ANNO ACCADEMICO 2015/2016 CORSO di LAUREA in BIOTECNOLOGIE MATEMATICA III appello 16/9/2016 1

Transcript

1 ANNO ACCADEMICO 25/26 CORSO di LAUREA in BIOTECNOLOGIE MATEMATICA III appello 6/9/26 Esercizio. Uno studio scientifico ha mostrato che in una popolazione il 7% degli individui appartiene a un gruppo a rischio per la malattia M. È stato inoltre messo a punto un test diagnostico T per la malattia, che dà esito positivo nel % della popolazione generale e in 4 degli individui a rischio. () qual è la probabilità che un individuo non a rischio risulti positivo al test T? (2) qual è la probabilità che un individuo positivo al test T sia a rischio? () qual è la probabilità che un individuo preso a caso nella popolazione non appartenga al gruppo a rischio e risulti negativo al test T? Esercizio 2. Si consideri la funzione g() = , R. () quanti sono gli zeri di g? (2) dire se g è iniettiva, surgettiva, itata inferiormente e superiormente () posta f() = g(), determinare (se esistono) massimo e minimo di f nell intervallo [, 2]. Esercizio. Calcolare i seguenti iti: + e ; + e2 e +cos. Esercizio 4. Calcolare il seguente integrale: cos d. Durata: 2 ore e minuti. Scrivere subito sul foglio: nome, cognome e numero di matricola.

2 2 Esercizio. SOLUZIONI () Sia P (R) = 7 la probabilità di un individuo di appartenere ad un gruppo a rischio per la malattia M. Sia inoltre P (T ) = la probabilità che il test diagnostico T dia esito positivo e sia P (T R) = 4 la probabilità che il test T dia esito positivo sapendo che è stato applicato su un soggetto a rischio. Indicando con R gli individui non a rischio, la cui probabilità è P (R) = 9, il problema chiede di calcolare la probabilità condizionata P (T R). Per la legge delle alternative abbiamo da cui P (T ) P (T R)P (R) P (T R) = = P (R) P (T ) = P (T R)P (R) + P (T R)P (R) = = (2) Il problema chiede la probabilità condizionata P (R T ). Per il teorema di Bayes abbiamo P (R T ) = P (T R)P (R) P (T ) = 4 7 = () Il problema chiede la probabilità P (T R) che in particolare è data da: P (T R) = P (T R)P (R) Per la legge delle alternative abbiamo P (T ) = P (T R)P (R) + P (T R)P (R) da cui Ricordando che P (T R)P (R) = P (T ) P (T R)P (R) P (T R) = P (T R) = 4 = 4 abbiamo P (T R)P (R) = P (T ) P (T R)P (R) = = ( ) = 67 4 =.975 e possiamo dunque concludere che P (T R) = 67 4 =.975.

3 Esercizio 2. () La funzione g() = è polinomiale, dunque è definita su R, ed è continua e derivabile su R. Calcoliamo i iti di g() per ± : (2 g() = ) 5 = + (2 g() = ) 5 = Applicando il teorema di Weierstrass alla funzione continua g deduciamo che g ammette almeno uno zero su R. Calcoliamo poi la derivata prima di g: g () = 4 = ( ) = ( )( ) e osserviamo che g () > (e dunque g funzione crescente) negli intervalli (, ) e (, + ). Inoltre poichè g() = 2 > e g() = 5 < concludiamo (utilizzando ancora una volta il teorema di Weierstrass) che la funzione g ammette esattamente zeri, 2, : nell intervallo (, ), 2, nell intervallo (, ), e nell intervallo (, + ). (2) La funzione g non è iniettiva (ad esempio l elemento zero ammette le tre distinte controimmagini, 2,, vedi punto ()). La funzione g è surgettiva (poichè g è continua e dal punto () abbiamo + g() = + e g() = ). Sfruttando ancora i iti ± g() = ± calcolati al punto () possiamo concludere che g non è superiormente né inferiormente itata. () La funzione f è definita su R e ivi continua perchè composizione di funzioni continue. Per il teorema di Weierstrass applicato ad f sull intervallo chiuso e itato [, 2] possiamo dire che esistono massimo M e minimo m di f sull intervallo [, 2]. Il minimo m è : infatti, osserviamo che f() per ogni R; inoltre (vedi punto ()) g( 2 ) = da cui anche f( 2 ) =, con 2 (, ) (e quindi a maggior ragione 2 [, 2]). Per determinare il massimo M osserviamo prima di tutto che la funzione f è derivabile in R \ {, 2, }. Nei punti di non derivabilità la funzione f si annulla, e dunque non vi può essere un massimo. Dobbiamo allora cercare i massimi confrontando i valori assunti da f agli estremi dell intervallo [, 2] con i valori assunti da f nei punti (se esistono) in cui la derivata f si annulla. In particolare, abbiamo f( ) = = 5 e f(2) = = 46 e, per, 2,, f () = sign( ) ( )( )

4 4 da cui f () = se e solo se = oppure =. Calcoliamo i valori di f su tali punti: f() = 2 = 2 e f() = = 5 Concludiamo che il massimo è M = 46. Esercizio Calcoliamo il primo ite: + e = si tratta di una forma indeterminata del tipo. Riscriviamolo nella seguente forma + e = + e = + e sin( ) = + cos( ) e Sostituendo t = sin t e ricordando il ite notevole t t = otteniamo: sin( ) + sin(t) = = t + t Sostituendo t = e e ricordando il ite notevole t t t = otteniamo: + e = t t + e t = Infine abbiamo che + cos( ) = Utilizzando proprietà algebriche dei iti possiamo quindi concludere che: + e = sin( ) + + cos( ) + e = = Calcoliamo il secondo ite: + e2 e +cos = + si tratta di una forma indeterminata del tipo +. Riscriviamolo nella seguente forma Per de L Hopital abbiamo: + e2 e +cos = + e2 ( e cos ) + e = = + e2 ( e ecos ) + e = + Inoltre poichè e cos è itata (e e cos e) abbiamo: + e ecos = +

5 5 e dunque D altra parte + ( e ecos ) = + e2 = + Utilizzando proprietà algebriche dei iti possiamo quindi concludere che: + e2 e +cos = + Esercizio 4 Per il calcolo dell integrale conviene sostituire = t e 2 d = dt, da cui d = 2tdt: cos d = t 2 cos t 2tdt = 2t cos tdt (prestando attenzione al cambio degli estremi di integrazione). indefinito 2t cos tdt integrando (ripetutamente) per parti: 2t cos tdt = 2(t sin t t 2 sin tdt) = 2t sin t 6 t 2 sin tdt = 2t sin t 6( t 2 cos t + 2t cos tdt) = 2t sin t + 6t 2 cos t 2 t cos tdt = 2t sin t + 6t 2 cos t 2(t sin t sin tdt) = 2t sin t + 6t 2 cos t 2t sin t + 2 sin tdt Concludiamo calcolando cos d = = 2t sin t + 6t 2 cos t 2t sin t 2 cos t + C 2t cos tdt Calcoliamo l integrale = 2π sin π + 6π 2 cos π 2π sin π 2 cos π + 2 cos = 6π = 6(4 π 2 )