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1 La paraola Definizione: si definisce paraola il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta fissa detta direttrice. Una rappresentazione grafica indicativa della paraola nel piano cartesiano è data dalla figura seguente. Da come si può intuire nel grafico dell esempio, ogni paraola presenta un asse di simmetria che divide la paraola in due parti sovrapponiili, detti anche rami. Il legame tra i punti del piano che costituiscono il grafico di una paraola si può scrivere in forma di funzione, cioè di legame tra la variaile indipendente x e la variaile dipendente, pertanto: ax x c rappresenta l equazione generale di una paraola (con asse parallelo all asse delle ). Il ruolo operativo della direttrice e del fuoco nel definire la paraola è messo in evidenza dal seguente schema che rappresenta il luogo dei punti equidistanti da questi due enti:

2 x Fuoco Direttrice I segmenti che congiungono un punto generico della paraola con il fuoco e la direttrice sono congruenti. Osservazione Se invertiamo il ruolo delle variaili otteniamo: x a c che rappresenta l equazione generale di una paraola (con asse parallelo all asse delle x), cioè In questo caso il fuoco si troverà sull asse della x, mentre la direttrice è parallele all asse delle.

3 Il fuoco che concorre a definire la paraola è un punto appartenente alla parte di piano interna al grafico della funzione, le cui coordinate sono date da 1 F ; a Per definire la paraola viene utilizzata anche una retta fissa detta direttrice, la cui equazione è data da: 1 L asse di simmetria invece è dato dalla relazione: x a Nell equazione della paraola ax x c inoltre, isogna distinguere tra due casi: 1) a 0, allora la concavità della paraola è rivolta verso l alto (cioè il grafico della paraola è simile ad una U) ) a 0 allora la concavità della paraola è rivolta verso l alto (cioè il grafico della paraola è simile ad una U rovesciata)

4 Da quest ultima osservazione, possiamo concludere che esiste un punto particolare, rispetto a tutti gli altri è il più asso (caso a 0 ) o il più alto (caso a 0), tale punto viene detto vertice e ha coordinate: a V ; Determinare l equazione della paraola Caso 1: tre punti generici Osservando l equazione della paraola si può notare che: ax x c I parametri necessari per individuare l equazione sono 3: a,,c. Ricordando la condizione di passaggio: data una funzione e un punto appartenente ad essa, posso sostituire i valori della x e della all interno dell equazione data e ottengo un uguaglianza verificata; posso concludere che per tre punti non allineati passa una ed una sola paraola. Infatti, dati A ; B ; C ; x a a x x c c Sostituisco i valori delle variaili nell equazione generale della paraola e ottengo tre equazioni x ax ax a x x x c c c ax c x c c Che messe a sistema mi permettono di individuare i tre parametri a,, c e quindi di scrivere l equazione della paraola passante per i punti dati. Caso : vertice e un punto generico

5 Le formule generiche del fuoco, del vertice, della direttrice sono utili per determinare l equazione di una paraola in determinate condizioni, infatti dato uno dei punti sopra citati, è possiile identificare una condizione utile per determinare i parametri a,, c uguagliando l equazione generica del dato in possesso con l effettivo valore numerico. Poiché per determinare l equazione di una paraola servono tre parametri, si dovranno avere tre condizioni corrispondenti a tre equazioni distinte. Esempio Determinare l equazione della paraola passante per il punto A 3,5 e avente vertice nel punto V 1,1. Soluzione Devo determinare i parametri a,,c della paraola ax x c. Poiché la paraola passa per il punto A 3,5 applico la condizione di appartenenza, sostituendo nell equazione generica della paraola ottengo 5 9a 3 c Considero ora le coordinate generiche del vertice V ; a c E le coordinate reali del vertice V 1,1. Poiché la formula generale e il dato del prolema descrivono lo stesso punto dovrà essere che le x e le dell espressione generica e del dato del prolema siano uguali tra loro, cioè a 1 c 1 Ottengo così tre condizioni che messe a sistema 5 9a 3 c a 1 c 1

6 Permettono di calcolare i valori cercati dei tre parametri. Posizione reciproca tra retta e paraola Richiamiamo l interpretazione analitica della soluzione di un sistema: la soluzione di un sistema di equazioni rappresenta i punti di intersezione nel piano cartesiano delle equazioni che lo compongono. Pertanto se mettiamo a sistema l equazione generica di una paraola e l equazione dell asse delle x, otteniamo: ax 0 E ricordando il metodo del confronto, otteniamo ax x c x c 0 Che non è altro che un equazione di secondo grado, pertanto le soluzioni x 1, x rappresentano l intersezione della paraola con l asse delle x. Si possono verificare quindi tre possiilità: 1) 0, allora x1 x, cioè vi sono due intersezioni tra il grafico della paraola e l asse delle x. oppure ) 0, allora x1 x, cioè vi è una intersezione tra il grafico della paraola e l asse delle x.

7 oppure 3) 0, allora non ci sono soluzioni, cioè non vi sono intersezioni tra il grafico della paraola e l asse delle x. oppure Le situazioni descritte sopra possono essere generalizzate per rette qualunque, ricordando allora quale sia l equazione generale di una retta mx q, allora possiamo scrivere ax x c mx q Tale sistema da come soluzione la posizione tra paraola e retta e gli eventuali punti di intersezione. Interpretazione grafica generica: condizione di tangenza P x

8 Posizione reciproca tra due paraole Date due paraole 1 a1x 1 x c1 e ax x c le loro intersezioni sono date dal sistema: a1x ax x c 1 x c E un sistema di secondo grado che può avere: 1. due soluzioni, le paraole si intersecano i due punti. una soluzione, le paraole sono tangenti; 3. nessuna soluzione, le paraole sono esterne. 1

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