MATEMATICA - Esempio di prova per il Liceo Scientifico - MIUR PROBLEMA 1 (soluzione di L. Tomasi)

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1 MATEMATICA - Esempio di prova per il Liceo Scientifico - MIUR PROBLEMA 1 (soluzione di L. Tomasi) 1

2 Soluzione. La famiglia di funzioni data rappresenta delle curve logistiche. Punto 1. Le funzioni date sono positive per ogni valore della x. Hanno come dominio l insieme dei numeri reali. Si hanno i seguenti limiti: S lim f ( x) lim 0 x x 1 e S lim f ( x) lim S. x x 1 e Quindi la retta di equazione y S è asintoto orizzontale destro per il grafico di tutte le funzioni; l asse delle x è asintoto orizzontale sinistro. Se si vuole dare un significato a questa funzione per la crescita di una popolazione di batteri occorre ipotizzare x 0 (x è il tempo) e traslarla verso destra. La derivata prima della funzione è la seguente: f '( x) Se 1 e ; essa è positiva per ogni valore S delle x. Quindi la funzione f ( x) è crescente su R. Si conclude che 0 f ( ) 1 e x S, per ogni x reale (e per ogni parametro 0 ). Nel grafico è stata rappresentata la funzione f ( x ), per 3, e il grafico della sua derivata prima.

3 Punto. La funzione f ( x ) si trasforma in una funzione dispari se la si sottopone a questa traslazione: X x S Y y S S S Si ricava y Y. Sostituendo, si ottiene: Y. Tornando a indicare le variabili con X 1 e S S x e y, si ha y. Chiamiamo F ( ) 1 e x questa funzione. Si ha: S S S S e 1 S F ( x) 1 tanh 1 e 1 e e 1. La funzione F ( x ) è dispari perché il dominio è R e inoltre si ha: 1 e 1 S e S 1 1 ( ) e S e S e F x F( x) 1 e 1 e e 1 1 e e oppure, più semplicemente, perché tx ( ) tanh è una funzione dispari. Punto 3. La massima velocità di crescita si trova calcolando la derivata prima della funzione f ( x ): f Se S S S '( x) 1 e e 1e e e e 1 cosh( ) e determinandone il massimo. La derivata prima f '( x ) è una funzione pari perché cosh( ) è una funzione pari. Ricavando la derivata seconda si trova: f ''( x) S sinh( ) 1 cosh( ). La derivata seconda è una funzione dispari che ha lo stesso segno di sinh( ) : quindi la derivata seconda è positiva per x 0 e negativa per x 0. Il massimo della velocità di crescita (cioè della derivata prima) si ha quindi per x 0, nel punto di S flesso della curva logistica f ( x ), e vale f '(0). 4 Punto 4 3

4 S S La pendenza della curva logistica per x 0 è f '(0). Il punto F 0, 4 della curva logistica ed è il centro di simmetria della curva. è il punto di flesso La retta tangente nel flesso F ha equazione: S S y x, ovvero 4 S S y x. Intersecando la 4 retta tangente nel flesso F con l asse delle ascisse si ottiene il punto di coordinate C,0. La funzione g ( x ) è pertanto definita nel seguente modo: 0, x S S g ( x) x, x 4 S, x Il grafico della funzione g ( x ) è riportato di seguito (disegnato in blu) per 1, (ed S 4.3 ). Punto 5. Per valutare l accettabilità di g ( x) come approssimazione di f ( x ) si può determinare il seguente integrale, che rappresenta l area compresa tra i grafici delle due curve (per il calcolo si sfrutta la simmetria dei grafici rispetto al punto F, flesso della famiglia di curve logistiche): 0 g ( x) f ( x) dx 1 e porlo minore di un valore prefissato, per esempio minore di. 100 Questo integrale è dato da 4

5 0 g ( x) f ( x) dx ( ) ( ) ( ) g x f x dx S f x dx 0 dx S dx Sx S S S 0 4 1e 1e S dx 1 dx S I J 4 1e 1e Il primo integrale vale: ln(1 ) e 0 x I dx e e ln(1 e ) ln ln Il secondo integrale vale: 1 e 1 e J 1 dx dx dx 1 e 1 e 1 e 1 1 lim ln(1 e ) ln(1 e ) ln(1 e ) b b In definitiva si ottiene che l approssimazione vale: S 3 1 e S 1 ( ) S( I J ) ln ln(1 e ) ln. Al tendere di a + questa differenza tende a 0 e quindi i grafici delle due funzioni g ( x ) e f ( x) tendono a coincidere. Giudizio sul problema Livello di difficoltà Basso Medio Alto Molto alto Si tratta di un problema contestualizzato L argomento è presente nelle Indicazioni Nazionali L argomento è presente nel QdR (Quadro di Riferimento) No Parzialmente In modo accettabile Ben contestualizzato Sì Sì No No Non è esplicitato / Non è chiaro Non è esplicitato / Non è chiaro 5

6 Di solito, viene svolto? Sì No Non sempre È un argomento presente nei libri di testo? No Non sempre Sempre Formulazione Scorretta Ambigua Poco chiara Verifica conoscenze / abilità/ competenze fondamentali? Per la risoluzione del problema è utile usare una calcolatrice grafica? Corretta Sì Solo parzialmente No Molto chiara Sì No Parzialmente Nota. Ringrazio M.A. Chimetto e R. Marazzato per alcune osservazioni e correzioni. 6

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8 Soluzione. Punto 1. Il volume dei blocchi di ghiaccio è 10 dm 3. Chiamato x il lato di base del parallelepipedo, il volume 10 del blocco di ghiaccio è dato da: bh 10. Ponendo x b, si ha quindi h, con x 0. x La superficie totale del parallelepipedo sarà: 10 0 S( x) x 4x x x x, con x 0. La derivata prima è: S '( x) x 4 x 4 x x x x. Si ha S'( x) 0 per x Quindi il minimo della superficie si ottiene per x In questo caso si ha ovviamente h 3 10 e quindi il parallelepipedo rettangolo, come era prevedibile, deve essere un cubo. Punto. La funzione che esprime il riscaldamento del blocco di ghiaccio è la seconda, ovvero: Kt T( t) T T 1 e T, con t 0 e per 0 t 0. a g g T. Si ottiene T t e Kt ( ) , con

9 Abbiamo scartato le altre due funzioni perché sono contrarie alla situazione fisica descritta. Con la prima funzione, la temperatura del blocco di ghiaccio tenderebbe a 8 C partendo da 0 C. Con la terza funzione proposta il blocco di ghiaccio partirebbe dalla temperatura di 10 C. Si tratta di un esponenziale crescente nella prima parte del riscaldamento e poi, una volta che il blocco ha raggiunto la temperatura di 0 C, di una funzione costante con T 0C. Il grafico di questa funzione è il seguente (dove abbiamo fissato K=0.3). Per determinare il valore del parametro K affinché il ghiaccio non inizi a fondere, occorre calcolare K T (), la temperatura raggiunta dopo minuti, da T( t) Ta Tg 1 e Tg e poi supporre T () 0, ovvero K 8 1 e Risolvendo questa disequazione esponenziale, si ottiene: 8 1 e K e K K 9 e e 14 K 5 5 K ln K ln K ln 5 K 0, Passati i minuti, con K=0,515, la temperatura rimane a 0 C (temperatura di fusione del ghiaccio alla pressione di 1 atm). 3

10 Punto 3. Si suppone un incertezza del 10% sul valore di K 0,515. Quindi dk 0,0515. Calcoliamo il differenziale della temperatura raggiunta dopo minuti, rispetto a K: 8 1 K 18 '( ) 56 K dt d e T K dk e dk. Sostituendo il valore di K 0,515 e dk 0,0515, si ottiene circa K 1,03 dt 56 e dk 56 e 0,0515 1,03 C. Una incertezza del 10% sul parametro K=0,515 porta alla incertezza di circa 1,03 C sulla temperatura finale raggiunta dal blocco di ghiaccio in minuti, se il blocco non è già arrivato alla temperatura di 0 C. Se T 0C l incertezza sulla temperatura finale raggiunta non c è, perché quando il ghiaccio comincia a sciogliersi rimane a 0 C (alla pressione di 1 atm). Se cambiamo il valore del parametro K, per esempio poniamo K 0,3 (significa che le condizioni ambientali sono diverse, con il blocco di ghiaccio che si riscalda di meno), la temperatura del blocco di ghiaccio dopo minuti sarà T 5,37 C. Pertanto con una incertezza del 10% su K, si ha circa: dt e dk e K 0, ,03 0,9 C. Quindi si ha un incertezza percentuale dt T 0,9 0,17 17% sulla temperatura. 5,37 Quindi l incertezza percentuale sulla temperatura dt T dipende dalla temperatura T raggiunta dal blocco di ghiaccio in minuti. La risposta a questa domanda è: no. Una variazione del 10% di K non provoca in generale una variazione del 10% della temperatura del blocco di ghiaccio. Punto 4 Se x è il volume d acqua per ottenere un blocco di 10 dm 3 di ghiaccio, sappiamo che x0,0905x 10 1,0905 x 10 Quindi Vacqua 10 1, x 9,17 dm 9,17 L. Il volume del cilindro è: V (1,5) 14,14 L. Il recipiente è quindi ampiamente in grado di contenere l acqua per produrre il blocco di ghiaccio di 10 dm 3. V acqua L altezza raggiunta dall acqua nel cilindro sarà: h 1,3 dm. (1,5) 4

11 Giudizio sul problema Livello di difficoltà Basso Medio Alto Molto alto Si tratta di un problema contestualizzato L argomento è presente nelle Indicazioni Nazionali L argomento è presente nel QdR (Quadro di Riferimento) No Parzialmente In modo accettabile Ben contestualizzato Sì Sì No No Non è esplicitato / Non è chiaro Non è esplicitato / Non è chiaro Di solito, viene svolto? Sì No Non sempre È un argomento presente nei libri di testo? No Non sempre Sempre Formulazione Scorretta Ambigua Poco chiara Verifica conoscenze / abilità/ competenze fondamentali? Per la risoluzione del problema è utile usare una calcolatrice grafica? Corretta Sì Solo parzialmente No Molto chiara Sì No Parzialmente Commento: I punti e 3 del problema sembrano più di Fisica che di Matematica. Nota. Ringrazio G. Badoer per la segnalazione di un errore. 5