Derivate. A. Calcolare la derivata delle seguenti funzioni: 5) ( ) 7 5. x x. 1 2 x = + + 9) ( ) y x x. x + 2x. y = e + 11) x e = 18) ( )

Transcript

1 A. Calcolare la derivata delle seguenti funzioni: ) y 6 ) ln ) y ln ( ) 5) 5 Derivate y e ) y e y e 6)) ( 6 ) 5 ) y 5 8) y y e ln 0) y e ) y e ) y ) y ln ) y 5) y 8 6) y ln e ) y ln ln y ln e 9) y e ) y 9) 8) ) y ( ) ln ( ) 0) y ln ( ) ) y ln ( e ) ) y e ( ) B. Scrivere l equazione della retta tangente al grafico della funzione f nel punto a fianco indicato: 0 f ) f ) ln f e 0 5) ) ) 6) f f e 0 f 5 C. Determinare le coordinate del punto P in modo che la retta tangente al grafico della funzione f in P aia la caratteristica a fianco segnata: f sia parallela alle retta y 0 ) ) f ln ( ) sia parallela alla retta passante per A ( ;) e B ( ;) f e sia parallela alla isettrice del secondo quadrante ) D. Determinare per quali valori dei parametri la funzione f è derivaile nel suo dominio: ) f e 0 a < 0 ) f < 5 0 a ln ( ) 5 0

2 f ) ae < < c ) f ln a > E. Determinare in quali punti del suo dominio la funzione non è derivaile e specificare il tipo di punto singolare: ) f ) f ) f ( ) Soluzioni A. ) y ' 6 6 ) ) y ' y ' e ) y ' e e ) Si tratta del prodotto di due funzioni composte: y ' e ( ) e ( 5) e ( 5 8) 6) La funzione può essere riscritta nel modo seguente: y ( 6 ) ( 5 ) ricordando la regola per la derivata della funzione composta, è data da, per cui la derivata, 5 ) Possiamo scrivere y ln ln, per cui la derivata è 5 5 y ' y ' 6 5 ( ) ( ) 8) y ' ( ) 9) y ' e 0) ( ) e e e y ' e e ( ) ) ' ( ) y e ) y ' ( ) ) y ' ( )

3 ) y ' 0 ( ) 5) y ' 8 6) y ' ln e ) ( ) ln ln y ' 9) 8) y ' ln ( ) 0) y ' e ( ) ( ) 5 y ' ) y ' ln ( ) ( ) ) Si tratta di fare la derivata di un quoziente, il cui numeratore è il prodotto di due funzioni. ( e e )( ) e e ( ) Aiamo allora y ' ) Si tratta di una funzione composta, che possiamo decomporre nel modo seguente: y t con t ln s con s e. Pertanto aiamo ( e ) ( e ) ln y ' ln ( e ) ( e ( )) e e ) y ' e ( ) e ( ) e ( )( 6 ) L equazione della retta tangente al grafico di una funzione in un suo punto di ascissa 0 è ' y f f. ) f ' cioè y B., da cui f ( 0) e f '0, quindi l equazione della retta è y ( 0) ( ), ) y ) y ) y (il punto dato è l ascissa del vertice della paraola, per cui la tangente è parallela all asse delle ascisse) 5) y 6) y 9

4 C. ) Poiché la retta tangente deve essere parallela alla retta assegnata, la retta tangente deve avere lo stesso coefficiente angolare della retta data, che è m. Occorre pertanto cercare il punto della curva nel quale la derivata, che è la pendenza, cioè il coefficiente angolare della retta tangente, sia uguale a. Si ha y ', quindi deve essere, da cui otteniamo. Il punto è pertanto P (, ). ) Il prolema può essere formulato anche nel modo seguente: Determinare il punto del grafico in cui la pendenza della curva è uguale alla pendenza della retta passante per i punti A e B. Doiamo innanzi tutto trovare la pendenza della retta. Aiamo m. Doiamo ora cercare il punto della funzione in cui la derivata è uguale a. La derivata è f ' e ponendo, si ottiene. Il punto cercato è P, ln. ) L esercizio è analogo al precedente ). La isettrice del secondo quadrante ha coefficiente angolare m e la derivata della funzione è f ' e. Dovrà perciò essere e, equazione che non ammette soluzione, dato che la funzione esponenziale è ovunque positiva. Pertanto non esiste il punto cercato. D. La funzione, per essere derivaile, deve innanzi tutto essere continua. L unico punto in cui occorre verificare la continuità e la derivailità è il punto di giuntura. Devono essere verificate, in sostanza, nel punto di giuntura 0, le due uguaglianze lim f lim f e lim f ' lim f ' e 0 e > 0 e f ', pertanto deve essere a < 0 < 0 a verificato il sistema, da cui la soluzione a e ) Aiamo f ) La funzione è continua per qualsiasi valore del parametro a, perché lim 5 f 0 5. Occorre allora verificare solo la condizione sulla derivata: si ottiene 0 a

5 ae < f ' < <. Occorre verificare la continuità e la derivailità nei due punti > a c e. Si ottiene, da cui a, e c. a ) Si ha ) Per la continuità aiamo a, ma la condizione sulla derivailità risulta essere, uguaglianza evidentemente falsa, pertanto la funzione non è derivaile in per alcun valore dei parametri. E. ) La funzione data è definita e continua per ogni valore reale. La derivata della funzione è f ', che non esiste per. Tale punto è pertanto un possiile punto singolare e per determinarne la natura occorre calcolare i due limiti lim f ' e lim f ' lim ( ) e lim ( ). Si ha e pertanto 0 è un flesso a tangente verticale. ) La funzione data è continua e può essere scritta come una funzione definita a pezzi < > f e gli eventuali punti singolari sono e. La < > derivata della funzione risulta essere f ' e calcolando i due limiti < < lim lim, quindi il punto è un punto angoloso. In modo aiamo ( ) e analogo si deduce che anche il punto è un punto angoloso. ) Si procede come per il caso precedente. Questa volta, però, calcolando i due limiti destro e sinistro della derivata nel punto, si trova che i due limiti sono entrami uguali a 0 e pertanto la funzione data è derivaile in tutti i punti del suo dominio.