Calcolo 1 (L. Fanelli - F. Pacella)

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1 Matricola Corso di laurea in Matematica, aa 7/8 Calcolo (L Fanelli - F Pacella) Seconda prova in itinere 9 gennaio 8 I Cognome NORRIS Nome CHUCK Risolvere TRE E NON PIÙ DI TRE esercizi, motivando le risposte [MAX pt] Studiare la funzione e disegnarne un grafico approssimativo f () = + ( ) log[( ) ] ( ) [MAX 9 pt] Calcolare log( + sin ()), sin[( ) ( ) ] + e log + ( ) 4, sin( ) d [MAX 8 pt] Sia f C ((, +)) una funzione tale che f () = f () =+, 9c > o : f () < per < c, f () > per > c + Determinare il numero di soluzioni dell equazione f () =, al variare di R 4 [MAX pt] Si consideri la funzione f : (, +) R definita da Z e t f () = log + t dt Trovare l insieme di definizione, di continuità e di derivabilità prima e seconda di f Determinare eventuali asintoti ed estremi relativi ed assoluti di f Disegnare un grafico approssimativo di f 5 [MAX pt] Sia f : R R una funzione derivabile Dimostrare che esiste una funzione g C (R) tale che g() = Z f (t) dt, 8 R

2 SOLUZIONE La funzione f è definita per ogni valore R tale che, (affinché non si annulli il denominatore) e ( ) > (affinché abbia senso il calcolo del logaritmo) Risolvendo, otteniamo il dominio di f, dato dall insieme D f := R \{} Usando la nota proprietà log a b = b log a, possiamo riscrivere f come segue: 8 >< ( ) + log( ), se > f () = + log = ( ) >: + log( ), se < ( ) Studiamo ora il segno di f, distinguendo i casi > e < Nel caso >, abbiamo f (), ( ) log( ) Osserviamo che il termine a sinistra dell ultima disuguaglianza è positivo per, mentre il termine a destra risulta negativo per, quindi la disuguaglianza è verificata per A questo punto, al fine di studiare il segno di f nell intervallo [, ), calcoliamo la derivata f () = ( ) + = 5 ( ), 8, ed osserviamo che f () < per ogni [, ) Da ciò deduciamo che f è decrescente in [, ) e, dato che f () =, otteniamo che f (), per ogni [, ) Abbiamo dunque dimostrato che f () >, per ogni > Nel caso < ragioniamo in maniera analoga Osserviamo, dapprima, che Dato che =, ( ) f (), ( ) log( ) log( ) =+, =, ( ) log( ) = e che /( ) è decrescente in (, ), mentre log( ) è crescente sullo stesso intervallo, come conseguenza del Teorema degli Zeri otteniamo l esistenza di < tale che f ( ) = Inolre, dato che f () = e che f () =, deduciamo che < Non ci occupiamo di ottenere una migliore approssimazione di Da quanto osservato finora concludiamo che esiste < tale che f (), (, ] [ (, +) (ii) La funzione f è continua in D f, in quanto composizione di funzioni continue Inoltre, dato che /( ), per ±, otteniamo facilmente Inoltre, dato che log = per ogni >, f () = ± ± ( ) f () = log =+ ± ± La funzione (iii) Il calcolo della derivata prima svolto in precedenza mostra che + ( ) log = ± ( ) = ± f () = 5 ( ), da cui otteniamo facilmente che f 5 (), La funzione f è quindi monotona decrescente in (, ) ed in (, 5/] e monotona crescente in [5/, +) Il punto = 5 è di minimo relativo Dato che f è ilitata, essa non ammette estremi assoluti (iv) La derivata seconda di f è data da il che mostra che e quindi il grafico approssimativo è come in figura f () = ( ) 4( )( 5) 4( ) 4 = 4 ( ) f () se e solo se < apple 4

3 ; Y : Figura, : l i / Z - Z µ I I bit j y=z,+lgh' ' l Per il primo ite, osserviamo che numeratore e denominatore divergono a + Possiamo applicare il Teorema di de l Hôpital ed ottenere log( + sin ()) + sin cos = =, + sin () dato che il numeratore è itato ed il denominatore divergente, in quanto somma di un termine divergente con un termine itato Nel secondo ite, abbiamo una divisione di infinitesimi Per stabilirne l ordine, usiamo i noti sviluppi di Taylor centrati in delle funzioni sin, e, log( + ) per ottenere sin[( ) ] = ( ) + o ( ) 5, e ( ) = ( ) ( )4 + o ( ) 5, log h + ( ) 4i = ( ) 4 + o ( ) 5, per Abbiamo dunque sin[( ) ( ) ] + e log + ( ) 4 = ( )4 + o ( ) 5 = ( ) 4 + o ( ) 5 Infine, integrando per parti, sin( ) d = 4 h4 sin( ) i d = 4 cos( ) = cos + = 6 8 sin( ) = = = = cos sin cos( ) d Dalle ipotesi sul segno della derivata di f, sappiamo che f è strettamente decrescente in, c e strettamente crescente in (c, +): in particolare, min f () = f (c) (,+) Di conseguenza, detto n il numero di soluzioni dell equazione f () =, abbiamo < f (c) ) n = ; = f (c) ) n =

4 Rimane da studiare il caso > f (c) Dalla definizione di ite segue che f () =+ ) 9 +, c : f ( ) > f () =+ ) 9 (c, +) : f ( ) > Dato che f è continua e che f (c) <, per il Teorema dei Valori Intermedi e visto che f è iniettiva su (, c) e su (c, +), otteniamo che 9 (, c) : f ( ) =, 9 (c, +) : f ( ) = ovvero > f (c) ) n = 4 (i)la funzione log è definita per > D altro canto, la funzione e t /t è definita per, e continua nel suo dominio, quindi integrabile in ogni intervallo della forma [, ] oppure [, ], qualunque sia > Di conseguenza, il dominio di f è dato dalla semiretta aperta (, +) Dalle proprietà elementari della funzione logaritmo e dal Teorema Fondamentale del Calcolo (valido, dato che e t /t è continua in [, ] o [, ], per > ), segue che f è derivabile in (, +) e f () = e Analogamente, derivando ulteriormente scopriamo che f è derivabile due volte in (, +) e f () = e e (ii) Per la ricerca degli asintoti, dobbiamo calcolare i iti = ( + ( )e ) f (), + f () Osserviamo che dal Teorema Fondamentale del Calcolo segue che log = Z t dt = Z Z dt ) f () = t e t t La funzione integranda ha la proprietà che e quindi, posto si ha che g C([, +)) ed inoltre e t = t + t 8 e >< g() := se > >: se = 8 > f () = Z Z g(t) dt ) f () = g(t) dt =: <+ + Dunque f può essere prolungata per continuità in e non possiede asintoti verticali Per il ite a + osserviamo che Z f () = e t Z e t dt = dt t t Poiché e t > + t per ogni t, abbiamo (e t )/t per ogni t e quindi e quindi = Z e t t dt apple Z f () = dt = ( ) = Quindi f non ha asintoti orizzontali a + La ricerca di eventuali asintoti obliqui ci porta a calcolare (usando il Teorema di de l H `ôpital ed il Teorema Fondamentale del Calcolo f () = f () = e =

5 ovvero f non possiede asintoti obliqui a + (iii) Osserviamo che f () = e < 8 > e che f () per + Quindi f è strettamente decrescente ed ha tangente orizzontale in (dove abbiamo visto che può essere estesa per continuità Inoltre, la derivata seconda è data da e quindi Osserviamo che h() = e che quindi f () = e e = ( + ( )e ) f (), h() := + ( )e apple h () = e > 8 > min h() = h() = ) h() 8 ) f () < 8 > [,+) In conclusione, f è concava in (, +) Il grafico approssimativo di f è quello in figura ya Figura g=hg +f' ftdt PM ; p jo#dt : 5 È sufficiente provare che la funzione h() = Z può essere estesa ad una funzione di classe C su R A tal fine, osserviamo che h è ben definita e continua per ogni,, in quanto prodotto della funzione continua / con la funzione dell area di f che è continua, dato che f è derivabile, quindi continua, quindi integrabile Inoltre, per il Teorema di de l Hôpital ed il Teorema fondamentale del Calcolo, abbiamo h() = f () = f (), f (t) dt visto che f è derivabile e quindi continua in R Di conseguenza, la funzione 8 >< h() se, eh() = >: f () se = è un prolungamento continuo di h a R Per concludere la dimostrazione, è sufficiente mostrare che eh C (R) Dal Teorema fondamentale del Calcolo, segue che, per,, eh () = h () = f () Z f (t) dt = f() R f (t) dt (, )

6 Per studiare la derivabilità di eh in, invece di applicare la definizione, dimostriamo che esiste, finito, il ite eh () = f() R f (t) dt (?) Dato che f è derivabile, si ha f () = f () + f () + o() per (??) Notiamo che che o() = o( ): dunque, inserendo (??) in (?) ed applicando nuovamente il Teorema di de l Hôpital, otteniamo Riepilogando, f() + eh f () + o( ) () = = f f () f () () + = f () e segue da quanto visto che eh C (R) R 8 R f() f (t) dt >< eh se, () = >: f () se = f (t) dt f() = f () + f () = f () R f (t) dt

7 Matricola Cognome Corso di laurea in Matematica, aa 7/8 Calcolo (L Fanelli - F Pacella) Seconda prova in itinere 9 gennaio 8 II Nome Risolvere TRE E NON PIÙ DI TRE esercizi, motivando le risposte [MAX pt] Studiare la funzione e disegnarne un grafico approssimativo f () = + ( + ) log[( + ) ] ( + ) [MAX 9 pt] Calcolare log(sin () + ), h log i + ( ) 4 e ( ) + sin[( ) ], cos( ) d [MAX 8 pt] Sia f C ((, +)) una funzione tale che f () = f () =+, 9c > o : f () < per < c, f () > per > c + Determinare il numero di soluzioni dell equazione f () =, al variare di R 4 [MAX pt] Si consideri la funzione f () = Z e t t dt + log Trovare l insieme di definizione, di continuità e di derivabilità prima e seconda di f Determinare eventuali asintoti ed estremi relativi ed assoluti di f Disegnare un grafico approssimativo di f 5 [MAX pt] Sia f : R R una funzione derivabile Dimostrare che esiste una funzione g C (R) tale che g() = Z f (t) dt, 8 R

8 SOLUZIONE Lo studio è del tutto analogo a quello dell esercizio del compito I Si osservi che la funzione f () = + ( + ) log[( + ) ] ( + ) è ottenuta traslando la variabile 7 + e quindi il grafico si ottiene traslando di verso sinistra il grafico in figura del compito precedente Omettiamo dunque ulteriori dettagli Per il primo ite, osserviamo che numeratore e denominatore divergono a + Possiamo applicare il Teorema di de l Hôpital ed ottenere log(sin () + ) sin cos + = =, sin () + dato che il numeratore è itato ed il denominatore divergente, in quanto somma di un termine divergente con un termine itato Nel secondo ite, abbiamo una divisione di infinitesimi Per stabilirne l ordine, usiamo i noti sviluppi di Taylor centrati in delle funzioni sin, e, log( + ) per ottenere per Abbiamo dunque Infine, integrando per parti, cos( ) d = 4 log h + ( ) 4i = ( ) 4 + o ( ) 5 sin[( ) ] = ( ) + o ( ) 5, e ( ) = ( ) ( )4 + o ( ) 5, log h + ( ) 4i e ( ) + sin[( ) ] = ( ) 4 + o ( ) 5 h4 cos( ) i d = 4 sin( ) = sin + = 6 8 cos( ) = ( = )4 + o ( ) 5 = = = cos + 6 sin( ) d 8 cos Si veda la soluzione al compito I 4 Si veda la soluzione al compito I 5 Si veda la soluzione al compito I

9 Matricola Cognome Corso di laurea in Matematica, aa 7/8 Calcolo (L Fanelli - F Pacella) Seconda prova in itinere 9 gennaio 8 III Nome Risolvere TRE E NON PIÙ DI TRE esercizi, motivando le risposte [MAX pt] Studiare la funzione e disegnarne un grafico approssimativo f () = + ( ) log[( ) ] ( ) [MAX 9 pt] Calcolare log(cos () + ), sin[( ) ( ) ] + e log + ( ) 4, Z sin( ) d [MAX 8 pt] Sia f C ((, +)) una funzione tale che f () = f () =+, 9c > o : f () < per < c, f () > per > c + Determinare il numero di soluzioni dell equazione f () =, al variare di R 4 [MAX pt] Si consideri la funzione f () = Z arctan (t) dt Trovare l insieme di definizione, di continuità e di derivabilità prima e seconda di f Determinare eventuali asintoti ed estremi relativi ed assoluti di f Disegnare un grafico approssimativo di f 5 [MAX pt] Sia f : R R una funzione derivabile Dimostrare che esiste una funzione g C (R) tale che g() = Z f (t) dt, 8 R

10 SOLUZIONE Le soluzioni agli esercizi,,,5 sono del tutto analoghe (o identiche) a quelle dei compiti precedenti Ci itiamo a risolvere l esercizio 4 4 (i) La funzione arctan t è continua su R e quindi integrabile su [, ] o [, ], per ogni R La funzione / invece è definita per, Dunque f risulta definita su R \{} La funzione / è continua nel suo dominio e come lei lo è la funzione dell area di arctan t Abbiamo dunque che f è continua nel suo dominio Per la derivabilità, dal Teorema Fondamentale del Calcolo segue che f () = Z arctan tdt+ arctan = R arctan tdt+ arctan (, ) definita per ogni,, per gli stessi motivi di sopra La funzione f risulta dunque derivabile nel suo dominio Infine, la derivata seconda è data, per,, da f () = Z arctan tdt arctan + arctan ( + ) (, ) e come sopra concludiamo che f è derivabile due volte nel suo dominio R \{} (ii) Per la ricerca di eventuali asintoti, dobbiamo studiare i iti di f a ± ed in Usando il Teorema di de l Hôpital ed il Teorema Fondamentale del Calcolo, calcoliamo f () = arctan = Quindi f non ha asintoti verticali ed è prolungabile per continuità in = Ora notiamo che / è una funzione dispari e che arctan t è pari, per cui R arctan tdt è una funzione dispari Dunque f è prodotto di due funzioni dispari, quindi f è pari Basta quindi studiare il ite per + Quando +, la funzione arctan converge a 4, e dunque Z arctan tdt=+ Per calcolare il ite di f possiamo quindi applicare nuovamente il Teorema di de l Hôpital ed ottenere f () = ± f () = arctan = 4 Concludiamo che la retta orizzontale y = /4 è asintotica ad f a ± (iii) Data la parità di f, riduciamo lo studio al caso > Ricordiamo che f () = Z arctan tdt+ arctan = R arctan tdt+ arctan (, ) Dato che arctan è una funzione crescente, abbiamo apple t apple ) arctan t apple arctan ) Z arctan tdtapple arctan Di conseguenza, f () per ogni ovvero f è crescente in [, +) Per la derivata seconda, richiamiamo la definizione f () = Z arctan tdt arctan + arctan (, ) ( + ) ed osserviamo che f C (,+) Inoltre, usando il Teorema di de l Hôpital, otteniamo facilmente f () = + >, f () = Possiamo quindi intuire che nu grafico approssimativo di f sia quello in figura

11 y -=--= Fh----#"g guia flare tail at y = I X

12 Matricola Cognome Corso di laurea in Matematica, aa 7/8 Calcolo (L Fanelli - F Pacella) Seconda prova in itinere 9 gennaio 8 IV Nome Risolvere TRE E NON PIÙ DI TRE esercizi, motivando le risposte [MAX pt] Studiare la funzione e disegnarne un grafico approssimativo f () = + ( + ) log[( + ) ] ( + ) [MAX 9 pt] Calcolare log(arctan () + ), h log + ( ) 4 i sin[( ) ] + e ( ), Z cos( ) d [MAX 8 pt] Sia f C ((, +)) una funzione tale che f () = f () =+, 9c > o : f () < per < c, f () > per > c + Determinare il numero di soluzioni dell equazione f () =, al variare di R 4 [MAX pt] Si consideri la funzione f : R \{} R definita da f () = Disegnare un grafico approssimativo di f Esiste un prolungamento continuo di f a R? Z arctan (t) dt 5 [MAX pt] Sia f : R R una funzione derivabile Dimostrare che esiste una funzione g C (R) tale che g() = Z f (t) dt, 8 R

13 Si vedano le soluzioni ai compiti precedenti SOLUZIONE