cui sin ( + h) sin lim = h h ( sin () = lim sin cos h 1 h h sin cos h + sin hcos sin, h + cos sin h ) = cos. h In modo analogo si ottiene cos () = sin. Dalle regole di calcolo della derivata possiamo dedurre che anche la funzione tangente è derivabile, nei punti dove cos, e inoltre tan () = ( ) sin = cos2 () + sin 2 () cos cos 2 () = 1 cos 2 (). Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara) Derivazione 19 / 27

20 Teorema (Derivata della funzione composta) Se f è definita in un intorno di e derivabile in, se g è definita in un intorno di f( ) e derivabile in f( ) allora la funzione composta g f (supponendo di essere nelle condizioni di poterla definire) è derivabile in e (g f) ( ) = g (f( ))f ( ). Esempio Consideriamo la funzione h() = ( 2 + 1). Questa funzione é composizione della funzione f() = 2 + 1, e g(y) = y, cioè h = g f. Si ha g (y) = 1 2 y, y e f () = 2. Dalla formula della derivata della funzione composta si ottiene (g f) () = g (f())f () = g ( )2 = 1 2 ( 2 + 1) 2 = (2 + 1). Osserviamo che la derivata è definita per ogni in R perché Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara) Derivazione 2 / 27

21 Un ultimo caso riguarda la derivata della funzione inversa. Consideriamo un caso particolare. Sia f : I R, dove I R è un intervallo, derivabile e invertibile, inoltre supponiamo di sapere che anche f 1 è derivabile. Dalla relazione f 1 (f()) =, I, derivando entrambi i membri si ottiene, dalla regola di derivazione della funzione composta. Teorema (Derivata della funzione inversa) Sia f : (a,b) R una funzione continua e strettamente monotona, se f è derivabile in e f ( ), allora f 1 è derivabile in f( ) e vale la formula (f 1 ) (y ) = 1 f ( ), y = f( ). Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara) Derivazione 21 / 27

22 (Derivate delle funzioni circolari inverse) Sia f() = sin, ( π/2,π/2), calcoliamo la derivata della funzione arcoseno. Posto y = sin, si ha f () = cos = 1 sin 2, quindi arcsin y = 1 f () = 1 1 y 2. In modo analogo si calcolano, negli opportuni domini, arccos 1 y =, 1 y 2 arctan (y) = y 2. Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara) Derivazione 22 / 27

23 (Derivate delle funzioni esponenziali e delle loro inverse) Vediamo il calcolo della derivata di una funzione esponenziale f() = a, R e di una funzione logaritmica log a, >. Per la funzione f() = a, a > si ottiene f a +h a () = lim = lim a ah 1 = a f (). h h h h Il valore f () dipende dalla base a, ovviamente per a = 1 abbiamo la funzione costante e f () =. Tra i valori della base a >, a 1 esiste un unico valore tale che f () = 1 (quindi un unica funzione esponenziale per cui la retta tangente nel punto di ascissa = ha pendenza 1). Ritroviamo in questo modo il valore e, costante di Nepero. Per verificarlo osserviamo che a h 1 z lim = lim lna = lna, h h z ln (z + 1) posto z = a h 1 e ricordando il limite fondamentale di ln (z + 1)/z per z. Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara) Derivazione 23 / 27

24 (Funzioni esponenziali e loro inverse - continuazione) La derivata dell esponenziale soddisferà dunque d d e = e R. L esponenziale è l unica funzione che soddisfa un equazione del tipo y = y. La derivata del logaritmo naturale vale, ln () = 1 e ln = 1, >. Per una generica funzione esponenziale e per un generico logaritmo possiamo ricondurci alla base e a = ( e ln a) = e ln a, log a = ln lna, e, dalle regole della derivata della funzione composta, d d a = lna a, d d log a = 1 lna. Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara) Derivazione 24 / 27

25 Nella Tabella riportiamo alcune derivate di funzioni elementari. Funzione f Derivata f Dominio derivata c (costante) R 1 R a + a a n n a 1 + 2a na n n 1 R 1/(2 ) > 1/ 1/ 2 sin cos R cos sin R tan 1/cos 2 : cos r r r 1 > a a lna R log a 1/(ln a) > Tabella: Derivate di funzioni elementari. Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara) Derivazione 25 / 27

26 Esercizi Esercizio Calcolare le derivate delle seguenti funzioni specificando il dominio della funzione derivata, f 1() = 3e + ln ( + 2), f 2() = + 1, f 3() = e (cos + sin ), f 4() = e +sin. Esercizio Calcolare le derivate delle seguenti funzioni f 1() = ( + 1)ln 2 ( + 1), f 2() = e sin, f 3() = 1/(1 ), f 4() = 2 cos. Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara) Derivazione 26 / 27

27 Esercizio Calcolare l equazione della retta tangente al grafico delle seguenti funzioni nei punti specificati f 1() = + 1/ in (1, 2), f 2() = in (1, 1), f 3() = e cos in (, 1), f 4() = 1 + sin in (π/2, 2). Esercizio Trovare i punti della curva di equazione y = per i quali la retta tangente sia (a) parallela alla retta y 1 = 2; (b) perpendicolare alla retta di equazione y 2 = /9. Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara) Derivazione 27 / 27

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