1. Calcolo combinatorio, problemi di conteggio.

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1 1 1. Calcolo combinatorio, problemi di conteggio. 1. In quanti modi diversi 4 persone possono occupare 8 posti a sedere numerati? (D 8,4. Un allenatore dispone di 18 giocatori per scegliere la formazione di una squadra di calcio (portiere escluso. Quante sono le possibili formazioni? (D 18,10 3. Quanti numeri di 3 cifre distinte si possono formare usando 1,, 3, 4, 5? (D 5,3 4. Quante sono le cinquine possibili su una data ruota del lotto? (C 90,5 5. Quante delegazioni di 5 uomini e 3 donne si possono formare con 10 uomini e 7 donne? (C 10,5C 7,3 6. Uno sudente deve rispondere a 7 domande su 10 per superare l esame. In quanti modi possibili puó scegliere le domande a cui rispondere? Se deve rispondere necessariamente a 3 delle prime 5, in quanti modi possibili puo scegliere le 7 domande? (C 10,7; C 5,3C 5,4 + C 5,4C 5,3 + C 5,5C 5, 7. Quanti numeri di 5 cifre si possono formare con 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 se nessuna cifra puó essere ripetuta piú di volte? (D 9,5 + 9C 5,D 8,3 + C 9,C 5,C 3,D 7,1 8. Sviluppare (x + y 6 9. Quanti elementi possiede l insieme delle parti di un insieme di n elementi? ( n 10. Quante colonne bisogna giocare per essere certi di vincere al totocalcio? ( Quante parole si possono rappresentare nel codice ASCII, per il quale ogni parola é formata da 8 bit (0, 1. ( 8 1. Quanti numeri di 5 cifre si possono formare con i numeri 6, 6, 7, 8, 9? ( 5!! 13. Vi sono 10 impiegati per 3 uffici. Nel primo ufficio servono 5 impiegati, nel secondo ne terzo 3. In quanti modi si possono distribuire gli impiegati per occupare gli uffici? (C 10,5C 5,C 3,3 14. In quanti modi possibili si possono distribuire 7 regali tra 3 persone, sapendo che la prima persona ne deve ricevere 3 e le altre persone a testa? (C 7,3C 4,C, 15. Sviluppare (x 1 + x + x Quante soluzioni non negative ha l equazione x 1 + x + x 3 = 7? ( Per investire euro in 4 attivitá distinte, in quanto modi é possibile distribuire i soldi? (C 3,3 Ed in quanti modi, nel caso si voglia conservare una somma da non investire? (C 4,4. Funzione di probabilitá, definizione assiomatica, probabilitá di eventi composti. 18. Si abbiano 4 palline e 3 urne nelle quali inserire a caso le palline. Quale é la probabilitá che le palline siano tutte nella prima urna? ( 1 E quella che le palline siano nella prima e nella seconda? ( C 4,C, E quella che esista un urna che abbia 3 palline? ( C 4,1C 3,0 C 3,3 +C 4,0 C 4,1 C 3, Si abbia un mazzo di 3 carte da poker e se ne scelgano 5 a caso. Quale é la probabilitá di avere esattamente un tris di Assi? ( C 4,3C 7, 4 C 3,5 E quella di avere esattamente un full di Assi? ( C 4,3C 4, 7 C 3,5 0. Siano A, B, C tre giornali tali che: il 47% legge A, il 34% legge B, il 1% legge C, l 8% legge A e B, il 5% legge A e C, il 4% legge B e C, il 4% legge A, B e C. Calcolare la probabilitá che una persona scelta a caso non legga alcun giornale. Calcolare la probabilitá che una persona a caso ne legga soltanto uno. 1. In una stanza vi sono 10 persone. Quale é la probabilitá che almeno di esse siano nate lo stesso giorno? Supponiamo che nessuna sia nata il 9 febbraio. ( D 356, Si lancino dadi. Calcolare la probabilitá che: la somma sia 7; la somma sia maggiore di 7; la somma sia pari. Calcolare inoltre la probabilitá dell intersezione degli ultimi eventi. 3. Un urna contiene 6 palline bianche e 5 nere. Se ne estraggono 3 a caso. Quale é la probabilitá che una sola sia bianca? ( C 6,1C 5, C 11,3 4. Sia dato un bersaglio quadrato di lato 4. Supponendo di centrarlo sempre, quale é la probabilitá di colpire un punto che abbia distanza maggiore di 1 da ciascuno dei vertici?

2 3 PROBABILITÁ CONDIZIONATA, TEOREMA DI BAYES, REGOLA DEL PRODOTTO, EVENTI DIPENDENTI ED INDIP 5. In una stanza vi sono 4 uomini ciascuno col proprio cappello. Se mescoliamo i cappelli in modo che non siano riconoscibili, quale é la probabilitá che esattamente scelgano il proprio? ( C 4, 4! E quella che nessuno scelga il proprio? ( Un urna contiene 6 bottoni numerati. Effettuando estrazioni senza rimpiazzo, quale é la probabilitá che i numeri estratti siano consecutivi? ( Un giocatore riceve 5 carte da un mazzo di 5 (4 semi, 13 carte per seme. Quale é la probabilitá di ricevere almeno assi? (0, 417 E quella di ricevere un colore? (0, Da un mazzo di 5 carte francesi mescolate, si scoprono le prime 4. Calcolare la probabilitá che esse siano tutte diverse in valore. ( Calcolare la probabilitá che esse siano tutte diverse in seme. ( Un urna A contiene 3 palline rosse e 3 nere, una successiva urna B ne contiene 4 rosse e 6 nere. Estraiamo una pallina da ogni urna. quale é la probabilitá che le due palline abbiano lo stesso colore? ( Da 40 numeri distinti se ne estraggano 8 senza reimmissione. Supponiamo di scegliere a piacere 8 numeri 1 compresi tra i 40. Quale é la probabilitá che essi coincidano tutti con quelli estratti? ( E quella che esattamente 7 siano compresi tra quelli estratti? ( C 8,7C 3,1 C 40,8 E quella che almeno 6 siano tra quelli estratti? ( C 8,6C 3,6 +C 8,7 C 3,1 +C 8,8 C 3,0 C 40,8 C 40,8 31. Un comitato universitario é composto da 4 persone scelte a caso tra 3 Studenti, 4 Dottorandi, 4 Ricercatori, 3 Professori. Calcolare le probabilitá che nel comitato vi siano: (i un rappresentante per ogni gruppo ( C 3,1C 4,1 C 4,1 C 3,1 C 14,4 ; (ii Dottorandi e Ricercatori ( C 3,0C 4, C 4, C 3,0 C 14,4 ; (iii esattamente solo uno tra Dottorandi e Ricercatori ( C 8,1C 6,3 C 14,4. 3. Nel gioco del poker a 5 carte, quale é la probabilitá che in una mano vi siano 4 carte di semi differenti? ( ( ( ( D 5,5 33. Nel gioco della roulette (37 numeri supponiamo che il giocatore A e quello B si alternino nello scommettere, iniziando da A. Essi scommettono sempre lo stesso numero. Determinare: (i la probabilitá di vincere la prima volta ( 1 37 ; (ii la probabilitá di non vincere prima della quarta volta ( ; (iii la probabilitá di vincere esattamente alla ottava volta ( ; (iv chi tra A e B ha la maggiore probabilitá di vincere per primo (P (A = ( ; P (B = ( Probabilitá condizionata, Teorema di Bayes, Regola del prodotto, Eventi dipendenti ed indipendenti. 34. Si lancino dadi. Quale é la probabilitá che la somma sia 8. E quella che la somma sia 8 dopo aver verificato che il primo non dia un risultato maggiore di 4? 35. In una famiglia vi sono figli. quale é la probabilitá che siano entrambi maschi. Sapendo che certamente uno é maschio, come si é modificata la probabilitá precedente? 36. In una scatola vi sono 5 lampadine: 5 funzioneranno per 30 giorni, 10 per giorni, 10 sono non funzionanti in partenza. Sapendo che una lampadina scelta a caso sia funzionante, quale é la probabilitá che funzioni per 30 giorni? ( Un mazzo di 5 carte é formato da 13 carte per 4 semi. Le carte siano distribuite ai giocatori A, B, C, D. Sapendo che la somma totale delle carte di cuori in mano ad A eb é 8, quale é la probabilitá che C abbia in mano 3 delle restanti carte di cuori? ( C 5,3C 1,10 C 6, Un urna contiene 8 palline bianche e 4 rosse. Quale é la probabilitá che dopo estrazioni senza rimpiazzo, si ottengano palline bianche? ( Un mazzo di 5 carte é formato da 13 carte per 4 semi. Vengono effettuate estrazioni senza reimmissione. Quale é la probabilitá che la seconda carta sia un asso? (utilizzare la probabilitá totale dell evento

3 3 40. Una compagnia assicurativa divide i clienti in quelli di tipo A, con lo 0, di probabilitá di avere incidenti in un anno, e di tipo B con probabilitá 0, 4 di avere incidenti in un anno. Supponiamo che il 30% della popolazione sia di tipo B. Quale é la probabilitá che un nuovo cliente abbia un incidente entro un anno? (0, 6 Supponiamo che il nuovo cliente abbia avuto l incidente entro un anno, quale é la probabilitá che esso appartenga al tipo B? ( In un test a risposte multiple per ogni domanda vi sono 5 risposte. Sia 0, 5 la probabilitá che uno studente conosca la risposta, in caso contrario risponde a caso. Se egli risponde correttamente ad una domanda, quale é la probabilitá che conoscesse la risposta? ( In un laboratorio si effettua un test per individuare una malattia. La probabilitá che il test sia positivo, se la persona che si sottopone ad esso é malata, é del 95%. La probabilitá che il test sia positivo se lapersona non é malata é del 1%. Supponiamo che lo 0, 5% della popolazione sia malata. Se una persona risulta positiva al test, quale é laprobabilitá che abbia realmente la malattia? ( Nella prima edizione di un libro di 5 pagine vene sono 15 con errori. Viene stampata una seconda edizione nella quale vi sono ancora 5 pagine con errori. In uno scaffale vi sono 10 libri della prima edizione e 15 della seconda. Se ne scelga uno a caso, e si scelgano 3 pagine in esso. Osservando che di queste sono con errori, quale é la probabilitá che il libro sia della prima edizione? ( Suddividendo il mazzo di 5 carte francesi in 4 gruppi di carte, quale é la probabilitá che in ognuno dei gruppi sia contenuto un asso? (utilizzare la regola del prodotto 45. In un urna vi sono 10 palline numerate. Se ne estraggono 3 senza reimmissione. Quale é la probabilitá che il terzo numero estratto sia il 5? ( Si lancino due dadi (d 1 e d e sia Ω = x : x = d 1 + d }. Consideriamo gli eventi composti A = 3, 6} e B =, 4, 6}. Determinare se essi sono indipendenti o dipendenti. 47. Si lanci un dado (d 1 e sia Ω = x : x = d 1}. Consideriamo gli eventi composti A = 3, 6} e B =, 4, 6}. Determinare se essi sono indipendenti o dipendenti. 48. Si lancino due dadi. Consideriamo gli eventi composti A =la somma é 7, B =la somma é 6, C =il primo dado é 4. Dimostrare che A, C sono indipendenti, mentre B, C sono dipendenti. 49. Si lancino due dadi. Consideriamo gli eventi composti A =il primo dado é dispari, B =il secondo dado é dispari, C =la somma é dispari. Dimostrare che A, B, C sono dipendenti, mentre sono indipendenti se presi a gruppi di due. 50. Due giocatori lanciano dadi ciascuno. Il giocatore A vince se totalizza 6, il giocatore B se totalizza 7. Inizia a giocare A; i due si alternano al gioco finché uno di loro non abbia vinto. Quale é la probabilitá di vittoria per entrambi? 51. Si estraggono 3 carte da un mazzo di 5 (francesi, 4 semi e 13 valori. Calcolare la probabilitá di ottenere esattamente figure ( ; la probabilitá di ottenere una figura alla seconda estrazione ( Un mazzo di chiavi ne contiene 10, ma una sola apre una certa porta. Per determinare quale sia la chiave giusta, andiamo avanti per tentativi, provando una chiave alla volta finché non individuiamo quella esatta. Supponiamo di adottare due diversi comportamenti: ogni volta che la chiave non apre la porta, la eliminiamo dal mazzo ed andiamo avanti (COMPORTAMENTO 1; ogni volta che la chiave non apre la porta, la reinseriamo nel mazzo e continuiamo a scegliere (COMPORTAMENTO. Adottando entrambi i comportamenti, calcoliamo la probabilitá: (i di aprire la porta esattamente al quinto tentativo (comportamento (1 9! 94 ; comportamento ( ; 10! 10 5 (ii che occorrano almeno sette tentativi per aprire la porta (comportamento (1 ; comportamento ( Abbiamo 6 urne, ciascuna delle quali contiene 3 palline bianche ed un numero variabile di palline nere. Per la precisione, la urna i contiene i palline nere. Si scelga un urna a caso e si estraggano due palline una dopo l altra con reinserimento. Quale é la probabilitá che le due palline siano di colore diverso? (0, 459 Se le due palline sono di colore diverso, quale é l urna che piú probabilmente era stata scelta? (la terza 54. Abbiamo cinque scatole numerate, ciascuna contenente 10 microchip. La scatola i ne contiene I danneggiati e 10 i integri. Si scelga a caso una scatola e da questa si scelga a caso un microchip. Quale é la probabilitá che sia danneggiato? ( 3 10 Supponiamo in seguito di aver constatato che il microchip é danneggiato: da quale scatola piú probabilmente esso proviene (cioé quale é la scatola che piú probabilmente era stata scelta in partenza? (la quinta

4 4 4 DISTRIBUZIONI DI PROBABILITÁ 55. Abbiamo 3 scatole S 1, S, S 3 contenenti ciascuna due gettoni. Rispettivamente S 1 =due gettoni da 1 euro; S =un gettone da 1 euro ed uno da euro; S 3 = due gettoni da euro. Si scelga a caso una scatola, si estragga un gettone e si osservi che é da 1 euro. Quale é la probabilitá che il gettone rimasto nella scatola sia ancora da 1 euro? ( 3 Si reinserisca il gettone estratto nella scatola. Si effettui una seconda estrazione, la quale dia come risultato ancora un gettone da 1 euro. Quale é adesso la probabilitá che il gettone rimasto nella scatola sia da 1 euro? ( Distribuzioni di probabilitá 56. In un urna vi sono 0 gettoni: 10 di valore (0, 5 di valore (+1, 5 di valore (-1. Se ne estraggono 3. Quale é la probabilitá che la somma algebrica dei valori estratti sia positiva? Indichiamo con X tale somma. 57. In un urna vi sono 10 gettoni numerati. Si effettuano 3 estrazioni simultanee. Quale é la probabilitá che almeno uno abbia un valore 8? Indichiamo con X il valore massimo estratto. 58. Si lanciano 3 monete simultaneamente. Sia X il numero di teste. 59. Si lanciano 5 monete simultaneamente. Sia X il numero di teste. Calcolare la probabilitá dei seguenti eventi: ( < X 4; (X > 3; ( X 4; ( < X < 4; ( X < 4 15 risposte: ; 6 ; 5 ; 10 ; Si lanci un dado e sia X = 10 i, dove i é il risultato del lancio. Calcolare la probabilitá dei seguenti eventi: (30 < X 50; (X > 0; (30 X 50; (30 < X < 50; (30 X < 50 risposte: ; 4 ; 3 ; 1 ; Una telefonata arriva con certezza nell intervallo di tempo [0, T ]. Sia X = t, l istante in cui arriva la telefonata. Costruire una opportuna funzione di distribuzione ed una di densitá. 6. Si lanci una freccia verso un bersaglio circolare di raggio R, con la certezza di colpirlo. Sia X = r, la distanza della freccia dal centro del bersaglio. Costruire una opportuna funzione di distribuzione ed una di densitá. 63. Si consideri la variabile aleatoria X con funzione di densitá 1 se x [0, 1] 3 f(x = se x [1, ] 3 Calcolare la funzione di distribuzione. 64. Si consideri la variabile aleatoria X con funzione di densitá kx se x [0, 1] f(x = (a Il valore di k; (b La funzione di distribuzione; (c La probabilitá dell evento ( 1 4 X ; risposta: Si consideri la variabile aleatoria X con funzione di densitá k se x [a, b] f(x = Calcolare la funzione di distribuzione.

5 5 5. Valore medio e varianza 66. In un gioco tra banco e scommettitore, il banco lancia un dado e lo scommettitore gioca in anticipo una posta. Se il risultato é 3 il banco vince e ritira la posta. Se il risultato é 4 il banco paga 40. Se é 5 il banco paga 30. Se é 6 il banco paga 50. Quanto deve essere la posta giocata dallo scommettitore perché il gioco sia equo? (risposta : 0 euro 67. In un gioco bisogna rispondere a due domande chiuse in due buste. La probabilitá di saper rispondere alla domanda nella prima busta é p 1 = 60 ed il premio per la risposta esatta é 00 euro. 100 La probabilitá di saper rispondere alla domanda nella seconda busta é p = 80 ed il premio per la risposta 100 esatta é 100 euro. Il giocatore puó scegliere con quale busta iniziare. Se risponde correttamente alla domanda ha il diritto di aprire anche l altra busta. Quanto mediamente si vince al variare della scelta iniziale? (risposta: 168 euro partendo dalla prima, 176 dalla seconda 68. Sia X 1, 0, 1} con f( 1 = 0,, f(0 = 0, 5, f(1 = 0, 3. Calcolare il valore medio della funzione Y = X (risposta: 0, Determinare valore medio e varianza della variabile uniforme. 70. Si consideri la variabile aleatoria discreta X con funzione di densitá 1 se x 1, 0, 1} f(x = 3 (a la varianza di X (risp. 3 ; (b la varianza nel caso f(x = 1 3 per x, 0, 1} (risp ; 71. Calcolare valore medio e varianza per la variabile introdotta nel lancio di un dado con equiprobabilitá per ogni risultato ( 7 ; Si consideri la variabile aleatoria continua X con funzione di densitá x se x [0, 1] f(x = Calcolare valore medio e varianza ( ; Si consideri la variabile aleatoria continua X con funzione di densitá e x se x 0 f(x = Calcolare valore medio ( 1, varianza ( 1 e funzione di distribuzione Un giocatore paga 10 euro se nel lancio del dado si ottiene 1, }. Quanto dovrebbe vincere all uscita dei rimanenti numeri affinché il gioco sia equo (cioé quando é nullo il valore medio del profitto (risposta: 5 euro 75. In un lotto di 00 esemplari di un prodotto, 15 sono difettosi. Ai fini di un controllo di qualitá si sceglie un campione di 6 esemplari. In media, quanti prodotti difettosi sono presenti nel campione? (,7 esemplari su In un contenitore vi sono 9 banconote da 10 euro, 5 da 50 euro, 1 da 100 euro, 8 da 500 euro. Si scelgano a caso una prima banconota ed una seconda senza reinserire la prima. Sia X il valore complessivo delle banconote. Supponiamo che il giocatore che effttua le estrazioni, vinca la somma totale X. Quanto dovrebbe scommettere per poter giocare, affinché il gioco sia equo? (01,19 euro 77. Sia X una variabile aleatoria con E(X = 15 e σ (X = 9. Calcolare Il valore massimo di P ( X (risp. (risp Il valore minimo di P ( X 15 < 10 (risp ; P (X 10 X 0 (risp. 9 ; P (X 10 X ; P (9 < X < 1 (risp. 7 ; P (9 < X < 3 (risp

6 6 6 DISTRIBUZIONI NOTEVOLI 78. Un industria produce sbarre metalliche del peso medio di 50 KG e deviazione standard di 0, 5 KG. Approssimare la probabilitá che una sbarra prodotta e scelta a caso differisca dal peso medio meno dello 0, 5% (risp. 0, 96; Una sbarra é scartata se pesa > 51 e < 49. Quale é la massima probabilitá di scartare una sbarra? (risp. 0, 5 6. Distribuzioni notevoli 79. Un urna contiene n palline bianche e m nere. Si effettuano estrazioni con rimpiazzo fino a quando non esce m n una pallina nera. Quale é la probabilitá che si debbano estrarre esattamente 10 palline ( 9. Quale (m+n 10 m quella che se ne debbano estrarre almeno 10? ([ m+n ] Nelle ipotesi dell esercizio precedente, se si estraggono 10 palline senza reinserimento quale é la probabilitá che 4 siano nere (risp. C m,4 C n,6 C m+n, Un canale di trasmissione ha la probabilitá di errore di p = 0, 01 per ogni cifra trasmessa. Quale é la probabilitá di avere piú di un errore in in segnale di 10 cifre? (X=numero di errori, binomiale con parametri 10; 0, 01 ( Una sorgente binaria genera 0 e 1 in modo casuale con probabilitá 0, 6 per 1}. Quale é la probabilitá di ottenere esattamente due 1} in una sequenza di 5 cifre? Quale quella di ottenere almeno tre 1} (risposte: 3 ; Un giocatore scommette un numero compreso tra 1 e 6, sul lancio di tre dadi. Se il numero su cui ha scommesso non risulta mai, perde 1 euro. Se tale numero risulta k volte, vince k euro. Il gioco é equo? (X=vincita dello scommettitore é binomiale; (risposta: il gioco non é equo perché lo scommettitore perde in media 17 euro ogni 16 partite. 84. Le viti prodotte da una fabbrica presentano un difetto con probabilitá 0, 01. Ogni confezione contiene 10 viti. La fabbrica sostituisce ai clienti le confezioni contenenti piú di una vite difettosa. Quale é la percentuale di confezioni che sono sostituite? (X=numero di viti difettose é binomiale; (risposta: 0, 4% 85. Un urna contiene 4 gettoni (3 Neri e 1 Bianco. Se il gettone estratto é B allora si vince un euro, se é N se ne perde uno. Dopo aver effettuato 5 estrazioni, calcolare: la probabilitá di aver guadagnato un euro (0, 08789; quante volte in media si vince (1, 5; quale é il capitale in mano piú probabile (3 euro in meno rispetto al capitale iniziale; quale é la probabilitá di aver terminato vincenti (0, In un mazzo di 40 carte napoletane si estrae con reinserimento. il numero minimo di carte da estrarre per avere la probabilitá > 60% di avere almeno una figura (3; il numero minimo di carte da estrarre per avere la probabilitá > 99, 9% di avere almeno una figura (0; 87. Un centralino ha 50 linee, ciascuna con probabilitá di essere occupata pari a 5. Calcolare, utilizzando 100 l approssimazione di Poisson anziché la binomiale: la probabilitá che tutte le linee siano libere (0, 0808; la probabilitá che almeno una sia occupata (0, 9179; il numero medio di linee occupate (,5; il numero piú probabile di linee occupate (. 88. Una fabbrica produce resistori da 1000 ohm con tolleranza del 10%. Sia X la resistenza di un resistore, distribuita normalmente con varianza 500. Si calcoli la probabilitá che un resistore scelto a caso sia scartato. 89. Sia X normale con valor medio 3 e varianza 9. P ( < X < 5 (risp. 0, 378;

7 7 P (X > 0 (risp. 0, 8413; P ( X 3 > 6 (risp. 0, Il tempo di viaggio dalla localitá A alla B é distribuito normalmente con media di 40 minuti e σ = 7 minuti. A che ora si deve partire da A per avere il 95% di probabilitá di arrivare entro le 13? (al piú alle 1, 08 e 48 secondi; A che ora si deve partire da A per avere la certezza di arrivare entro le 13? (al piú alle 11, 59; 91. Si effettua un esame scritto e dopo l analisi dei risultati di determina µ e σ. Quindi si assegnano i punteggi nel seguente modo, dove X é il risultato ottenuto nell esame: A se X µ + σ; B se µ X < µ + σ; C se µ σ X < µ; D se X < µ σ. Calcolare le percentuali degli studenti che ottengono i voti A, B, C, D (risposte: 16%, 34%, 34%, 16%. 9. Il peso di una popolazione é distribuito normalmente con media 70 Kg e σ = 10 Kg. Su un campione di 1000 individui: Quanti pesano meno di 55 (67; quanti pesano piú di 80 (160; quanti hanno un peso compreso tra 75 e 85 (4. 7. Variabili aleatorie bi-dimensionali 93. Siano X = 1,, 3} il risultato di una estrazione tra 3 carte numerate e Y il risultato della somma di due estrazioni con reimmissione. la probabilitá congiunta la distribuzione congiunta le probabilitá marginali le distribuzioni marginali P (Y 4 X (risp Un urna contiene 4 palline Bianche, 3 Rosse e 5 Blu. Si estraggono 3 palline contemporaneamente (cioé senza reimmissione. Indichiamo con X il numero di palline rosse stratte e con Y quello di palline bianche. Calcolare la densitá congiunta, le densitá marginali, la distribuzione congiunta e le marginali. 95. Sia 96. Sia F X,Y (x, y = verificare che X ey sono indipendenti; Calcolare P (X 1, Y 1; Calcolare P (X 1; Calcolare P (Y > 1; Calcolare P (X >, Y > 3 Calcolare le distribuzioni marginali. (1 e x (1 e 3y se (x, y [0, + [ [0, + [ F X,Y (x, y = 0 se x < 0, y < 0 p 1 se 0 x < a, 0 y < b p sex a, 0 y < b p 3 se 0 x < a, y b 1 se x a, y b

8 8 7 VARIABILI ALEATORIE BI-DIMENSIONALI 97. Sia 98. Sia 99. Sia 100. Sia f X,Y (x i, y j = le funzioni di densitá marginali; le funzioni di densitá condizionate; P (X = 1 Y = (risp. P (Y = X = (risp. 1 ; f X,Y (x, y = le funzioni di densitá marginali; le funzioni di densitá condizionate; P (0 < Y < 1 X = 1 (risp. 5 ; 3 P (0 < Y < 0 < X < 1 (risp. 3. f X,Y (x, y = k(xi + y j se x i = 1,, y j = 1, k(x + y se (x, y [0, ] [0, ] kxy se (x, y [0, 1] [0, 1] le funzioni di densitá marginali (verificando che le variabili siano indipendenti; P (X + Y < 1 (risp. 1 6 ; le funzioni di densitá condizionate; P (0 < X < 1 1 < Y < 1 (risp f X,Y (x, y = 6 7 (x + xy se (x, y [0, 1] [0, ] Calcolare P (Y > 1 X < 1 (risp Data la seguente tabella delle probabilitá congiunta di X e Y f( 1, 1 = 0, 1, f( 1, = 0, 1, f( 1, 3 = 0, 08, f( 1, 4 = 0 f(0, 1 = 0, 15, f(0, = 0, 1, f(0, 3 = 0, f(0, 4 = 0 f(1, 1 = 0, f(1, = 0, 1, f(1, 3 = 0, 15, f(1, 4 = 0, determinare le funzioni di probabilitá marginali, il baricentro della distribuzione (risp. P (X = 0 Y = (risp. 0,315, la funzione f Y X= 1 e la covarianza σ XY (risp. 0,513. [0,15;,38], la 10. Si lanci 4 volte una moneta e siano: X il numero di teste nei primi lanci, Y il numero di croci nei primi lanci, Z il numero di teste nel secondo e terzo lancio, W il numero di teste negli ultimi lanci. Determinare: le funzioni di probabilitá di tutte le variabili; la funzione di probabilitá congiunta di (X, Y ; la funzione di probabilitá congiunta di (X, Z; la funzione di probabilitá congiunta di (X, W ; la covarianza di ciascuna delle precedenti coppie, indicando dipendenza ed indipendenza ed individuando quali sono maggiormente tra loro legate da dipendenza Si lanci volte un dado e siano X il numero di volte che esce una cifra dispari, Y la differenza in valore assoluto tra la prima e la seconda cifra. Determinare: la funzione di probabilitá congiunta;

9 9 le funzioni di probabilitá marginali; la covarianza e l eventuale indipendenza (risp. covarianza nulla, ma variabili dipendenti Il numero di studenti iscritti ad un corso é una variabile di Poisson con media 100. Se gli iscritti superano il numero di 10 allora il corso si sdoppia. A lungo termine quale é la probabilitá che il corso venga sdoppiato? (risp. 0, Si lanci un dado un certo numero di volte maggiore di 10. Si fissino 10 lanci consecutivi, supponendo di aumentare il numero totale di lanci (tendente ad infinito. Quale é la probabilitá che la somma dei risultati sia compresa tra 30 e 40? (risp. 0,644