Esercizio 1. lnx (1) f (x) > 0 ln2 x. t = ln x (3)

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1 Esercizio Studio della funzione: f () = ln Soluzione Insieme di definizione La funzione è definita in X = (0, + ). Intersezioni con gli assi ln () f () = 0 ln ln = 0 () Per risolvere tale equazione poniamo: Quindi: t = ln (3) ( ) t t t = 0 t = 0 t = 0,t = (4) Ripristinando la variabile : t = 0 = ln = 0 = = t = = ln = = = e Perciò: Inoltre: Studio del segno A (, 0), B ( e, 0 ) γ (5) 0 = X = P γ y f () > 0 ln ln > 0 (6) Eseguendo nuovamente il cambio (3): t t > 0 t < 0,t > che corrispondono a ln < 0 (0, ) (7) ln > (, + ),

2 ciò implica: f () > 0 (0, ) (, + ) per cui il grafico giace nel semipiano y > 0 per (0, ) (, + ), e nel semipiano y < 0 per (, ). Comportamento agli estremi Abbiamo: ( ln ) lim f () = lim ln = (8) Poniamo: t = ln ( ) t lim f () = lim 0 + t t quindi l asse y è asintoto verticale. ( ) t lim f () = lim + t + t Esaminiamo la presenza di eventuali asintoti obliqui: f () m = lim + ( = lim t t ) = +, t = +, ( ln = lim + ln ) ln = lim + lim ln +, perciò: ln lim + = H ln = lim + = H = lim + = 0 Calcolo delle derivate Un calcolo diretto porge: m = 0 = asintoti obliqui f () = ln f () = ln Studio della monotonia e ricerca degli estremi relativi ed assoluti Calcoliamo gli zeri di f (): (9) pertanto = e è un punto estremale. Studiamo il segno di f (): f () = 0 ln = = e

3 f () > 0 ln > 0 (e, + ), per cui la funzione è strettamente crescente in (e, + ) ed è strettamente decrescente in (0,e). Quindi = e è punto di minimo relativo per f. Ed è anche punto di minimo assoluto: ( m e, ) Studio della derivata seconda Determiniamo gli zeri di f (): Il segno della derivata seconda: f () = 0 ln = = e f () > 0 ln < ( 0,e ), per cui γ è concavo verso l alto in (0,e ) e concavo verso il basso in (e, + ). Perciò = e è punto di flesso. Notiamo che tale punto è uno zero di f (), quindi il flesso è il punto B (eq. 5). Il grafico completo è riportato in figura (). 4 y 3 e e Figure : Grafico della funzione assegnata.

4 Esercizio Studiare la funzione f () = ln arctan () Soluzione Insieme di definizione Per la presenza del logaritmo la funzione è definita per > 0, quindi X = (0, + ). Intersezioni con gli assi *** f () = 0 ln = arctan () La () va risolta per grafica o numerica, ottenendo la radice α Quindi A (α, 0) γ, essendo γ il grafico della funzione. Inoltre: Studio del segno 0 = X = P γ y f () > 0 ln > arctan (α, + ), giacchè ln e arctan sono strettamente crescenti. Il grafico giace nel semipiano y > 0 per (α, + ) e nel semipiano y < 0 per (0,α). Comportamento agli estremi La funzione diverge negativamente per 0 + : lim f () = ( ) + 0 =, 0 + quindi l asse y è asintoto verticale. La funzione diverge positivamente per + : Calcoliamo: quindi il grafico è privo di asintoti obliqui. Calcolo delle derivate Un calcolo diretto porge: lim + f () = (+ ) π = + ( f () ln m = lim = lim + + arctan ) = 0, f () = + ( + ) f () = ( + ) (3)

5 Studio della monotonia e ricerca degli estremi relativi ed assoluti Risulta: X, f () > 0 Per cui la funzione è strettamente crescente in X. Concavità e punti di flesso. Risulta: Quindi il grafico è concavo verso il basso. Tracciamento del grafico. Il grafico completo è riportato in figura (). X, f () < 0 y Α Figure : Grafico della funzione assegnata.

6 Esercizio 3 Studiare la funzione f () = arctan (ln) () Soluzione Insieme di definizione Per la presenza del logaritmo la funzione è definita per > 0, quindi X = (0, + ). Intersezioni con gli assi *** Inoltre: f () = 0 ln = 0 = = A (, 0) γ () Studio del segno 0 = X = P γ y f () > 0 ln > 0 (, + ), Il grafico giace nel semipiano y > 0 per (, + ) e nel semipiano y < 0 per (0, ). Comportamento agli estremi La funzione converge per 0 + : lim 0 + f () = arctan ( ) = π, cosicché = 0 è un punto di discontinuità eliminabile. Quindi: { arctan (ln), se > 0 f () = π, se = 0 Pertanto B ( π, 0) γ y. La funzione converge per + : quindi la retta y = π è asintoto orizzontale. Calcolo delle derivate Un calcolo diretto porge: lim + f () = arctan (+ ) = π, f () = ( + ln ) (3) f ( + ln) () = (( + ln ))

7 Studio della monotonia e ricerca degli estremi relativi ed assoluti Risulta: X, f () > 0 per cui la funzione è strettamente crescente in X. Esaminiamo il comportamento di f () nel punto = 0: f + (0) = lim 0 + ( + ln ) = lim ln = H = lim 0 + ln = H = lim 0 + = +, cioè il grafico parte dal punto B ( 0, π ) con tangente verticale. Concavità e punti di flesso. Zeri della derivata seconda: Studiamo il segno della derivata seconda: f () = 0 = e f () < 0 X { } e Resta l ambiguità sul punto =, poiché non si tratta di un punto di flesso. Determinando e con un qualunque programma di calcolo le derivate fino al quarto ordine, vediamo che: ( ) ( ) ( ) ( ) f = f = f = 0, f IV < 0 e e e e Da ciò segue che nel punto = il grafico è concavo verso il basso. Allo stesso risultato e si giunge intuitivamente, poichè la funzione è ivi strettamente crescente e il grafico deve necessariamente essere concavo verso il basso, poichè è tale in ogni intorno di =. e Tracciamento del grafico. Il grafico completo è riportato in figura ().

8 y 5 Π Figure : Grafico della funzione assegnata.

9 Esercizio 4 Studiare la funzione f () = ln (arctan) () *** Soluzione Insieme di definizione Questa funzione è definita su tutto R, quindi X = (, + ). Intersezioni con gli assi Inoltre: f () = 0 arctan = = α.56 = A (α, 0) γ () Studio del segno 0 = X = P γ y f () > 0 arctan > (α, + ), Il grafico giace nel semipiano y > 0 per (α, + ) e nel semipiano y < 0 per (0,α). Comportamento agli estremi La funzione diverge negativamente per 0 + : cosicché l asse y è asintoto verticale. Pertanto B ( π, 0) γ y. La funzione converge per + : lim f () =, 0 + lim + f () = ln π, quindi la retta y = ln π è asintoto orizzontale. Calcolo delle derivate Un calcolo diretto porge: f () = ( + ) arctan f + arctan () = ( + ) (arctan) (3) Studio della monotonia e ricerca degli estremi relativi ed assoluti Risulta: X, f () > 0

10 per cui la funzione è strettamente crescente in X. Concavità e punti di flesso. Osserviamo che arctan > 0, X. Pertanto la derivata seconda non si annulla mai in X. Più precisamente è sempre < 0, quindi γ è concavo verso il basso. Tracciamento del grafico. Il grafico completo è riportato in figura (). y Α 5 Π Figure : Grafico della funzione assegnata.

11 Esercizio 5 Studiare la funzione Soluzione Insieme di definizione Questa funzione è definita in X = R {0} Intersezioni con gli assi f () = arctan ( e /) () *** Inoltre: Studio del segno f () = 0 e / = 0 mai! = P γ () 0 = X = P γ y Il grafico giace nel semipiano y > 0 Comportamento agli estremi X, f () > 0 lim arctan( e /) = π, lim 0 + arctan( e /) = Cioè = 0 è un punto di discontinuità di prima specie. Il salto di discontinuità è: Si noti che la discontinuità non è simmetrica. La funzione converge per ± : s = π lim arctan( e /) = π +, lim + 4 arctan( e /) = π + 4 quindi la retta y = π è asintoto orizzontale a destra e a sinistra. 4 Calcolo delle derivate Un calcolo diretto porge: e / f () = [ ( + e / ) f () = e/ + + e / ( ) ] ( + e / ) 4 (3) Studio della monotonia e ricerca degli estremi relativi ed assoluti Studio del segno:

12 X, f () < 0 per cui la funzione è strettamente decrescente in X. Determiniamo la derivata sinistra e destra in = 0: f (0) = lim f () = 0 0 f + (0) = lim f () = Quindi γ arriva in = 0 con tangente orizzontale, e parte da = 0 + con tangente orizzontale Concavità e punti di flesso. Zeri di f (): f () = e / ( ) = 0 Risolvendo numericamente, troviamo le radici: Segno di f (): α 0.48, β = α { + + e f () > 0 / ( ) > 0 0 = (α, 0) (β, + ), per cui γ è concavo veso l alto in (α, 0) (β, + ) ed è concavo verso il basso in (,α) (0,β). Ciò implica che = α e = β sono punti di flesso. Tracciamento del grafico. Il grafico completo è riportato in figura ().

13 y Π Π 4 f f 4 f ' f 4 Figure : Grafico della funzione assegnata.

14 Esercizio 6 Studiare la funzione f () = ln (arctan + ) () Soluzione Insieme di definizione Questa funzione è definita in X tale che: { arctan + > 0 = X = ( tan, 0) (0, + ) arctan + Intersezioni con gli assi *** Inoltre: Studio del segno X f () = 0 = P γ () 0 = X = P γ y f () > 0 arctan + > (0, + ) Il grafico giace nel semipiano y < 0 per (0, + ), e nel semipiano y > 0 per ( tan, 0). Comportamento agli estremi lim f () = ( tan ) + ln 0 = + = 0+, cosicchè = tan è una discontinuità eliminabile. lim f () =, lim 0 + per cui l asse y è asintoto verticale. La funzione converge per + : f () = +, 0 quindi la retta y = ln( +π) Calcolo delle derivate Calcoliamo solo la derivata prima: f () = lim f () = + ln ( ) +π è asintoto orizzontale a destra. ( + ) ( + arctan) [ln (arctan + )] (3)

15 Studio della monotonia e ricerca degli estremi relativi ed assoluti Studio del segno: X, f () > 0 per cui la funzione è strettamente crescente in X. Determiniamo la derivata destra in = tan : f + ( tan ) = lim ( tan ) + ( + ) ( + arctan) [ln (arctan + )] = lim ( tan ) + ( + ) lim ( tan ) + ( + arctan) [ln (arctan + )] Il primo limite non produce indeterminazione, quindi calcoliamo il secondo ponendo t = + arctan, e ciò implica t 0 + se ( tan ) + Siccome lim t 0 t ln t = 0 +, si ha: lim ( tan ) + ( + arctan) [ln (arctan + )] = lim t 0 + t ln t donde: lim ( tan ) + ( + arctan) [ln (arctan + )] = +, f + ( tan ) = + Quindi γ parte da = tan con tangente verticale orientata verso l alto. Concavità e punti di flesso. Non abbiamo determinato la derivata seconda, per cui deduciamo i punti di flesso dal comportamento di f (). Siccome γ parte da = tan con tangente verticale orientata verso l alto, segue che esiste un flesso in f ( tan, 0), risultando γ concavo verso il basso in ( tan, f ) e concava verso l alto in ( f, 0). In (0, + ) γ volge nuovamente la concavità verso il basso. Tracciamento del grafico. Il grafico completo è riportato in figura ().

16 y tan 3 4 ln Π Figure : Grafico della funzione assegnata.

17 Esercizio 7 Studiare la funzione ( f () = arctan e /) () *** Soluzione Insieme di definizione Questa funzione è definita in X = (, 0) (0, + ). Simmetrie La funzione è pari: f ( ) f (). Intersezioni con gli assi Inoltre: Studio del segno X f () = 0 = P γ () 0 = X = P γ y Il grafico giace nel semipiano y > 0. Comportamento agli estremi X, f () > 0 ( π ) ( π ) ( π ) lim f () =, lim 0 + f () = = lim f () = 0 0 cosicchè = 0 è una discontinuità eliminabile. La funzione converge per + : e in forza della parità: ( lim f () = arctan e 0+) ( π ) + =, + 4 ( lim f () = arctan e 0+) ( π + = 4) quindi la retta y = π è asintoto orizzontale sia a destra che a sinistra. 4 Calcolo delle derivate Un calcolo diretto porge: e / f () = (3) 3 ( + e / ) ] e [ / e / (3 ) f () = 6 ( + e / ) (4)

18 Studio della monotonia e ricerca degli estremi relativi ed assoluti Studio del segno: f () > 0 < 0 per cui la funzione è strettamente crescente in (, 0) ed è strettamente decrescente in (0, + ). Determiniamo le derivata destra e sinitra in = 0: f + (0) = lim 0 + e / 3 ( + e / ) = 0 f (0) = lim 0 e / 3 ( + e / ) = 0 (per il calcolo si suggerisce il cambio di variabile t = ). Quindi γ arriva e parte da = 0 con tangente orizzontale. Concavità e punti di flesso. Lo studio della derivata seconda è complicato, per cui deduciamo i punti di flesso dal comportamento di f (). Siccome γ arriva e parte da = 0 con tangente orizzontale, segue che esistono due flessi simmetrici rispetto all asse y, con /3. Tracciamento del grafico. Il grafico completo è riportato in figura (). Π y Π 4 Figure : Grafico della funzione assegnata.

19 Esercizio 8 Studiare la funzione f () = arcsine () *** Soluzione Insieme di definizione Questa funzione è definita in X = (, 0) (0, + ). Simmetrie La funzione è pari: f ( ) f (). Intersezioni con gli assi Inoltre: Studio del segno Il grafico giace nel semipiano y > 0. Comportamento agli estremi La funzione è infinitesima per : X f () = 0 = P γ () 0 = X = P γ y X, f () > 0 lim f () = arcsin 0+ = 0 +, quindi l asse è asintoto orizzontale a sinistra. Calcolo delle derivate Un calcolo diretto porge: f () = e e (3) f () = e ( e ) 3 (4) Studio della monotonia e ricerca degli estremi relativi ed assoluti Studio del segno: X, f () > 0 per cui la funzione è strettamente crescente in X. Determiniamo le derivata sinistra in = 0:

20 f e (0) = lim = + 0 e Quindi γ arriva a = 0 con tangente verticale orientata verso l alto. Concavità e punti di flesso. Segno della derivata seconda: X, f () > 0, per cui il grafico volge la concavità verso l alto. Tracciamento del grafico. Il grafico completo è riportato in figura (). Π y Π Figure : Grafico della funzione assegnata.