CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE. Y(f) Y(f-15) Y(f+15) f[hz] Yc(f) Y(f) Y(f-17.5) Y(f+17.5) Yc(f) Esercizio 1

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1 CAMPIONAMENTO E RICOSTRUZIONE Esercizio 1 Dato il segnale y(t), con trasformata di Fourier Y(f) rappresentata in figura, rappresentare lo spettro del segnale ottenuto campionando idealmente y(t) con a) fc=1 campioni/s; b) fc=17. campioni/s; c) fc=22 campioni/s. Determinare l intervallo delle frequenze di aliasing nei tre casi a), b), c). Nel caso a) determinare l andamento del segnale campionato idealmente nel tempo yc(t). 2 Y(f) 1 Soluzione: a) Y(f+1) Y(f) Y(f-1) 30 b) Y(f+17.) Y(f) Y(f-17.)

2 c) Y(f+22) Y(f) Y(f-22) L intervallo delle frequenze di aliasing si estende a) tra e Hz; b) tra 7. e Hz; c) non ci sono frequenze di aliasing. Nel caso a), basta antitrasformare la funzione costante, per ottenere yc(t)= Fourier -1 ( )=30 δ(t).

3 Esercizio 2 Dato il risultato dell esercizio precedente, determinare nei tre casi a), b), c), lo spettro Yr(f) del segnale all uscita di un filtro di ricostruzione ideale, con risposta in frequenza H(f) con frequenza di taglio fp=fc/2. In quale dei tre casi si ricostruisce perfettamente il segnale continuo originario y(t) e perche. Soluzione a) 30 H(f) (ampiezza unitaria) Yr(f) 7. b) H(f) Yr(f) 8.7 c) H(f) -22 Yr(f) Il segnale yr(t), all uscita del filtro di ricostruzione ideale, viene ricostruito con la stessa forma del segnale continuo originario y(t) solo nel caso c), corrispondente ad un campionamento che soddisfa il criterio di Nyquist fc>2b, dove B=Hz e la banda del segnale originario.

4 Esercizio 3 Dato ancora il segnale y(t), di cui si conosce la forma dello spettro Y(f) come specificata negli esercizi precedenti, determinare la frequenza di campionamento fc minima, affinche il segnale yc(t), ottenuto campionando idealmente y(t), possa essere ricostruito con un filtro passabasso reale con banda di transizione uguale a 1Hz. Soluzione H(f) fc(minima)=2(+0.)= 21 [Hz] Esercizio 4 È dato un segnale x(t) la cui trasformata di Fourier X(f) ha solo parte reale avente il seguente andamento: Re{X(f)} f [Hz] Rappresentare graficamente la trasformata di Fourier dei seguenti segnali: a) x 1 (t) ottenuto campionando x(t) alla frequenza di campionamento f c =2Hz [2 punti] b) x 2 (t) ottenuto campionando x(t) alla frequenza di campionamento f c =20Hz [2 punti] c) x 3 (t) ottenuto campionando x(t) alla frequenza di campionamento f c =1Hz [2 punti] Esercizio Dato il segnale x( t) = cos(2πf 0t) cos(8πf 0t), qual e il massimo intervallo di campionamento T che permette di ricostruire perfettamente x(t) dalla sua versione campionata x(nt)? Se si campiona x(t) con frequenza di campionamento f s =3f 0, si trovi l espressione del segnale ricostruito. SOLUZIONE Il massimo intervallo di campionamento equivale all inverso della minima frequenza di campionamento necessaria per garantire che sul segnale campionato non si verifichi il fenomeno della sovrapposizione spettrale. Poiche la massima frequenza, presente nello spettro del segnale da campionare e 4f 0 [Hz], si ricava f s 1 f [ Hz] T [] s >. 8 f < s 0 Fissata la frequenza di campionamento f s =3f 0, che non soddisfa il teorema del campionamento, si avra sovrapposizione spettrale nel segnale campionato. In particolare, a causa della sovrapposizione spettrale, il risultato della ripetizione, con passo 3f 0, dello spettro del segnale continuo, costituito da quattro impulsi (due con ampiezza positiva centrati nelle freqeunze +/-f 0 e due con ampiezza negativa, ma stesso modulo, centrati nelle frequenze +/-4f 0 ) e uno spettro nullo. Il segnale in uscita al filtro di ricostruzione e x r (t)=0.

5 Esercizio s( t) = 3cos(2π 200t) 3cos(2π 800t) + cos(2π 00t) Il segnale s(t) viene campionato a f c =00 Hz e poi ricostruito con un filtro di ricostruzione passabasso (ideale) con freq. di taglio pari alla frequenza di Nyquist (f c /2=20Hz) ed ampiezza T=1/f c. Scrivere l'espressione del segnale ricostruito. L operazione di campionamento produce una periodicizzazione (con periodo f c ) dello spettro del segnale analogico di partenza. Occorre quindi identificare, le repliche spettrali che cadono nella banda del filtro di ricostruzione. Si ponga s(t) = s in (t)= s 1in (t)+s 2in (t)+ s 3in (t) s 1in (t)=3cos(2π200t) rimane inalterato dopo campionamento e ricostruzione poiche ha frequenza minore del Nyquist (le repliche spettrali cadono fuori dalla banda del filtro di ricostruzione). s 1out (t)=3cos(2π200t) s 2in (t)= 3cos(2π800t) ha trasformata S 2in (f)= [3/2 δ(f-800) +3/2 δ(f+800)] Il campionamento produce copie di questi due impulsi con periodo f c S 2camp (f)= -1/T Σ k [3/2 δ(f-800+k f c ) +3/2 δ(f+800+k f c )] con k intero. Nella banda del filtro di ricostruzione (il fattore 1/T si compensa col fattore T del filtro) ho S 2out (f)= [3/2 δ(f-200) +3/2 δ(f+200)] che equivale a s 2out (t)= 3cos(2π200t) s 3in (t)= cos(2π00t) ha trasformata S 3in (f)= /2 δ(f-00) +/2 δ(f+00) Il campionamento produce copie di questi due impulsi con periodo f c S 3camp (f)= 1/T Σ k [/2 δ(f-00+k f c ) +/2 δ(f+00+k f c )] con k intero. Nella banda del filtro di ricostruzione (il fattore 1/T si compensa col fattore T del filtro) ho S 3out (f)= /2 δ(f) +/2 δ(f) che equivale alla costante s 3out (t)= In conclusione s out (t)= s 1out (t)+s 2out (t)+s 3out (t)= 3cos(2π200t) 3cos(2π200t)+=

6 Esercizio s ( t) = 3sin(2π t) 3sin(2π 800t) + sin(2π00t + π / 4) Il segnale s(t) viene campionato a f c =00 Hz e poi ricostruito con un filtro di ricostruzione passabasso (ideale) con freq. di taglio pari alla frequenza di Nyquist (f c /2=20Hz) ed ampiezza T=1/f c. Scrivere l'espressione del segnale ricostruito. L operazione di campionamento produce una periodicizzazione (con periodo f c ) dello spettro del segnale analogico di partenza. Occorre quindi identificare, le repliche spettrali che cadono nella banda del filtro di ricostruzione. Si ponga s(t) = s in (t)= s 1in (t)+s 2in (t)+ s 3in (t) s 1in (t)=3sin(2πt) rimane inalterato dopo campionamento e ricostruzione poiche ha frequenza minore del Nyquist (le repliche spettrali cadono fuori dalla banda del filtro di ricostruzione). s 1out (t)=3sin(2πt) s 2in (t)= 3sin(2π800t) ha trasformata S 2in (f)= [3/2j δ(f-800) 3/2j δ(f+800)] Il campionamento produce copie di questi due impulsi con periodo f c S 2camp (f)= 1/T Σ k [3/2j δ(f-800+k f c ) 3/2j δ(f+800+k f c )] con k intero. Nella banda del filtro di ricostruzione (il fattore 1/T si compensa col fattore T del filtro) ho S 2out (f)= [ 3/2j δ(f-200) +3/2j δ(f+200)] = [3/2j δ(f-200) 3/2j δ(f+200)] che equivale a s 2out (t)= +3sin(2π200t) Attenzione, e cambiata la frequenza ed anche il segno! s 3in (t)= sin(2π00t+π/4) = /(2j) exp[j(2π00t+π/4)] /(2j) exp[-j(2π00t+π/4)]= =/(2j) exp[jπ/4] exp[j(2π00t)] /(2j) exp[-jπ/4] exp[-j(2π00t)]= ha trasformata S 3in (f)= /2j exp[jπ/4] δ(f-00) -/2j exp[-jπ/4] δ(f+00) Il campionamento produce copie di questi due impulsi con periodo f c S 3camp (f)= 1/T Σ k [/2j exp[jπ/4] δ(f-00+k f c ) -/2j exp[-jπ/4] δ(f+00+k f c )] con k intero. Nella banda del filtro di ricostruzione (il fattore 1/T si compensa col fattore T del filtro) ho S 3out (f)= /2j exp[jπ/4] δ(f) -/2j exp[-jπ/4] δ(f) = 0 che equivale a s 3out (t)= sin(0+π/4) In conclusione s out (t)= s 1out (t)+s 2out (t)+s 3out (t)= 3sin(2πt) +3sin(2π200t) + sin(π/4)

7 FILTRAGGIO DI PROCESSI CASUALI Esercizio 1 È dato il seguente sistema lineare: x(t) Ritardo 2T 0 +1 G(f) y(t) Ritardo T 0 +1 dove G(f)=rect(f/B). Assumendo che il segnale in ingresso x(t) sia un rumore bianco con densità spettrale di potenza S x (f)=n w/hz: a) Calcolare H(f) = Y(f)/X(f). b) Calcolare la densità spettrale di potenza del segnale y(t) c) Calcolare la funzione di autocorrelazione del segnale y(t) (si ricordi che cos 2 α = ½(1+cos2α)) d) Calcolare la potenza del segnale y(t) per B=1/T. Esercizio 2 È dato il seguente sistema lineare: x(t) Ritardo 2T 0 +1/2 y(t) Ritardo T 0 +1/2 con T 0 costante. a) Calcolare la funzione di trasferimento H(f) = Y(f)/X(f). b) Calcolare modulo e fase di H(f) per f=1/t 0 ed f=1/(2t 0 ). c) Determinare l epressione del segnale in uscita y(t) quando x(t) = A 1 cos(2πt/t0) + A 2 cos(πt/t0). Esercizio 3 Dato un sistema lineare con risposta all impulso h(t) = exp(-π(t-t) 2 ) al cui ingresso è applicato un segnale casuale con densità spettrale di potenza costante pari a S x (f) = N [V 2 /Hz], calcolare: a) la densità spettrale di potenza S y (f) del segnale in uscita y(t). b) La funzione di autocorrelazione R y (t) del segnale in uscita y(t). c) La potenza P del segnale in uscita y(t). Esercizio 4 Un rumore n(t) gaussiano, bianco (a valor medio nullo) con densita spettrale di potenza Sn(f)=No/2, viene filtrato con f f risposta in frequenza H (f ) = 1 rect e l uscita w(t) viene campionata in un istante generico t=t. 2 4 Determinare la densita di probabilita del campione di rumore w=w(t), e la probabilita che w>3no.

8 PCM Esercizio 1 Si vuole trasmettere in formato binario una sequenza di immagini in bianco e nero al ritmo di 20 immagini al secondo. Se la dimensione di ogni immagini e 720 x 76 pixel, e ogni pixel e rappresentato con 26 livelli di grigio, determinare il ritmo di trasmissione del flusso binario Rb. Soluzione I 26 livelli di grigio per pixel vengono codificati con log 2 26=8 [bit/pixel]. Rb=720 x76 [pixel/immagine] x 8[bit/pixel] x 20 [immagini/s]= [bit/s]. Esercizio 2 Dato un segnale campionato v(nt) con distribuzione della ampiezze costante nell intervallo [0,1], il segnale viene quantizzato (in maniera uniforme) e codificato in binario. Determinare il numero minimo di bit necessari per rappresentare ogni livello affinche il rapporto tra la potenza del segnale e la potenza del rumore di quantizzazione sia maggiore di 0dB. Soluzione Il numero di livelli di quantizzazione M=2 N. La potenza di segnale Ps vale Ps=1/3 (vedi calcolo del valore quadratico medio di una variabile distribuita uniformemente in un certo intervallo). La potenza di rumore P Q =Δ 2 /12, con Δ=1/M P Q =1/12M 2. Il rapporto segnale rumore SNR=Ps/ P Q =4M 2 SNR(dB)=log(2 2N+2 )>0 20log(2)+Nlog(4)>0 N=16.