e verificare che la parabola e la funzione 2 logaritmica hanno la stessa tangente in A 2,0

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA CORSO DI LAUREA IN SCIENZE E TECNOLOGIE VITICOLE ED ENOLOGICHE Esame di MATEMATICA (A) San Floriano, /0/07 Informazioni personali Si prega di indicare il proprio nome, cognome e numero di matricola nei seguenti campi. Nome e cognome: Matricola: Si prega inoltre di compilare i seguenti campi, in base alla scelta che si intende fare. Chiedo che la mia prova d'esame venga corretta e valutata. Il voto che conseguo con questa prova annulla eventuali voti già conseguiti in appelli d'esame precedenti. Svolgere il quesito + quesiti a scelta della parte A + quesiti a scelta della parte B Firma: Numero di fogli consegnati: Intendo ritirarmi; chiedo che la mia prova non venga corretta nè valutata. Firma: INDICAZIONI PER I CANDIDATI DURANTE LA PROVA NON È CONSENTITO AGLI STUDENTI COMUNICARE TRA LORO O CON L ESTERNO; PERTANTO I TELEFONI CELLULARI ED I DISPOSITIVI MULTIMEDIALI DEVONO RESTARE SPENTI! Scrivete le vostre risposte in modo ordinato, utilizzando la penna stilografica o la penna a sfera; disegnate a matita i grafici delle funzioni. In caso di errore, tracciate un segno sulla risposta scorretta e scrivete accanto ad essa quella corretta. NON È AMMESSO L USO DELLA CANCELLINA NÉ DELLA PENNA ROSSA! Si possono, invece, utilizzare penne di qualsiasi colore diverso dal ROSSO; è ammesso l uso della calcolatrice scientifica non programmabile o grafica. Alle risposte e alle correzioni scritte in modo illeggibile verranno assegnati 0 punti. Utilizzate i fogli della minuta (che dovranno essere opportunamente contrassegnati) solo per l'impostazione delle soluzioni, in quanto essi non verranno sottoposti a valutazione. Le risposte devono riportare tutto il procedimento attraverso il quale si giunge alla soluzione, con i calcoli intermedi e le vostre deduzioni. Abbiate fiducia in voi stessi e nelle vostre capacità. Buon lavoro! Lorenzo Meneghini QUESITO ( /6) Studiare la funzione Testo della prova d'esame Parte A f e determinando esplicitamente dominio, parità, segno ed eventuali intersezioni con gli assi, eventuali asintoti, monotonia ed eventuali estremi. Dopo aver f " e si studi la concavità della funzione e se ne trovino gli eventuali flessi. verificato che Disegnare il grafico. QUESITO ( /5) f ln Data la funzione calcolare i valori: f, f ' e f " f " parabola : y f f '. Scrivere l equazione della e verificare che la parabola e la funzione logaritmica hanno la stessa tangente in A,0.

2 QUESITO ( /5) Classificare le discontinuità della funzione f e scrivere le equazioni dei suoi asintoti. QUESITO 4 ( /5) Verificare che la funzione f ( ) non soddisfa le ipotesi del Teorema di Rolle nell'intervallo 4, 4 motivando la risposta. QUESITO 5 ( /5) Dopo aver verificato che la funzione f è ovunque crescente, spiegare perché essa ammette un unico zero nell'intervallo,0. Utilizzando il metodo di bisezione, stimare il valore dello zero della funzione con approssimazione 0 -. Parte B QUESITO 6 ( /5) a) Calcolare l area della regione piana S rappresentata in figura, delimitata dagli assi cartesiani, dalla retta ln 7 e dalla curva di equazione y e e. b) Determinare il volume del solido di base S, sapendo che le sue sezioni con piani ortogonali all asse sono rettangoli di altezza e h QUESITO 7 ( /5) Determinare il rango della matrice: QUESITO 8 ( /5) Risolvere la seguente equazione differenziale lineare non omogenea: y" y ' 6y e. QUESITO 9 ( /5) Risolvere i seguenti sistemi lineari: a) y z y z 7 y z 0 b) y z 0 y z 0 y z 0

3 QUESITO 0 ( /5) A B Dimostrare che esistono due numeri reali A e B tali che. Studiare la convergenza dell integrale d. PUNTEGGIO TOTALE: /0

4 FILA A SVOLGIMENTO SINTETICO N. f e o Funzione trascendente, prodotto tra un esponenziale ed una funzione polinomiale; D f e f non è né pari né dispari o o SEGNO ED INTERSEZIONI CON GLI ASSI: f 0 f 0 0 e 0 la curva taglia gli assi del riferimento cartesiano in o ASINTOTI: lim e f lim lim e,0 e 0, la funzione non ammette asintoti per lim e lim H lim 0 e e la funzione ammette l asintoto orizzontale y 0 per o CRESCENZA: f ' e e e 0 Ma per 0 0,, cioè nel punto 0 o CONCAVITÀ: f " e e e 0 Flesso di ascissa f e 4e.47 GRAFICO:

5 N. Essendo f ln risulta f ' e quindi f ". Pertanto: o f ln ln 0 o f ' o f " Otteniamo quindi la parabola: f " : y f f ' Sviluppando i calcoli: y y 4 È immediato verificare che la parabola passa per il punto,0 ; infatti: y È immediato verificare che pure la funzione logaritmica passa per il punto,0 ; infatti abbiamo verificato f 0 che: Calcoliamo ora il coefficiente angolare della tangente alla parabola in,0 : y ' y' cioè lo stesso coefficiente angolare della tangente alla funzione logaritmica in tale punto. le due curve hanno la stessa tangente in,0 : y N. f Dominio: lim f lim lim lim verticale) lim f lim lim lim lim f lim lim lim discontinuità specie per ; salto = discontinuità specie per (asintoto lim f lim lim e lim f lim lim y asintoto orizzontale per e y asintoto orizzontale per N. 4 La funzione f ( ) è definita e continua in in quanto somma tra una funzione costante (e quindi continua in ) e la funzione Quindi f è continua in 4,4, composizione tra funzioni continue.. Inoltre è facile verificare che f f 4. Il problema è la derivabilità all interno dell intervallo; infatti si può scrivere:

6 e derivando otteniamo: f f ' D altra parte: o lim f ' lim 0 0 o lim f ' lim 0 0 la funzione presenta una cuspide in 0 il Teorema di Rolle non è applicabile per N. 5 Consideriamo a funzione f nel intervallo 4,4 f. È derivabile in poiché somma di funzioni ivi derivabili. f ' ln 0 per ogni la funzione è ovunque crescente. ESISTENZA: f f è derivabile in è continua in 0 0 f per il teorema degli zeri delle funzioni continue, la funzione ammette uno zero nell intervallo dato. UNICITÀ: f è crescente in è invertibile in lo zero è unico Lo zero cercato è: 0.44 N. 6 a) L area richiesta è data dall integrale: ln 7 ln7 ln7 ln7 e e d e e e e u b) Utilizziamo il metodo delle fette. Il volume elementare vale: 5 dv S d e e e d e d Integrando otteniamo:

7 5 5 ln7 ln V e d e ln 7 0 ln 7 u N. 7 Possiamo osservare che, sommando la e la riga della matrice A otteniamo la 4 riga. Pertanto il rango della matrice è sicuramente inferiore a 4. Osserviamo, inoltre, che sviluppando il determinante della sottomatrice secondo la riga otteniamo: rg A N. 8 Risolviamo y" y' 6y e. STEP: Risolviamo l equazione omogenea associata y" y ' 6y 0. L equazione caratteristica è: Gli zeri sono: La soluzione generale dell equazione omogenea è: , ce c e STEP: Cerchiamo una soluzione particolare dell equazione data. Dal momento che il termine di perturbazione è una funzione esponenziale, proviamo con una funzione esponenziale dello stesso tipo: k e. Derivando otteniamo: o ' ke o " ke Sostituendo: ke ke 6ke e 6ke e 6k k 6 L integrale particolare è: e 6

8 STEP: La soluzione generale dell equazione differenziale data è: y ce ce e 6 N. 9 y z a) Risolviamo il sistema y z 7 mediante il metodo di Gauss: y z La soluzione è, perciò: ,, y z 0 b) Risolviamo il sistema y z 0 mediante il metodo di Gauss: y z Il sistema diviene, quindi: pertanto la soluzione cercata è: 5z 0 5z y 4z 0 y 4z 5 z,4 z, z, z N. 0 Cerchiamo le costanti richieste: A B A B B A B B Per il principio di identità dei polinomi, otteniamo il sistema: A B 0 A B B Abbiamo ottenuto, quindi: Studiamo ora la convergenza dell integrale: b d lim d b Calcoliamo innanzitutto: d d ln ln ln b b b b

9 b b 5 b ln ln ln ln ln b b 5 b Pertanto: 5 L integrale dato converge a ln. b 5 b 5 d lim d lim ln ln b b b

10 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA CORSO DI LAUREA IN SCIENZE E TECNOLOGIE VITICOLE ED ENOLOGICHE Esame di MATEMATICA (B) San Floriano, /0/07 Informazioni personali Si prega di indicare il proprio nome, cognome e numero di matricola nei seguenti campi. Nome e cognome: Matricola: Si prega inoltre di compilare i seguenti campi, in base alla scelta che si intende fare. Chiedo che la mia prova d'esame venga corretta e valutata. Il voto che conseguo con questa prova annulla eventuali voti già conseguiti in appelli d'esame precedenti. Svolgere il quesito + quesiti a scelta della parte A + quesiti a scelta della parte B Firma: Numero di fogli consegnati: Intendo ritirarmi; chiedo che la mia prova non venga corretta nè valutata. Firma: INDICAZIONI PER I CANDIDATI DURANTE LA PROVA NON È CONSENTITO AGLI STUDENTI COMUNICARE TRA LORO O CON L ESTERNO; PERTANTO I TELEFONI CELLULARI ED I DISPOSITIVI MULTIMEDIALI DEVONO RESTARE SPENTI! Scrivete le vostre risposte in modo ordinato, utilizzando la penna stilografica o la penna a sfera; disegnate a matita i grafici delle funzioni. In caso di errore, tracciate un segno sulla risposta scorretta e scrivete accanto ad essa quella corretta. NON È AMMESSO L USO DELLA CANCELLINA NÉ DELLA PENNA ROSSA! Si possono, invece, utilizzare penne di qualsiasi colore diverso dal ROSSO; è ammesso l uso della calcolatrice scientifica non programmabile o grafica. Alle risposte e alle correzioni scritte in modo illeggibile verranno assegnati 0 punti. Utilizzate i fogli della minuta (che dovranno essere opportunamente contrassegnati) solo per l'impostazione delle soluzioni, in quanto essi non verranno sottoposti a valutazione. Le risposte devono riportare tutto il procedimento attraverso il quale si giunge alla soluzione, con i calcoli intermedi e le vostre deduzioni. Abbiate fiducia in voi stessi e nelle vostre capacità. Buon lavoro! Lorenzo Meneghini QUESITO ( /6) Studiare la funzione Testo della prova d'esame Parte A f e determinando esplicitamente dominio, parità, segno ed eventuali intersezioni con gli assi, eventuali asintoti, monotonia ed eventuali estremi. Dopo aver f " e si studi la concavità della funzione e se ne trovino gli eventuali verificato che flessi. Disegnare il grafico. QUESITO ( /5) f ln Data la funzione calcolare i valori: f 4, f ' 4 e f " 4 f " 4 parabola : y f 4 f ' Scrivere l equazione della e verificare che la parabola e la funzione logaritmica hanno la stessa tangente in A 4,0.

11 QUESITO ( /5) f 4 Classificare le discontinuità della funzione e scrivere le equazioni dei suoi asintoti. QUESITO 4 ( /5) Verificare che la funzione f ( ) non soddisfa le ipotesi del Teorema di Rolle nell'intervallo 9,9 motivando la risposta. QUESITO 5 ( /5) Dopo aver verificato che la funzione f è ovunque crescente, spiegare perché essa ammette un unico zero nell'intervallo,0. Utilizzando il metodo di bisezione, stimare il valore dello zero della funzione con approssimazione 0 -. Parte B QUESITO 6 ( /5) a) Calcolare l area della regione piana S rappresentata in figura, delimitata dagli assi cartesiani, dalla retta ln 6 e dalla curva di equazione y e e. b) Determinare il volume del solido di base S, sapendo che le sue sezioni con piani ortogonali all asse sono rettangoli di altezza e h QUESITO 7 ( /5) Determinare il rango della matrice: QUESITO 8 ( /5) Risolvere la seguente equazione differenziale lineare non omogenea: y" y ' 6y e. QUESITO 9 ( /5) Risolvere i seguenti sistemi lineari: y z a) y z 7 y 5z 7 b) 5y 5z 0 y z 0 y z 0

12 QUESITO 0 ( /5) Dimostrare che esistono due numeri reali A e B tali che dell integrale d. A B. Studiare la convergenza PUNTEGGIO TOTALE: /0

13 FILA B SVOLGIMENTO SINTETICO N. f e o Funzione trascendente, prodotto tra un esponenziale ed una funzione polinomiale; D f e f non è né pari né dispari o o SEGNO ED INTERSEZIONI CON GLI ASSI: f 0 f 0 0e 0 la curva taglia gli assi del riferimento cartesiano in o ASINTOTI: lim lim lim lim e 0 e H e e 0,0 e 0, la funzione ammette l asintoto orizzontale y 0 per lim e f lim lim e la funzione non ammette asintoti per o CRESCENZA: f ' e e e 0 0 Ma per 0 0,, cioè nel punto o CONCAVITÀ: f " e e e 0 Flesso di ascissa f e 4e.47 GRAFICO:

14 N. Essendo f ln risulta f ' e quindi f " o f 4 ln 4 ln 0 o f ' 4 4. Pertanto: Otteniamo quindi la parabola: f " 4 : y f 4 f ' Sviluppando i calcoli: y y 5 o f " 4 4 È immediato verificare che la parabola passa per il punto 4,0 ; infatti: y È immediato verificare che pure la funzione logaritmica passa per il punto 4,0 ; infatti abbiamo verificato f 4 0 che: Calcoliamo ora il coefficiente angolare della tangente alla parabola in 4,0 : y ' 5 y' cioè lo stesso coefficiente angolare della tangente alla funzione logaritmica in tale punto. le due curve hanno la stessa tangente in 4,0 : y 4 N. f 4 Dominio: lim f lim lim lim 4 verticale) lim f lim lim lim 4 lim f lim lim lim 4 discontinuità specie per ; salto = discontinuità specie per (asintoto lim f lim lim e lim f lim lim y asintoto orizzontale per e y asintoto orizzontale per N. 4 La funzione f ( ) è definita e continua in in quanto somma tra una funzione costante (e quindi continua in ) e la funzione Quindi f è continua in 9,9, composizione tra funzioni continue.. Inoltre è facile verificare che f f 9.

15 Il problema è la derivabilità all interno dell intervallo; infatti si può scrivere: e derivando otteniamo: f f ' D altra parte: o lim f ' lim 0 0 o lim f ' lim 0 0 la funzione presenta una cuspide in 0 il Teorema di Rolle non è applicabile per N. 5 Consideriamo a funzione f nel intervallo 9,9 f. È derivabile in poiché somma di funzioni ivi derivabili. f ' ln 0 per ogni la funzione è ovunque crescente. ESISTENZA: f f è derivabile in è continua in f per il teorema degli zeri delle funzioni continue, la funzione ammette uno zero nell intervallo dato. UNICITÀ: f è crescente in è invertibile in lo zero è unico Lo zero cercato è: 0. N. 6 a) L area richiesta è data dall integrale: ln 6 ln6 ln6 ln6 e e d e e e e u b) Utilizziamo il metodo delle fette. Il volume elementare vale: 0 dv S d e e e d e d Integrando otteniamo:

16 ln ln V e d e ln 6 0 ln 6 u N. 7 Possiamo osservare che, sommando la e la riga della matrice A otteniamo la 4 riga. Pertanto il rango della matrice è sicuramente inferiore a 4. Osserviamo, inoltre, che sviluppando il determinante della sottomatrice secondo la riga otteniamo: rg A N. 8 Risolviamo y" y ' 6y e. STEP: Risolviamo l equazione omogenea associata y" y ' 6 y 0. L equazione caratteristica è: Gli zeri sono: , La soluzione generale dell equazione omogenea è: ce c e STEP: Cerchiamo una soluzione particolare dell equazione data. Dal momento che il termine di perturbazione è una funzione esponenziale, proviamo con una funzione esponenziale dello stesso tipo: k e. Derivando otteniamo: o ' ke o " ke Sostituendo: ke ke 6ke e 4ke e 4k k 4 L integrale particolare è: e 4

17 STEP: La soluzione generale dell equazione differenziale data è: y ce ce e 4 N. 9 y z a) Risolviamo il sistema y z 7 mediante il metodo di Gauss: y 5z La soluzione è, perciò: ,, 5y 5z 0 b) Risolviamo il sistema y z 0 mediante il metodo di Gauss: y z Il sistema diviene, quindi: pertanto la soluzione cercata è: 5z 0 5z y 4z 0 y 4z 5 z,4 z, z, z N. 0 Cerchiamo le costanti richieste: A B A B B A B B Per il principio di identità dei polinomi, otteniamo il sistema: A B 0 A B B Abbiamo ottenuto, quindi: Studiamo ora la convergenza dell integrale: b d lim d b Calcoliamo innanzitutto: d d ln ln ln b b b b

18 b b b ln ln ln ln ln b b b Pertanto: b b d lim d lim ln ln b b b L integrale dato converge a ln