Statistica, a.a. 2010/2011 Docente: D. Dabergami Lezione 4

Transcript

1

2 X N(m ; s ) f X x 1 e π σ xμ σ σ 0 m F X x x 1 π σ e tμ σ dt EX μ VarX σ m

3 La distribuzione normale permette di modellizzare moltissimi fenomeni aleatori (ad esempio misure di ogni genere), serve per approssimare altre distribuzioni e consente di utilizzare le tecniche proprie dell inferenza statistica. Un caso notevole di distribuzione normale si ha quando la media è 0 e la varianza 1; in questo caso si parla di distribuzione normale standard: Z N(0 ; 1) f Z 1 z e π z La funzione di ripartizione gaussiana non è esprimibile tramite funzioni elementari; esistono tavole della funzione di ripartizione normale standard, che viene convenzionalmente indicata con la lettera F: z 1 F z e dt π t

4 Proprietà m 3 m0 m s0.5 s1 s Densità normali con varianza 1 Densità normali con media 0 P[m3s<X<m+3s] = m3s m m+3s

5 Proprietà di F(z) F(z) = P[Z z] F(0) = 0.5 z F(z) 1 F(z) 1 F(z) = F(z) - z z

6 Tavola di F(z) F(1.8) =

7 Ogni v.a. normale è standardizzabile: X μ X ~ N ~ σ μ,σ Z N0, 1 Esempio X N(1; 4) X 1 Z ~ N 0, P 0. 5 X P Z F0. 5 F F F

8

9

10 X U(N) 1 f X x N 0 x 1,,,N altrove 1/N 1 3 N-1 N EX N + 1 VarX N 1 1

11 X Be(p) 1 f X x p 0 p x 0 x 1 altrove p 1-p 0 1 X rappresenta l esito di un esperimento aleatorio con due soli esiti possibili, denotati con successo e fallimento ; p è la probabilità di successo. EX p VarX p1 p

12 X Bi(n; p) f X x n p x 0 x 1 p nx x 0, 1,...,n altrove X conta il numero di successi in un processo di Bernoulli, cioè in una sequenza di n prove di Bernoulli indipendenti tra loro, tutte con la stessa probabilità di successo p. EX np VarX np1 p

13 Confronti tra densità binomiali p=0.3 p=0.5 p=0.7 n=10 n=10 n=0 n=30 p=0.5

14 Esempio Un test è costituito da 10 domande a risposta chiusa con 4 possibili risposte, di cui una sola esatta. Si risponde a caso. X = numero risposte esatte X Bi(10; 0.5) a) Qual è la probabilità di sbagliare tutte le risposte? PX b) Qual è la probabilità di rispondere esattamente a 6 domande? PX c) Qual è la probabilità di rispondere esattamente ad almeno 6 domande? k 10k PX k6 k

15 X G(p) f X p1 x 0 p x xn altrove X rappresenta il tempo di attesa del primo successo in una serie di prove di Bernoulli indipendenti, con probabilità di successo p, inteso come numero di prove che precedono il primo successo. p=0.7 p=0.5 p=0.3 1 p 1 p EX VarX p p

16 Proprietà La distribuzione geometrica è caratterizzata dall assenza di memoria : P X n X k PX n k n k Si può definire anche una distribuzione geometrica traslata, che conta il numero di prove fino al primo successo compreso: X G (p) f X' x1 p1 p xn 0 x 0 altrove 1 1 p EX' VarX' p p

17 Esempio Nel test dell esempio precedente, qual è la probabilità che la prima risposta esatta sia la terza? Se le prime tre risposte sono errate, qual è la probabilità che almeno le prime 5 siano errate? Y = numero di risposte che precedono la prima risposta esatta Y G(0.5) P Y Y 3 PY P Y

18 X Po(l) f X x e 0 λ λ x! x xn altrove X è la v.a. che conta il numero di arrivi in un intervallo di ampiezza unitaria, ammesso che siano soddisfatte le seguenti condizioni: l intervallo si può suddividere in tanti sottointervalli tali che: i) P[esattamente un arrivo in un sottointervallo di ampiezza h] = l h + oh ii) iii) P[due o più arrivi in un sottointervallo di ampiezza h] = o(h) gli arrivi in sottointervalli disgiunti sono indipendenti.

19 l=3 l=5 l=10 EX λ VarX λ Proprietà la v.a. che conta il numero di arrivi in un intervallo di ampiezza t ha legge di Poisson di parametro lt. X Po(l 1 ), Y Po(l ), X e Y indipendenti X+Y Po(l 1 +l )

20 Esempio Il numero di malfunzionamenti di un apparecchio di misura dovuti a particelle contaminanti presenti nel prodotto è una v.a. di Poisson con una media di 0.04 malfunzionamenti all ora. a) Qual è la probabilità che lo strumento non subisca guasti in un intervallo di 8 ore? b) Qual è la probabilità che si verifichino almeno 3 malfunzionamenti in 4 ore? X = numero di malfunzionamenti in un ora X Po(0.04) X 8 = numero di malfunzionamenti in otto ore P[X 8 = 0] = e. 0! 0 X Po(0.3) X 4 = numero di malfunzionamenti in 4 ore X Po(0.96) P[X 4 3] = 1- P[X 4 ] = 1 e ! 0 + e ! 1 + e !

21 Processo di Poisson e distribuzione esponenziale Sotto le ipotesi indicate per la distribuzione di Poisson, la famiglia di v.a. {X t } t>0, che rappresentano il numero di arrivi nell intervallo [0;t], si dice processo di Poisson di intensità l: X Po(lt) f X x e 0 λt λt x! x altrove xn In un processo di Poisson di intensità l, il tempo d attesa del primo arrivo, a partire da un qualunque istante iniziale, è una v.a. esponenziale di parametro l: Y = tempo d attesa del primo arrivo 0 t t lt PY t PXt 0 e e 0! P Y t 1 e lt l l Quindi Y exp(l)

22 Esempio Ad un centralino arrivano mediamente 0 chiamate all ora. X t = numero di telefonate in t ore X t Po(0t) E = {in mezz ora arrivano 15 telefonate} PE PX 1 15 e ! F = { in 5 minuti arriva almeno una telefonata} P F P X e ! 1 Y = tempo d attesa (in ore) della prossima telefonata Y exp(0) G = {la prossima telefonata arriva tra almeno 7 minuti} PG P Y e