STATISTICA ESERCITAZIONE. 1) Specificare la distribuzione di probabilità della variabile e rappresentarla graficamente;

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1 STATISTICA ESERCITAZIONE Dott. Giuseppe Pandolfo 4 Maggio 2015 Esercizio 1 (Uniforme discreta) Si consideri l esperimento lancio di un dado non truccato. Sia X la variabile casuale che assume valore pari alla faccia uscita. 1) Specificare la distribuzione di probabilità della variabile e rappresentarla graficamente; 2) Calcolare valore atteso e varianza usando le definizioni generali; 3) Calcolare valore atteso e varianza usando quanto noto sulla distribuzione uniforme discreta. La variabile casuale X è rappresentata di seguito in forma tabellare e in forma grafica:

2 Il valore atteso è (secondo la definizione generale): La varianza è (secondo la definizione generale): La variabile casuale X è una variabile casuale uniforme discreta: X ~ Ud(6), quindi Esercizio 2 Può capitare che alcuni passeggeri pur avendo acquistato un biglietto aereo decidano di non viaggiare. Una compagnia aerea sa che in media il 15% dei passeggeri non si presenta alla partenza e accetta 18 prenotazioni su 15 posti liberi. Supponendo che i comportamenti dei passeggeri siano indipendenti, qual è la probabilità che almeno uno rimanga a terra? La variabile X assume valore 0 se il passeggero non si presenta, 1 se si presenta. Gli eventi sono 17. Dunque i parametri sono n = 17 e p = 0.88, e cerchiamo la probabilità che variabile Binomiale con questi parametri abbia valori maggiori di 15: 2

3 Esercizio 3 L ufficio reclami di una società di fornitura gas registra una telefonata ogni 4 minuti. a) Qual è il numero medio di chiamate che l ufficio riceverà in un ora? b) Qual è la probabilità di ricevere 3 chiamate in 8 minuti? c) Qual è la probabilità di non ricevere chiamate nell arco di 8 minuti? Il modello probabilistico appropriato è in tal caso il modello di Poisson, infatti la distribuzione di Poisson descrive il numero di successi/eventi in intervalli spaziali/temporali quando gli eventi si verificano indipendentemente l uno dall altro e con uguale probabilità in ogni punto del tempo o dello spazio. Con distribuzione di probabilità: Condizioni: 1. Eventi che si verificano su intervalli disgiunti sono indipendenti; 2. La probabilità che si verifichi un evento in un intervallo piccolo proporzionale alla lunghezza dell intervallo; 3. La probabilità che si verifichi più di un evento in un intervallo piccolo è trascurabile. a) Siccome avremo. Dunque in 60 minuti si avranno in media 15 chiamate. 3

4 b) La probabilità di ricevere 3 chiamate in 8 minuti è data da: è il numero medio di chiamate in 8 minuti (proporzione rispetto all unità temporale iniziale, ovvero 4 minuti) c) La probabilità di non ricevere nessuna telefonata è Esercizio 4 (Convergenza della v.c. Binomiale alla v.c. Normale) Una marca di patatine in busta offre la possibilità di vincere una bicicletta se all'interno di una confezione c'è la scritta "hai vinto". La probabilità di vincere è di 1/10. Calcolare la probabilità di vincere al massimo 120 biciclette su 1000 estratti se si ripristinano sempre le condizioni di partenza. Bisognerebbe usare la v.c. binomiale ma con n = 1000 possiamo sfruttare la convergenza della Binomiale alla Normale. Esercizio 5 Una azienda che produce accumulatori di energia per impianti industriali. Sa che la durata di un accumulatore (in giorni) si distribuisce come una normale con µ = 1400 e σ 2 = Essa risarcisce 3000 euro all acquirente se la durata della macchina è inferiore a Calcolare la probabilità che 4

5 1) in seguito alla vendita di un accumulatori l azienda debba risarcire 3000 euro; 2) su 5 accumulatori venduti l azienda debba risarcire al massimo 3000 euro; 1) La durata in giorni di un accumulatore sia definita X, e allora L azienda risarcisce il compratore solamente se l accumulatore ha durata inferiore a Dunque la probabilità da calcolare è: 2) Dire che su 5 accumulatori venduti l azienda deve risarcire al massimo 3000 euro è equivalente a dire che su 5 accumulatori venduti al massimo uno ha durata inferiore a Pertanto la probabilità richiesta è la probabilità che su 5 accumulatori al massimo uno dura meno di 1200 giorni. Indicando con N la variabile casuale che descrive il numero di accumulatori con durata inferiore a 1200 tra i 5 venduti, si ha N Bin(5, p = 0, 01), dove la probabilità di successo della binomiale p è in questo caso data dalla probabilità che un accumulatore abbia durata inferiore a 1200 giorni (calcolata al punto 1). Quindi 5