Elaborazione dei dati su PC Regressione Multipla

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1 21 Elaborazione dei dati su PC Regressione Multipla Analizza Regressione Statistiche Grafici Metodo di selezione Analisi dei dati 21.1 Introduzione 21.2 Regressione lineare multipla con SPSS 21.3 Regressione lineare multipla con EXCEL 21.4 Selezione del modello di regressione con SPSS e EXCEL 21.1 Introduzione Nel capitolo 18 si è visto come ottenere la stima del modello di regressione lineare semplice mediante l uso dei software SPSS ed EXCEL. In questo capitolo verranno mostrate, molto schematicamente, le procedure che consentono di estendere le tecniche viste in precedenza al caso della regressione lineare multipla. Anche in questo caso il software SPSS contempla un vasto insieme di procedure e opzioni riguardanti la stima dei parametri, la verifica d ipotesi, la selezione del modello, la verifica delle assunzioni del modello e della multicollinearità. Con EXCEL, attraverso lo strumento Analisi dei dati, si può applicare con semplicità e qualche limitazione la regressione lineare multipla. Nell illustrare le procedure di stima per intervallo e verifica d ipotesi sui parametri del modello di regressione, utilizzeremo il file di dati Demo (.sav o.xls a seconda del formato) che contiene i dati di un sondaggio fittizio realizzato su un campione di 6400 persone con informazioni di base di tipo demografico (Età, Sesso, Stato Civile, Istruzione, ecc.) economico e di possesso (possesso di TV, Fax, Stereo, Cellulare, PC, ecc.) Regressione lineare multipla con SPSS Come abbiamo già visto nel capitolo 18, per stimare con SPSS un modello di regressione lineare, è sufficiente aprire il menu Analizza, quindi selezionare il sotto-menu Regressione e poi scegliere Lineare. La finestra corrispondente alla procedura di regressione lineare, mostrata nella Figura , richiede di selezionare dall insieme delle variabili del data-set, la variabile dipendente e le variabili indipendenti. Nel nostro esempio consideriamo la variabile Reddito famigliare dipendere dall Età, dal Grado di istruzione, dal Numero di componenti del nucleo famigliare, dal Numero di anni di permanenza nell impiego attuale. I tasti posizionati in basso (Statistiche, Grafici e Salva) permettono di scegliere le statistiche e i grafici da presentare nell output, oltre a definire le variabili da salvare sul foglio dei dati. In particolare: premendo il tasto Statistiche si apre un apposita finestra (si veda la Figura ) dalla quale è possibile selezionare i risultati (sui coefficienti di regressione, sull adattamento del modello e sull analisi dei residui) da visualizzare nell output. Nel nostro esempio si richiede di visualizzare le stime dei parametri del modello, gli Cap. 21-1

2 intervalli di confidenza, l adattamento del modello ai dati, le statistiche descrittive, gli indici per verificare la presenza di multicollinearità e le diagnostiche per individuare valori anomali (in questo esempio viene considerato anomalo un valore del residuo che eccede di 3 volte la deviazioni standard ). Figura Finestra della procedura Regressione Lineare e Finestra delle Statistiche Premendo il tasto Grafici si accede a una finestra che gestisce i grafici per la verifica delle ipotesi di Normalità dei residui, della linearità della funzione di regressione e della omoschedasticità. Inoltre, i grafici permettono di evidenziare la presenza di valori anomali o estremi (si veda la Figura in cui si richiede il grafico di dispersione tra i residui standardizzati, ZRESID, e i valori standardizzati delle stime della variabile dipendente, ZPRED). Premendo il tasto Salva si ha la possibilità di salvare sul foglio di Editor dei dati alcune variabili utilizzate per l analisi della regressione lineare (si veda Figura , in cui si richiede di salvare i valori previsti della variabile dipendente, gli intervalli di confidenza al 95% del valore atteso e del valore previsto e i coefficienti di regressione). Figura Finestra Grafici e Salva ESEMPIO Regressione lineare multipla con SPSS Consideriamo il file di dati Demo e analizziamo il modello di regressione lineare multipla che pone il Reddito famigliare come variabile dipendente e l Età, il Grado di istruzione, il Numero di componenti del nucleo famigliare, il Numero di anni di permanenza nell impiego attuale come variabili esplicative. Selezionando le variabili del modello e le statistiche da visualizzare sull output come mostrato in Figura , si ottengono le tabelle sotto riportate di Figura Cap. 21-2

3 Nelle prime due tabelle sono riportate alcune statistiche descrittive per ogni variabile considerata e la loro correlazione lineare. Si può notare come le variabili abbiano una diversa scala di misurazione e come a due a due siano relativamente poco correlate. Statistiche descrittive Reddito in migliaia Grado di istruzione Anni di permanenza nell'impiego attuale Membri del nucleo Media Deviazione std N Correlazione di Pearson Reddito in migliaia Grado di istruzione Anni di permanenza nell'impiego attuale Membri del nucleo Correlazioni Reddito in migliaia Grado di istruzione Anni di permanenza nell'impiego attuale Membri del nucleo Riepilogo del modello Modello 1 R-quadrato Errore std. R R-quadrato corretto della stima Modello 1 Regressione Totale ANOVA Somma dei Media dei quadrati df quadrati F Sig Coefficienti Modello 1 (Costante) Grado di istruzione Anni di permanenza nell'impiego attuale Membri del nucleo Coefficienti non standardizzati Coefficienti standardizzati B Errore std. Beta t Sig Cap. 21-3

4 Modello 1 (Costante) Grado di istruzione Membri del nucleo Anni di permanenza nell'impiego attuale Coefficienti a Intervallo di confidenza per B al 95% a. Variabile dipendente: Reddito in migliaia Statistiche di collinearità Limite Limite inferiore superiore Tolleranza VIF Valore atteso Valore atteso std. std. Statistiche dei residui a Deviazione Minimo Massimo Media std. N a. Variabile dipendente: Reddito in migliaia Numero di caso Diagnostiche per casi a Reddito in std. migliaia a. Il numero di casi è stato ridotto per esigenze di spazio Grafico a dispersione Regressione standardizzato Variabile dipendente: Reddito in migl Regressione Valore previsto standardizzato Figura Output della Regressione Lineare multipla: Stime Nelle successive quattro tabelle sono mostrati: la bontà di adattamento del modello, la tavola ANOVA, i valori delle stime dei parametri con la verifica d ipotesi, gli intervalli di confidenza al 95% e l indice di multicollinearità VIF. La bontà di adattamento del modello non risulta molto elevata (spiega circa il 39% della variabilità totale), tuttavia, nel suo insieme il modello risulta significativo come si può vedere nella tavola ANOVA dal valore di significatività corrispondente alla statistica F. Cap. 21-4

5 Le singole stime puntuali dei coefficienti di regressione risultano tutte significativamente diverse da zero per un α = 0, 05. Dalla colonna dei coefficienti standardizzati si può osservare come gli anni di permanenza nel lavoro attuale abbiano un maggior peso sulla variazione del Reddito rispetto alle altre variabili esplicative. Il modello lineare stimato è dato da: Ŷ = 19, , 661 X1 + 5, 337 X2 + 1, 077 X3 10, 247 X4. Nella tabella dei coefficienti sono presenti anche i corrispondenti intervalli di confidenza al livello del 95% e nell ultima colonna i valori dell indice VIF. Quest ultimo non è particolarmente elevato e non supera mai il valore di 2. Dalla tabella delle statistiche dei residui e in particolare dal valore minimo e massimo dei residui standardizzati si evince la presenza di residui il cui valore assoluto è molto elevato. La tabella delle diagnostiche dei casi presenta i valori ritenuti anomali (per motivi di spazio non sono stati inclusi tutti i casi anomali). Il grafico finale mette in relazione i valori previsti standardizzati con i corrispondenti residui standardizzati. La forma a imbuto della nuvola di punti suggerisce di verificare l ipotesi di omoschedasticità ed eventualmente di utilizzare un altro metodo di stima (ad esempio, il metodo dei minimi quadrati ponderati) Regressione lineare multipla con EXCEL Lo strumento Analisi Dati di EXCEL consente di stimare i parametri del modello di regressione lineare sia semplice sia multiplo. Partendo dal menu principale si seleziona la voce Regressione, da cui si passa alla finestra mostrata in Figura In questa finestra si devono indicare le aree del foglio in cui sono presenti i dati di input corrispondenti alla variabile dipendente e a quelle indipendenti (quest ultime devono essere disposte sul foglio in ordine consecutivo, da sinistra a destra, ed è possibile immettere fino a un massimo di 16 variabili). Si deve specificare, inoltre, se calcolare gli intervalli di confidenza per i coefficienti del modello (indicando anche il livello di confidenza) e la tipologia dei residui da analizzare. Figura Finestra Regressione L output di riepilogo, mostrato nella Figura , presenta il valore degli indici di bontà di adattamento, l analisi della varianza, la stima dei parametri del modello e l analisi dei residui. In particolare, nella tabella in cui sono riportate le stime dei parametri del modello sono presenti anche i corrispondenti test (valore della statistica test e del p-value associato) e intervalli di confidenza. Cap. 21-5

6 ESEMPIO Regressione lineare multipla con EXCEL Consideriamo il file di dati Demo già utilizzato nel precedente esempio. Selezionando le variabili del modello e le statistiche da visualizzare sull output come mostrato in Figura , si ottengono le tabelle sotto riportate di Figura Figura Output della Regressione Il foglio di Figura riporta anche il valore previsto e il residuo per ogni unità statistica e i quattro grafici di dispersione corrispondenti alla relazione tra i residui e le singole variabili esplicative (Figura ). Ciò permette di individuare eventuali valori anomali o deviazioni dalle ipotesi fatte riguardo la distribuzione dei residui. Figura Grafici dei residui Cap. 21-6

7 Un grafico dei residui simile a quello mostrato con l SPSS (Fig ) si può ottenere da EXCEL utilizzando la procedura Grafico del menu principale, quindi selezionando il sotto-menu Tipo di grafico e quindi Dispers. (XY). Come dati di input del grafico si indicherà come Y la colonna del foglio che contiene i residui standardizzati e come X la colonna che contiene i valori previsti del Reddito. Da questa procedura si ottiene il grafico di Figura Figura Grafico dei residui 21.4 Selezione del modello di regressione con SPSS e EXCEL In SPSS la selezione del modello può essere effettuata seguendo diverse tecniche automatiche. In particolare, nella finestra della regressione lineare è presente il campo Metodo (Fig ) che consente di specificare come devono essere inserite nell'analisi le variabili indipendenti. Figura Finestra della regressione lineare Cap. 21-7

8 Utilizzando uno dei diversi metodi, è possibile creare molteplici modelli di regressione dallo stesso insieme di variabili. Per inserire tutte le variabili esplicative selezionate (blocco di variabili), in un solo passaggio, selezionare Per blocchi. Per eliminare tutte le variabili in un solo passaggio, selezionare Rimozione. La selezione della variabili mediante l'opzione Avanti permette di inserire le variabili del blocco una alla volta in base ai criteri di inserimento. L'eliminazione delle variabili mediante l'opzione Indietro inserisce tutte le variabili del blocco in un solo passaggio e quindi le elimina una alla volta in base ai criteri di eliminazione. L'inserimento e l'eliminazione di variabili mediante l'opzione Per passi esamina le variabili del blocco ad ogni passaggio per il relativo inserimento o eliminazione. Quando si specifica il metodo di selezione delle variabili, In avanti, Indietro o Per passi, le variabili possono essere inserite o eliminate dal modello in base a un livello prestabilito di significatività (probabilità) del valore della statistica test F. I valori di soglia che definiscono i criteri di selezione possono essere fissati dalla finestra delle Opzioni della regressione (Figura ). Figura Finestra delle Opzioni ESEMPIO selezione del modello di regressione in SPSS Richiamando il dataset Demo inseriamo, oltre alle variabili esplicative già utilizzate nell Esempio , anche le variabili Possesso di Telefono cellulare, di linee multiple, di TV, di Videoregistratore, di Fax, di Computer. Utilizzando il metodo di selezione automatica Indietro si ottengono gli output presentati nella Figura Nel primo riquadro sono riportate le tabelle ANOVA per i cinque modelli creati dal metodo di selezione, partendo da quello che contiene tutte e dieci le variabili esplicative del blocco e via via eliminando le variabili meno significative. Nell ultimo modello sono presenti solo sei delle variabili di partenza e il valore del test F risulta ancora significativo. Nella seconda tabella sono mostrate le stime dei coefficienti per ognuno dei cinque modelli (per motivi di spazio sono mostrati solo i valori del primo e dell ultimo modello). Il modello selezionato a sei variabili possiede un valore dell R quadrato corretto pari a 0,394. Cap. 21-8

9 Modello Regressione Totale Regressione Totale Regressione Totale Regressione Totale Regressione Totale ANOVA Somma dei Media dei quadrati df quadrati F Sig b c d e b. Stimatori: (Costante), Possiede fax, Possiede videoregistratore, Membri del nucleo, Anni di permanenza nell'impiego attuale, Linee multiple, Possiede TV, Telefono cellulare, Grado di istruzione, c. Stimatori: (Costante), Possiede fax, Possiede videoregistratore, Membri del nucleo, Anni di permanenza nell'impiego attuale, Possiede TV, Telefono cellulare, Grado di istruzione, d. Stimatori: (Costante), Possiede fax, Possiede videoregistratore, Membri del nucleo, Anni di permanenza nell'impiego attuale, Telefono cellulare, Grado di istruzione, e. Stimatori: (Costante), Possiede fax, Possiede videoregistratore, Anni di permanenza nell'impiego attuale, Telefono cellulare, Grado di istruzione, Età in anni Modello 1 5 (Costante) Grado di istruzione Anni di permanenza nell'impiego attuale Membri del nucleo Telefono cellulare Linee multiple Possiede TV Possiede videoregistratore Possiede computer Possiede fax (Costante) Grado di istruzione Anni di permanenza nell'impiego attuale Telefono cellulare Possiede videoregistratore Possiede fax Coefficienti a Coefficienti non standardizzati a. Variabile dipendente: Reddito in migliaia Coefficienti standardizzati B Errore std. Beta t Sig Figura Output della regressione con il metodo Indietro Cap. 21-9

10 In EXCEL non è prevista una procedura automatica di selezione delle variabili e pertanto si potrà procedere, come descritto nel paragrafo 19.7, eseguendo il test F per modelli annidati. ESEMPIO selezione del modello di regressione in EXCEL Riprendendo le variabili esplicative dell esempio precedente, stimiamo con EXCEL il modello completo (che include tutte le dieci variabili) e quello ridotto (a solo sei variabili). Nella Figura sono mostrati i corrispondenti output. Figura Finestre dei risultati Considerando le due tabelle ANOVA possiamo applicare la formula per il calcolo della ( , , 95) ( 10 6) 6129, 945 statistica test F. Si ha: F = = = 1, 633 che si deve , 95 ( ) 3753, 367 confrontare con il valore, per un α = 0, 05, ottenuto da una F Fisher con 4 e 6389 gradi di libertà e pari a F, = Poiché 1,633<2,373, il modello ridotto non può essere rifiutato. Pertanto, si 0 05, giunge allo stesso risultato visto nell esempio precedente. Cap

11 Indicare se le seguenti affermazioni sono vere o false. (Le risposte esatte sono in fondo a questo documento) In SPSS la procedura per svolgere la regressione multipla è contenuta all interno del menu Analizza. In EXCEL il menu Analisi Dati contiene la procedura per svolgere la regressione lineare multipla. In SPSS, per eseguire una regressione lineare multipla bisogna selezionare all interno del menu Regressione la procedura Lineare. In SPSS, la procedura di Regressione lineare non prevede la verifica d ipotesi dei coefficienti del modello. In SPSS, per stimare i coefficienti del modello bisogna selezionare nella finestra delle Statistiche l opzione Stime. In EXCEL, il livello di confidenza per l intervallo di confidenza dei coefficienti di regressione è prestabilito e non può essere cambiato. In EXCEL, tutte le variabili esplicative che faranno parte del modello di regressione devono essere collocate sul foglio elettronico in colonne successive. V F In SPSS, nel modulo della regressione lineare, non è possibile salvare i residui VERIFICA Nell output di SPSS relativo alle stime dei coefficienti di regressione vengono riportate anche le stime dei coefficienti standardizzati. In EXCEL non è possibile costruire il grafico di dispersione tra i valori predetti e i residui standardizzati In SPSS è possibile analizzare i valori anomali. In EXCEL con il modulo Regressione non è possibile ottenere il residuo per ogni unità statistica. In EXCEL, nel modulo Regressione l opzione tracciati dei residui si riferisce alla possibilità di ottenere le statistiche sui residui. In SPSS, nel modulo Regressione Lineare è presente un unico modo automatico per selezionare le variabili del modello. In EXCEL, nel modulo Regressione, è possibile selezionare le variabili del modello attraverso una procedura automatica. In SPSS, il metodo di selezione delle variabili Avanti consiste nell aggiungere al modello una variabile per volta. In SPSS, per i metodi di selezione delle variabili Avanti, Indietro, Per Passi, è necessario stabilire un valore critico della statistica test F. Cap

12 ESERCIZI (le soluzioni sono disponibili sul sito WEB) Gli esercizi proposti prevedono l utilizzazione di file di dati in SPSS o EXCEL Si consideri il file di dati Demo.sav (Demo.xls) contenente un sondaggio fittizio realizzato su un campione di 6400 persone con informazioni di base di tipo demografico (età, sesso, stato civile, istruzione, ecc.) e di possesso (possesso di TV, Fax, Stereo, Cellulare, PC, ecc.). Utilizzando le procedure di SPSS o EXCEL: a. Stimare il modello di regressione lineare che pone il Reddito famigliare in dipendenza delle variabili esplicative: Età, Grado di Istruzione, Possesso di PC e Numero di anni nell impiego attuale. b. Sulla base della stima effettuata al punto precedente, commentare la significatività dei coefficienti di regressione, il tipo di relazione tenuto dalle variabili esplicative rispetto alla variabile dipendente e qual è fra queste la più influente sulla variazione del Reddito. c. Verificare il grado di multicollinearità presente tra le variabili (solo con SPSS). d. Verificare la presenza di eventuali valori anomali (fissare la soglia a 8 volte il valore della deviazione standard) Si consideri il file di dati Vita.sav (Vita.xls) che contiene i dati relativi all Aspettativa di vita, al Logaritmo del numero medio di persone per TV e al Logaritmo del numero di persone per medico osservati su 38 paesi nel Utilizzando le procedure di SPSS o EXCEL: a. Stimare il modello di regressione lineare che pone l Aspettativa di vita in dipendenza delle variabili esplicative Logaritmo del numero medio di persone per TV e Logaritmo del numero di persone per medico. b. L adattamento del modello ai dati si può ritenere soddisfacente? c. Il modello nel suo complesso risulta significativo? d. Sulla base della stima effettuata al punto a., commentare la significatività dei coefficienti di regressione, il tipo di relazione tenuto dalle variabili esplicative rispetto alla variabile dipendente e qual è fra queste la più influente sulla variazione dell Aspettativa di vita. e. Cosa si può dire in questo caso sulla multicollinearità delle variabili (solo con SPSS)? f. Verificare la presenza di eventuali valori anomali (fissare la soglia a 3 volte il valore della deviazione standard). g. Dal grafico di dispersione che mette in relazione i residui standardizzati con i valori predetti standardizzati si può concludere che vale l ipotesi di omoschedasticità? 21.3 Si consideri il file di dati Sigarette.sav (Sigarette.xls) che contiene, per 25 marche di sigarette americane, le informazioni riguardanti il contenuto di Catrame, di Nicotina e l ammontare di Monossido di carbonio emesso. Utilizzando le procedure di SPSS o EXCEL: a. stimare il modello di regressione lineare che pone il Catrame in dipendenza della Nicotina e del Monossido di Carbonio. b. Cosa si può dire in questo caso sulla multicollinearità delle variabili (solo con SPSS)? c. stimare il modello di regressione lineare che pone il Catrame in dipendenza della Nicotina. d. Effettuare il test F per verificare se l inserimento della variabile Monossido di Carbonio al modello del punto precedente porta a un miglioramento significativo Si consideri il file di dati Impiegati.sav (Impiegati.xls) che contiene, per 474 occupati, le informazioni riguardanti il Sesso, le Annualità scolastiche, la Categoria lavorativa, lo Stipendio attuale, lo Stipendio iniziale, i Mesi trascorsi dall assunzione, il Logaritmo dello stipendio attuale. Utilizzando le procedure di SPSS o EXCEL: a. stimare il modello di regressione lineare semplice che pone lo Stipendio attuale in dipendenza delle Annualità scolastiche e della Categoria lavorativa. b. L adattamento del modello ai dati si può ritenere soddisfacente? c. Il modello nel suo complesso risulta significativo? Cap

13 d. Sulla base della stima effettuata al punto a., commentare la significatività dei coefficienti di regressione, il tipo di relazione tenuto dalle variabili esplicative rispetto alla variabile dipendente e qual è fra queste la più influente sulla variazione dello Stipendio attuale. e. Verificare la presenza di eventuali valori anomali (fissare la soglia a 3 volte il valore della deviazione standard). f. Dal grafico di dispersione che mette in relazione i residui standardizzati con i valori predetti standardizzati si può concludere che vale l ipotesi di omoschedasticità? Soluzione alle domande di verifica capitolo 21 domande 1 V 2 V 3 V 4 F 5 V 6 F 7 V 8 F 9 V 10 F 11 V 12 F 13 F 14 F 15 F 16 V 17 V Cap

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