Corso di laurea in Scienze Motorie Corso di Statistica Docente: Dott.ssa Immacolata Scancarello Lezione 14: Analisi della varianza (ANOVA)

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1 Corso di laurea in Scienze Motorie Corso di Statistica Docente: Dott.ssa Immacolata Scancarello Lezione 4: Analisi della varianza (ANOVA)

2 Analisi della varianza Analisi della varianza (ANOVA) ANOVA ad un solo fattore ANOVA a due fattori Test sulla varianza (-Variances) Si utilizza questo test per verificare se due campioni dimostrano o meno di avere le stessa varianza.

3 L analisi della varianza Consente la valutazione di differenze fra i valori medi per due o più trattamenti (o popolazioni) Differenza rispetto al test t Possibilità di confrontare più di due trattamenti Si vuole confrontare l effetto di un nuovo farmaco nella cure della depressione rispetto a un farmaco standard tenendo conto che i pazienti provengono da ospedali diversi e quindi l azione congiunta farmaco-ospedale può influenzare l esito della cura ANOVA a più fattori

4 Definizioni Variabile indipendente: una variabile che il ricercatore sottopone a manipolazione sperimentale Variabile quasi-indipendente: una variabile utilizzata per distinguere fra diversi gruppi di risultati Variabile dipendente: una variabile il cui valore è determinato da quello dei fattori Nell analisi della varianza le variabili indipendenti e quasi-indipendenti si chiamano fattori ANOVA valuta l effetto dei fattori sulla variabile dipendente 4

5 ANOVA a un solo fattore: misure indipendenti Con ANOVA si confrontano due stime indipendenti della varianza (test F). Sia µ la media della variabile dipendente e siano µ, µ,..., µ k le medie delle popolazioni delle variabili dipendenti misurate nei trattamenti indipendenti. H 0 : µ µ µ k H : almeno due medie µ i e µ j delle popolazioni dei trattamenti sono fra loro diverse 5

6 Il rapporto F Il rapporto F e il test t restituiscono le stesse informazioni: una forte differenza fra le medie (una elevata varianza) è indice della presenza di una differenza significativa test t: differenza fra due medie rapporto F: varianza di due o più medie F varianza delle medie varianza ipotizzata 6

7 Il rapporto F con misure indipendenti F ~ Il trattamento non ha alcun effetto F Il trattamento ha un effetto significativo varianza fra i campioni F varianza all' interno dei campioni varianza trattamento varianza + varianza casuale casuale Se il trattamento non ha effetto 0 + varianza F varianza casuale casuale varianza varianza casuale casuale 7

8 Procedura di ANOVA Passo : Si calcolano le deviazioni quadratiche su Popolazione Tra campioni All interno dei campioni Passo : Si individuano i gradi di liberta Passo : Si calcola la varianza Passo 4: Si calcola il rapporto F Passo 5: La decisione 8

9 Passo : deviazioni quadratiche Media Trattamento Si calcola il totale delle deviazioni quadratiche per l intera popolazione Si calcola la somma delle deviazioni quadratiche per ciascun campione DATO0 DATO0 DATO0 DATO04 DATO05 MEDIA Trattamento DATO 06 DATO 07 DATO 08 DATO 09 DATO 0 MEDIA Trattamento DATO DATO DATO DATO 4 DATO 5 MEDIA dev.q totale dev.q int Media totale dei 5 dati 5 (Dato i i 5 - Media totale) (Dato j -Media i) i j Il valore per le deviazioni quadratiche fra campioni si calcola come la differenza fra dev.q totale e dev.q all interno dei campioni dev.q dev.q totale fra dev.q dev.q fra totale + dev.q dev.q int int 9

10 Passo : deviazioni quadratiche Si calcola il totale delle deviazioni quadratiche per l intera popolazione Si calcola la somma delle deviazioni quadratiche per ciascun campione Il valore per le deviazioni quadratiche fra campioni si calcola come la differenza fra dev.q totale e dev.q all interno dei campioni Media Trattamento Trattamento 0 Somma delle deviazioni quadratiche 44 dev.q dev.q dev.q Trattamento dev.q Tr. dev.q Tr. dev.q Tr. SOMMA totale fra fra dev.q dev.q fra totale dev.q dev.q int int 0

11 Passo : gradi di libertà gdl totale N-5-4 Trattamento Trattamento Trattamento 4 gdl int gdl Tr. +gdl Tr. +gdl Tr Media gdl fra gdl totale -gdl interno 4-

12 Passi -4: varianza e rapporto F Trattamento Trattamento Trattamento Media Formula di riferimento varianza dev.q gdl Osservazione Il rapporto F è un rapporto fra due varianze (sempre positive) Il valore di F è sempre positivo F varianza varianza fra interno varianza varianza dev.q gdl fra int fra fra dev.q gdl 5 interno interno,5,5,5 9,5 0,77

13 Passo 5: la decisione Anche per il rapporto F si confronta il valore calcolato con la distribuzione statistica Trattamento Trattamento Trattamento 4. F0,77. F crit,89 per α0,05, gdl int, gdl fra 0 0. Si accetta l ipotesi nulla Media L analisi della varianza non dimostra dunque una differenza significativa: F(,4)0,77

14 Validità di ANOVA (ad un solo fattore) Occorre assumere che la popolazione sia distribuita normalmente Osservazioni indipendenti I campioni devono avere la stessa varianza 4

15 ANOVA a due fattori I fenomeni realmente osservati sono il risultato dell interazione fra più fattori In questo contesto, si analizza il modello a due fattori che studia quanta parte della varianza dipenda dal primo fattore, dal secondo fattore (effetti principali) e dalla loro interazione 5

16 ANOVA a due fattori Un primo passo è lo studio degli effetti principali. Analisi della varianza per il fattore A Analisi della varianza per il fattore B Un secondo passo è lo studio della presenza o meno di effetti dovuti all interazione tra i due fattori Presenza di interazioni. Il fattore A esercita il suo effetto solo in presenza del fattore B Assenza di interazioni. I fattori A e B esercitano il loro effetto in modo autonomo uno dall altro. 6

17 Formulazione delle ipotesi H 0 e H H 0 : tutti i valori osservati possono essere spiegati in termini degli effetti principali H : esiste almeno un valore che non può essere spiegato solo in termini di effetti principali 7

18 Processo decisionale. Analisi della varianza per effetto A. Analisi della varianza per effetto B. Analisi della varianza per interazione degli effetti A e B Decisione 8

19 Condizioni di validità per l ANOVA a due fattori Occorre assumere che la popolazione sia distribuita normalmente Osservazioni indipendenti I campioni devono avere la stessa varianza 9

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