con distribuzione gaussiana standard e si ponga

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1 Laurea Triennale in Matematica, Università La Sapienza Corso di Probabilità, AA 6/7 Prova di Esonero Maggio 7 Testi e soluzioni degli esercizi proposti Siano Z, Z, Z variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite con distribuzione gaussiana standard e si ponga X Z + Z, Y Z + Z a) Calcolare il valore atteso e la varianza di X, il valore atteso e la varianza di Y ed il coeffi ciente di correlazione ρ(x, Y ) b) Determinare la funzione di densità congiunta della terna (Z, X, Y ) c) Determinare la funzione di densità congiunta della coppia (X, Y ), fornendo la giustificazione per la risposta data d) Determinare, in funzione del valore x, la funzione di densità condizionata f Y (y X x) a) E(X) E(Z + Z ) E(Z ) + E(Z ), E(Y ) E(Z + Z ) E(Z ) + E(Z ) Inoltre, in virtù dell indipendenza stocastica fra le variabili Z, Z, Z V ar(x) V ar(z ) + V ar(z ) + Cov(Z, Z ) V ar(z ) + V ar(z ), V ar(y ) V ar(z ) + V ar(z ) + Cov(Z, Z ) Tenendo poi conto della proprietà di bilinearità della covarianza, Cov(X, Y ) Cov(Z, Z )+Cov(Z, Z )+Cov(Z, Z )+Cov(Z, Z ) Cov(Z, Z ) V ar(z ), da cui ρ(x, Y ) Cov(X, Y ) V ar(x)v ar(y ) c) Essendo Z, Z, Z variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite con distribuzione gaussiana standard, la funzione di densità congiunta f Z,Z,Z è data da ( ) f Z,Z,Z (z, z, z ) exp π zj j

2 La funzione di densità congiunta f Z,X,Y si ottiene, a partire dalla f Z,Z,Z, considerando la trasformazione che esprime le variabili originarie Z, Z, Z in funzione delle nuove variabili Z, X, Y : Z Z Z X Z Z Y Z Tenendo anche conto che il modulo del determinante jacobiano di tale trasformazione è uguale a, possiamo scrivere f Z,X,Y (z, x, y) ( ) { exp ( z + (z x) + (z y) )} π ( ) { exp ( z + (z x) + (z y) )} π ( ) { exp ( z + x + y (x + y) z )} π c) Possiamo aspettarci che la distribuzione congiunta della coppia (X, Y ) sia una gaussiana bidimensionale Infatti, la funzione di densità f Z,Z,Z può essere vista come una speciale distribuzione gaussiana in tre dimensioni; e siccome la terna (Z, X, Y ) si ottiene da (Z, Z, Z ) attraverso una trasformazione lineare invertibile, anche la distribuzione congiunta di (Z, X, Y ) risulta essere una distribuzione gaussiana in tre dimensioni Si può concludere che la distribuzione congiunta di (X, Y ) sia una gaussiana bidimensionale in quanto, appunto, marginale bidimensionale di una distribuzione gaussiana in tre dimensioni Ma possiamo comunque dimostrare ciò direttamente calcolando la marginale della densità f Z,X,Y ottenuta nel precedente punto b) A partire dal punto a) sappiamo che, se f X,Y è gaussiana, allora essa deve risultare della specifica forma { ( f X,Y (x, y) exp x π 4 ( 4 ) + y x y ) } 4 { π exp ( x + y x y )} Conviene quindi fattorizzare f Z,X,Y nella forma f Z,X,Y (z, x, y) { π exp ( x + y (x + y) )} { exp π Dal momento che il termine { exp ( z x + y ) } π ( z x + y ) }

3 risulta ( proprio coincidere con una funzione di densità gaussiana unidimensionale N x+y, ) possiamo concludere scrivendo, per fissati x, y R f X,Y (x, y) { π exp ( x + y (x + y) )} + f Z,X,Y (z, x, y)dz { π exp ( x + y (x + y) )} { exp ( z x + y ) } dz π d) Siano, in generale, X, Y due variabili aleatorie con distribuzione congiunta gaussiana bidimensionale N ( µ X, µ Y ; σx, σ Y ; ρ) Sappiamo che la distribuzione condizionata di Y dato (X x) è una gaussiana N ( ( β(x), σ ) Y ρ ) ), dove Nel presente caso, abbiamo dunque β(x) : µ Y + ρ σ Y σ X (x µ X ) β(x), ( σ Y ρ ), f Y (y X x) exp{ ( y x ) } π Al medesimo risultato si può giungere anche applicando la definizione di densità condizionata e calcolando f Y (y X x) f X,Y (x, y) f X (x) Consideriamo, questa volta, variabili aleatorie indipendenti Z, Z,, Z 6, con distribuzione gaussiana standard, e poniamo Y Z + Z, Y Z + Z 4, Y Z 5 + Z 6 a) Determinare la funzione di sopravvivenza congiunta della terna (Y, Y, Y ) b) Calcolare la probabilità c) Calcolare la probabilità P (min(y, Y, Y ) > ) P (min(y, Y ) < Y )

4 a) Essendo, per j,, 6, Z j distribuita secondo una gaussiana standard, la distribuzione di probabilità di Z coincide con una gamma di parametri α, β, G(, ) Essendo inoltre le Z j variabili aleatorie indipendenti, si ha che anche Y, Y, Y sono fra loro indipendenti e ciascuna di esse segue una distribuzione G(, ) In altre parole parole Y, Y, Y sono variabili iid esponenziali, di parametro µ La funzione di sopravvivenza congiunta risulta data, per y >, y >, y >, da F Y,Y,Y (y, y, y ) exp{ (y + y + y )} b) P (min(y, Y, Y ) > ) P(Y >, Y >, Y > ) [P(Y > )] exp{ } c) Ancora in virtù dell indipendenza stocastica fra Y, Y, Y, la distribuzione di probabilità di min(y, Y ) è esponenziale di parametro Infatti, per y >, P (min(y, Y ) > y) P (Y > y, Y > y) [P (Y > y)] exp{ y} D altra parte Y segue la distribuzione esponenziale di parametro 4 Inoltre min(y, Y ) e Y sono stocasticamente indipendenti Consideriamo ora, più in generale, due variabili aleatorie indipendenti U, V distribuite esponenzialmente con parametri µ U e µ V, rispettivamente Risulta [ ] P (U < V ) f(u, v)dv du [ µ U exp{ µ U u} µ V exp{ µ V v}dv u u ] du µ U µ U exp{ µ U u} [exp{ µ V vu}] du µ U + µ V Tornando al nostro caso abbiamo quindi P (min(y, Y ) < Y )

5 Sia {N t } t un processo di Poisson di intensità µ e sia t > s > a) Determinare le varianze delle variabili aleatorie N t, N t+s N s ed il coefficiente di correlazione ρ(n t, N t+s N s ) b) Determinare la distribuzione congiunta della coppia (N t, N t+s N s ) Sappiamo che una variabile aleatoria con distribuzione di Poisson di parametro λ ammette una varianza uguale a λ Sappiamo inoltre che, in un processo di Poisson di intensità µ, il numero di arrivi in un intervallo di ampiezza r segue una distribuzione di Poisson di parametro λ r µ Dati due intervalli di tempo disgiunti I e J, il numero di arrivi in I ed il numero di arrivi in J sono variabili aleatorie indipendenti Per risolvere l esercizio conviene riportarsi a considerare le variabili aleatorie N s, N t+s N t ed Y : N t N s, che risultano stocasticamente indipendenti in quanto rispettivamente contano il numero di arrivi nei tre intervalli disgiunti [, s], (s, t], (t, t + s] a) V ar(n t ) µt, V ar(n t+s N s ) µt Cov(N t, N t+s N s ) Cov(N s + Y, Y + (N t+s N t )) Quindi V ar(y ) µ (t s) ρ(n t, N t+s N s ) Cov(N t, N t+s N s ) µ (t s) s V ar(nt )V ar(n t+s N s ) µt t b) Possiamo scrivere, per h,,, k,,, P (N t h, N t+s N s k) l l P (Y l, N t h, N t+s N s k) P (N s h l, Y l, N t+s N t k l) l exp{ µs} (µs) h l (h l)! exp{ µ(t s)} [µ(t s)]l l! exp{ µs} (µs)k l (k l)! exp{ µ(s + t)} (µs) h+k l µ l s l (t s) l l! (h l)! (k l)! 5