Analisi statistica delle funzioni di produzione

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Evangelina Nicolosi
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1 Analisi statistica delle funzioni di produzione Matteo Pelagatti marzo 28 Indice La funzione di produzione di Cobb-Douglas 2 2 Analisi empirica della funzione di produzione aggregata 3 Sommario Con la presente breve dispensa si introduce lo studente all analisi empirica delle funzioni di produzione. I prerequisiti per la comprensione del contenuto di questa dispensa sono nozioni elementari di regressione lineare sotto le ipotesi classiche, regressione lineare con errori autocorrelati, regressione lineare di serie storiche integrate. Lo studente sprovvisto di tali nozioni può recuperarle attraverso la breve dispensa dal titolo La regressione lineare applicata a dati economici disponibile sul sito e-learning di questo corso.

I prerequisiti per la comprensione del contenuto di questa dispensa sono nozioni elementari di regressione lineare sotto le ipotesi classiche, regressione lineare con errori

2 La funzione di produzione di Cobb-Douglas Il fine dell analisi delle funzioni di produzione è quello di esprimere il valore aggiunto (Y ) di un paese o di un settore di attività economica o di una singola impresa in funzione dei suoi input produttivi principale: il lavoro (L) e il capitale (K). La forma di tale funzione comunemente usata è quella di Cobb-Douglas Y = al α K β. Pur non essendo essa l unica funzione proposta in letteratura per lo studio della relazione tra input produttivi e output (la CES = constant elasticity of substitution e le funzioni translogaritmiche ne sono esempi), la Cobb-Douglas riveste un ruolo particolarmente importante per via delle sue proprietà, che ora andiamo ad esaminare.. È omogenea di grado α+β, cioè se se entrambi i fattori vengono moltiplicati per una costante reale positiva k, allora la produzione Y viene moltiplicata a sua volta per k α+β. Pertanto, a seconda che il valore assunto da α+β sia minore, uguale o maggiore di, si parla di economia di scala, rispettivamente, decrescenti, costanti o crescenti. 2. I parametri α e β rappresentano, rispettivamente, le elasticità della produzione rispetto al lavoro e al capitale. Infatti, e(l) = Y L L Y = aαlα K β e(k) = Y K K Y = aβlα K β 3. Quando α + β =, la funzione assume la forma da cui Y = al β K β, ( ) Y K β L = a, L L al α K β = α K al α K β = β che mette in relazione la produttività del lavoro Y/L con l intensità del capitale K/L. Dato che per le funzioni omogenee di grado vale f(x, y) = f x(x, y) x + f y(x, y) y (dove f x indica a derivata parziale di f rispetto a x), si ha Y = L Y L + K Y K. Si ricordi che in concorrenza perfetta le produttività marginali eguagliano i prezzi dei fattori. Le elasticità si riducono a e(l) = β e(k) = β. 2

Pur non essendo essa l unica funzione proposta in letteratura per lo studio della relazione tra input produttivi e output (la CES = constant elasticity of substitution e le funzioni translogaritmiche

3 4. Può essere linearizzata prendendo il logaritmo delle quantità coinvolte: ln Y = ln a + α ln L + β ln K. () 5. Prendendo la versione linearizzata della Cobb-Douglas, si nota che cambiamenti di scala delle quantità coinvolte non hanno effetti su α e β, ma solo sulla costante a, infatti riscalando le quantità si ha e risolvendo per ln Y otteniamo ln(y s Y ) = ln a + α ln(ls L ) + β ln(ks K ) ln(y ) = ln(aαs L βs K /s Y ) + α ln(l) + β ln(k), che, se si esclude la costante, è identica a quella originale. Un punto debole della specificazione vista è che non tiene conto del progresso tecnologico. Infatti, con l accumularsi delle conoscenze e delle tecnologie la produttività dei fattori tende ad aumentare. Si può modificare la Cobb-Douglas inserendo una crescita esponenziale Y = al α K β e µt, con t tempo (per es. anno) e µ tasso di crescita di Y (per unità temporale t) dovuto esclusivamente alla tecnologia. Ovviamente il metodo è criticabile, dato che la tecnologia spesso agisce sul mix lavoro-capitale utilizzato per la produzione, ma in prima approssimazione e per periodi di tempo non troppo lunghi, può essere ritenuto soddisfacente. Prendendo i logaritmi la funzione diventa che è ancora lineare nei parametri. ln Y = ln a + α ln L + β ln K + µt. (2) 2 Analisi empirica della funzione di produzione aggregata Si vuole stimare la funzione di Cobb-Douglas per i dati di valore aggiunto aggregati (tot_va), le unità di lavoro a tempo pieno equivalenti (tot_l) e lo stock di capitale netto totale (tot_k). Le serie storiche annuali per il periodo sono mostrate in Figura. Si vuole stimare su tali dati l equazione (). Gli errori di stima e il relativo correlogramma sono mostrati in Figura 2. Formalmente, il test di Engle-Granger non permette di rifiutare l ipotesi nulla che gli errori siano integrati e quindi le tre serie non cointegrate, tuttavia la bassa potenza del test dovuta a serie storiche di 27 osservazioni e l andamento degli errori che rispecchia l andamento del ciclo economico italiano, ci autorizza a pensare che tali errori possano considerarsi stazionari. 3

si ha e risolvendo per ln Y otteniamo ln(y s Y ) = ln a + α ln(ls L ) + β ln(ks K ) ln(y ) = ln(aαs L βs K /s Y ) + α ln(l) + β ln(k), che, se si esclude la costante, è identica a quella originale.

4 9 8 tot_va tot_l tot_k Figura : Serie storiche del valore aggiunto, delle unità di lavoro e dello stock di capitale netto. Gli errori sono autocorrelati e un modello regressivo con errori autoregressivi di ordine 2 y t = β + β x,t β k x k,t + η t η t = φ η t + φ 2 η t 2 + ε t sembra essere quello che funziona meglio: il criterio d informazione di Schwarz è BIC = 32 per la regressione con errori incorrelati, BIC = 52 per il modello con errori AR() e BIC = 62 per la regressione con errori AR(2), mentre se proviamo a stimare un modello con errori AR(3) il criterio sale a BIC = 59. L output della stima per tale modello è mostrato in Tabella..4 Residui della regressione (= log_tot_va osservata - stimata) ACF dei residui +-.96/T^ Residuo PACF dei residui /T^.5 Figura 2: Errori di regressione stimati per la funzione di Cobb-Douglas. 4

.. + β k x k,t + η t η t = φ η t + φ 2 η t 2 + ε t sembra essere quello che funziona meglio: il criterio d informazione di Schwarz è BIC = 32 per la regressione con errori incorrelati, BIC = 52 per

5 Stime ARMAX usando le 27 osservazioni Variabile dipendente: log_tot_va Variabile Coefficiente Errore Std. statistica t p-value const φ φ log_tot_l log_tot_k Media della variabile dipendente D.S. della variabile dipendente Media delle innovazioni Varianza delle innovazioni e-5 Log-verosimiglianza Criterio di informazione di Akaike 7.25 Criterio bayesiano di Schwarz Criterio di Hannan-Quinn Tabella : Output della regressione per la funzione Cobb-Douglas con errori AR(2). Il coefficiente relativo al lavoro risulta non significativo, tuttavia la scarsa numerosità campionaria e, quindi, la bassa potenza del test e il significato economico del modello portano a non escludere dall equazione il lavoro. Il correlogramma, Figura 3, indica l incorrelazione degli errori (Q() =.7 con p-value.99). La somma α + β è pari a. e corrisponde a una situazione di economie di scala crescenti, benché la variabilità delle stime non porti ad escludere che α + β possa essere pari a. L aggiunta del trend µt non porta alcun miglioramento del modello (BIC = 6) e il coefficiente ˆµ è addirittura negativo sebbene molto vicino a zero ˆµ =.7. ACF dei residui /T^ PACF dei residui /T^ Figura 3: Autocorrelogramma delle innovazioni della regressione con errori AR(2). 5

25334e-5 Log-verosimiglianza 9.274 Criterio di informazione di Akaike 7.25 Criterio bayesiano di Schwarz 62.48 Criterio di Hannan-Quinn 67.

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