Statistica Matematica Prova scritta del 06/07/05 1. Risposte Domande x se 0 x 2, f(x) = 0 altrove;

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1 Statistica Matematica Prova scritta del 06/07/05 1 COGNOME: NOME: TEST Scrivere il numero della risposta sopra alla corrispondente domanda. Risposte Domande Sia data una variabile casuale continua X con funzione di probabilità { x se 0 x 2, f(x) = 0 altrove;. Calcolarne il valore medio µ X : [1] µ X = 1/ 2; [2] µ X = 1; [3] µ X = 8/3; [4] µ X = 1/2; 2 Le due v.a. X ed Y, indipendenti ed identicamente distribuite, siano uniformi in [0, 1]. Trovare P (cos(πy ) < 1 2 ) [1] 1%; [2] 33.3%; [3] 50%; [4] 66.7%; 3 Qual è la probabilità che almeno due fra 4 coetanei nati nella stessa stagione festeggino il compleanno nello stesso giorno? (una stagione=92 giorni) [1] Non è possibile rispondere a questa domanda; [2] 1.63%; [3] 6.39%; [4] 4.34%; 4 Se la probabilità teorica del sintomo B data la malattia A è il 30%, supponendo che la percentuale della malattia e del sintomo in Emilia sia, rispettivamente, P (A) = 0.15 e P (B) = 0.05, calcolare la probabilità di malattia A dato il sintomo B. [1] 90%; [2] 45%; [3] 70%; [4] 10%; 5 Un dado a sei facce è lanciato tre volte. Qual è la probabilità di ottenere sei almeno una volta? [1] 120/216; [2] 91/216; [3] 1/216; [4] 3/6; 6 Il punteggio ottenuto dagli studenti alla prova scritta di un esame si può modellizzare come una v.a. normale di media 21 e varianza 8. Qual è la percentuale di studenti che hanno ottenuto un voto fra 16 e 27 (estremi inclusi)? [1] 6%; [2] 98%; [3] 96%; [4] 94%; 7 Un calcolatore addiziona un milione di numeri e in ognuna di queste addizioni si effettua un errore di arrotondamento; supponiamo che i singoli errori siano indipendenti e abbiano distribuzione uniforme su [ , ]. Qual è la probabilità che l errore finale sia inferiore in valore assoluto a ? (cioè qual è la probabilità che la settima cifra decimale sia significativa?) [1] 99%; [2] 8%; [3] 96%; [4] 92%; 8 Per depurare un lago artificiale in cui si è rilevato un parassita, si esegue più volte un trattamento. Il trattamento riduce il numero medio di parassiti per litro, λ, portandolo a λ/6. Se inizialmente il numero di parassiti è una v.a. di Poisson di media 5, quanti interventi occorrono perché al termine ogni litro abbia parassiti con probabilità inferiore ( ) a 0.1%? 1.1

2 [1] 5; [2] 6; [3] 4; [4] 100; 9 In un urna ci sono 5 palline bianche e 3 nere e si estraggono a caso e senza rimpiazzo due palline. Se X è il numero di bianche estratte ed f la sua funzione di probabilità, determinare f(2). [1] 5/8; [2] 5/7; [3] 5/14; [4] 4/7; 10 Una compagnia aerea ha un aereo di 19 posti ed accetta 21 prenotazioni perchè sa che il 10% dei prenotati non si presenta. Con quale probabilità un passeggero resterà a terra? [1] p 36.47%; [2] Non è possibile rispondere a questa domanda; [3] p 3.65%; [4] p 1%; 1.2

3 Statistica Matematica Prova scritta del 06/07/05 2 COGNOME: NOME: TEST Scrivere il numero della risposta sopra alla corrispondente domanda. Risposte Domande Si consideri la costante k tale che F (x) = { 0 se x 0 k(1 e x ) 2 se x > 0 sia la funzione distribuzione di una variabile aleatoria X; trovare c tale che P (X > c) = 90%. [1] c = 0.3; [2] c = 0.83; [3] c = 0.62; [4] c = 0.38; 2 In due punti di un lago si misura l intensità del suono causato da rumore di fondo generale (detto rumore di ambiente ). Siano X, Y le due variabili aleatorie intensità del suono. Supponiamo che la loro legge congiunta sia continua con densità { xye [ 1 2 f X,Y (x, y) = (x2 +y 2 )] se x, y 0 0 altrove Determinare la distribuzione della intensità massima di rumore, Z = max(x, Y ) [1] (1 e 1 2 z2 ) 2 ; [2] (e 1 2 z2 ) 2 ; [3] (1 e 1 2 z ) 2 ; [4] (1 e z2 ) 2 ; 3 Il 10% di bulloni prodotti da una certa macchina è difettoso. Trovare la probabilità che, in un campione casuale di 400, al massimo 30 siano difettosi. [1] 1.58; [2] ; [3] ; [4] 0.075; 4 Il tempo di sopravvivenza di una lampada è una v.a. esponenziale di media µ = 10 giorni. Appena si brucia, essa è sostituita. Trovare la probabilità che 40 lampade siano sufficienti per un anno. [1] 29%; [2] 50%; [3] 71%; [4] 11%; 5 Sia data una moneta truccata in cui la probabilità che esca testa è 2 5. Lanciandola 4 volte calcolare la probabilità p che esca testa almeno 2 volte: [1] p = 76/625; [2] p = 4/25; [3] p = 1/2; [4] p = 328/625; 6 Il numero di particelle α emesse al secondo da una sostanza radioattiva è una v.a. di Poisson con parametro µ = 0.5. Qual è la probabilità di osservare almeno due particelle durante un secondo? [1] 39%; [2] 91%; [3] 61%; [4] 9%; 7 Una fabbrica produce componenti elettronici, che escono da due linee di produzione, A e B nelle proporzioni del 30% e 70%. La Linea A ha una percentuale di pezzi difettosi del 10%, contro il 17% della linea B. Si considera una confezione di 10 chips di tale fabbrica: con quale probabilità la confezione contiene esattamente un chip difettoso? [1] 35%; [2] 23%; 2.1

4 [3] 15%; [4] 53%; 8 La popolazione di una regione è affetta da virus Ebola con probabilità 1%. Il miglior test per il virus ha affidabilità 80% tanto sui sani quanto sui malati. Una persona è scelta a caso e risulta positiva. Qual è la probabilità che sia effettivamente affetta da Ebola? [1] 206/1000; [2] Non è possibile rispondere a questa domanda; [3] 8/206; [4] 80/100; 9 Un test diagnostico di una malattia è corretto nel 98% dei casi. Ripetendo due volte il test sullo stesso soggetto, qual è la probabilità di un doppio errore? [1] 0.2%; [2] 0.04%; [3] 4%; [4] 0.4%; 10 Lampadine escono per il 60% da una linea di produzione A e per il 40% dalla linea B. Dalla prima linea esce un 2% di difettose, dall altra esce un 3.8% di difettose. Con quale probabilità una lampadina difettosa è uscita dalla linea A? [1] 44.1%; [2] 76.1%; [3] 4.4%; [4] 7.6%; 2.2

5 Statistica Matematica Prova scritta del 06/07/05 3 COGNOME: NOME: TEST Scrivere il numero della risposta sopra alla corrispondente domanda. Risposte Domande Sia data una variabile casuale continua X con funzione di probabilità f(x) = { c(1 x) 2 se 0 x 2, 0 altrove;. Calcolare c: [1] c = 3/8; [2] c = 3/2; [3] c = 1/3; [4] c = 1; 2 Un canale di trasmissione dati può ricevere messaggi binari da due sorgenti diverse A e B con probabilità 1 2 ciascuna. Ognuna delle due sorgenti produce messaggi in cui i bit successivi sono tra di loro indipendenti. Ma per la sorgente A i bit possono essere 1 o 0 con probabilità 1 2, mentre per B il valore 1 si verifica con probabilità 1 4 e 0 con probabilità 3 4. Un messaggio di lunghezza 10 viene ricevuto e in esso si osservano 4 bit uguali a 1. Qual è la probabilità che si tratti della sorgente A? [1] 85%; [2] 58%; [3] 50%; [4] 23%; 3 Se il numero di annegamenti in un anno è pari a 0, 3 su centomila, si chiede la probabilità che in una città di duecentomila abitanti ci siano 3 o 4 annegamenti all anno. [1] 0.3%; [2] 1.97%; [3] 2.27%; [4] 22.7%; 4 Per depurare un lago artificiale in cui si è rilevato un parassita, si esegue più volte un trattamento. Il trattamento riduce il numero medio di parassiti per litro, λ, portandolo a λ/6. Se inizialmente il numero di parassiti è una v.a. di Poisson di media 5, quanti interventi occorrono perché al termine ogni litro abbia parassiti con probabilità inferiore ( ) a 0.1%? [1] 6; [2] 5; [3] 100; [4] 4; 5 In due punti di un lago si misura l intensità del suono causato da rumore di fondo generale (detto rumore di ambiente ). Siano X, Y le due variabili aleatorie intensità del suono. Supponiamo che la loro legge congiunta sia continua con densità { xye [ 1 2 f X,Y (x, y) = (x2 +y 2 )] se x, y 0 0 altrove Trovare la distribuzione dell intensità minima di rumore U = min(x, Y ). [1] 1 e (u2) ; [2] 1 e ( u) ; [3] 1 e ( u2) ; [4] e ( u2) ; 6 Il punteggio ottenuto dagli studenti alla prova scritta di un esame si può modellizzare come una v.a. normale di media 21 e varianza 8. Qual è la percentuale di studenti che hanno ottenuto un voto fra 16 e 27 (estremi inclusi)? [1] 6%; [2] 98%; [3] 96%; [4] 94%; 3.1

6 7 Un calcolatore addiziona un milione di numeri e in ognuna di queste addizioni si effettua un errore di arrotondamento; supponiamo che i singoli errori siano indipendenti e abbiano distribuzione uniforme su [ , ]. Qual è la probabilità che l errore finale sia inferiore in valore assoluto a ? (cioè qual è la probabilità che la settima cifra decimale sia significativa?) [1] 92%; [2] 99%; [3] 96%; [4] 8%; 8 Due carte sono estratte a caso senza reimmissione da un mazzo di 52 carte ben mescolato. Calcolare la probabilità p che siano due assi. [1] p = 2/52; [2] p = 1/221; [3] p = 1/13 2 ; [4] p = 1/13; 9 È noto che il 25% degli studenti della nostra Università è iscritto a Giurisprudenza, il 15% frequenta il primo anno e la percentuale di studenti del primo anno iscritti a Giurisprudenza è il 10%. Sapendo che un studente frequenta il primo anno che probabilità p ha di essere iscritto a Giurisprudenza? [1] p = 15/10; [2] p = 15/25; [3] p = 10/25; [4] p = 10/15; 10 Tre malattie A, B, C causano un certo sintomo con probabilità 9/10, 6/10, 4/10. In Emilia d estate un individuo è affetto da ciascuna malattia con probabilità p A = 0.1%, p B = 1%, p C = 5%. Sapendo che un paziente emiliano questa estate presenta tale sintomo, qual è la probabilità che egli abbia la malattia B? [1] 22.3%; [2] 6.1%; [3] Non è possibile rispondere a questa domanda; [4] 37.17%; 3.2

7 Statistica Matematica Prova scritta del 06/07/05 4 COGNOME: NOME: TEST Scrivere il numero della risposta sopra alla corrispondente domanda. Risposte Domande Una variabile aleatoria X discreta ha come valori possibili x = 1, 2, 3 con funzione di distribuzione Qual è la varianza di X? [1] σ 2 X = 1; [2] σ 2 X = 15/8; [3] σ 2 X = 2/2; [4] σ 2 X = 1/2; F (1) = 1 8, F (2) = 3, F (3) = In due punti di un lago si misura l intensità del suono causato da rumore di fondo generale (detto rumore di ambiente). Siano X, Y le due v.a. intensità del suono. Supponiamo che la loro legge congiunta sia continua con densità { 4xe f X,Y (x, y) = x ye 2y se x, y 0 0 altrove Sia U = min(x, Y ) l intensità minima di rumore. Calcolare P (U 0.2). [1] 8%; [2] 46%; [3] 92%; [4] 9.2%; 3 Il voto ad una prova di ingresso è distribuito normalmente, e il miglior 10% dei candidati verrà assunto. Ad esame finito, il voto medio è stato 72 e la deviazione standard è stata 9. Qual è il voto minimo che un candidato deve ottenere per essere assunto? [1] 72; [2] 9; [3] 90; [4] 84; 4 Un segnale consiste in una parola di n bit, ciascuno dei quali può assumere i valori 0 oppure 1. Nel corso della trasmissione ogni bit con probabilità p = 0.01 può essere distorto. Per ridurre la distorsione si usa il seguente protocollo: ogni bit viene trasmesso 3 volte e ed il vero valore viene deciso a maggioranza: il bit viene posto uguale ad A (A = 0 oppure 1) se vi sono almeno due valori A tra quelli ricevuti. Qual è la probabilità che un segnale di 1000 bit contenga bit distorti? [1] 56.35%; [2] 25.77%; [3] 3%; [4] 0.3%; 5 La memoria secondaria di un calcolatore è composta da 30 unità disco in ognuna delle quali sono archiviati 100 file. Durante l esecuzione di un programma è necessario accedere a 40 di questi file, tutti diversi. Qual è la probabilità che sia necessario usare l unità 1? (Cioè qual è la probabilità che tra i 40 file ve ne sia almeno uno contenuto nell unità 1?) [1] 1 ( )/( ); [2] 1 ( )/( ); [3] ( )/( ); [4] ( )/( ); 6 Una scatola ha fondo quadrato di lato 1 metro, al centro del quale vi è un foro circolare di diametro 10 cm.nella scatola sono gettate a caso e indipendentemente 10 palline di diametro piccolo (cioè << 10 cm). Con quale probabilità alla fine dei lanci si trovano nella scatola 7 palline? [1] 28%; [2] 0.28%; [3] 2.8%; [4] 0.82%; 4.1

8 7 Sia data una moneta truccata in cui la probabilità che esca testa è 2 5. Lanciandola 4 volte calcolare la probabilità p che esca testa almeno 2 volte: [1] p = 76/625; [2] p = 4/25; [3] p = 1/2; [4] p = 328/625; 8 L urna I contiene 3 palline rosse e 5 bianche, mentre l urna II ne contiene 4 rosse e 2 bianche. Si sceglie una pallina a caso dall urna I e la si mette, senza osservare il colore, nell urna II; si estrae poi una pallina dall urna II. Qual è la probabilità che la pallina così estratta sia bianca? [1] 3/8; [2] 1/24; [3] 23/24; [4] 2/5; 9 Un compilatore assegna ad ognuna delle variabili che intervengono in un programma una cella di memoria a caso, con indipendenza da una variabile all altra. In caso di conflitto (cioè se due variabili sono assegnate alla stessa cella), l operazione di assegnazione deve essere ripetuta. Se vi sono 100 celle di memoria e 4 variabili, qual è la probabilità che si verifichi un conflitto? [1] 5.89%; [2] 1%; [3] 4%; [4] 9.41%; 10 In quanti modi 10 persone possono sedersi su una panchina che ha solo 4 posti? [1] 10!; [2] 5040; [3] 4 10 ; [4] 24; 4.2

9 Statistica Matematica Prova scritta del 06/07/05 5 COGNOME: NOME: TEST Scrivere il numero della risposta sopra alla corrispondente domanda. Risposte Domande Determinare la probabilità p che in 300 lanci di una moneta non truccata si verifichino esattamente 150 teste. [1] p 5%; [2] p 50%; [3] p 95%; [4] p 1%; 2 Nella trasmissione di un immagine ogni pixel resta integro con probabilità p = Un immagine è composta da = pixel. Qual è la probabilità che vi siano almeno ( ) 200 pixel distorti? [1] 70%; [2] 22%; [3] 78%; [4] 99%; 3 Una fabbrica produce componenti elettronici, che escono da due linee di produzione, A e B nelle proporzioni del 30% e 70%. La Linea A ha una percentuale di pezzi difettosi del 10%, contro il 17% della linea B. Si considera una confezione di 10 chips di tale fabbrica: con quale probabilità la confezione contiene esattamente un chip difettoso? [1] 15%; [2] 23%; [3] 35%; [4] 53%; 4 Se il numero di annegamenti in un anno è pari a 0, 3 su centomila, si chiede la probabilità che in una città di duecentomila abitanti ci siano 3 o 4 annegamenti all anno. [1] 2.27%; [2] 0.3%; [3] 1.97%; [4] 22.7%; 5 Un canale di trasmissione dati può ricevere messaggi binari da due sorgenti diverse A e B con probabilità 1 2 ciascuna. Ognuna delle due sorgenti produce messaggi in cui i bit successivi sono tra di loro indipendenti. Ma per la sorgente A i bit possono essere 1 o 0 con probabilità 1 2, mentre per B il valore 1 si verifica con probabilità 1 4 e 0 con probabilità 3 4. Un messaggio di lunghezza 10 viene ricevuto e in esso si osservano 4 bit uguali a 1. Qual è la probabilità che si tratti della sorgente A? [1] 58%; [2] 85%; [3] 23%; [4] 50%; 6 Due carte sono estratte a caso senza reimmissione da un mazzo di 52 carte ben mescolato. Calcolare la probabilità p che siano due assi. [1] p = 2/52; [2] p = 1/13 2 ; [3] p = 1/13; [4] p = 1/221; 7 La probabilità che il giocatore Aldo colpisca il bersaglio è 1 4 e la probabilità che lo colpisca Bruno è 2 5. Supposto che Aldo e Bruno sparino contemporaneamente contro il bersaglio (supponendo quindi gli eventi indipendenti), qual è la probabiltà che uno solo dei due centri il bersaglio? [1] 20%; [2] 10%; [3] 45%; [4] 55%; 8 Si sa che lo 0.5% dei soggetti di una città è AIDS. Si sa che i tests diagnostici danno diagnosi corretta nell 80% dei sani e nel 98% dei malati. Qual è la probabilità di esser sano posto che ti abbiano diagnosticato malato? [1] 27.6%; 5.1

10 [2] 97.6%; [3] 75%; [4] 37.2%; 9 Una moneta è lanciata 3 volte. Se X è il numero di teste che si verificano nei lanci, e se F indica la funzione distribuzione, quanto vale F (2.9)? [1] 1/8; [2] 6/8; [3] 3/8; [4] 7/8; 10 Siano X, Y v.a. indipendenti ed ambedue normali N(0, 1). Trovare P (X > Y ) [1] 36%; [2] 50%; [3] 64%; [4] 21%; 5.2

11 Statistica Matematica Prova scritta del 06/07/05 6 COGNOME: NOME: TEST Scrivere il numero della risposta sopra alla corrispondente domanda. Risposte Domande Una variabile aleatoria X discreta ha come valori possibili x = 1, 2, 3, 4 con funzione di distribuzione Detta µ la media, quanto vale la probabilità P (X µ)? [1] 96.25%; [2] 1% [3] 2.75%; [4] 37.5%; F (1) = 1 8, F (2) = 3 8, F (3) = 3, F (4) = Il punteggio ottenuto dagli studenti alla prova scritta di un esame si può modellizzare come una v.a. normale di media 21 e varianza 8. Qual è la percentuale di studenti che hanno ottenuto un voto fra 16 e 27 (estremi inclusi)? [1] 6%; [2] 96%; [3] 98%; [4] 94%; 3 Il tempo di sopravvivenza di una lampada è una v.a. esponenziale di media µ = 10 giorni. Appena si brucia, essa è sostituita. Trovare la probabilità che 40 lampade siano sufficienti per un anno. [1] 29%; [2] 71%; [3] 11%; [4] 50%; 4 Le due v.a. X ed Y, indipendenti ed identicamente distribuite, siano uniformi in [0, 1]. Trovare P (cos(πy ) < 1 2 ) [1] 66.7%; [2] 1%; [3] 33.3%; [4] 50%; 5 Sia p = 98% la probabilità che un test diagnostico dia risposta vera su un individuo. In un gruppo di 7 persone qual è la probabilità che il test dia risposta vera su tutti e 7? [1] 80.81%; [2] 99.21%; [3] 13.19%; [4] 86.81%; 6 La stazione Radio Bruco trasmette il segnale orario allo scoccare di ogni ora. L ascoltatore tipo sintonizza il proprio radioricevitore sulla stazione Radio Bruco a un istante uniformemente distribuito tra le ore 7 : 10 e le ore 19 : 30 nella giornata. Calcolare la probabilità che l ascoltatore riceva il segnale orario entro 5 minuti dalla sintonizzazione su Radio Bruco (si adotti il minuto come unità di tempo). [1] 0.1%; [2] 8.1%; [3] 12%; [4] 0.67%; 7 Una compagnia di assicurazioni ha 3000 assicurati contro un dato rischio che ha probabilità 0.1% di colpire ogni singolo assicurato in un anno. Sapendo che il numero X di indennizzandi in un anno è di Poisson, che la compagnia indennizza ciascuno con Euro, che percepisce da ogni assicurato un premio annuale di 100 Euro, qual è la varianza del beneficio annuale della compagnia? [1] σ 2 = 3; [2] σ 2 = ; [3] σ 2 = ; [4] σ 2 = ; 6.1

12 8 L urna I contiene 3 palline rosse e 5 bianche, mentre l urna II ne contiene 4 rosse e 2 bianche. Si sceglie una pallina a caso dall urna I e la si mette, senza osservare il colore, nell urna II; si estrae poi una pallina dall urna II. Qual è la probabilità che la pallina così estratta sia bianca? [1] 2/5; [2] 23/24; [3] 1/24; [4] 3/8; 9 Un compilatore assegna ad ognuna delle variabili che intervengono in un programma una cella di memoria a caso, con indipendenza da una variabile all altra. In caso di conflitto (cioè se due variabili sono assegnate alla stessa cella), l operazione di assegnazione deve essere ripetuta. Se vi sono 100 celle di memoria e 4 variabili, qual è la probabilità che si verifichi un conflitto? [1] 1%; [2] 4%; [3] 9.41%; [4] 5.89%; 10 Un dado a sei facce è lanciato tre volte. Qual è la probabilità di ottenere sei almeno una volta? [1] 120/216; [2] 91/216; [3] 3/6; [4] 1/216; 6.2

13 Statistica Matematica Prova scritta del 06/07/05 7 COGNOME: NOME: TEST Scrivere il numero della risposta sopra alla corrispondente domanda. Risposte Domande Sia X N ( 2, 4) la variabile casuale normale di parametri µ = 2 e σ 2 = 4. Determinare c R tale che P (X c) = 0.2. [1] c = 0.32; [2] c = 3.68; [3] c = 0.42; [4] c = 0.32; 2 Le due v.a. X ed Y, indipendenti ed identicamente distribuite, siano uniformi in [0, 1]. Trovare P (X + Y < 1 2 ) [1] 1%; [2] 12.5%; [3] 25%; [4] 50%; 3 Un dado viene lanciato 900 volte e indichiamo con X il numero di volte in cui esce il 6. Sappiamo che esiste una partita di dadi truccati che producono il 6 con probabilità 2/9. Per decidere se il dado è di questi ultimi usiamo questa procedura: lo lanciamo 900 volte e decidiamo che è truccato se il 6 esce almeno ( ) 180 volte. Qual è la probabilità che un dado truccato venga effettivamente individuato? [1] 1.64%; [2] 95%; [3] 80%; [4] 20%; 4 Un azienda vende un preparato in partite di 200 confezioni con la garanzia che tutte siano non difettose; se la probabilità che una confezione sia difettosa è 0.5%, con quale probabilità una partita viola la garanzia? [1] 63%; [2] 0.5%; [3] 37%; [4] 95%; 5 Il numero di particelle α emesse al secondo da una sostanza radioattiva è una v.a. di Poisson con parametro µ = 0.5. Qual è la probabilità di osservare almeno due particelle durante un secondo? [1] 61%; [2] 39%; [3] 91%; [4] 9%; 6 In un urna ci sono 5 palline bianche e 3 nere e si estraggono a caso e senza rimpiazzo due palline. Se X è il numero di bianche estratte ed f la sua funzione di probabilità, determinare f(2). [1] 5/7; [2] 5/8; [3] 5/14; [4] 4/7; 7 Una compagnia aerea ha un aereo di 19 posti ed accetta 21 prenotazioni perchè sa che il 10% dei prenotati non si presenta. Con quale probabilità un passeggero resterà a terra? [1] Non è possibile rispondere a questa domanda; [2] p 36.47%; [3] p 3.65%; [4] p 1%; 8 Due carte sono estratte a caso senza reimmissione da un mazzo di 52 carte ben mescolato. Calcolare la probabilità p che siano due assi. [1] p = 1/221; [2] p = 2/52; [3] p = 1/13 2 ; [4] p = 1/13; 7.1

14 9 In quanti modi 10 persone possono sedersi su una panchina che ha solo 4 posti? [1] 5040; [2] 4 10 ; [3] 24; [4] 10!; 10 Uno studente è sottoposto ad un quiz con 4 risposte possibili. Se ha studiato, egli risponderà certamente in maniera esatta, altrimenti sceglierà una risposta a caso tra le 4 disponibili. Supponiamo che abbia studiato con probabilità 1/2 e che, sottoposto al quiz, abbia scelto la risposta esatta. Sulla base di ciò, qual è la probabilità che abbia studiato davvero? [1] 62.5%; [2] 12.5%; [3] 80%; [4] 90%; 7.2

15 Statistica Matematica Prova scritta del 06/07/05 8 COGNOME: NOME: TEST Scrivere il numero della risposta sopra alla corrispondente domanda. 1 Si consideri la costante c tale che Risposte Domande f(x) = { cxe 2x se x 0 0 altrove sia la funzione densità di una variabile aleatoria X. Determinare c. [1] c = 1/2; [2] c = 4; [3] c = 1/4; [4] c = 2; 2 Sia data una moneta truccata in cui la probabilità che esca testa è 2 5. Lanciandola 4 volte calcolare la probabilità p che esca testa almeno 2 volte: [1] p = 328/625; [2] p = 4/25; [3] p = 76/625; [4] p = 1/2; 3 La memoria secondaria di un calcolatore è composta da 30 unità disco in ognuna delle quali sono archiviati 100 file. Durante l esecuzione di un programma è necessario accedere a 40 di questi file, tutti diversi. Qual è la probabilità che sia necessario usare l unità 1? (Cioè qual è la probabilità che tra i 40 file ve ne sia almeno uno contenuto nell unità 1?) [1] 1 ( )/( ); [2] ( )/( ); [3] 1 ( )/( ); [4] ( )/( ); 4 Un quiz consiste di 10 domande, ognuna con 4 risposte (di cui una corretta e le altre 3 errate). Uno studente che risponde a caso ha quindi probabilità 1 4 di rispondere correttamente ad ogni domanda. Calcolare la probabilità p che lo studente risponda correttamente ad almeno 6 domande (e sia quindi promosso): [1] p 2%; [2] p 4%; [3] p 20%; [4] p 10%; 5 Un calcolatore addiziona un milione di numeri e in ognuna di queste addizioni si effettua un errore di arrotondamento; supponiamo che i singoli errori siano indipendenti e abbiano distribuzione uniforme su [ , ]. Qual è la probabilità che l errore finale sia inferiore in valore assoluto a ? (cioè qual è la probabilità che la settima cifra decimale sia significativa?) [1] 99%; [2] 92%; [3] 96%; [4] 8%; 6 Il 10% di bulloni prodotti da una certa macchina è difettoso. Trovare la probabilità che, in un campione casuale di 400, al massimo 30 siano difettosi. [1] 1.58; [2] ; [3] ; [4] 0.075; 7 In due punti di un lago si misura l intensità del suono causato da rumore di fondo generale (detto rumore di ambiente ). Siano X, Y le due variabili aleatorie intensità del suono. Supponiamo che la loro legge congiunta sia continua con densità { xye [ 1 2 f X,Y (x, y) = (x2 +y 2 )] se x, y 0 0 altrove Determinare la distribuzione della intensità massima di rumore, Z = max(x, Y ) 8.1

16 [1] (e 1 2 z2 ) 2 ; [2] (1 e z2 ) 2 ; [3] (1 e 1 2 z2 ) 2 ; [4] (1 e 1 2 z ) 2 ; 8 È noto che il 25% degli studenti della nostra Università è iscritto a Giurisprudenza, il 15% frequenta il primo anno e la percentuale di studenti del primo anno iscritti a Giurisprudenza è il 10%. Sapendo che un studente frequenta il primo anno che probabilità p ha di essere iscritto a Giurisprudenza? [1] p = 15/25; [2] p = 15/10; [3] p = 10/25; [4] p = 10/15; 9 La probabilità che il giocatore Aldo colpisca il bersaglio è 1 4 e la probabilità che lo colpisca Bruno è 2 5. Supposto che Aldo e Bruno sparino contemporaneamente contro il bersaglio (supponendo quindi gli eventi indipendenti), qual è la probabiltà che uno solo dei due centri il bersaglio? [1] 55%; [2] 10%; [3] 45%; [4] 20%; 10 Un urna contiene 9 palline rosse e 6 gialle. Una dopo l altra vengono estratte a caso, senza reimmissione, tre palline. Calcolare la probabilità che siano tutte rosse. [1] 14.93%; [2] 18.46%; [3] 21.46%; [4] 60%; 8.2

17 Statistica Matematica Prova scritta del 06/07/05 9 COGNOME: NOME: TEST Scrivere il numero della risposta sopra alla corrispondente domanda. Risposte Domande Le due v.a. X ed Y, indipendenti ed identicamente distribuite, siano uniformi in [0, 1]. Trovare P (cos(πy ) < 1 2 ) [1] 66.7%; [2] 33.3%; [3] 1%; [4] 50%; 2 Lampadine escono per il 60% da una linea di produzione A e per il 40% dalla linea B. Dalla prima linea esce un 2% di difettose, dall altra esce un 3.8% di difettose. Con quale probabilità una lampadina difettosa è uscita dalla linea A? [1] 44.1%; [2] 7.6%; [3] 76.1%; [4] 4.4%; 3 Se la probabilità teorica del sintomo B data la malattia A è il 30%, supponendo che la percentuale della malattia e del sintomo in Emilia sia, rispettivamente, P (A) = 0.15 e P (B) = 0.05, calcolare la probabilità di malattia A dato il sintomo B. [1] 45%; [2] 10%; [3] 70%; [4] 90%; 4 La probabilità che il giocatore Aldo colpisca il bersaglio è 1 4 e la probabilità che lo colpisca Bruno è 2 5. Supposto che Aldo e Bruno sparino contemporaneamente contro il bersaglio (supponendo quindi gli eventi indipendenti), qual è la probabiltà che almeno uno dei due centri il bersaglio? [1] 20%; [2] 55%; [3] 10%; [4] 45%; 5 Un dado viene lanciato 900 volte e indichiamo con X il numero di volte in cui esce il 6. Sappiamo che esiste una partita di dadi truccati che producono il 6 con probabilità 2/9. Per decidere se il dado è di questi ultimi usiamo questa procedura: lo lanciamo 900 volte e decidiamo che è truccato se il 6 esce almeno ( ) 180 volte. Qual è la probabilità che un dado truccato venga effettivamente individuato? [1] 20%; [2] 80%; [3] 1.64%; [4] 95%; 6 Un segnale consiste in una parola di n bit, ciascuno dei quali può assumere i valori 0 oppure 1. Nel corso della trasmissione ogni bit con probabilità p = 0.01 può essere distorto. Qual è la probabilità che un segnale di 1000 bit contenga almeno 10 bit distorti? [1] 56.35%; [2] 76.35%; [3] 50%; [4] 43.65%; 7 Una compagnia aerea ha un aereo di 19 posti ed accetta 21 prenotazioni perchè sa che il 10% dei prenotati non si presenta. Con quale probabilità un passeggero resterà a terra? [1] p 1%; [2] p 3.65%; [3] Non è possibile rispondere a questa domanda; [4] p 36.47%; 8 La stazione Radio Bruco trasmette il segnale orario allo scoccare di ogni ora. L ascoltatore tipo sintonizza il proprio radioricevitore sulla stazione Radio Bruco a un istante uniformemente distribuito tra le ore 7 : 10 e le ore 19 : 30 nella giornata. Calcolare la probabilità che l ascoltatore riceva il segnale orario entro 5 minuti dalla sintonizzazione su Radio Bruco (si adotti il minuto come unità di tempo). 9.1

18 [1] 8.1%; [2] 0.1%; [3] 0.67%; [4] 12%; 9 Una compagnia di assicurazioni ha 3000 assicurati contro un dato rischio che ha probabilità 0.1% di colpire ogni singolo assicurato in un anno. Sapendo che il numero X di indennizzandi in un anno è di Poisson, che la compagnia indennizza ciascuno con Euro, che percepisce da ogni assicurato un premio annuale di 100 Euro, qual è la varianza del beneficio annuale della compagnia? [1] σ 2 = ; [2] σ 2 = ; [3] σ 2 = ; [4] σ 2 = 3; 10 Si consideri la costante k tale che F (x) = { 0 se x 0 k(1 e x ) 2 se x > 0 sia la funzione distribuzione di una variabile aleatoria X; trovare c tale che P (X > c) = 90%. [1] c = 0.38; [2] c = 0.62; [3] c = 0.3; [4] c = 0.83; 9.2

19 Statistica Matematica Prova scritta del 06/07/05 10 COGNOME: NOME: TEST Scrivere il numero della risposta sopra alla corrispondente domanda. Risposte Domande Com è noto, le trasfusioni di sangue sono possibili: dal gruppo O a tutti gruppi; da A ai gruppi A, AB ; da B ai gruppi B, AB; da AB al solo gruppo AB. Supponiamo anche che le frequenze dei gruppi sanguigni siano: P (O) = 52%, P (A) = 32%, P (B) = 10%, P (AB) = 6%. Qual è la probabilità che un individuo, scelto a caso, possa donare sangue a un individuo pure scelto a caso? [1] 34%; [2] 50%; [3] 66%; [4] 23%; 2 Due carte sono estratte senza reimmissione da un mazzo di 40 ben mescolato. Si calcoli la probabilità che esse siano la prima un asso e la seconda nè asso nè fante. [1] p = 3/40; [2] p = 2/5; [3] p = 16/195; [4] p = 8/100; 3 Un test diagnostico di una malattia è corretto nel 98% dei casi. Ripetendo due volte il test sullo stesso soggetto, qual è la probabilità di un doppio errore? [1] 0.04%; [2] 0.4%; [3] 4%; [4] 0.2%; 4 Un principiante di tiro al piattello lo colpisce con probabilità 2/9. Qual è la probabilità che gli occorrano almeno 5 tiri per colpirlo la prima volta? [1] 22.2%; [2] 3.66%; [3] 10.5%; [4] 36.6%; 5 Il numero di particelle α emesse al secondo da una sostanza radioattiva è una v.a. di Poisson con parametro µ = 0.5. Qual è la probabilità di osservare almeno due particelle durante un secondo? [1] 9%; [2] 91%; [3] 39%; [4] 61%; 6 Se la probabilita di avere un figlio maschio e 1 2, per una famiglia con 5 figli, qual è la probabilità di avere almeno un maschio? [1] 10/32; [2] 4/5; [3] 1/2; [4] 31/32; 7 Il punteggio ottenuto dagli studenti alla prova scritta di un esame si può modellizzare come una v.a. normale di media 21 e varianza 8. Qual è la percentuale di studenti che hanno ottenuto un voto fra 16 e 27 (estremi inclusi)? [1] 96%; [2] 6%; [3] 94%; [4] 98%; 8 Il 10% di bulloni prodotti da una certa macchina è difettoso. Trovare la probabilità che, in un campione casuale di 400, al massimo 30 siano difettosi. [1] 0.075; [2] ; [3] 1.58; 10.1

20 [4] ; 9 Una moneta è lanciata 3 volte. Se X è il numero di teste che si verificano nei lanci, e se F indica la funzione distribuzione, quanto vale F (2.9)? [1] 3/8; [2] 1/8; [3] 6/8; [4] 7/8; 10 In due punti di un lago si misura l intensità del suono causato da rumore di fondo generale (detto rumore di ambiente ). Siano X, Y le due variabili aleatorie intensità del suono. Supponiamo che la loro legge congiunta sia continua con densità { xye [ 1 2 f X,Y (x, y) = (x2 +y 2 )] se x, y 0 0 altrove Determinare la distribuzione della intensità massima di rumore, Z = max(x, Y ) [1] (1 e z2 ) 2 ; [2] (e 1 2 z2 ) 2 ; [3] (1 e 1 2 z ) 2 ; [4] (1 e 1 2 z2 ) 2 ; 10.2