Nome e cognome: Matricola: Si prega inoltre di compilare i seguenti campi, in base alla scelta che si intende fare.
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- Battista Amando Brunetti
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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA CORSO DI LAUREA IN SCIENZE E TECNOLOGIE VITICOLE ED ENOLOGICHE Parziale di MATEMATICA (A) San Flrian, //07 Infrmazini persnali Si prega di indicare il prpri nme, cgnme e numer di matricla nei seguenti campi. Nme e cgnme: Matricla: Si prega inltre di cmpilare i seguenti campi, in base alla scelta che si intende fare. Chied che il mi elabrat venga crrett e valutat. Il vt che cnsegu cn questa prva annulla eventuali vti già cnseguiti in appelli d'esame precedenti. Firma: Numer di fgli cnsegnati: Intend ritirarmi; chied che il mi elabrat nn venga crrett nè valutat. Firma: INDICAZIONI PER I CANDIDATI DURANTE LA PROVA NON È CONSENTITO AGLI STUDENTI UTILIZZARE TESTI E/O APPUNTI, NÈ COMUNICARE TRA LORO O CON L ESTERNO; PERTANTO I TELEFONI CELLULARI ED I DISPOSITIVI MULTIMEDIALI DEVONO RESTARE SPENTI! Scrivete le vstre rispste in md rdinat, utilizzand la penna stilgrafica la penna a sfera; disegnate a matita i grafici delle funzini. In cas di errre, tracciate un segn sulla rispsta scrretta e scrivete accant ad essa quella crretta. NON È AMMESSO L USO DELLA CANCELLINA NÉ DELLA PENNA ROSSA! Si pssn, invece, utilizzare penne di qualsiasi clre divers dal ROSSO; è ammess l us della calclatrice scientifica nn prgrammabile grafica. Alle rispste e alle crrezini scritte in md illeggibile verrann assegnati 0 punti. Utilizzate i fgli della brutta cpia (che dvrann essere pprtunamente cntrassegnati) sl per l'impstazine delle sluzini, in quant essi nn verrann sttpsti a valutazine. Le rispste devn riprtare tutt il prcediment attravers il quale si giunge alla sluzine, cn i calcli intermedi e le vstre deduzini. Punteggi parziali ptrann essere assegnati a svlgimenti incmpleti cn errri nn particlarmente gravi. Abbiate fiducia in vi stessi e nelle vstre capacità. Bun lavr! Lrenz Meneghini QUESITO ( /7) Test della prva Studiare la funzine f determinand esplicitamente dmini, parità, segn ed eventuali intersezini cn gli assi, eventuali asintti, mntnia ed eventuali estremi. Dp aver verificat che f ", determinare cncavità ed eventuali flessi. Disegnare il grafic della funzine. QUESITO ( /6) Dire se la funzine f può ammettere asintti rizzntali d bliqui, mtivand la rispsta; in cas di rispsta negativa, determinare l eventuale funzine asinttica, specificand di che funzine si tratta. Calclare, inltre, la tangente al grafic della curva, passante per il su punt di ascissa.
2 QUESITO ( /6) Calclare i seguenti limiti, specificand quale tra essi nn può essere calclat mediante il Terema di De l Hspital: a) lim ln 0 QUESITO ( /6) b) e lim 0 ln 5 Classificare i punti di nn derivabilità della funzine e c) lim f e calclarne gli estremi relativi. QUESITO 5 ( /6) Dat il grafic della funzine f in figura, disegnare i grafici delle funzini indicate, utilizzand gli spazi a dispsizine in quest fgli. Dire inltre se le funzini trasfrmate hann punti di nn derivabilità, mtivand la rispsta, su fgli a parte. y f y f y f y f Punteggi ttale: /0
3 Meneghini Lrenz Svlgiment Fila A N. f DOMINIO: 0 PARITÀ: f f all asse y) SEGNO ED INTERSEZIONI CON GLI ASSI: f 0 0 0, D 0 dal mment che f 0 la funzine taglia l asse y in 0, per gni D funzine pari (simmetrica rispett RICERCA DEGLI ASINTOTI: lim lim lim la funzine ammette l asintt rizzntale y per ; per parità ammette l stess asintt anche per lim e 0 lim 0 ammette anche l asintt verticale la funzine ammette l asintt verticale ; per parità STUDIO DELLA CRESCENZA: f ' , è punt di massim (relativ) per la curva 0 in D STUDIO DELLA CONCAVITÀ: f " 0 Dal mment che 0, D nn vi sn punti di fless. Il grafic della funzine è quindi:, risulta: f " 0 0 A
4 Meneghini Lrenz N. La funzine f nn può ammettere né asintti rizzntali né bliqui. Infatti: lim f lim lim lim f lim lim lim lim Analgamente, anche: lim f lim... f lim lim... La funzine ammette, però, una curva asinttica; sserviam infatti che: f ed essend (cm è facile verificare) 6 lim 0 A
5 Meneghini Lrenz pssiam cncludere che la parabla di equazine 6 f 5 la curva passa per, 6 f ' 6 0 f ' 5 9 Retta per P(,): Per m 5, allra: N. a) b) c) N. y è a curva asinttica cercata. cefficiente anglare tangente: m 5 y m y 5 y 5 ln lim ln lim lim lim lim 0 H e e e lim lim lim in quest cas nn è 0 ln 5 0 ln 5 0 ln pssibile utilizzare il terema di de l Hspital, trattandsi del rapprt tra due limiti ntevli. e e e lim lim lim H e Il dmini della funzine f è D, perché la radice è di indice dispari. Calcliamne la derivata: f ' Il dmini della derivata prima è D \ 0,. Analizziam la derivabilità della funzine in 0 e. lim f ' lim 0 0 lim f ' lim In entrambi i casi si tratta di punti a tangente verticale. Dbbiam decidere se si tratta di flessi a tangente verticale di cuspidi. Per farl, studiam la crescenza della funzine: f ' A
6 Meneghini Lrenz Quindi la funzine ha una cuspide in 0 ed un punt di fless a tangente verticale in. Inltre, la funzine ha un massim relativ (nn stazinari) nella cuspide ed un minim stazinari per. Più precisamente: MAX 0,0 e MIN, N. 5 y f y f y f y f La funzine rizzntale per y f ha un punt angls in in quant la funzine y f. In tal cas, quindi, la funzine y f avrà, per diversa da quella sinistra. La funzine y f ha un punt angls in 0 in quant la funzine y f rizzntale per 0 diversa da quella sinistra.. In tal cas, quindi, la funzine y f nn ha tangente, la tangente destra nn ha tangente avrà, per 0, la tangente destra La funzine y f nn ha punti di nn derivabilità, in quant ttenuta da y f mediante una traslazine. A
7 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA CORSO DI LAUREA IN SCIENZE E TECNOLOGIE VITICOLE ED ENOLOGICHE Parziale di MATEMATICA (B) San Flrian, //07 Infrmazini persnali Si prega di indicare il prpri nme, cgnme e numer di matricla nei seguenti campi. Nme e cgnme: Matricla: Si prega inltre di cmpilare i seguenti campi, in base alla scelta che si intende fare. Chied che il mi elabrat venga crrett e valutat. Il vt che cnsegu cn questa prva annulla eventuali vti già cnseguiti in appelli d'esame precedenti. Firma: Numer di fgli cnsegnati: Intend ritirarmi; chied che il mi elabrat nn venga crrett nè valutat. Firma: INDICAZIONI PER I CANDIDATI DURANTE LA PROVA NON È CONSENTITO AGLI STUDENTI UTILIZZARE TESTI E/O APPUNTI, NÈ COMUNICARE TRA LORO O CON L ESTERNO; PERTANTO I TELEFONI CELLULARI ED I DISPOSITIVI MULTIMEDIALI DEVONO RESTARE SPENTI! Scrivete le vstre rispste in md rdinat, utilizzand la penna stilgrafica la penna a sfera; disegnate a matita i grafici delle funzini. In cas di errre, tracciate un segn sulla rispsta scrretta e scrivete accant ad essa quella crretta. NON È AMMESSO L USO DELLA CANCELLINA NÉ DELLA PENNA ROSSA! Si pssn, invece, utilizzare penne di qualsiasi clre divers dal ROSSO; è ammess l us della calclatrice scientifica nn prgrammabile grafica. Alle rispste e alle crrezini scritte in md illeggibile verrann assegnati 0 punti. Utilizzate i fgli della brutta cpia (che dvrann essere pprtunamente cntrassegnati) sl per l'impstazine delle sluzini, in quant essi nn verrann sttpsti a valutazine. Le rispste devn riprtare tutt il prcediment attravers il quale si giunge alla sluzine, cn i calcli intermedi e le vstre deduzini. Punteggi parziali ptrann essere assegnati a svlgimenti incmpleti cn errri nn particlarmente gravi. Abbiate fiducia in vi stessi e nelle vstre capacità. Bun lavr! Lrenz Meneghini QUESITO ( /7) Test della prva Studiare la funzine f determinand esplicitamente dmini, parità, segn ed eventuali intersezini cn gli assi, eventuali asintti, mntnia ed eventuali estremi. Dp aver verificat che f " 0, determinare cncavità ed eventuali flessi. Disegnare il grafic della funzine. QUESITO ( /6) Classificare i punti di nn derivabilità della funzine f e calclarne gli estremi relativi.
8 QUESITO ( /6) Calclare i seguenti limiti, specificand quale tra essi nn può essere calclat mediante il Terema di De l Hspital: a) lim ln 5 0 QUESITO ( /6) e b) lim c) e lim 0 ln Dire se la funzine f può ammettere asintti rizzntali d bliqui, mtivand la rispsta; in cas di rispsta negativa, determinare l eventuale funzine asinttica, specificand di che funzine si tratta. Calclare, inltre, la tangente al grafic della curva, passante per il su punt di ascissa. QUESITO 5 ( /6) Dat il grafic della funzine f in figura, disegnare i grafici delle funzini indicate, utilizzand gli spazi a dispsizine in quest fgli. Dire inltre se le funzini trasfrmate hann punti di nn derivabilità, mtivand la rispsta, su fgli a parte. y f y f y f y f Punteggi ttale: /0
9 Meneghini Lrenz B Svlgiment Fila B N. f DOMINIO: 0 PARITÀ: f f all asse y) SEGNO ED INTERSEZIONI CON GLI ASSI: f 0 0 0, D 0 dal mment che per gni D funzine pari (simmetrica rispett f 0 la funzine taglia l asse y in 0, RICERCA DEGLI ASINTOTI: lim lim lim la funzine ammette l asintt rizzntale y per ; per parità ammette l stess asintt anche per 5 lim e 0 5 lim 0 parità ammette anche l asintt verticale STUDIO DELLA CRESCENZA: 0 f ' , è punt di massim (relativ) per la curva STUDIO DELLA CONCAVITÀ: la funzine ammette l asintt verticale ; per 0 in D f " Dal mment che 0, D nn vi sn punti di fless. Il grafic della funzine è quindi:, risulta: f " 0 0
10 Meneghini Lrenz B N. Il dmini della funzine f è D, perché la radice è di indice dispari. Calcliamne la derivata: f ' Il dmini della derivata prima è D \ 0,. Analizziam la derivabilità della funzine in 0 e. lim f ' lim 0 0 lim f ' lim In entrambi i casi si tratta di punti a tangente verticale. Dbbiam decidere se si tratta di flessi a tangente verticale di cuspidi. Per farl, studiam la crescenza della funzine: f ' Quindi la funzine ha una cuspide in 0 ed un punt di fless a tangente verticale in. Inltre, la funzine ha un minim relativ (nn stazinari) nella cuspide ed un massim stazinari per.
11 Meneghini Lrenz B Più precisamente: MIN 0,0 e MAX, N. ln5 5 5 lim ln 5 lim lim lim lim 0 a) H b) c) e e e lim lim lim H e e e e lim lim lim in quest cas nn è 0 ln 0 ln 0 ln pssibile utilizzare il terema di de l Hspital, trattandsi del rapprt tra due limiti ntevli. N. La funzine f nn può ammettere né asintti rizzntali né bliqui. Infatti: lim f lim lim lim f lim lim lim lim Analgamente, anche: lim f lim... f lim lim... La funzine ammette, però, una curva asinttica; sserviam infatti che: f ed essend (cm è facile verificare) 6 lim 0 pssiam cncludere che la parabla di equazine y è a curva asinttica cercata. 6 5 la curva passa per 6 f ' f,
12 Meneghini Lrenz B f 6 0 ' 5 9 m 5 Retta per P(,): Per m 5, allra: y m y 5 y 5 cefficiente anglare tangente: N. 5 y f y f y f y f La funzine rizzntale per y f ha un punt angls in in quant la funzine y f. In tal cas, quindi, la funzine y f avrà, per diversa da quella sinistra. La funzine y f ha un punt angls in 0 in quant la funzine y f rizzntale per 0 diversa da quella sinistra.. In tal cas, quindi, la funzine y f nn ha tangente, la tangente destra nn ha tangente avrà, per 0, la tangente destra La funzine y f nn ha punti di nn derivabilità, in quant ttenuta da y f mediante una traslazine.
13 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA CORSO DI LAUREA IN SCIENZE E TECNOLOGIE VITICOLE ED ENOLOGICHE Parziale di MATEMATICA (C) San Flrian, //07 Infrmazini persnali Si prega di indicare il prpri nme, cgnme e numer di matricla nei seguenti campi. Nme e cgnme: Matricla: Si prega inltre di cmpilare i seguenti campi, in base alla scelta che si intende fare. Chied che il mi elabrat venga crrett e valutat. Il vt che cnsegu cn questa prva annulla eventuali vti già cnseguiti in appelli d'esame precedenti. Firma: Numer di fgli cnsegnati: Intend ritirarmi; chied che il mi elabrat nn venga crrett nè valutat. Firma: INDICAZIONI PER I CANDIDATI DURANTE LA PROVA NON È CONSENTITO AGLI STUDENTI UTILIZZARE TESTI E/O APPUNTI, NÈ COMUNICARE TRA LORO O CON L ESTERNO; PERTANTO I TELEFONI CELLULARI ED I DISPOSITIVI MULTIMEDIALI DEVONO RESTARE SPENTI! Scrivete le vstre rispste in md rdinat, utilizzand la penna stilgrafica la penna a sfera; disegnate a matita i grafici delle funzini. In cas di errre, tracciate un segn sulla rispsta scrretta e scrivete accant ad essa quella crretta. NON È AMMESSO L USO DELLA CANCELLINA NÉ DELLA PENNA ROSSA! Si pssn, invece, utilizzare penne di qualsiasi clre divers dal ROSSO; è ammess l us della calclatrice scientifica nn prgrammabile grafica. Alle rispste e alle crrezini scritte in md illeggibile verrann assegnati 0 punti. Utilizzate i fgli della brutta cpia (che dvrann essere pprtunamente cntrassegnati) sl per l'impstazine delle sluzini, in quant essi nn verrann sttpsti a valutazine. Le rispste devn riprtare tutt il prcediment attravers il quale si giunge alla sluzine, cn i calcli intermedi e le vstre deduzini. Punteggi parziali ptrann essere assegnati a svlgimenti incmpleti cn errri nn particlarmente gravi. Abbiate fiducia in vi stessi e nelle vstre capacità. Bun lavr! Lrenz Meneghini QUESITO ( /7) Test della prva Studiare la funzine f determinand esplicitamente dmini, parità, segn ed eventuali intersezini cn gli assi, eventuali asintti, mntnia ed eventuali estremi. Dp aver verificat che f ", determinare cncavità ed eventuali flessi. Disegnare il grafic della funzine. QUESITO ( /6) Classificare i punti di nn derivabilità della funzine f e calclarne gli estremi relativi.
14 QUESITO ( /6) Dire se la funzine f può ammettere asintti rizzntali d bliqui, mtivand la rispsta; in cas di rispsta negativa, determinare l eventuale funzine asinttica, specificand di che funzine si tratta. Calclare, inltre, la tangente al grafic della curva, passante per il su punt di ascissa. QUESITO ( /6) Calclare i seguenti limiti, specificand quale tra essi nn può essere calclat mediante il Terema di De l Hspital: e a) lim 5 6 QUESITO 5 ( /6) Dat il grafic della funzine f b) lim ln 6 0 c) lim 0 ln in figura, disegnare i grafici delle funzini indicate, utilizzand gli spazi a dispsizine in quest fgli. Dire inltre se le funzini trasfrmate hann punti di nn derivabilità, mtivand la rispsta, su fgli a parte. y f y f e y f y f Punteggi ttale: /0
15 Meneghini Lrenz C Svlgiment Fila C N. f DOMINIO: 0 PARITÀ: f f all asse y) SEGNO ED INTERSEZIONI CON GLI ASSI: f 0 0 0, D 0 dal mment che f 0 la funzine taglia l asse y in 0, per gni D funzine pari (simmetrica rispett RICERCA DEGLI ASINTOTI: lim lim lim la funzine ammette l asintt rizzntale y per ; per parità ammette l stess asintt anche per lim e lim 0 0 ammette anche l asintt verticale la funzine ammette l asintt verticale ; per parità STUDIO DELLA CRESCENZA: f ' , è punt di minim (relativ) per la curva 0 in D STUDIO DELLA CONCAVITÀ: f " 0 Dal mment che 0, D nn vi sn punti di fless. Il grafic della funzine è quindi:, risulta: f " 0 0
16 Meneghini Lrenz C N. Il dmini della funzine f è D, perché la radice è di indice dispari. Calcliamne la derivata: f ' Il dmini della derivata prima è D \ 0,. Analizziam la derivabilità della funzine in 0 e. lim f ' lim 0 0 lim f ' lim In entrambi i casi si tratta di punti a tangente verticale. Dbbiam decidere se si tratta di flessi a tangente verticale di cuspidi. Per farl, studiam la crescenza della funzine: f ' Quindi la funzine ha una cuspide in 0 ed un punt di fless a tangente verticale in. Inltre, la funzine ha un massim relativ (nn stazinari) nella cuspide ed un minim stazinari per.
17 Meneghini Lrenz C Più precisamente: MAX 0,0 e MIN, N. La funzine f nn può ammettere né asintti rizzntali né bliqui. Infatti: lim f lim lim lim f lim lim lim lim Analgamente, anche: lim f lim... f lim lim... La funzine ammette, però, una curva asinttica; sserviam infatti che: f ed essend (cm è facile verificare) 6 lim 0 pssiam cncludere che la parabla di equazine y è a curva asinttica cercata. 6 f 5 la curva passa per, 6 f ' 6 0 f ' 5 9 Retta per P(, ): Per m 5, allra: N. a) y m y 5 y 5 e e e lim lim lim H e b) ln6 6 6 lim ln 6 lim lim lim lim 0 H cefficiente anglare tangente: m 5
18 Meneghini Lrenz C c) ln ln ln lim lim lim in quest cas nn è e e e pssibile utilizzare il terema di de l Hspital, trattandsi del rapprt tra due limiti ntevli. N. 5 y f y f y f y f La funzine y f ha un punt angls in in quant la funzine y f rizzntale per diversa da quella sinistra.. In tal cas, quindi, la funzine y f nn ha tangente avrà, per, la tangente destra La funzine y f ha un punt angls in 0 in quant la funzine y f rizzntale per 0 diversa da quella sinistra.. In tal cas, quindi, la funzine y f nn ha tangente avrà, per 0, la tangente destra La funzine y f nn ha punti di nn derivabilità, in quant ttenuta da y f mediante una traslazine.
19 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI VERONA CORSO DI LAUREA IN SCIENZE E TECNOLOGIE VITICOLE ED ENOLOGICHE Parziale di MATEMATICA (D) San Flrian, //07 Infrmazini persnali Si prega di indicare il prpri nme, cgnme e numer di matricla nei seguenti campi. Nme e cgnme: Matricla: Si prega inltre di cmpilare i seguenti campi, in base alla scelta che si intende fare. Chied che il mi elabrat venga crrett e valutat. Il vt che cnsegu cn questa prva annulla eventuali vti già cnseguiti in appelli d'esame precedenti. Firma: Numer di fgli cnsegnati: Intend ritirarmi; chied che il mi elabrat nn venga crrett nè valutat. Firma: INDICAZIONI PER I CANDIDATI DURANTE LA PROVA NON È CONSENTITO AGLI STUDENTI UTILIZZARE TESTI E/O APPUNTI, NÈ COMUNICARE TRA LORO O CON L ESTERNO; PERTANTO I TELEFONI CELLULARI ED I DISPOSITIVI MULTIMEDIALI DEVONO RESTARE SPENTI! Scrivete le vstre rispste in md rdinat, utilizzand la penna stilgrafica la penna a sfera; disegnate a matita i grafici delle funzini. In cas di errre, tracciate un segn sulla rispsta scrretta e scrivete accant ad essa quella crretta. NON È AMMESSO L USO DELLA CANCELLINA NÉ DELLA PENNA ROSSA! Si pssn, invece, utilizzare penne di qualsiasi clre divers dal ROSSO; è ammess l us della calclatrice scientifica nn prgrammabile grafica. Alle rispste e alle crrezini scritte in md illeggibile verrann assegnati 0 punti. Utilizzate i fgli della brutta cpia (che dvrann essere pprtunamente cntrassegnati) sl per l'impstazine delle sluzini, in quant essi nn verrann sttpsti a valutazine. Le rispste devn riprtare tutt il prcediment attravers il quale si giunge alla sluzine, cn i calcli intermedi e le vstre deduzini. Punteggi parziali ptrann essere assegnati a svlgimenti incmpleti cn errri nn particlarmente gravi. Abbiate fiducia in vi stessi e nelle vstre capacità. Bun lavr! Lrenz Meneghini QUESITO ( /7) Test della prva Studiare la funzine f determinand esplicitamente dmini, parità, segn ed eventuali intersezini cn gli assi, eventuali asintti, mntnia ed eventuali estremi. Dp aver verificat che f " 6, determinare cncavità ed eventuali flessi. Disegnare il grafic della funzine. QUESITO ( /6) Dire se la funzine f può ammettere asintti rizzntali d bliqui, mtivand la rispsta; in cas di rispsta negativa, determinare l eventuale funzine asinttica, specificand di che funzine si tratta. Calclare, inltre, la tangente al grafic della curva, passante per il su punt di ascissa.
20 QUESITO ( /6) Calclare i seguenti limiti, specificand quale tra essi nn può essere calclat mediante il Terema di De l Hspital: e a) lim 5 6 QUESITO ( /6) b) lim ln 7 0 c) lim 0 ln 5 Classificare i punti di nn derivabilità della funzine f e calclarne gli estremi relativi. e QUESITO 5 ( /6) Dat il grafic della funzine f in figura, disegnare i grafici delle funzini indicate, utilizzand gli spazi a dispsizine in quest fgli. Dire inltre se le funzini trasfrmate hann punti di nn derivabilità, mtivand la rispsta, su fgli a parte. y f y f y f y f Punteggi ttale: /0
21 Meneghini Lrenz Svlgiment Fila D N. f DOMINIO: 0 PARITÀ: f f all asse y) SEGNO ED INTERSEZIONI CON GLI ASSI: f 0 0 0, D 0 dal mment che f 0 la funzine taglia l asse y in 0, per gni D funzine pari (simmetrica rispett RICERCA DEGLI ASINTOTI: lim lim lim la funzine ammette l asintt rizzntale y per ; per parità ammette l stess asintt anche per lim e 0 lim 0 ammette anche l asintt verticale la funzine ammette l asintt verticale ; per parità STUDIO DELLA CRESCENZA: f ' , è punt di massim (relativ) per la curva 0 in D STUDIO DELLA CONCAVITÀ: f " Dal mment che 0, D nn vi sn punti di fless. Il grafic della funzine è quindi:, risulta: f " 0 0
22 Meneghini Lrenz N. La funzine f nn può ammettere né asintti rizzntali né bliqui. Infatti: lim f lim lim lim f lim lim lim lim Analgamente, anche: lim f lim... f lim lim... La funzine ammette, però, una curva asinttica; sserviam infatti che: f ed essend (cm è facile verificare) 6 lim 0
23 Meneghini Lrenz pssiam cncludere che la parabla di equazine y è a curva asinttica cercata. f 6 5 la curva passa per 6 f ' f 6 0 ' 5 9 Retta per P(, ): Per m 5, allra: N. a) y m, y 5 y 5 e e e lim lim lim H e b) c) N. ln7 7 7 lim ln 7 lim lim lim lim 0 H cefficiente anglare tangente: m 5 ln 5 ln 5 ln 5 5 lim lim lim 5 in quest cas nn è e e 5 e pssibile utilizzare il terema di de l Hspital, trattandsi del rapprt tra due limiti ntevli. Il dmini della funzine f è D, perché la radice è di indice dispari. Calcliamne la derivata: f ' Il dmini della derivata prima è D \ 0,. Analizziam la derivabilità della funzine in 0 e. lim f ' lim 0 0 lim f ' lim In entrambi i casi si tratta di punti a tangente verticale. Dbbiam decidere se si tratta di flessi a tangente verticale di cuspidi. Per farl, studiam la crescenza della funzine: f ' 0 0 0
24 Meneghini Lrenz Quindi la funzine ha una cuspide in 0 ed un punt di fless a tangente verticale in. Inltre, la funzine ha un minim relativ (nn stazinari) nella cuspide ed un massim stazinari per. Più precisamente: MIN 0,0 e MAX, N. 5 y f y f y f y f La funzine y f ha un punt angls in tangente rizzntale per destra diversa da quella sinistra. in quant la funzine y f. In tal cas, quindi, la funzine y f nn ha avrà, per, la tangente La funzine y f ha un punt angls in 0 in quant la funzine y f rizzntale per 0 diversa da quella sinistra.. In tal cas, quindi, la funzine y f nn ha tangente avrà, per 0, la tangente destra La funzine y f nn ha punti di nn derivabilità, in quant ttenuta da y f mediante una traslazine.
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