ANNO ACCADEMICO 2016/2017 CORSO di LAUREA in BIOTECNOLOGIE MATEMATICA IV appello 12/1/2017 1

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1 ANNO ACCADEMICO 016/017 CORSO di LAUREA in BIOTECNOLOGIE MATEMATICA IV appello 1/1/017 1 Esercizio 1. Una scatola contiene 10 monete; 8 di queste sono equilibrate, mentre le altre danno testa con probabilità e croce con probabilità 1. Una moneta viene 3 3 scelta a caso e lanciata 10 volte. 1. Qual è la probabilità di ottenere 6 volte testa?. Qual è la probabilità che la moneta sia una di quelle equilibrate sapendo che in 10 lanci si è ottenuto 6 volte testa? truccata oppure equilibrata? È più probabile che sia una moneta 3. Supponiamo ora invece che per 10 volte si scelga una moneta a caso e la si lanci. Qual è in questo caso la probabilità di ottenere 6 volte testa? Esercizio. Sia f(x) = x 3 arctg x +x+ x x 3 1. Determinare l insieme di definizione di f e l insieme dei punti in cui è continua.. Determinare l insieme dei punti in cui f è derivabile e calcolare la derivata in tali punti. 3. Dire se f è itata inferiormente e/o superiormente e se ha massimo e/o minimo; dire se è iniettiva o surgettiva. 4. Determinare gli asintoti di f. Esercizio 3. Sia f : R R la funzione definita da f(x) = x 1 x Determinare l estremo superiore e inferiore di f; dire se f ha massimo e/o minimo. Sia p: R R una funzione polinomiale; dire se h = p f e g = f p sono itate. Esercizio 4. Si consideri la funzione: 0 x < 0 h(x) = (3x ax) log(x + 1) 0 x 1. 0 x > 1 Determinare a in modo tale che h sia la densità di una variabile aleatoria X. 1 Durata: ore e 30 minuti. Scrivere subito sul foglio: nome, cognome e numero di matricola.

2 SOLUZIONI Esercizio Usiamo la legge delle alternative. Chiamiamo 6T l evento esce 6 volte testa, E l evento la moneta scelta è equilibrata, N l evento la moneta scelta non è equilibrata. Vogliamo calcolare P (6T ) = P (E)P (6T E) + P (N)P (6T N) = 4 5 P (6T E) + 1 P (6T N). 5 In entrambi i casi applichiamo la legge binomiale, e quindi ( ) 10 1 P (6T E) = = = ( ) 10 6 P (6T N) = = = Il risultato è abbastanza sorprendente: nonostante la moneta truccata dia molte più volte testa di quella equilibrata, la probabilità di ottenere 6 volte testa su 10 lanci è molto simile tra le due monete. È una coincidenza abbastanza fortuita, permessa dal fatto che 6 è vicino alla metà di 10: con la moneta truccata, il fatto che sia più facile ottenere le 6 teste è controbilanciato dal fatto che sia più difficile ottenere le 4 croci. Agli estremi la differenza è più evidente: è molto più facile ottenere 10 teste con la moneta truccata, mentre è molto più difficile ottenere 10 volte croce. Per concludere, P (6T ) = Nel punto precedente abbiamo notato che P (6T N) e P (6T E) sono molto simili: questo significa che ottenere 6 volte testa non dà molte informazioni per sapere se la moneta sia truccata o no. Cioè, ci aspettiamo P (E 6T ) P (E) = 0.8. Controlliamo questa intuzione: usando Bayes, abbiamo P (E 6T ) = P (6T E) P (E) P (6T ) = 0.8 come previsto. Se esce 6 volte testa, è quindi più probabile che la moneta sia equilibrata.

3 3. Innanzitutto, calcoliamo la probabilità di ottenere testa estraendo una moneta a caso e lanciandola. P (T ) = P (E)P (T E) + P (N)P (T N) = = Applichiamo quindi la legge di Bernoulli ( ) = Esercizio. 1. Per determinare l insieme di definizione, basta imporre x + x + > 0. Il delta è 1 8 = 7 negativo, quindi x + x + è positivo per ogni x in R e f è definita su tutto R. È anche continua su tutto R perché ottenuta tramite somma, prodotto e composizione di funzioni continue.. Osserviamo che x x 3 = (x 3)(x + 1), quindi la funzione x x 3 è derivabile per ogni x 3, 1. Per x 3, 1, f è ottenuta tramite somma, prodotto e composizione di funzioni derivabili, ed è quindi derivabile a sua volta. Abbiamo ora due casi: Per 1 x 3, la funzione è x 3 x + x + arctg( x + x + 3), che ha derivata uguale a [ x(x + x + ) 1/ 1 ] (x 3)(x + x + ) 3/ (x + 1) arctg( x +x+3)+ x 3 + x + x + (1 + ( x + x + 3) ( x + ). ) Per comodità, chiamo quest ultima funzione g 1 (x). Per x 1 o x 3, la funzione è x 3 x + x + arctg(x x 3). Il calcolo della derivata è quasi identico al caso precedente, bisogna solo fare attenzione a cambiare qualche segno: [ x(x + x + ) 1/ 1 ] (x 3)(x + x + ) 3/ (x + 1) arctg(x x 3)+ x 3 + x + x + (1 + (x x 3) (x ). ) Diamo un nome anche a questa funzione, e la chiamiamo g (x) 3

4 Abbiamo quindi che la derivata di f è uguale a g 1 (x) per 1 < x < 3, mentre è uguale a g (x) per x < 1 e x > 3. Studiamo ora la derivabilità di f in 1 e 3, per farlo calcoliamo derivata destra e sinistra in entrambi i punti. Per calcolare le derivate destra e sinistra, possiamo sfruttare di nuovo g 1 e g. Verifichiamo la derivabilità in 1. La derivata sinistra di f in 1 è g ( 1). La formula di g è parecchio complicata, ma il calcolo si semplifica osservando che x x 3 si annulla in 1 e che arctg(0) = 0. g ( 1) = 4 (1 + 0) = 4 La derivata destra in 1 è invece g 1 ( 1) = ( 4) = 4, quindi g 1 ( 1) g ( 1) e f non è derivabile in 1. Per x = 3, il ragionamento è analogo: la derivata sinistra è g 1 (3), la derivata destra g (3). Calcoliamole: g 1 (3) = = 4 14, g (3) = 6 ( 4) 14 = Di nuovo, g 1 (3) g (3) e quindi f non è derivabile in Calcoliamo i iti di f per x tendente a ±. Per far questo, riscriviamo, per x 0, f(x) = x 1 3/x x arctg 1 + 1/x + /x x x 3 = 1 3/x = x arctg 1 + 1/x + /x x x 3. Sia che x tenda a + o a, l arcotangente tende a π/, la frazione tende a 1 e x tende a +. Il ite del prodotto è il prodotto dei iti e quindi f(x) = f(x) = +. x + x Questo ci permette di dire subito che f non è itata superiormente e non ha massimo. Possiamo dire anche che è itata inferiormente ed ha minimo: visto che f tende a + per x tendente a più o meno infinito, esiste N > 0 4

5 tale che f(x) > 0 per ogni x < N o x > N. Per Weierstrass, f ha minimo m nell intervallo [ N, N]. Questo minimo m è negativo, ad esempio perché f( 3) = 0, quindi f(x) m per ogni x R: nell intervallo [ N, N] per definizione di minimo, e fuori dall intervallo perché f(x) > 0 fuori da [ N, N]. Sicuramente f non è iniettiva avendo minimo m, ad esempio perché m 1 non è nell immagine. Non è neanche surgettiva, perché f( 3) = f( 3) = Vediamo se f ha un asintoto per x +. Supponiamo che y = ax + b sia un asintoto, abbiamo a = f(x) x + x = 1 3/x x /x + /x arctg(x x 3) = π. Il calcolo di b è più complicato: b = x + f(x) π x = x + x 3 x + x + arctg(x x 3) π x = ( ) x 3 x + x + x + x arctan (x x 3)+x(arctan (x x 3) π/), Ora calcoliamo separatamente i iti dei due addendi. Nel calcolo del primo addendo, l arcotangente è facile da gestire e dà semplicemente un contributo di π/ al ite, mentre gestiamo la radice moltiplicando numeratore e denominatore per x 3 + x x + x + : x + ( x 3 x + x + x ) arctan (x x 3) = = π x 3 x x + x + x + x + x + = π (x 3) x (x + x + ) x + x + x + (x 3 + x x + x + ) = = π x 3 8x + 9 x + x /x + /x (1 3/x /x + /x ) = π 4. Per il secondo addendo usiamo invece de l Hopital: arctan (x x 3) π/ x + 1/x = x + = x 1 + (x x 3) x 3 + x = x + x 4 4x 3 x + 1x + 10 = 0 1 1/x = Quindi b = π/4 + 0 = π/4, e y = π/x π/4 è asintoto per x +. 5

6 Il calcolo dell asintoto per x è del tutto analogo, bisogna solo fare attenzione ai segni. Supponiamo che y = a x + b sia un asintoto. Come prima, a f(x) = x x = x 1 3/x x x 1 + 1/x + /x arctg(x x 3) = π, dove il segno meno è dato dal fatto che la x esce dalla radice con segno opposto, perché stiamo facendo il ite per x. Vediamo b : b = f(x) + π x x = x x 3 x + x + arctg(x x 3) + π x = ( ) x 3 x x + x + + x arctan (x x 3)+x( arctan (x x 3)+π/), spezziamo in due il ite e abbiamo x ( x 3 x + x + + x ) arctan (x x 3) = = π x 3 + x x + x + x x + x + = π (x 3) x (x + x + ) x x + x + (x 3 x x + x + ) = = π x 3 8x + 9 x x /x + /x (1 3/x /x + /x ) = π 4. Il secondo addendo è invece, a meno del segno, identico a prima, non rifacciamo il conto: tende a 0. Quindi b = π/4 e y = π/x+π/4 è asintoto per x. Esercizio Intanto, osserviamo che, visto che possiamo riscrivere f(x) = 1 1/x x(1 + 1/x ), è immediato calcolare i iti per x ± : f(x) = f(x) = 0. x + x Siccome f è continua e derivabile (è rapporto di funzioni continue e derivabili, e x + 1 non si annulla mai), basta osservare che f(0) = 1 è negativo e f() = 1/5 è positivo per dire che f ha massimo e minimo, e questi sono punti stazionari (cioè zeri della derivata). Per trovarli, calcoliamo quindi la derivata di f: f (x) = x + 1 x(x 1) (x + 1) = x + x + 1 (x + 1). 6 =

7 Chiaramente il denominatore è sempre positivo, guardiamo quindi gli zeri del numeratore. È un polinomio di secondo grado, sappiamo per quanto detto che esistono massimo e minimo e sono punti stazionari: segue che ci sono esattamente due punti stazionari. Applicando la formula per gli zeri dei polinomi di secondo grado, troviamo che questi sono 1 ±. Calcoliamo quindi: f(1 + ) = che, essendo positivo, è il massimo, e 4 + che è negativo ed è il minimo. f(1 ) = 4. Visto che f è itata, f p è itata indipendentemente da p: abbiamo x R : 4 f(p(x)) 4 +. Sia ora I l intervallo chiuso e itato [ ] I = 4, 4 +, sappiamo che f(x) I per ogni x R. Visto che p è continua su tutto R, e in particolare sull intervallo I, per Weierstrass la restrizione di p a I è itata, e abbiamo quindi che esiste M > 0 tale che p(x) M per ogni x I. Visto che f(x) I, abbiamo che p(f(x)) M per ogni x R, e quindi p f è itata. Esercizio 4. Perché h sia una densità, deve soddisfare due condizioni: essere ovunque maggiore o uguale a 0 e avere integrale da a + uguale a 1. Imponiamo che non sia negativa. Fuori dall intervallo [0, 1] è ovvio, perché è uguale a 0. Se invece 0 x 1, allora in particolare x + 1 1, e quindi log(x + 1) 0. Dobbiamo quindi imporre 3x ax 0, e visto che anche x 0, questo è equivalente a 3x a 0, 7

8 cioè a 0 (3x a è una retta crescente, su [0, 1] ha minimo in x = 0). Calcoliamo ora l integrale: + h(x)dx = 1 0 (3x ax) log(x + 1)dx = [ x 3 ax ] x 3 ax x + 1 = Imponiamo da cui = 1 a 1 0 x (a + 1)x + a + 1 a + 1 x + 1 dx = = 1 a [ x /3 (a + 1)(x / x log(x + 1)) ] 1 0 = = 1 a 1/3 + (a + 1)(1/ 1 log()) + 0 (a + 1)(0 0 0) = 1 = + = 1/6 log() a(3/ + log()) h(x)dx = 1/6 log() a(3/ + log()) 5/6 + log() a = 3/ + log(). Essendo questo minore o uguale a 0, rispetta anche la prima condizione, ed è quindi l unico valore di a per cui h è una densità. 8