ANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del

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1 ANALISI MATEMATICA Area dell Ingegneria dell Informazione Appello del Esercizio Si consideri la funzione TEMA f log e. i Si determini il dominio D e si studi il segno di f; ii si determininio i iti di f agli estremi di D e gli eventuali asintoti; iii si calcoli la derivata e si studi la monotonia di f, determinandone gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto; non è richiesta la derivata seconda; iv si disegni un grafico qualitativo di f. Svolgimento. i Il dominio di f è dato dalla condizione e, cioè D { R : log }. Il segno di f è positivo se e solo se e >. Elevando al quadrato si ottiene la disequazione equivalente 9e 6 e + >. Ponendo e y e dividendo per, si ottiene la disequazione y y + >, che ha per soluzioni y < /, y >. Perciò f se e solo se In alternativa: se e, si ha: log oppure. Se invece e < : e > e > e < < log log. Perciò f se e solo se ii Si ha e > e > e > > log. log oppure. f log e log, perché e, quindi la retta y log è un asintoto orizzontale. Inoltre e f log e f f log e +, log e log. f + log e,

2 Quindi la retta y + log è asintoto obliquo per +. Infine, log f log y, y + perciò log è un asintoto verticale. iii Le regole di derivazione possono essere applicate in tutto D, perché il punto nel quale l argomento del modulo si annulla non appartiene al dominio. Ricordando che d d log g g g dove g, si ha per ogni D f 9e e. Siccome il numeratore è sempre positivo, f >, e quindi f è crescente, se e solo se > log. Non ci sono punti di estremo. iv Il grafico è in figura Figura : Il grafico di f Tema. Esercizio Risolvere la disequazione z Re Im z z rappresentandone le soluzioni sul piano di Gauss. Svolgimento. Notiamo prima che bisogna avere z. Poniamo z + iy. Siccome, per z, z iy Re Re Re z z z z z, la disequazione, per z, è equivalente a che a sua volta è equivalente a Im iy Im y iy y, + y, + y, che ha per soluzioni l insieme {, y R :, y } {, y R :, y } \ {, }.

3 Figura : Le soluzioni dell esercizio Tema. Le soluzioni sono in figura. NB: z è da togliere! Esercizio Calcolare il ite al variare di α R. Svolgimento. Per + si ha log + log α cos + e log+ log α log +log + log α α +o α + o + o per α per α. Si ha perciò, per +, log + log α α + o + o per α per α. Per il denominatore si ha cos + e + o + e + o, poiché e o n per + qualunque sia n >. Quindi si ha log + log α cos + e Esercizio Studiare al variare di α R la convergenza della serie n αn n arctan. n { + per α per α.

4 Svolgimento. La serie è a termini positivi. Osserviamo innanzitutto che per α > il termine generale non è infinitesimo, in quanto n αn /n +, per cui n arctan αn n π/, e quindi αn n arctan +. n n Quindi per α > la serie diverge. Per α conviene usare il criterio del confronto asintotico, che dice che la serie ha lo stesso carattere della serie n αn n αn. n Quest ultima è la serie geometrica di ragione α, che converge se e solo se α <, quindi se e solo se α <. Esercizio 5 a Calcolare una primitiva di f n + + sugg.: cercare una decomposizione dell integrando del tipo b Studiare la convergenza dell integrale generalizzato al variare di α >. c Calcolarlo per α. Svolgimento. a Si ha da cui Perciò A + + f d arctan + log α + α + d. A + + B +. B + A + B + A + B +, + A + B, A + B, cioè A, B. d arctan + + d t + dt arctan + arctan + k, k R. b L integrando è continuo in [, + [, per cui bisogna controllare la convergenza dell integrale solo per +. Siccome l integrando è positivo, usiamo il criterio del confronto asintotico. Si ha log α + α + log + α log + α α + o α per +. Quindi l integrale converge se e solo se α >. c Integrando per parti risulta c log + + d log + c c + c log c + c + c d + d [tenendo conto del calcolo fatto in a] + c log c + c + + arctan c + arctan c.

5 Perciò + log + + d c + c log c + c + + arctan c + arctan c π, in quanto c log c + c + c + c c + c + o c. ANALISI MATEMATICA Area dell Ingegneria dell Informazione Appello del TEMA Esercizio Si consideri la funzione f log e. i Si determini il dominio D e si studi il segno di f; ii si determininio i iti di f agli estremi di D e gli eventuali asintoti; iii si calcoli la derivata e si studi la monotonia di f, determinandone gli eventuali punti di estremo relativo ed assoluto; non è richiesta la derivata seconda; iv si disegni un grafico qualitativo di f. Svolgimento. i Il dominio di f è dato dalla condizione e, cioè D { R : log }. Il segno di f è positivo se e solo se e >. Elevando al quadrato si ottiene la disequazione equivalente e e + 8 >. Ponendo e y e dividendo per, si ottiene la disequazione y y + >, che ha per soluzioni y <, y >. Perciò f se e solo se oppure log. ii Si ha f log e log, perché e, quindi la retta y log è un asintoto orizzontale. Inoltre e f log e +, f log e f log e log. + log e, 5

6 Quindi la retta y + log è asintoto obliquo per +. Infine, log f log y, y + perciò log è un asintoto verticale. iii Le regole di derivazione possono essere applicate in tutto D, perché il punto nel quale l argomento del modulo si annulla non appartiene al dominio. Ricordando che d d log g g g dove g, si ha per ogni D f e e. Siccome il numeratore è sempre positivo, f >, e quindi f è crescente, se e solo se > log. Non ci sono punti di estremo. iv Il grafico è in figura Figura : Il grafico di f Tema. Esercizio Risolvere la disequazione Im Im z z z z rappresentandone le soluzioni sul piano di Gauss. Svolgimento. Notiamo prima che bisogna avere z. Poniamo z + iy. Siccome, per z, z iy Im Im Im z z z z y z, la disequazione, per z, è equivalente a che a sua volta è equivalente a y Im y + iy y iy y, y +, + y, che ha per soluzioni l insieme {, y R : y, } {, y R : y, } \ {, }. 6

7 Figura : Le soluzioni dell esercizio Tema. Le soluzioni sono in figura. NB: z è da togliere! Esercizio Calcolare il ite al variare di α R. Svolgimento. Per + si ha cosh e log + log + α log + log + α log + + α log + + α + α + o +α + o per α + o per α. Si ha perciò, per +, log + log + α +α + o + o per α per α. Per il numeratore si ha cosh e + o e + o, poiché e o n per + qualunque sia n >. Quindi si ha cosh e log + log + α Esercizio Studiare al variare di α R la convergenza della serie n αn arctan. n 7 n { per α 6 per α.

8 Svolgimento. La serie è a termini positivi. Osserviamo innanzitutto che per α > il termine generale non è infinitesimo, in quanto n αn /n +, per cui n arctan αn n π/, e quindi αn n arctan +. n Quindi per α > la serie diverge. Per α conviene usare il criterio del confronto asintotico, che dice che la serie ha lo stesso carattere della serie n αn n αn. n Quest ultima è la serie geometrica di ragione α, che converge se e solo se α <, quindi se e solo se α <. Esercizio 5 a Calcolare una primitiva di f n n + + sugg.: cercare una decomposizione dell integrando del tipo b Studiare la convergenza dell integrale generalizzato al variare di α >. c Calcolarlo per α. Svolgimento. a Si ha da cui Perciò f d A + + log α + α + d. A + + B +. B + A + B + A + B +, + A + B, A + B, cioè A, B. + + arctan + + d arctan + + d t dt arctan + + arctan + k, k R. b L integrando è continuo in [, + [, per cui bisogna controllare la convergenza dell integrale solo per +. Siccome l integrando ha segno costante negativo, usiamo il criterio del confronto asintotico. Si ha log α + α + log + α log + α per +. Quindi l integrale converge se e solo se α >. c Integrando per parti risulta c log + + d log + c c + c log c + c + c α + o α d 6 + d [tenendo conto del calcolo fatto in a] + c log c + c + 6 arctan c + arctan c 8.

9 Perciò in quanto + log + + d c + c log c + c + c + c c + c log c + c + arctan c + arctan c π, c + o c. 9