Nome e cognome:... Matricola...

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1 Nome e cognome: Matricola CALCOLO DELLE PROBABILITA - 0/07/008 CdS in Economia e Finanza - Cds in Informatica - Cds SIGAD Motivare dettagliatamente le risposte su fogli allegati e scrivere le risposte negli appositi spazi. Tempo a disposizione: ore (INF-EF), ore e trenta (SIGAD). Non è consentito l utilizzo di libri o appunti.. Una moneta simmetrica viene lanciata volte. Considerati gli eventi E = nel primo lancio esce Testa, E = nel secondo lancio esce Testa, E = nei due lanci esce sempre Testa oppure sempre Croce, verificare se: (i) E, E, E sono a due a due stocasticamente indipendenti; (ii) E, E, E sono stocasticamente indipendenti. Indipendenti a due a due? Si Indipendenti? Si. Il killer per effettuare un omicidio viene scelto tra Alberto, Bruno e Carlo mediante la seguente procedura: si lancia una moneta simmetrica, se esce testa allora viene scelto Alberto, altrimenti si rilancia di nuovo la moneta; se al secondo lancio esce testa allora viene scelto Bruno, altrimenti viene scelto Carlo. Si considerino gli eventi: A= il killer scelto è Alberto ; B= il killer scelto è Bruno ; C= il killer scelto è Carlo. Calcolare P (A), P (B) e P (C). Dopo l omicidio la polizia viene a conoscenza sia della precedente procedura sia del fatto che Bruno è stato visto altrove il giorno del delitto. Calcolare la probabilità p che il killer scelto sia il Alberto alla luce di tali informazioni. P (A) = P (B) = P (C) = p =. Dati tre eventi A, B, C con C A c B, calcolare i relativi costituenti. Inoltre, verificare la coerenza dell assegnazione di probabilità P (A) =, P (B) = 5, P (C) = 8. Infine, calcolare l intervallo di valori coerenti per P (A B C c ). Cost. = Ass. coerente? Si P (ABCc ) [ ]. 4. EF-SIGAD Sia (X, Y ) un vettore aleatorio con distribuzione uniforme sul cerchio C di centro l origine e raggio r =. Calcolare la densità marginale f X (x) di X e la densità marginale condizionata f Y x (y) per ogni fissato valore di x ], [. Infine, stabilire se X e Y sono stocasticamente indipendenti. X, Y indipendenti? Si 4. INF La lunghezza di una barra è un numero aleatorio X con densità del tipo x, x k + f(x) = k x +, k + < x k + Calcolare la costante k, la funzione di ripartizione di X e la varianza di X. k = F (x) = var(x) =

2 5. SIGAD Dati due numeri aleatori X e Y, indipendenti e con distribuzione normale di parametri µ X =, σ X =, µ Y =, σ Y =, sia Z = X + Y. Determinare: (i) la previsione e la varianza di Z; (ii) la funzione caratteristica di Z; (iii) la probabilità condizionata α = P (Z Z > ). P(Z) = varz = φ Z (t) = α =

3 Soluzione.. Una moneta simmetrica viene lanciata volte. Considerati gli eventi E = nel primo lancio esce Testa, E = nel secondo lancio esce Testa, E = nei due lanci esce sempre Testa oppure sempre Croce, verificare se: (i) E, E, E sono a due a due stocasticamente indipendenti; (ii) E, E, E sono stocasticamente indipendenti. Si ha Indipendenti a due a due? Si Indipendenti? Si P (E ) = P (E ) =, P (E ) = P (E E ) + P (E E c ) = con P (E E ) = 4 = P (E )P (E ); inoltre P (E E ) = P (E E ) = 4 = P (E )P (E ), P (E E ) = P (E E ) = 4 = P (E )P (E ); quindi E, E, E sono a due a due stocasticamente indipendenti. D altro canto, poichè E E E = E E, si ha P (E E E ) = P (E E ) = 4 8 = P (E )P (E )P (E ); pertanto E, E, E non sono stocasticamente indipendenti.. Il killer per effettuare un omicidio viene scelto tra Alberto, Bruno e Carlo mediante la seguente procedura: si lancia una moneta simmetrica, se esce testa allora viene scelto Alberto, altrimenti si rilancia di nuovo la moneta; se al secondo lancio esce testa allora viene scelto Bruno, altrimenti viene scelto Carlo. Si considerino gli eventi: A= il killer scelto è Alberto ; B= il killer scelto è Bruno ; C= il killer scelto è Carlo. Calcolare P (A), P (B) e P (C). Dopo l omicidio la polizia viene a conoscenza sia della precedente procedura sia del fatto che Bruno è stato visto altrove il giorno del delitto. Calcolare la probabilità p che il killer scelto sia il Alberto alla luce di tali informazioni. P (A) = P (B) = 4 P (C) = 4 p = P (A B c ) =. Dati tre eventi A, B, C con C A c B, calcolare i relativi costituenti. Inoltre, verificare la coerenza dell assegnazione di probabilità P (A) =, P (B) = 5, P (C) = 8. Infine, calcolare l intervallo di valori coerenti per P (A B C c ). Cost. = Ass. coerente? Si P (ABCc ) [ ]. I costituenti, come si evince dalla Figura, sono C = ABC c C = AB c C c C = A c BC c C 4 = A c BC C 5 = A c B c C c Consideriamo il seguente sistema (S) nelle incognite x..., x 5 x + x = x = x x (S) + x + x 4 = x = 40 x 5 x 4 = x 4 = 8 8 x x i 0, i = = 0 + x x i 0, i = Il sistema (S) è risolvibile. L insieme delle soluzioni è {(x, x, 40 x, 8, 0 + x ) : x [0, 40 ]}. Pertanto l assegnazione data è coerente e l insieme dei valori di probabilità coerenti per P (ABC c ) è dato dall intervallo [0, 40 ].

4 Ω. A. B C C C. C 4 C C 5 Figura : 4. EF-SIGAD Sia (X, Y ) un vettore aleatorio con distribuzione uniforme sul cerchio C di centro l origine e raggio r =. Calcolare la densità marginale f X (x) di X e la densità marginale condizionata f Y x (y) per ogni fissato valore di x ], [. Infine, stabilire se X e Y sono stocasticamente indipendenti. X, Y indipendenti? Si Il vettore (X, Y ) ha la seguente densità di probabilità { f(x, y) = 4π, x + y 4 Per x / [, ] si ha + f(x, y)dy = + 0dy = 0; per x [, ] si ha + f(x, y)dy = 4 x 4 x 4π dy = 4 x 4π = 4 x ; π pertanto si ha { 4 x π, x [, ]; Procedento in maniera analoga a quanto fatto per f X (x) si ha { 4 y f Y (y) = π, y [, ]; Per ogni fissato valore x ], [ si ottiene { f(x, y), 4 x y [ 4 x, 4 x ]; Ovvero, Y x ha distribuzione uniforme in [ 4 x, 4 x ]. Infine, si verifica facilmente che X, Y non sono stocasticamente indipendenti (ad esempio osservando che f X (0)f Y (0) f(0, 0)). 4. INF La lunghezza di una barra è un numero aleatorio X con densità del tipo x, x k + f(x) = k x +, k + < x k +

5 Calcolare la costante k, la funzione di ripartizione di X e la varianza di X. k = F (x) = var(x) = Osserviamo che il grafico della funzione densità descrive un triangolo di base k + = k ed altezza k, pertanto dovendo essere l area di tale triangolo pari a e f(x) 0 segue che k =. Quindi si ha x, x f(x) = x, < x Per x < si ha F (x) = 0; per x si ha F (x) = x (x ) (t )dt = ; per < x si ha F (x) = + x x ( t)dt =... = + x 7 ; per x > si ha F (x) =. In sintesi si ha F (x) = 0, x < ; (x ), x ; x + x 7, < x ;, x >. Si verifica facilmente che P(X) = e che P(X ) = 5. In conclusione si ha var(x) = 5 4 =. 5. SIGAD Dati due numeri aleatori X e Y, indipendenti e con distribuzione normale di parametri µ X =, σ X =, µ Y =, σ Y =, sia Z = X + Y. Determinare: (i) la previsione e la varianza di Z; (ii) la funzione caratteristica di Z; (iii) la probabilità condizionata α = P (Z Z > ). P(Z) = varz = φ Z (t) = α = Si ha P(Z) = P(X) + P(Y ) = + = 0; var(z) = var(x) + 4var(Y ) + 4cov(X, Y ) = }{{} + 4 =. =0 Inoltre φ Z (t) = φ X (t) φ Y (t) = φ X (t) φ Y (t) = e iµ Xt (σ Xt) e iµ Y t (σ Y t) = = e i( )t ( t) e i( )t ( t) = e it t e it t = e t, t R. Quindi, Z è un numero aleatorio con distribuzione normale standard. Infine, si ha P (Z Z > ) = P ( < Z ) P (Z > ) = Φ() Φ() = 0.84