Soluzioni di Esercizi di Esame di Segnali Aleatori per Telecomunicazioni

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1 Corso di Laurea in Ingegneria Informatica corso di Telecomunicazioni (Prof. G. Giunta) (editing a cura dell ing. F. Benedetto) Soluzioni di Esercizi di Esame di Segnali Aleatori per Telecomunicazioni Esame del 7 Aprile 003 Esercizio Si consideri un collegamento dati (modem) a 64 kbit/sec. Determinare il tempo necessario a trasmettere 30 fotografie a colori, digitalizzate e quantizzate con 8 bit/pixel per la componente di luminanza (livelli di grigio) e 4 bit/pixel per ciascuna delle due componenti di colore (crominanza) di dimensione CIF (35x88 pixels), nel caso in cui si utilizzi una codifica naturale senza compressione (es. BMP o TIFF non codificato). Ogni fotografia risulta composta da un numero di pixel pari a 35x pixel. Ogni foto viene poi digitalizzata e quantizzata con un numero totale di bit/pixel pari a 8 per la luminanza e 4+4 per le componenti di colore, per un totale di 16 bit/pixel. Il numero totale di bit per ogni foto è quindi pari a 16* bit. Per 30 foto il conto totale in bit risulta pari a 16016* bit (più di 6MB di informazione). Poichè non è richiesta alcuna compressione, questo risulterà essere il numero di bit da trasportare sul canale di comunicazione tramite il modem a 64 kbit/sec, ovvero ogni secondo transiteranno nel canale bit. Il tempo necessario a tramettere bit risulta quindi essere pari a: / secondi, ovvero 1.76 minuti. 1

2 Esame del 16 Luglio 003 Esercizio Si considerino due canali di telecomunicazione identici ed indipendenti, entrambi con capacità di canale C [bit/s] e probabilità di errore sul bit pari a B (B<<1). Determinare: a) la capacità di canale e la probabilità di errore sul collegamento ottenuto disponendo in serie i canali prima descritti; b) qualora i canali fossero stati invece disposti in parallelo, la capacità di canale sarebbe minore, maggiore o uguale rispetto a quella di ciascuno dei due canali? Il collegamento di due canali in serie equivale al seguente schema: Canale 1 Canale Come è immediato capire dallo schema, la capacità di canale risulta la stessa del singolo canale e quindi pari a C. La probabilità d errore invece aumenta, poichè il medesimo bit prima di essere ricevuto dovrà attraversare entrambi i canali. Essendo questi ultimi indipendenti, la probabilità di errore sul bit per il collegamento in serie risulterà essere pari a B (B+B). Possiamo quindi concludere che il collegamento peggiora, aumentando la prob. di errore sul bit. Il collegamento di due canali in serie equivale al seguente schema: Canale 1 Canale Questa volta la capacità del collegamento in parallelo risulta essere il doppio di quella del singolo canale e pari quindi a C. La probabilità d errore sul bit è invece esattamente la stessa del singolo canale e pari a B. Un collegamento di questo tipo è senz altro da preferire al precedente potendo disporre di un raddoppio della capacità di canale mantenendo contemporaneamente al minimo la prob. d errore sul bit.

3 Esame del Settembre 003 Esercizio Un segnale televisivo anaico standard (PAL) transita attraverso un sistema di conversione anaico/digitale (campionatore + quantizzatore a livelli). Determinare l occupazione di memoria (in bits) di uno stream delle durata di un minuto memorizzato senza compressione dei dati. La banda occupata dal segnale televisivo considerato risulta B 6MHz. Di conseguenza, secondo il teorema del campionamento, per evitare il fenomeno dell aliasing ovvero sovrapposizione delle repliche dello spettro del segnale, sceglieremo una frequenza di campionamento almeno pari al doppio della banda occupata, ovvero f c 1MHz. Inoltre, il quantizzatore a livelli corrisponde all utilizzo di un numero di bit pari a 16 essendo (65536) 16. Si ottiene quindi un bit-rate R al secondo pari a: R f c 16 19Mbit / s In un minuto sono contenuti 60 secondi, quindi l occupazione di memoria richiesta per uno stream non compresso della durata di un minuto risulta pari a: X R 60 s 1150Mbit 1440MByte 1. 44GByte 3

4 Esame del 16 Luglio 004 Esercizio Siano P A 0.05, P B 0.1, P C 0.3, P D 0.55, le probabilità dei quattro valori {A,B,C,D} ammissibili per una sorgente di informazione da codificare. Determinare: a) L entropia della sorgente. b) L efficienza della codifica naturale che richiede due bit per codificare il messaggio. L entropia della sorgente può calcolarsi tramite la formula: H P k P k dove k 1,,3,4 e P k è il valore di probabilità associato ad ogni singolo evento. Ricordando la formula per il cambio di base di un aritmo: a a, si ottiene facilmente: k H ( 0.05) 0.1 ( 0.1) 0.3 ( 0.3) 0.55 ( 0.55) 0.05 ed essendo: ( 0.05) ( 0.05) ( ) ( 0.1) ( ) ( 0.3) ( ) ( 0.55) ( ) ( 0.1) ( 0.3) ( 0.55) si otterrà, per l entropia della sorgente, il valore seguente: ( 0.05) 0.1 ( 0.1) 0.3 ( 0.3) 0.55 ( 0.55) H bit Per quanto riguarda l efficienza della codifica naturale che richiede bit per codificare il messaggio, essa è definita come: η L min L med, ovvero rapporto tra la lunghezza minima e quella media delle parole di codice. Essendo quello in oggetto un codice binario, la lunghezza minima è proprio pari all entropia della sorgente H, mentre la lunghezza media è esprimibile come: L n D, essendo D il numero di simboli della sorgente. Concludendo si ha: med bit η H n bit % 4

5 Esame del 16 Luglio 004 Esercizio 1 Si considerino le variabili aleatorie x e y ottenute dalle seguenti trasformazioni: x 1 + u y b + x b u ove b e una variabile aleatoria binomiale (valori possibili {1,-1}) con probabilità p(b1)0.5, p(b-1)0.5, u è una variabile aleatoria, uniformemente distribuita nell intervallo [-4,4], essendo b ed u statisticamente indipendenti tra loro. Determinare: a) il grafico della densità di probabilità di x. b) il valore atteso, la varianza ed il valore quadratico medio della variabile aleatoria x. c) il valore atteso della variabile aleatoria y. d) il grafico della densità di probabilità di y. Grafichiamo immediatamente la densità di probabilità della variabile aleatoria 1+u e poi calcoliamo da questa il grafico di x. Poichè la variabile aleatoria è definita come il modulo di (1+u) il grafico della sua densità di probabilità è banalmente ottenibile dal grafico di destra. Infatti consideriamo la variabile aleatoria (1+u) come se fosse ottenuta tramite un generatore di numeri casuali, uniformemente distribuiti all interno dell intervallo [- 3, 5]. Ogni volta che viene sorteggiato un numero negativo, ovvero compreso nell intervallo [-3, 0], l operazione di modulo lo trasforma in un numero positivo compreso nell intervallo [0, 3]. Tale informazione va ad aggiungersi a quella già prsente dando così origine ad una variabile aleatoria con distribuzione rappresentata nel grafico sottostante. In particolare, ad ogni rettangolo costituente la P x (x) sono associati dei valori di probabilità tale che la loro somma sia sempre pari a 1. Più precisamente, con che probabilità il nostro generatore di numeri random estrarrà un numero negativo? Con probabilità pari alla larghezza dell intervallo per l altezza della d.d.p., ovvero 1/8* L altro valore di probabilità è facilmente ottenibile come 1-0, Come 1/8 P 1+u (1+u) P x (x) 1/ /8 5

6 facciamo a determinare l altezza del rettangolo della P x (x) compreso fra 0 e 3? Essa deve essere tale che l area complessiva della d.d.p. sia comunque unitaria, per definizione. Per calcolare ora i momenti della variabile aleatoria x possiamo pensare la P x (x) costituita da due rect, una alta 1/4 e larga 3, l altra alta 1/8 e larga (da 3 a 5). Possiamo calcolare i momenti delle singole rect, moltiplicarli per il valore di probabilità ad essi associato, rispettivamente e 0.65, ed infine sommare per ottenere i valori cercati. E[x] * (1.5) * (.5).15 E[x ] * (9/3) * (5/3) σ x E[x ] (E[x]) Passiamo ora alla terza domanda. Il valore atteso della variabile aleatoria y si otterrà come semplice somma del valore atteso di x e quello di b, ovvero: E[y] E[x] + E[b] Essendo ovviamente b una variabile aleatoria binomiale a valor atteso nullo. A quest punto diventa banale disegnare il grafico della densità di y. Dovremo dapprima fare la convoluzione tra la densità di x e quella di b ottenendo ancora la densità di x centrata in e Successivamente potremo fare il grafico finale sommando le porzioni delle figure che si sovrappongono. P y (y)

7 Esame del 8 Settembre 004 Esercizio 1 Si considerino le variabili aleatorie x e y ottenute dalle seguenti trasformazioni: x u + w - 11 y b x b [u + w - 11] ove b è una variabile aleatoria binomiale (valori possibili: {-1, 1}) con probabilità p(b1)0.4, p(b-1)0.6, mentre u e w sono due variabili aleatorie uniformemente distribuite nell intervallo [-3,3] essendo b, u e w statisticamente indipendenti tra loro. Determinare: a) in grafico p x (x) della densità di probabilità di x; b) il valore atteso, la varianza ed il valore quadratico medio della variabile x; c) il grafico p y (y) della densita di probabilita di x; d) il valore atteso della variabile aleatoria y. Grafichiamo la densità di probabilità delle due variabili aleatorie u e w e calcoliamone momenti, per semplicità essendo u e w per definizione identiche grafichiamo e calcoliamo i momenti solamenti di P u (u), come segue: E[u] 0 E[u ] var[u] 3 1/6 P u (u) -3 3 La densità di probabilità della variabile x sarà semplicemente la convoluzione tra la densità di u e di w (ovvero una tri di base doppia rispetto alla rect e centrata nell origine) traslata poi del fattore -11: E[x] E[u] + E[u] E[x ] E[(u + w - 11) ] 17 1/6 P x (x) var[x] E[x ] - (E[x])

8 Calcoliamo ora il valore atteso della variabile aleatoria y. Esso sarà pari al prodotto tra il valor atteso di x e quello di b. Per completezza calcoliamo tutti i momenti del primo e secondo ordine della variabile aleatoria b, come segue: E[b] E[b ] var[b] E[b ] - (E[b]) 0.96 Quindi il valor atteso di y sarà semplicemente pari a : E[y] E[x] E[b]. Possiamo calcolarci anche gli altri momenti, ottenendo: E[y ] E[(x b) ] E[x ] E[b ] 17 var[y] E[y ] - (E[y]) 1.16 Il grafico seguirà banalmente, per concludere: 1/15 P y (y) 1/ Da notare le due altezze differenti delle due tri, dovute ai due diversi valori di probabilità associati ai due eventi della variabile aleatoria binomiale. Tale situazione ovviamente sposta il valor medio della y verso la tri più alta (E[y].). Se le due tri fossero state alte uguali, ovvero se gli eventi associati alla variabile aleatoria binomiale fossero stati equiprobabili, il valor atteso della variabile y sarebbe risultato pari a 0. 8