Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A Alberto Perotti, Roberto Garello

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1 Corso di Laurea a Distanza in Ingegneria Elettrica Corso di Comunicazioni Elettriche Processi casuali A.A Alberto Perotti, Roberto Garello DELEN-DAUIN Processi casuali Sono modelli probabilistici di insiemi di forme d onda. La notazione è analoga a quella usata per i segnali: Un processo casuale può essere interpretato come un insieme di variabili casuali indicizzate dal parametro temporale t, oppure una funzione di variabile reale t (tempo), dove il valore assunto in ogni istante c(t 0 ) è in realtà una variabile casuale, chiamata variabile casuale puntuale del processo. Una specifica realizzazione è indicata con la seguente notazione: 2 1

2 Processi casuali (cont.) Esempio: segnale rettangolare dove c( t) = αp ( t) α è una VC binaria: α {1, -1} la funzione p T (t) è la porta di durata T e ampiezza 1. Le due possibili realizzazioni di questo processo sono c (0) (1) ( t) = p ( t) c ( t) = p ( t) T T T 3 Processi casuali (cont.) Esempio: il segnale per la trasmissione di dati binari dove le α i sono VC binarie in {1, -1} la funzione p T (t) è la porta di durata T e ampiezza 1. Una possibile realizzazione è 4 2

3 Processi casuali (cont.) Esempio: il rumore termico La tensione a vuoto misurata ai capi di un insieme di resistori in presenza di rumore termico è un processo casuale. Tale processo è il modello che viene comunemente usato per descrivere il rumore termico 5 Distribuzione cumulativa e densità di probabilità Fissato un istante di tempo t, si ottiene la variabile casuale puntuale C(t). Si definisce la funzione distribuzione cumulativa come e la funzione densità di probabilità (ddp) come la sua derivata 6 3

4 Valor medio, valor quadratico medio, varianza A partire dalla densità di probabilità appena definita, in modo analogo alle VC, si ottengono Il valor medio Il valor quadratico medio La varianza 7 Momento congiunto del secondo ordine Date due variabili casuali puntuali C(t 1 ) e C(t 2 ), si definisce il momento congiunto del secondo ordine come 8 4

5 Processi casuali stazionari Un processo casuale è stazionario del primo ordine se la ddp del primo ordine della VC puntuale C(t) non dipende dall istante t, cioè se quindi il valor medio m C (t) è costante, indipendente dal tempo. 9 Processi casuali stazionari (cont.) Analogamente, un processo si dice stazionario del secondo ordine se la ddp del secondo ordine della VC puntuale C(t) non dipende dall istante t, cioè se cioè la ddp dipende solo dalla differenza t 1 t 2. In questo caso, anche il momento congiunto M C (t 1, t 2 ) dipende solo da t 1 t 2. Se la stazionarietà del processo è verificata per ogni ordine, allora si dice che il processo è stazionario in senso stretto. 10 5

6 Processi casuali stazionari (cont.) Un processo casuale si dice ciclostazionario se le ddp di ogni ordine della variabile casuale puntuale C(t) dipendono dall istante temporale t, ma sono periodiche di periodo T. Ad esempio, per la ddp del primo ordine vale la seguente relazione: e quindi Per la ddp del secondo ordine: 11 Medie temporali Si tratta di medie calcolate su una singola realizzazione del processo c ( j ) (t). Valor medio temporale Per una generica funzione f, si definisce il valor medio 12 6

7 Autocorrelazione e potenza La funzione di autocorrelazione di un processo casuale è definita come La potenza è definita come 13 Stazionarietà in senso lato Un processo casuale è stazionario in senso lato (Wide Sense Stationary, WSS) se è stazionario per la media e per la varianza, cioè se 14 7

8 Ergodicità L ergodicità riguarda le relazioni tra le proprietà statistiche d insieme di un processo casuale e le proprietà determinabili da una singola realizzazione. Un processo casuale è ergodico se, per ogni funzione f, la media temporale calcolata su qualsiasi realizzazione coincide con la media statistica calcolata in qualsiasi istante: 15 Ergodicità (cont.) È possibile quindi ignorare la dipendenza sia dal tempo che dalla specifica realizzazione: Quindi: Tutte le realizzazioni hanno le stesse proprietà Tutte le VC puntuali hanno le stesse proprietà Le proprietà statistiche e le proprietà temporali coincidono 16 8

9 Ergodicità (cont.) - media La media di un processo casuale ergodico vale Quindi, ignorando la dipendenza sia dal tempo che dalla specifica realizzazione: 17 Ergodicità (cont.) - autocorrelazione La funzione di autocorrelazione di un processo casuale ergodico vale Quindi, ignorando la dipendenza sia dal tempo che dalla specifica realizzazione: 18 9

10 Ergodicità (cont.) - potenza Di conseguenza, la potenza di un processo casuale ergodico vale Quindi la potenza è la stessa per ogni realizzazione e coincide con il valor quadratico medio di una VC estratta in qualsiasi istante. 19 Densità spettrale di potenza di un processo casuale La densità spettrale di potenza di un processo casuale è definita come la trasformata di Fourier dell autocorrelazione: Proprietà: Reale e pari G c ( f ) >=

11 Densità spettrale di potenza di un processo casuale (cont.) Antitrasformando lo spettro di potenza, si ottiene la funzione di autocorrelazione: La potenza del processo può allora essere espressa come 21 Processi casuali ergodici e sistemi lineari Se un processo casuale c(t) avente spettro di potenza G c ( f ) è inviato in ingresso ad un sistema lineare tempoinvariante avente funzione di trasferimento H( f ), per il processo y(t) d uscita valgono le seguenti relazioni: 22 11

12 Il rumore Gaussiano bianco Un processo casuale stazionario n(t) si dice Gaussiano bianco se G n ( f ) = N 0 /2 per ogni f R (da questa proprietà deriva la definizione di rumore bianco) Per ogni t R, n(t) è una VC Gaussiana a valor medio nullo e varianza N 0 /2. Antitrasformando G n ( f ), si deduce che R n (t) = N 0 /2 δ (t). Osservazione: la potenza media, calcolata come integrale di G n ( f ), è infinita. Tuttavia, il modello viene usato in molti casi pratici in cui il rumore ha G n ( f ) costante per ampi intervalli di frequenza. 23 Il rumore Gaussiano bianco filtrato Si consideri un processo casuale n(t) Gaussiano filtrato da un sistema LTI con H( f ) = 1 in [-B, B], dove B è la banda del filtro, e nulla altrove. Il segnale ottenuto n (t) ha densità spettrale di potenza quindi la potenza media di n vale 24 12

13 Esercizio 0 È dato un processo casuale costituito da un impulso p T (t) rettangolare di durata T e di ampiezza unitaria moltiplicato per una VC α {0, 1}. Sia P{α = 1} = P{α = 0} = ½. c( t) = αp ( t) Determinare la media d insieme del processo. T 25 Esercizio 0 - soluzione Le due realizzazioni del processo possono essere rappresentate nel seguente modo: 1 c (0) (t) c (1) (t) T t t 26 13

14 Esercizio 0 - soluzione Negli intervalli di tempo (-, 0) e (T, ) entrambe le realizzazioni valgono 0, quindi in tali intervalli la VC puntuale assume il solo valore 0 e la sua media vale 0. In [0, T] la VC puntuale assume i valori 0 e 1 con probabilità ½, quindi la sua media vale ½ In conclusione, la media d insieme m c (t) vale ½ in [0, T] e 0 altrove. m c (t) ½ T t 27 Esercizio 1 È dato un processo casuale costituito dalla successione di impulsi p k (t) di durata α k e ampiezza unitaria dove p k (t) = 1 per t [0, α k ]. Le VC α k sono statisticamente indipendenti e identicamente distribuite (iid), con densità di probabilità uniforme in [0, T]. Determinare la media d insieme del processo

15 Esercizio 1 - soluzione Una possibile realizzazione è la seguente 1 x (0) (t) T T 2T t Τ+α 1 α 0 Τ+α 1 2Τ+α 2 29 Esercizio 1 - soluzione Operiamo la sostituzione t = kt + t, con t [0, T]. Si ottiene espressione che vale in t [kt, (k + 1)T]. In generale: 30 15

16 Esercizio 2 Si vuole trasmettere una sequenza di simboli binari α i per mezzo dello schema riportato: x(t) t k = T + 2kT η k R > n(t) s(t) 1 T 2T t 31 Esercizio 2 (cont.) Inoltre Le VC α i {-1, 1} sono iid, con densità di probabilità uniforme n(t) è un rumore Gaussiano con densità spettrale di potenza Calcolare la probabilità di errore del sistema 32 16

17 Esercizio 2 (cont.) La VC η k vale η k = α k + n k dove n k = n(t + 2kT). La probabilità di errore può essere calcolata come 33 Esercizio 2 (cont.) Si ottiene 1 1 Pe = P{ nk < 1} + P{ nk 2 2 > 1} dove n k = n(t + 2kT) è una VC Gaussiana con media nulla e varianza (=potenza media) che deve essere calcolata usando G n ( f )

18 Esercizio 2 (cont.) Dall espressione di S n ( f ) si ottiene da cui si ottiene: Si procede in modo analogo per α k = Esercizio 3 Sia x(t) un processo casuale stazionario con densità di probabilità del primo ordine uniforme in [-A, A]. Sia inoltre y(t) un segnale determinato: Si consideri il processo casuale z(t) = x(t) y(t). Spiegare perché z(t) non è un processo stazionario

19 Riferimenti bibliografici [1] G. Prati, Videocorso Teoria dei Segnali [2] R. Gaudino, Appunti sulle esercitazioni relative alla Teoria dei Segnali, Comunicaz_elettr_richiami.pdf [3] S. Benedetto, E. Biglieri, Teoria della Probabilità e Variabili Casuali, Bollati Boringhieri, Torino, 1988 [4] L. Lo Presti, F. Neri, Introduzione ai Processi Casuali, CLUT, Torino,

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