Esame di Teoria dei Segnali A Ing. Informatica, Elettronica e Telecomunicazioni. 12 luglio 2004

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1 Esame di Teoria dei Segnali A Ing. Informatica, Elettronica e Telecomunicazioni luglio 4 Esercizio Un sacchetto A contiene caramelle ai gusti fragola, limone e lampone. Un sacchetto B contiene caramelle ai gusti fragola e limone. Si trasferisce, senza guardare, una caramella dal sacchetto A al sacchetto B e poi due caremelle dal sacchetto B al sacchetto A. Associando i tre gusti (fragola, limone e lampone) ai tre numeri interi, e, rispettivamente, determinare la funzione massa di probabilità della variabile casuale X definita come gusto delle caramelle nel sacchetto A. Soluzione All inizio le due scatole A e B contengono le seguenti caramelle: A : Fr, Li, La () B : Fr, Li. () Consideriamo adesso l albero delle scelte relativo alla distribuzione delle caramelle nelle due scatole a seguito del trasferimento a caso di una caramella dal sacchetto A al sacchetto B, e di due caramelle dal sacchetto B al sacchetto A intuitivamente, si può già capire che in ogni configurazione finale nella scatola A ci saranno almeno una fragola ed un limone. Tale albero delle scelte è mostrato in Figura. In particolare: A: Fr,Li,La (B: Fr,Li) A: Fr,Li (B: Fr,Li,La) A: Fr,La (B: Fr,Li,Li) A: Fr,Li,Fr,Li A: Fr,Li,Fr,La A: Fr,Li,Li,La A: Fr,La,Fr,Li A: Fr,La,Fr,Li A: Li,La (B: Fr,Fr,Li) A: Fr,La,Li,Li A: Li,La,Fr,Fr A: Li,La,Fr,Li A: Li,La,Fr,Li Figure : Albero delle scelte relativo alle decisioni nell esercizio. i rami della prima sezione sono tutti associati ad una probabilità di salto di / (siccome corrispondono all estrazione a caso di una pallina da una scatola con palline); i rami della seconda sezione sono associati ad una probabilità di salto di //( ) (siccome ci sono ( un gruppo di tre). ) modi di estrarre due palline a caso da

2 Quindi ogni configurazione finale (ogni foglia ) nell albero delle scelte indicato in Figura ha probabilità 9. Contando quante sono le configurazioni di uno stesso tipo (è immediato notare che ci sono tipi possibil, siccome l ordine non conta), si ottiene: P {Fr, Fr, Li, La} 4 9 P {C } () P {Fr, Li, Li, La} 4 9 P {C } (4) P {Fr, Fr, Li, Li} 9 P {C }. (5) A questo punto, sappiamo che nella scatola A si possono avere, alla fine, le tre configurazioni C, C e C indicate sopra. La variabile casuale X assume valori (corrispondente a fragola), (corrispondente a limone) e (corrispondente a lampone). La funzione massa di probabilità della variabile casuale X si ottiene calcolando la probabilità di estrarre un particolare frutto dalla scatola A alla fine dei due cambiamenti. In altre parole: p{x } P {estraggo una fragola da A}. (6) Applicando il teorema della probabilità totale (condizionando sui tre eventi C, C e C ), si ottiene: P {X } P {X C }P {C } + P {X C }P {C } +P {X C }P {C } P {Fr Fr, Fr, Li, La}P{Fr, Fr, Li, La} +P {Fr Fr, Li, Li, La}P{Fr, Li, Li, La} +P {Fr Fr, Li, Fr, Li}P{Fr, Li, Fr, Li} (7) Per motivi di simmetria, è immediato concludere che e quindi P {X } P {Li} P{X } 7 8 P {X } P {X } P {X } 4 8. (9) (8) Esercizio Nel piano (x, y) è assegnato un dominio triangolare D, come indicato in in Figura. Si consideri una coppia di variabili aleatorie X e Y con densità di probabilità congiunta costante sul dominio D e nulla altrove.

3 . Determinare le funzioni densità di probabilità marginali f X (x) ed f Y (y), e la funzione densità di probabilità condizionata f Y X (y x).. Detta Z la variabile aleatoria Z X + Y, determinare la funzione densità di probabilità di Z. (Suggerimento: una possibile soluzione si basa sull utilizzo di un risultato ottenuto al punto precendente.) Figure : Dominio D della funzione densità di probabilità congiunta delle due variabili aleatorie X e Y nell esercizio. Soluzione Secondo il problema, la funzione densità di probabilità (pdf) congiunta delle due variabili aleatorie X e Y si può scrivere come segue: f XY (x, y) Area(D) (x, y) D altrove { < x <, x + < y < (). Calcoliamo prima le pdf marginali. Per quanto riguarda X, si può scrivere: f X (x) f XY (x, y)dy { x+ dy < x < { x < x < ()

4 Essendo il dominio D simmetrico rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, si può concludere che f Y (y) f X (y), cioè: f Y (y) { y < y < () A questo punto è possibile determinare l espressione della pdf condizionata f Y X (y x). Notiamo che questa è definita per x (, ). Assumendo che x sia in tale intervallo, si può scrivere: f Y X (y x) f XY (x, y) f X (x) { x + < y < x (). Si vuole calcolare la pdf di Z X + Y. Cerchiamo di calcolare prima la funzione distribuzione di probabilità (CDF) e poi la pdf. Notiamo preliminarmente che Z (, ). Quindi, possiamo già concludere che F Z (z) se z < (4) F Z (z) se z >. (5) Applicando il teorema della probabilità in forma continua, si ottiene: F Z (z) P {X + Y Z} P {X + Y z X x}f X (x)dx P {Y z x X x}xdx z x x f Y X (y x)dy dx. (6) } {{ } g z(x) A questo punto, dobbiamo investigare in maggior dettaglio l espressione dell integrale interno, definito come g z (x). La pdf condizionata f Y X (y x) è non nulla nell intervallo ( x +, ), e si sta integrando da a z x. A seconda del valore di z x (rispetto agli estremi dell intervallo ( x +, )) si hanno quindi varie possibilità per gli estremi di integrazione. In particolare, vediamo in che casi z x si sovrappone agli estremi dell intervallo ( x +, ): z x x + z z x z x +. 4

5 Si ottiene quindi: g z (x) z < z x x+ x dy z >, z < x + x+ x dy z >, z > x + z < z z >, x > z x z >, x < z. (7) A questo punto, tenendo conto di quanto notato inizialmente in (5), si può scrivere: g z (x)xdx z < F Z (z) z > z < z xdx + z z x xdx < z < z > z < (z ( ) ) z < z < z >. La pdf di Z ha quindi la seguente espressione: (8) f Z (z) df Z(z) dz z < z < z < z >. (9) Esercizio Sia X una variabile aleatoria uniformemente distribuita in (-,) e sia data la 5

6 seguente funzione: g(x) x x < x < x x >.. Calcolare valor medio e varianza della variabile aleatoria g(x).. Determinare la funzione densità di probabilità della variabile aleatoria g(x) e disegnarne il grafico. Soluzione Per costruzione, si ha che: f X (x) < x < 4 Nel seguito, per comodità definiamo Y g(x).. Applicando il teorema fondamentale, si ha: E[Y ] E[g(X)] 4 4 g(x)f X (x)dx g(x)dx ( ) x + x + x () 8. () Siccome σy E[Y ] E [Y ], calcoliamo il valore quadratico medio di Y applicando il teorema fondamentale: E[Y ] E[g (X)] La varianza di Y è quindi: 4 4 g (x)f X (x)dx g (x)dx ( ) x + x + x 7. () σ Y () 6

7 .5 g(x).5 y x Figure : Funzione di trasformazione g(x) nell esercizio.. La funzione di trasformazione g(x) è rappresentata in Figura. Ci sono tre tratti costanti (orizzontali), quindi nella pdf di Y ci potrebbero essere tre delta di Dirac, centrate in -, e. Calcoliamo i pesi di tali delta : P {Y } P {X < } P { < X < } 4 P {Y } P { < X < } 4 (4) (5) P {Y } P {X > } P { < X < } 4. (6) A questo punto, rimane da analizzare l intervallo y (, ). In questo caso, essendo g(x) non costante, è possibile applicare il teorema fondamentale. L equazione y g(x) ha un unica soluzione x y, quindi: f Y (y) f X(x ) g (x ) f X(y) 4 y (, ). (7) Per concludere, la pdf di Y si può scrivere in modo compatto come segue: f Y (y) [u(y + ) u(y) + δ(y + ) + δ(y) + δ(y )]. (8) 4 Il grafico della pdf di Y è mostrato in Figura 4. Esercizio 4 La vostra ditta ha venduto una partita di schede video e, dopo un anno, Si noti che siccome X è continua, gli uguali non contano 7

8 .4 f Y (y) y Figure 4: Pdf di Y nell esercizio. offre la riparazione gratuita delle schede guaste. Se il tempo di guasto di ogni scheda è una variabile aleatoria esponenziale con valor medio 5 anni, qual è la probabilità che il riparatore debba intervenire su due o più schede? Soluzione La probabilità richiesta dal problema si può riscrivere come segue: P I P {intervento su due o più schede} P {due o più schede si sono rotte in un anno} P {al più una scheda si è rotta in un anno} P {nessuna scheda rotta} P {una scheda rotta}. Definiamo la variabile aleatoria X come numero di schede rotte in un anno. Si tratta di una variabile binomiale con n e con probabilità di successo p definita come segue: p P {una lampadina si rompe entro un anno}. () Essendo il tempo di vita T di una lampadina una variabile aleatoria esponenziale con tempo di vita medio 5 anni, la sua pdf ha la seguente espressione: f T (t) ( 5 exp t ) u(t). () 5 La probabilità di successo si può quindi scrivere come segue: ( p P {T } exp ).8. () 5 (9) 8

9 La probabilità cercata si può quindi scrivere come segue: P I P {X } P {X } ( ) ( n n p ( p) n ) p( p) n (.8) (.8) (.8) 9.9. () Come si vede, la probabilità che ci siano almeno due schede da riparare è piuttosto alta. 9