Sezione Prima Derivate di funzioni elementari: quadro riassuntivo e regole di derivazione. = ( n) lim x

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1 Capitolo USO DELLE DERIVATE IN ECONOMIA Sezione Prima Derivate di funzioni elementari: quadro riassuntivo e regole di derivazione Si definisce derivata della funzione y f() nel punto 0 del suo insieme di ( ) ( ) definizione, il limite del rapporto incrementale f + f 0 0, quando l incremento tende a zero, cioè è infinitesimo o, come si dice in economia, la variazione è marginale. Si potrà, quindi, scrivere: f ( + ) f ( ) 0 0 lim f ( ) 0 0 Tavola Prontuario riassuntivo delle derivate Funzione Derivata y f( ) y f ( 0 ) y k( costante ) y 0 y ( variabile ) y y n y n n y y y n ( ) y n n ( n) n+ y y y a y a log a y y Funzioni di una variabile

2 6 Capitolo - Uso delle derivate in economia y a ( a> 0 ) y a log e a y log y a log a e y y e y e ln y Funzioni Tavola Regole di derivazione Derivate y kf( ) y kf ( ) y f( ) g( ) y f ( g ) ( ) + fg ( ) ( ) y f( ) + g( ) y f ( ) + g ( ) f y ( ) g ( ) f ( ) g( ) f( ) g ( ) y g ( ) [ ] Nota integrativa La derivata in o può anche essere indicata con il simbolo dy che sta a significare: derivata della funzione y rispetto alla variabile. d In seguito, per indicare la derivata adopereremo esclusivamente questo simbolo. Esercizio n.. Calcolare la derivata delle seguenti funzioni economiche: a) CMe q 4q + b) π q + 0q c) RT 0q q dove: CMe Costo medio π Profitto RT Ricavo totale

3 Sezione Prima - Derivate di funzioni elementari 7 Risoluzione a) b) c) dcme ( q) 4 6q 4 d π ( q )+ 0 q + 0 drt 0 q Nel caso di funzione composta della variabile tramite la variabile z si calcola la derivata di ciascuna componente (procedendo da sinistra verso destra), considerando ogni volta la funzione componente che segue come se fosse una variabile indipendente. Esempio a) y log ( + ) Per facilitare il calcolo si fanno le seguenti posizioni: y log z e z + Quindi: Pertanto, si avrà: dy e dz z dz d dy dz dz d z + Esempio b) Poniamo: y e z y e z Si ha Esempio c) dy dy d dz dz d ossia e z e y e + Poniamo: z + ; si avrà y e z Quindi: Si avrà, allora dy d dy e + ; dz dz d dy dz e ( ) e dz d + + l

4 8 Capitolo - Uso delle derivate in economia Esercizio n.. Data la funzione: [.] y + 6 Sezione Seconda Massimo e minimo di funzioni economiche in una variabile determinare il valore di che massimizza la funzione. Risoluzione La funzione rappresenta una parabola con i rami rivolti verso il basso, perché il coefficiente di è negativo. a) procedimento (calcolo algebrico) Calcoliamo i valori necessari a costruire il grafico della funzione. Poniamo l equazione: [.] b 4ac 6 [ 4( ) 0] 6> 0 b ± a 6± 6 / \ I valori 0 ed 6 rappresentano i punti d intersezione della parabola con l asse delle ascisse. Calcoliamo adesso le coordinate del vertice della parabola: V V V y b a 6 a

5 Sezione Seconda - Massimo e minimo di funzioni economiche in una variabile 9 È possibile ora tracciare il grafico della funzione (vedi Figura ) y 9 V(, 9) 0 6 Figura Il vertice della parabola in questo caso rappresenta il punto di massimo relativo della funzione. Il valore che massimizza la funzione è. b) procedimento (calcolo differenziale) In questo caso, si vuol ricercare il valore di che massimizza la funzione senza tracciare il grafico, ma calcolando la derivata prima della funzione [.]: dy [.] + 6 d Poniamo la condizione del primo ordine, cioè eguagliamo a zero la derivata prima, in pratica l espressione [.]: da cui risolvendo si avrà 6 6 Per stabilire se è un valore di massimo o di minimo relativo occorre verificare la condizione del secondo ordine, cioè si osserva il segno della derivata seconda: dy d ottenuta calcolando la derivata della derivata prima.

6 0 Capitolo - Uso delle derivate in economia Se il segno della derivata seconda è negativo, il valore di è quello che rende il massimo relativo della funzione. Se, invece, il segno è positivo esso è il valore per il quale la funzione presenta un minimo relativo. Nel caso in esame sarà: [.4] dy 0 d < il punto, quindi, è il valore di per cui la funzione presenta un massimo relativo. Si osservi che questo secondo procedimento è più spedito del primo ed è quindi quello normalmente seguito nello svolgimento di problemi di massimo e di minimo relativi di funzioni economiche. Esercizio n.. Verificare le condizioni di massimo e di minimo delle seguenti funzioni economiche: a) RT 8q q b) π q + 0q c) π q + 8q 9q 50 d) CMe 00 4q + q e) CT q 4, 5q + 4q + Si segue la seguente procedura: Risoluzione ) si calcola la derivata della funzione; ) la si uguaglia a zero, vale a dire che si impone la condizione del primo ordine per ottenere il punto di massimo o di minimo relativo; ) si calcola la derivata seconda (operando sulla derivata prima già ottenuta);

7 Sezione Seconda - Massimo e minimo di funzioni economiche in una variabile 4) se il segno della derivata seconda è negativo, il punto rappresenta un massimo relativo; se il segno è positivo, il punto rappresenta un minimo relativo. Questa verifica è anche detta condizione del secondo ordine. a) RT 8q q drt 8 q 8 q 0 (condizione del primo ordine) 8 q 8 q 9 drt d 8 q ( ) < 0 (condizione del secondo ordine) Pertanto q 9 rappresenta un massimo relativo. b) π q + 0q dπ q + 0 q (condizione del primo ordine) 0 q q 5 ( ) d π d q+ 0 (condizione del secondo ordine) d π 0 < Pertanto q 5 rappresenta un massimo relativo. c) π q + 8q 9q 50 dπ q q q q

8 Capitolo - Uso delle derivate in economia q + 6q 9 0 (condizione del primo ordine) q 6q+ 9 0 b 4ac b ± q a q 6 ± q / \ 6 0 q ( ) + d π d q + 6q 9 q 6 Per q la derivata seconda sarà ( ) < 0. Quindi il valore q rappresenta un massimo relativo. Per q la derivata seconda sarà ( ) > 0 ; quindi, il valore q rappresenta un minimo relativo. d) dcme 4 + q 4 + q 0 (condizione del primo ordine) q 4 q 7 dcme d( 4 + q) 0 > (condizione del secondo ordine) Pertanto, q 7 rappresenta un punto di minimo relativo. e) dct q 9q+ 4 q 9q+ 4 0 (condizione del primo ordine)

9 Sezione Seconda - Massimo e minimo di funzioni economiche in una variabile 9+ 5 q 7 9 q ± 5 / \ 9 5 q dct ( ) 9q+ 4 q 9 (condizione del secondo ordine) Per q 7 la derivata seconda assume il valore >0; quindi q 7 rappresenta un punto di minimo relativo. Per q la derivata seconda assume il valore <0; quindi q rappresenta un punto di massimo relativo. Pertanto q viene scartato in quanto massimizza il costo totale.

10 4 Capitolo - Uso delle derivate in economia Sezione Terza Funzioni di due variabili Esercizio n.. Calcolare le derivate parziali delle seguenti funzioni in due variabili. a) y + b) y + 4 c) y d) y 5 + e) y log + f) y a + b g) y + ( )( + ) ( ) ( + 5) h) y + a b i) y + l) y m) y log + log d n) y c o) y p) y q) y r) y + s) y ( ) t) y +

11 Sezione Terza - Funzioni di due variabili 5 Risoluzione Per calcolare le derivate parziali di una funzione di due variabili y f( ; ) si procede derivando la funzione rispetto ad (mantenendo fisso ) e rispetto ad (mantenendo fisso ). a) y + Le derivate parziali rispetto a ciascuna variabile sono, rispettivamente: b) y c) y Questa funzione rappresenta una trasformazione monotonica della funzione di cui al punto b) ottenuta moltiplicando i coefficienti di e di per una grandezza positiva t, detta scalare (in questo caso t ). 6 d) y e) y log + f) y a + b a a b b g) y + y +

12 6 Capitolo - Uso delle derivate in economia h) y ( + a) ( + b) + b+ a + ab + b + a i) y ( + ) ( + 5) l) y 5 m) y log + log + La funzione è equivalente a quella di cui al punto l). Ne rappresenta una trasformazione monotonica, ottenuta applicando il teorema del prodotto dei logaritmi. n) y c d c o) y c d c d d p) y q) y

13 Sezione Terza - Funzioni di due variabili 7 Per semplificare la risoluzione della funzione proposta conviene scriverla nella forma equivalente y ed, applicando i logaritmi in modo da farla rientrare nella tipologia m), diventa: y log + log r) y s) y ( ) t) y + log Svolgendo il quadrato del binomio si ottiene, in forma equivalente y

14 8 Capitolo - Uso delle derivate in economia Esercizio n.. Si calcolino le derivate parziali delle seguenti funzioni composte in due variabili: ( ) a) U + b) U log + ( ) ( ) c) U + ( ) a) U + Risoluzione ( ) U + ( ) b) U log + U + ( ) U d + du + ( ) c) U + U + ( ) U + ( )