3. Confronto tra medie di due campioni indipendenti o appaiati

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "3. Confronto tra medie di due campioni indipendenti o appaiati"

Transcript

1 BIOSTATISTICA 3. Confronto tra medie di due campioni indipendenti o appaiati Marta Blangiardo, Imperial College, London Department of Epidemiology and Public Health MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.1

2 O APPAIATI SPECULARE UNIVERSO PARAMETRI PROGRAMMARE INFERIRE CAMPIONE STIMATORI DESCRIVERE MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.2

3 O APPAIATI Siamo interessati a valutare se due diete (A e B) determinano diversi incrementi del peso delle cavie con esse nutrite UNIVERSO PARAMETRI CAMPIONE STIMATORI MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.3

4 Siamo interessati a valutare se due diete (A e B) determinano diversi incrementi del peso delle cavie con esse nutrite UNIVERSO PARAMETRI PROGRAMMARE CAMPIONE STIMATORI Vengono scelti casualmente due campioni di 12 e 13 cavie ciascuno, ad ognuno di essi viene somministrata una delle due diete in studio dalla nascita fino all età di 3 mesi e ne vengono registrati gli incrementi di peso. I campioni sono indipendenti MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.4

5 CAMPIONE 1 CAMPIONE 2 STATISTICHE DESCRIVERE STATISTICHE STATISTICHE STATISTICHE n 1 = y i1 : generica i-esima osservazione del campione 1 (j =1) n 2 = 13 y i2 : generica i-esima osservazione del campione 2 (j =2) MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.5

6 4 CAMPIONE s 1 = 4.24 y 1 = CAMPIONE 2 s 2 = y 2 = MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.6

7 IPOTESI: I due campioni provengono dalla stessa popolazione di cavie e se potessimo misurare l intera popolazione sarebbe X ~ N(µ,σ 2 ) µ Media campionaria Noi non conosciamo nè la media µ nè la varianza σ 2, ma conosciamo i parametri campionari: y 1 y 2 medie s 1 s 2 Dev. standard n 1 n 2 numerosità MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.7

8 POPOLAZIONE campione 1 campione 2 Dieta A Dieta B n 1 = 12 y 1 = 60 s 1 = 4.24 n 2 = 13 y 2 = s 2 = 4.21 Ai due campioni assegniamo diete diverse. Le osservazioni ottenute sono ancora compatibili con l ipotesi che i due campioni provengono dalla stessa popolazione? MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.8

9 SPECULARE UNIVERSO PARAMETRI PROGRAMMARE INFERIRE CAMPIONE STIMATORI DESCRIVERE MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.9

10 POPOLAZIONE BERSAGLIO Tutti i possibili campioni y 1 y 2 µ Media Medie campionaria campionarie δ = µ 2 - µ 1 = µ - µ =0 d = y 2 y 1 H 0 : δ=0 MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.10

11 POPOLAZIONE 1 (dieta A) (tutte le medie campionarie y 1 ) POPOLAZIONE 2 (dieta B) (tutte le medie campionarie y 2 ) Tutti i possibili campioni Tutti i possibili campioni y 1 y 2 µ 1 Le due distribuzioni hanno la stessa varianza δ = µ 2 - µ 1 µ 2 d = y 2 y 1 H 1 : δ = 0 MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.11

12 IN GENERALE δ = µ 1 - µ 2 µ 1 µ 2 POPOLAZIONE 1 POPOLAZIONE 2 n 1 = 12 y 1 = 60 s 1 = 4.24 n 2 = 13 y 2 = s 2 = 4.21 d = y 2 - y 1 = 3.77 La variabile di interesse non è più la media campionaria bensì la differenza tra medie campionarie MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.12

13 POPOLAZIONE BERSAGLIO (tutte le possibili differenze tra medie campionarie) Tutti i possibili campioni ignota d Differenze tra medie campionarie δ MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.13

14 Ipotesi nulla: H 0 : µ 1 = µ 2 δ = 0 Cosa succede sotto l ipotesi nulla? MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.14

15 POPOLAZIONE BERSAGLIO (tutte le possibili differenze tra medie campionarie) Tutti i possibili campioni Questa situazione è compatibile con l ipotesi nulla? d δ = 0 Differenze tra medie campionarie MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.15

16 Situazione possibile d δ = 0 Situazione meno probabile d δ = 0 MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.16

17 Ipotesi nulla: H 0 : µ 1 = µ 2 δ = 0 L ipotesi nulla non può essere mai rigettata con assoluta certezza! Dobbiamo agganciare alla stima d un livello di confidenza. P-Value: quanto estremo è il risultato che abbiamo ottenuto? d d δ = 0 MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.17

18 P-Value: probabilità di ottenere un risultato campionario altrettanto o più estremo di quello osservato, se H 0 è vera P-value = Pr ( D >d sotto H 0 ) Più piccolo è il valore del p-value, 1) più estremo è il valore d osservato 2) Più bassa l evidenza che i dati siano coerenti con la distribuzione sotto l ipotesi nulla P-value=0.25 P-value=0.03 d d δ = 0 MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.18

19 PROBLEMA: l ipotesi è bidirezionale H 0 : δ = 0 vs H 1 : δ = 0 Unidirezionale P-value = Pr ( D >d sotto H 0 ) Bidirezionale 2*P-value P-value=0.06 P-value=0.03 P-value=0.03 -d d δ = 0 MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.19

20 Tre procedure per saggiare l ipotesi nulla A. Stima intervallare B. Test basato sulla t di Student C. Analisi della varianza e test F MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.20

21 Ricordando la stima intervallare nel caso di una media campionaria: y ± t. es la si adatti al confronto tra due medie campionarie MARTA BLANGIARDO A. CONFRONTO Stima intervallare TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.21

22 y ± t. es La variabile misurata di interesse non è più la media campionaria y, bensì la differenza tra medie campionarie d: d ± t. es A. Stima intervallare MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.22

23 n 1 = 12 y 1 = 60 s 11 = 4.24 n 2 = y 2 y= 2 = s 22 = 4.21 d ± t. es d = y 2 y 1 = 3.77 A. Stima intervallare MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.23

24 d ± t. es L errore standard non è più s / n visto che, essendo implicati due campioni, si dispone di due deviazioni standard (s 1 e s 2 ) e due numerosità campionarie (n 1 e n 2 ) s* = Pooled (n 1-1). s 12 + (n 2-1). s 2 2 (n 1-1) + (n 2-1) A. Stima intervallare MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.24

25 d ± t. es L errore standard non è più s / n visto che, essendo implicati due campioni, si dispone di due deviazioni standard (s 1 e s 2 ) e due numerosità campionarie (n 1 e n 2 ) 1 n* = 1 n n 2 = n 1 + n 2 n 1. n 2 A. Stima intervallare MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.25

26 n 1 = 12 y 1 = 60 s 1 = 4.24 n 2 = y 2 y 2 = = s 2 = ± t. es es d = s* 1 n* = (n 1-1). s 12 + (n 2-1). s 2 2 (n 1-1) + (n 2-1) n 1 + n 2 n 1. n 2 es d = (12-1) (13-1) (12-1) + (13-1) = 1.69 A. Stima intervallare MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.26

27 d ± t. es Valore critico della variabile casuale t di Student, caratterizzata da un certo numero di gradi di libertà g e da una probabilità (1-α). Quindi d ± t g ; (1-α). es A. Stima intervallare MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.27

28 d ± t g ; (1-α). es I gradi di libertà non sono più n - 1 visto che, essendo implicati due campioni, si dispone di due numerosità campionarie (n 1 e n 2 ): g = ( n 1 + n 2 ) - 2 A. Stima intervallare MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.28

29 d ± t g ; (1-α). es Dove 1 - α è il livello di confidenza dell intervallo (di solito definiamo 0.9, 0.95 o 0.99) A. Stima intervallare MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.29

30 n 1 = 12 y 1 = 60 s 1 = 4.23 n 2 = 13 y 2 = s 2 = ± t g;(1-α) Fissando (1-α) = 0.9 e avendo due code abbiamo /2 = ± t 23; Dalla tavola della distribuzione t: 3.77 ± A. Stima intervallare MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.30

31 MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI Distribuzione t gdl

32 n 1 = 12 y 1 = 60 s 1 = 4.23 n 2 = 13 y 2 = 64 s 2 = ± , valore atteso sotto l ipotesi nulla δ = 0 Ripetendo l esperimento 100 volte nelle stesse condizioni, ci si aspetta che in 90 casi le due diete differiscano A. Stima intervallare MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.32

33 H 0 : µ 1 = µ 2 δ = 0 Visto che l intervallo non contiene il valore atteso sotto l ipotesi nulla con: α = 0.1 allora concludiamo che non c è abbastanza evidenza che supporti che i dati siano coerenti con l ipotesi nulla e quindi H 1 : µ 1 µ 2 δ 0 Le E se due avessimo medie differiscono prefissato un errore di primo significativamente tipo più cautelativo (es. α = 0.01)? A. Stima intervallare MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.33

34 MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI Distribuzione t gdl

35 Se seguiamo un approcico più cautelativo e fissiamo 1-α = 0.99 n 1 = 12 y 1 = 60 s 1 = 4.23 n 2 = 13 y 2 = s 2 = ± , valore atteso sotto l ipotesi nulla δ = 0 Non c è più evidenza che le due diete differiscano A. Stima intervallare MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.35

36 Tre procedure per saggiare l ipotesi nulla A. Stima intervallare B. Test del t di Student C. Analisi della varianza e test F MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.36

37 Ricordando la variabile casuale t nel caso di una media campionaria è: t = y - µ s n la si adatti al confronto tra due medie campionarie B. Test del t di Student MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.37

38 t = y - µ s n È la differenza tra il valore osservato e quello atteso sotto l ipotesi nulla Nel caso della differenza tra due medie quindi: (y 2 - y 1 ) - 0 d B. Test del t di Student MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.38

39 t = y - µ s n È l errore standard di una media campionaria Nel caso della differenza tra due medie quindi: 1 es d = s* n* = (n 1-1). s 12 + (n 2-1). s 2 2 (n 1-1) + (n 2-1) n 1 + n 2 n 1. n 2 B. Test del t di Student MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.39

40 t = y - µ s n Il valore della variabile casuale t è caratterizzato dai gradi di libertà (g): Quindi dovrebbe essere scritta come: t g = (y 2 - y 1 ) - 0 es d che rappresenta il valore empirico (osservato) di t. La valutazione dell accettazione/rifiuto viene ottenuta tramite il P-value B. Test del t di Student MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.40

41 0.025 DISTRIBUZIONE 3. CONFRONTO TRA MEDIE DI DUE CAMPIONI t g -t g δ = 0 t g P-value< <P-value< <P-value<0.1 P-value>=0.1 Fortissima evidenza contro H 0 Forte evidenza contro H 0 Evidenza contro H 0 Non sufficiente evidenza contro H 0 B. Test del t di Student MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.41

42 n 1 = 12 y 1 = 60 s 1 = 4.23 n 2 = 13 y 2 = 64 s 2 = 4.21 t g = (y 2 - y 1 ) - 0 es d 3.77 t 23 = = è il valore empirico della statistica t. Il P-value corrispondente è P-value < Ipotesi bidirezionale 2*P-value < 0.05 <0.05: Forte evidenza contro H 0 B. Test del t di Student MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.42

43 Tre procedure per saggiare l ipotesi nulla A. Stima intervallare B. Test del t di Student C. Analisi della varianza e test F MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.43

44 CAMPIONE 1 CAMPIONE Media generale: y = 62 Devianza totale = Σ Σ (y ij - y) 2 j i = (56-62) 2 + (59-62) 2 + (63-62) (67-62) 2 + (64-62) 2 + (60-62) 2 = = 499 Da quali fonti dipende la variabilità (devianza) totale del fenomeno? C. Analisi della varianza e test F MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.44

45 CAMPIONE 1 CAMPIONE Media generale: y = 62 y 1 = 60 y 2 = 63.8 Devianza tra i livelli del fattore sperimentale Σ n j (y j - y) 2 j = 12. ( ) ( ) 2 = Una prima fonte di variabilità è dovuta al fatto che i due campioni sono stati sottoposti a diverse diete (fattore sperimentale) C. Analisi della varianza e test F MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.45

46 CAMPIONE 1 CAMPIONE y 1 = 60 y 2 = 63.8 Devianza entro i livelli del fattore sperimentale Σ Σ (y ij - y j ) 2 i j Una seconda fonte di variabilità è dovuta al fatto che ogni unità sperimentale tende a rispondere in modo diverso dalle altre allo stesso stimolo (livello del fattore sperimentale) = (56-60) 2 + (59-60) 2 + (63-60) ( ) 2 + ( ) 2 + ( ) 2 = = C. Analisi della varianza e test F MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.46

47 SISTEMATICA Fonti di variabilità devianza Tra gruppi Entro gruppi * = Totale CASUALE * Variabilità residua C. Analisi della varianza e test F MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.47

48 Fonti di variabilità devianza gradi di libertà Tra gruppi (N.gruppi-1) + Entro gruppi Totale = = 23 (N N.gruppi) = 24 (N-1) C. Analisi della varianza e test F MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.48

49 Fonti di variabilità devianza gradi di libertà varianza Tra gruppi Entro gruppi = = = + = 17.8 Totale = 24 F 1, 23 = Varianza tra gruppi Varianza entro gruppi = = C. Analisi della varianza e test F MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.49

50 DISTRIBUZIONE F g1;g2 Area = 1 1 Valore atteso sotto l ipotesi nulla In questo caso le tavole disponibili non permettono di calcolare il P-value. E possibile calcolare il P-value tramite software (excel, R, Matlab). =DISTRIB.F(4.97,1,23) = P-value<0.05 Funzione di Excel C. Analisi della varianza e test F Forte evidenza contro H 0 MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.50

51 Ci sono tavole tabulate che permettono di calcolare una soglia di accettazione/rifiuto per alcune prespecificate soglie 1-α (0.9,0.95) F (1-α),g1,g2 F g1,g2 F g1,g2 Non sufficiente evidenza contro H 0 Sufficiente evidenza contro H 0 MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.51

52 Distribuzione F g1;g2;0.95 F Gradi di libertà del denominatore Gradi di libertà del numeratore MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.52

53 Distribuzione F 1,23 Area di accettazione Area di rifiuto Valore tabulato 4.28 Valore empirico 4.97 allora dovremmo rifiutare l ipotesi nulla: p < 0.05 C. Analisi della varianza e test F MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.53

54 Due vie equivalenti per saggiare l ipotesi nulla Test del t di Student t 23 = 2.23 Analisi della varianza F 1,23 = 4.97 t 2 = F 23 1,23 MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.54

55 APPAIATI Siamo interessati a valutare se il ph di un terreno acido sulla superficie è diversa da quella del sottosuolo UNIVERSO PARAMETRI PROGRAMMARE CAMPIONE STIMATORI Si estrae un campione di 13 zolle di terreno e su ognuna di esse si misura il ph in superficie e nel sottosuolo. Abbiamo due misurazioni per ogni zolla. I campioni sono appaiati MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.55

56 APPAIATI CAMPIONE 1 CAMPIONE 2 Superficie STATISTICHE Sottosuolo STATISTICHE n = 13 E lo stesso campione con due diverse misurazioni Per ogni zolla le due misurazioni non sono indipendenti MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.56

57 APPAIATI Calcoliamo la variabile differenza tra le due misurazioni Superficie Sottosuolo Differenza La nuova variabile Differenza è quella su cui vogliamo fare inferenza MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.57

58 APPAIATI IPOTESI: La differenza tra il ph in superficie e nel sottosuolo si distribuisce come una variabile casuale Normale D ~ N(µ d,σ 2 d ) µ Media campionaria Noi non conosciamo nè la media µ d nè la varianza σ 2 d, ma conosciamo i parametri campionari: d media s d Dev. standard n numerosità INFERENZA SU UN CAMPIONE MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.58

59 APPAIATI POPOLAZIONE BERSAGLIO Tutti i possibili campioni di differenze d µ d H 0 : µ d = 0 Media Medie campionaria campionarie Cosa succede sotto l ipotesi nulla? MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.59

60 APPAIATI POPOLAZIONE BERSAGLIO (tutte le possibili differenze) Tutti i possibili campioni È questa situazione compatibile con l ipotesi nulla? d Differenze tra medie campionarie MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.60

61 APPAIATI Situazione possibile d Situazione meno probabile d MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.61

62 APPAIATI Ipotesi nulla: H 0 : µ d =0 L ipotesi nulla non può essere mai rigettata con assoluta certezza! Dobbiamo agganciare alla stima d un livello di confidenza. P-Value: quanto estremo è il risultato che abbiamo ottenuto? d µ d = 0 MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI d 1

63 APPAIATI Tre procedure per saggiare l ipotesi nulla A. Stima intervallare B. Test basato sulla t di Student MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.63

64 APPAIATI Avendo un solo campione, in questo caso la stima intervallare da utilizzare è proprio quella introdotta precedentemente nel caso di una media campionaria: y ± t. es Che nel caso di campioni appaiati è d ± t. es n = 13 d = se = 1.15 sd/radq(n) MARTA BLANGIARDO A. CONFRONTO Stima intervallare TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.64

65 APPAIATI Noi non conosciamo la varianza σ 2 T di Student t g ; (1-α) Valore critico della variabile casuale t di Student, caratterizzata da un certo numero di gradi di libertà g e da una probabilità (1-α). Quindi l intervallo di confidenza sarà d ± t g ; (1-α). es n-1 A. Stima intervallare livello di confidenza dell intervallo (di solito definiamo 0.9, 0.95 o 0.99) MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.65

66 APPAIATI n = 13 d = es = ± t g;(1-α) Fissando (1-α) = 0.95 e avendo due code abbiamo /2 = ± t 12; Dalla tavola della distribuzione t: ± A. Stima intervallare MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.66

67 MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI Distribuzione t gdl CONFRONTO TRA MEDIE DI DUE CAMPIONI APPAIATI

68 APPAIATI n = 13 d = es = ± , valore atteso sotto l ipotesi nulla µ d = Ripetendo l esperimento 100 volte nelle stesse condizioni, ci si aspetta che in 95 casi i due ph non siano diversi significativamente A. Stima intervallare MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.68

69 APPAIATI Tre procedure per saggiare l ipotesi nulla A. Stima intervallare B. Test del t di Student MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.69

70 APPAIATI Ricordando la variabile casuale t nel caso di una media campionaria è: t = d - µ s n È la differenza tra il valore osservato e quello atteso sotto l ipotesi nulla Nel caso di campioni appaiati abbiamo: d - 0 ph 1 ph d B. Test del t di Student d MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.70

71 APPAIATI t = y i - µ s n È l errore standard (es) di una media campionaria s = n Σ(y i - y) 2 i =1 n - 1 = 1.15 n n B. Test del t di Student MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.71

72 APPAIATI t = y i - µ s n Il valore della variabile casuale t è caratterizzato dai gradi di libertà (g): Quindi dovrebbe essere scritta come: t g = d - 0 es d che rappresenta il valore empirico (osservato) di t. La valutazione dell accettazione/rifiuto viene ottenuta tramite il P-value I gradi di libertà sono n-1 B. Test del t di Student MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.72

73 APPAIATI n = 13 d = es d = 1.15 t g = d - 0 se d t 12 = = è il valore empirico della statistica t. Il P-value corrispondente è B. Test del t di Student MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.73

74 APPAIATI Il valore è negativo Le tavole restituiscono la coda di destra solo per valori positivi, ma Pr(D<-0.37 sotto H 0 ) = Pr(D>0.37 sotto H 0 ) Dalle tavole otteniamo 0.3<P-value < < 2*P-value < Non c è evidenza di una differenza significativa dei ph MARTA BLANGIARDO CONFRONTO TRA MEDIE DI 2 CAMPIONI- 3.74

4. Confronto tra medie di tre o più campioni indipendenti

4. Confronto tra medie di tre o più campioni indipendenti BIOSTATISTICA 4. Confronto tra medie di tre o più campioni indipendenti Marta Blangiardo, Imperial College, London Department of Epidemiology and Public Health m.blangiardo@imperial.ac.uk MARTA BLANGIARDO

Dettagli

Statistica. Lezione 6

Statistica. Lezione 6 Università degli Studi del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Infermieristica Corso integrato in Scienze della Prevenzione e dei Servizi sanitari Statistica Lezione 6 a.a 011-01 Dott.ssa Daniela Ferrante

Dettagli

Stima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una

Dettagli

1a) Calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione osservato.

1a) Calcolare gli estremi dell intervallo di confidenza per µ al 90% in corrispondenza del campione osservato. Esercizio 1 Sia X 1,..., X un campione casuale estratto da una variabile aleatoria normale con media pari a µ e varianza pari a 1. Supponiamo che la media campionaria sia x = 2. 1a) Calcolare gli estremi

Dettagli

Esercitazioni di Statistica

Esercitazioni di Statistica Esercitazioni di Statistica Test d ipotesi sul valor medio e test χ 2 di adattamento Prof. Livia De Giovanni statistica@dis.uniroma1.it Esercizio 1 Si supponga che il diametro degli anelli metallici prodotti

Dettagli

Università del Piemonte Orientale. Corso di laurea in biotecnologia. Corso di Statistica Medica. Analisi dei dati quantitativi :

Università del Piemonte Orientale. Corso di laurea in biotecnologia. Corso di Statistica Medica. Analisi dei dati quantitativi : Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in biotecnologia Corso di Statistica Medica Analisi dei dati quantitativi : Confronto tra due medie Università del Piemonte Orientale Corso di laurea in

Dettagli

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals

Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals Analisi statistica di dati biomedici Analysis of biologicalsignals II Parte Verifica delle ipotesi (a) Agostino Accardo (accardo@units.it) Master in Ingegneria Clinica LM in Neuroscienze 2013-2014 e segg.

Dettagli

iovanella@disp.uniroma2.it http://www.disp.uniroma2.it/users/iovanella Verifica di ipotesi

iovanella@disp.uniroma2.it http://www.disp.uniroma2.it/users/iovanella Verifica di ipotesi iovanella@disp.uniroma2.it http://www.disp.uniroma2.it/users/iovanella Verifica di ipotesi Idea di base Supponiamo di avere un idea del valore (incognito) di una media di un campione, magari attraverso

Dettagli

LA CORRELAZIONE LINEARE

LA CORRELAZIONE LINEARE LA CORRELAZIONE LINEARE La correlazione indica la tendenza che hanno due variabili (X e Y) a variare insieme, ovvero, a covariare. Ad esempio, si può supporre che vi sia una relazione tra l insoddisfazione

Dettagli

RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE

RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE RELAZIONE TRA DUE VARIABILI QUANTITATIVE Quando si considerano due o più caratteri (variabili) si possono esaminare anche il tipo e l'intensità delle relazioni che sussistono tra loro. Nel caso in cui

Dettagli

Confronto tra gruppi (campioni indipendenti)

Confronto tra gruppi (campioni indipendenti) Confronto tra gruppi (campioni indipendenti) Campioni provenienti da una popolazione Normale con medie che possono essere diverse ma varianze uguali campioni: Test z or t sulla differenza tra medie 3,

Dettagli

Corso di laurea in Scienze Motorie Corso di Statistica Docente: Dott.ssa Immacolata Scancarello Lezione 14: Analisi della varianza (ANOVA)

Corso di laurea in Scienze Motorie Corso di Statistica Docente: Dott.ssa Immacolata Scancarello Lezione 14: Analisi della varianza (ANOVA) Corso di laurea in Scienze Motorie Corso di Statistica Docente: Dott.ssa Immacolata Scancarello Lezione 4: Analisi della varianza (ANOVA) Analisi della varianza Analisi della varianza (ANOVA) ANOVA ad

Dettagli

Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 3 - Pag. 1 = 1

Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 3 - Pag. 1 = 1 Diaz - Appunti di Statistica - AA 2001/2002 - edizione 29/11/01 Cap. 3 - Pag. 1 Capitolo 3. L'analisi della varianza. Il problema dei confronti multipli. La soluzione drastica di Bonferroni ed il test

Dettagli

4.2. IL TEST F DI FISHER O ANALISI DELLA VARIANZA (ANOVA)

4.2. IL TEST F DI FISHER O ANALISI DELLA VARIANZA (ANOVA) 4.2. IL TEST F DI FISHER O ANALISI DELLA VARIANZA (ANOVA) L analisi della varianza è un metodo sviluppato da Fisher, che è fondamentale per l interpretazione statistica di molti dati biologici ed è alla

Dettagli

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una

Dettagli

Elementi di Statistica

Elementi di Statistica Elementi di Statistica Contenuti Contenuti di Statistica nel corso di Data Base Elementi di statistica descrittiva: media, moda, mediana, indici di dispersione Introduzione alle variabili casuali e alle

Dettagli

SCHEDA DI PROGRAMMAZIONE DELLE ATTIVITA EDUCATIVE DIDATTICHE. Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco

SCHEDA DI PROGRAMMAZIONE DELLE ATTIVITA EDUCATIVE DIDATTICHE. Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco Disciplina: Matematica Classe: 5A sia A.S. 2014/15 Docente: Rosito Franco ANALISI DI SITUAZIONE - LIVELLO COGNITIVO La classe ha dimostrato fin dal primo momento grande attenzione e interesse verso gli

Dettagli

STATISTICA INFERENZIALE PER VARIABILI QUALITATIVE

STATISTICA INFERENZIALE PER VARIABILI QUALITATIVE STATISTICA INFERENZIALE PER VARIABILI QUALITATIVE La presentazione dei dati per molte ricerche mediche fa comunemente riferimento a frequenze, assolute o percentuali. Osservazioni cliniche conducono sovente

Dettagli

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Probabilità Probabilità Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Se tutti gli eventi fossero ugualmente possibili, la probabilità p(e)

Dettagli

(accuratezza) ovvero (esattezza)

(accuratezza) ovvero (esattezza) Capitolo n 2 2.1 - Misure ed errori In un analisi chimica si misurano dei valori chimico-fisici di svariate grandezze; tuttavia ogni misura comporta sempre una incertezza, dovuta alla presenza non eliminabile

Dettagli

LA POVERTÀ IN ITALIA. Anno 2013. 14 luglio 2014

LA POVERTÀ IN ITALIA. Anno 2013. 14 luglio 2014 14 luglio 2014 Anno 2013 LA POVERTÀ IN ITALIA Nel 2013, il 12,6% delle famiglie è in condizione di povertà relativa (per un totale di 3 milioni 230 mila) e il 7,9% lo è in termini assoluti (2 milioni 28

Dettagli

TECNICHE DI SIMULAZIONE

TECNICHE DI SIMULAZIONE TECNICHE DI SIMULAZIONE MODELLI STATISTICI NELLA SIMULAZIONE Francesca Mazzia Dipartimento di Matematica Università di Bari a.a. 2004/2005 TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 1 Modelli statistici nella simulazione

Dettagli

INCERTEZZA DI MISURA

INCERTEZZA DI MISURA L ERRORE DI MISURA Errore di misura = risultato valore vero Definizione inesatta o incompleta Errori casuali Errori sistematici L ERRORE DI MISURA Errori casuali on ne si conosce l origine poiche, appunto,

Dettagli

Potenza dello studio e dimensione campionaria. Laurea in Medicina e Chirurgia - Statistica medica 1

Potenza dello studio e dimensione campionaria. Laurea in Medicina e Chirurgia - Statistica medica 1 Potenza dello studio e dimensione campionaria Laurea in Medicina e Chirurgia - Statistica medica 1 Introduzione Nella pianificazione di uno studio clinico randomizzato è fondamentale determinare in modo

Dettagli

Accuratezza di uno strumento

Accuratezza di uno strumento Accuratezza di uno strumento Come abbiamo già accennato la volta scora, il risultato della misurazione di una grandezza fisica, qualsiasi sia lo strumento utilizzato, non è mai un valore numerico X univocamente

Dettagli

Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 4. Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo

Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 4. Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo Metodi statistici per l economia (Prof. Capitanio) Slide n. 4 Materiale di supporto per le lezioni. Non sostituisce il libro di testo Dipendenza di un carattere QUANTITATIVO da un carattere QUALITATIVO

Dettagli

Introduzione alla Teoria degli Errori

Introduzione alla Teoria degli Errori Introduzione alla Teoria degli Errori 1 Gli errori di misura sono inevitabili Una misura non ha significato se non viene accompagnata da una ragionevole stima dell errore ( Una scienza si dice esatta non

Dettagli

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA 006-007, lezione del 08.05.07 IDICE (lezione 08.05.07 PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIAZA DELLE QUATITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIOE CO I DATI OSSERVATI 3.1 Valore

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche

Ancora sull indipendenza. Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche Ancora sull indipendenza Se A e B sono indipendenti allora lo sono anche A e B Ā e B Ā e B Sfruttiamo le leggi di De Morgan Leggi di De Morgan A B = Ā B A B = Ā B P (Ā B) = P (A B) = 1 P (A B) = 1 (P (A)

Dettagli

Conduzione di uno studio epidemiologico (osservazionale)

Conduzione di uno studio epidemiologico (osservazionale) Conduzione di uno studio epidemiologico (osservazionale) 1. Definisco l obiettivo e la relazione epidemiologica che voglio studiare 2. Definisco la base dello studio in modo che vi sia massimo contrasto

Dettagli

Rapporto CESI. Cliente: Oggetto: Ordine: Contratto CESI n. 71/00056. Note: N. pagine: 13 N. pagine fuori testo: Data: 30.05.2000.

Rapporto CESI. Cliente: Oggetto: Ordine: Contratto CESI n. 71/00056. Note: N. pagine: 13 N. pagine fuori testo: Data: 30.05.2000. A0/010226 Pag.1/13 Cliente: Ricerca di Sistema Oggetto: Determinazione della tenacità di acciai eserciti - Correlazioni per stime di FATT da prove Small Punch Ordine: Contratto CESI n. 71/00056 Note: DEGRADO/GEN04/003

Dettagli

ELEMENTI DI STATISTICA

ELEMENTI DI STATISTICA Pag 1 di 92 Francesco Sardo ELEMENTI DI STATISTICA PER VALUTATORI DI SISTEMI QUALITA AMBIENTE - SICUREZZA REV. 11 16/08/2009 Pag 2 di 92 Pag 3 di 92 0 Introduzione PARTE I 1 Statistica descrittiva 1.1

Dettagli

VARIABILI E DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA A.A. 2010/2011

VARIABILI E DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA A.A. 2010/2011 VARIABILI E DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA A.A. 2010/2011 1 RAPPRESENTARE I DATI: TABELLE E GRAFICI Un insieme di misure è detto serie statistica o serie dei dati 1) Una sua prima elementare elaborazione può

Dettagli

ANALISI DELLE FREQUENZE: IL TEST CHI 2

ANALISI DELLE FREQUENZE: IL TEST CHI 2 ANALISI DELLE FREQUENZE: IL TEST CHI 2 Quando si hanno scale nominali o ordinali, non è possibile calcolare il t, poiché non abbiamo medie, ma solo frequenze. In questi casi, per verificare se un evento

Dettagli

Lezione 10. La Statistica Inferenziale

Lezione 10. La Statistica Inferenziale Lezione 10 La Statistica Inferenziale Filosofia della scienza Secondo Aristotele, vi sono due vie attraverso le quali riusciamo a formare le nostre conoscenze: (1) la deduzione (2) l induzione. Lezione

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA Stefania Naddeo (anno accademico 4/5) INDICE PARTE PRIMA: STATISTICA DESCRITTIVA. DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E FUNZIONE DI RIPARTIZIONE. VALORI CARATTERISTICI

Dettagli

Capitolo 12 La regressione lineare semplice

Capitolo 12 La regressione lineare semplice Levine, Krehbiel, Berenson Statistica II ed. 2006 Apogeo Capitolo 12 La regressione lineare semplice Insegnamento: Statistica Corso di Laurea Triennale in Economia Facoltà di Economia, Università di Ferrara

Dettagli

STATISTICA 1 ESERCITAZIONE 1 CLASSIFICAZIONE DELLE VARIABILI CASUALI

STATISTICA 1 ESERCITAZIONE 1 CLASSIFICAZIONE DELLE VARIABILI CASUALI STATISTICA 1 ESERCITAZIONE 1 Dott. Giuseppe Pandolfo 30 Settembre 2013 Popolazione statistica: insieme degli elementi oggetto dell indagine statistica. Unità statistica: ogni elemento della popolazione

Dettagli

1 Medie. la loro media aritmetica è il numero x dato dalla formula: x = x 1 + x 2 +... + x n

1 Medie. la loro media aritmetica è il numero x dato dalla formula: x = x 1 + x 2 +... + x n 1 Medie La statistica consta di un insieme di metodi atti a elaborare e a sintetizzare i dati relativi alle caratteristiche di una fissata popolazione, rilevati mediante osservazioni o esperimenti. Col

Dettagli

La variabile casuale Binomiale

La variabile casuale Binomiale La variabile casuale Binomiale Si costruisce a partire dalla nozione di esperimento casuale Bernoulliano che consiste in un insieme di prove ripetute con le seguenti caratteristiche: i) ad ogni singola

Dettagli

Titolo della lezione. Analisi dell associazione tra due caratteri: indipendenza e dipendenza

Titolo della lezione. Analisi dell associazione tra due caratteri: indipendenza e dipendenza Titolo della lezione Analisi dell associazione tra due caratteri: indipendenza e dipendenza Introduzione Analisi univariata, bivariata, multivariata Analizzare le relazioni tra i caratteri, per cercare

Dettagli

Cenni sul calcolo combinatorio

Cenni sul calcolo combinatorio Cenni sul calcolo combinatorio Disposizioni semplici Le disposizioni semplici di n elementi distinti di classe k con kn sono tutti i gruppi di k elementi scelti fra gli n, che differiscono per almeno un

Dettagli

Verifica d Ipotesi. Se invece che chiederci quale è il valore di una media in una popolazione (stima. o falsa? o falsa?

Verifica d Ipotesi. Se invece che chiederci quale è il valore di una media in una popolazione (stima. o falsa? o falsa? Verifica d Iotesi Se ivece che chiederci quale è il valore ua mea i ua oolazioe (stima utuale Se ivece e itervallo che chiederci cofideza) quale è il avessimo valore u idea ua mea su quello i ua che oolazioe

Dettagli

Supervisori che imparano dagli studenti

Supervisori che imparano dagli studenti Supervisori che imparano dagli studenti di Angela Rosignoli Questa relazione tratta il tema della supervisione, la supervisione offerta dagli assistenti sociali agli studenti che frequentano i corsi di

Dettagli

La ricerca non sperimentale

La ricerca non sperimentale La ricerca non sperimentale Definizione Ricerca osservazionale: : 1. naturalistica Ricerca osservazionale: : 2. osservatori partecipanti Ricerca d archiviod Casi singoli Sviluppo di teorie e verifica empirica

Dettagli

ORDINALI E NOMINALI LA PROBABILITÀ. Nell ambito della manifestazione di un fenomeno niente è certo, tutto è probabile.

ORDINALI E NOMINALI LA PROBABILITÀ. Nell ambito della manifestazione di un fenomeno niente è certo, tutto è probabile. ORDINALI E NOMINALI LA PROBABILITÀ Statistica5 23/10/13 Nell ambito della manifestazione di un fenomeno niente è certo, tutto è probabile. Se si afferma che un vitello di razza chianina pesa 780 kg a 18

Dettagli

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE VARIABILI ALEATORIE CONTINUE Se X è una variabile aleatoria continua, la probabilità che X assuma un certo valore x fissato è in generale zero, quindi non ha senso definire una distribuzione di probabilità

Dettagli

Da una a più variabili: derivate

Da una a più variabili: derivate Da una a più variabili: derivate ( ) 5 gennaio 2011 Scopo di questo articolo è di evidenziare le analogie e le differenze, relativamente al calcolo differenziale, fra le funzioni di una variabile reale

Dettagli

1x1 qs-stat. Pacchetto Software per la Soluzione di Problemi Statistici nel Controllo Qualità. Versione: 1 / Marzo 2010 Doc. n.

1x1 qs-stat. Pacchetto Software per la Soluzione di Problemi Statistici nel Controllo Qualità. Versione: 1 / Marzo 2010 Doc. n. 1x1 qs-stat Pacchetto Software per la Soluzione di Problemi Statistici nel Controllo Qualità Versione: 1 / Marzo 2010 Doc. n.: PD-0012 Copyright 2010 Q-DAS GmbH & Co. KG Eisleber Str. 2 D - 69469 Weinheim

Dettagli

RELAZIONE TRA VARIABILI QUANTITATIVE. Lezione 7 a. Accade spesso nella ricerca in campo biomedico, così come in altri campi della

RELAZIONE TRA VARIABILI QUANTITATIVE. Lezione 7 a. Accade spesso nella ricerca in campo biomedico, così come in altri campi della RELAZIONE TRA VARIABILI QUANTITATIVE Lezione 7 a Accade spesso nella ricerca in campo biomedico, così come in altri campi della scienza, di voler studiare come il variare di una o più variabili (variabili

Dettagli

Può la descrizione quantomeccanica della realtà fisica considerarsi completa?

Può la descrizione quantomeccanica della realtà fisica considerarsi completa? Può la descrizione quantomeccanica della realtà fisica considerarsi completa? A. Einstein, B. Podolsky, N. Rosen 25/03/1935 Abstract In una teoria completa c è un elemento corrispondente ad ogni elemento

Dettagli

La MKT (Mean Kinetic Temperature) come criterio di accettabilità sui controlli della temperatura

La MKT (Mean Kinetic Temperature) come criterio di accettabilità sui controlli della temperatura La (Mean Kinetic Temperature) come criterio di accettabilità sui controlli della temperatura Come funzionano i criteri di valutazione sulla temperatura Vi sono 5 parametri usati per la valutazione del

Dettagli

ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE

ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA ED INFERENZIALE Per gli studenti del 1 Anno della Facoltà di Agraria APPUNTI DALLE LEZIONI (A.A. 00/003) Andrea Onofri Dipartimento di Scienze Agroambientali e della

Dettagli

STUDIO DI SETTORE SM43U

STUDIO DI SETTORE SM43U ALLEGATO 3 NOTA TECNICA E METODOLOGICA STUDIO DI SETTORE SM43U NOTA TECNICA E METODOLOGICA CRITERI PER LA COSTRUZIONE DELLO STUDIO DI SETTORE Di seguito vengono esposti i criteri seguiti per la costruzione

Dettagli

ESERCIZI. x + 3 x 2 1. a) y = 4x2 + 3x 2x + 2 ; b) y = 6x2 x 1. (x + 2) 2 c) y =

ESERCIZI. x + 3 x 2 1. a) y = 4x2 + 3x 2x + 2 ; b) y = 6x2 x 1. (x + 2) 2 c) y = ESERCIZI Testi (1) Un urna contiene 20 palline di cui 8 rosse 3 bianche e 9 nere; calcolare la probabilità che: (a) tutte e tre siano rosse; (b) tutte e tre bianche; (c) 2 rosse e una nera; (d) almeno

Dettagli

DISTRIBUZIONI DI VARIABILI CASUALI DISCRETE

DISTRIBUZIONI DI VARIABILI CASUALI DISCRETE DISTRIBUZIONI DI VARIABILI CASUALI DISCRETE variabile casuale (rv): regola che associa un numero ad ogni evento di uno spazio E. variabile casuale di Bernoulli: rv che può assumere solo due valori (e.g.,

Dettagli

errore I = numero soggetti (I = 4) K = numero livelli tratt. (K = 3) popolazione varianza dovuta ai soggetti trattamento

errore I = numero soggetti (I = 4) K = numero livelli tratt. (K = 3) popolazione varianza dovuta ai soggetti trattamento Analisi della varianza a una via a misure ripetute (Anova con 1 fattore within) modello strutturale dell'analisi della varianza a misure ripetute con 1 fattore: y = μ ik 0 +π i +α k + ik ε ik interazione

Dettagli

Legge del Raffreddamento di Newton

Legge del Raffreddamento di Newton Legge del Raffreddamento di Newton www.lepla.eu Obiettivo L'obiettivo di questo esperimento è studiare l'andamento temporale della temperatura di un oggetto che si raffredda e trovare un modello matematico

Dettagli

Equilibrio Termico tra Due Corpi

Equilibrio Termico tra Due Corpi Equilibrio Termico tra Due Corpi www.lepla.eu OBIETTIVO L attività ha l obiettivo di fare acquisire allo sperimentatore la consapevolezza che: 1 il raggiungimento dell'equilibrio termico non è istantaneo

Dettagli

Dott.ssa Caterina Gurrieri

Dott.ssa Caterina Gurrieri Dott.ssa Caterina Gurrieri Le relazioni tra caratteri Data una tabella a doppia entrata, grande importanza riveste il misurare se e in che misura le variabili in essa riportata sono in qualche modo

Dettagli

MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE

MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE Se il coefficiente di correlazione r è prossimo a 1 o a -1 e se il diagramma di dispersione suggerisce una relazione di tipo lineare, ha senso determinare l equazione

Dettagli

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015 Compito di SISTEMI E MODELLI 9 Febbraio 5 Non é ammessa la consultazione di libri o quaderni. Le risposte vanno giustificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche l ordine e la chiarezza di esposizione.

Dettagli

FACOLTA DI INGEGNERIA SCHEDA DIDATTICA N 1

FACOLTA DI INGEGNERIA SCHEDA DIDATTICA N 1 FACOLTA DI INGEGNERIA CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA PER L AMBIENTE ED IL TERRITORIO CORSO DI STATISTICA E CALCOLO DELLE PROBABILITA PROF. PASQUALE VERSACE SCHEDA DIDATTICA N ARGOMENTO: CALCOLO DELLE PROBABILITA

Dettagli

OGNI SPAZIO VETTORIALE HA BASE

OGNI SPAZIO VETTORIALE HA BASE 1 Mimmo Arezzo OGNI SPAZIO VETTORIALE HA BASE CONVERSAZIONE CON ALCUNI STUDENTI DI FISICA 19 DICEMBRE 2006 2 1 Preliminari Definizione 1.0.1 Un ordinamento parziale (o una relazione d ordine parziale)

Dettagli

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE

DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DI UN GRUPPO DI OSSERVAZIONI O DI ESPERIMENTI, SI PERVIENE A CERTE CONCLUSIONI, LA CUI VALIDITA PER UN COLLETTIVO Più AMPIO E ESPRESSA

Dettagli

Esercizi Capitolo 5 - Alberi

Esercizi Capitolo 5 - Alberi Esercizi Capitolo 5 - Alberi Alberto Montresor 19 Agosto, 2014 Alcuni degli esercizi che seguono sono associati alle rispettive soluzioni. Se il vostro lettore PDF lo consente, è possibile saltare alle

Dettagli

Valore caratteristico EC7

Valore caratteristico EC7 Procedura da adottare - Azioni (E) Valore caratteristico EC7 Per le combinazioni delle azioni si rimanda a quanto detto ampiamente in precedenza. Resistenze (Rd) del sistema geotecnico Il valore di progetto

Dettagli

VC-dimension: Esempio

VC-dimension: Esempio VC-dimension: Esempio Quale è la VC-dimension di. y b = 0 f() = 1 f() = 1 iperpiano 20? VC-dimension: Esempio Quale è la VC-dimension di? banale. Vediamo cosa succede con 2 punti: 21 VC-dimension: Esempio

Dettagli

Calcolo delle Probabilità

Calcolo delle Probabilità Calcolo delle Probabilità Il calcolo delle probabilità studia i modelli matematici delle cosidette situazioni di incertezza. Molte situazioni concrete sono caratterizzate a priori da incertezza su quello

Dettagli

10 parole chiave sul Rapporto di Autovalutazione

10 parole chiave sul Rapporto di Autovalutazione 10 parole chiave sul Rapporto di Autovalutazione LA MAPPA Il RAV non è solo prove Invalsi, ci sono molte altre cose da guardare in una scuola: i processi organizzativi, la didattica, le relazioni, ecc.

Dettagli

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE 1 DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Se ho alcuni vettori v 1, v 2,, v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,, v n di V da loro generato è

Dettagli

ma quanto è antico quest osso?

ma quanto è antico quest osso? ATTIVITÀ: ma quanto è antico quest osso? LIVELLO SCOLARE: primo biennio della scuola secondaria di secondo grado PREREQUISITI: lettura e costruzione di grafici, concetti di base di statistica modello atomico,

Dettagli

Analisi termografica su celle litio-ione sottoposte ad esperienze di "second life" Francesco D'Annibale, Francesco Vellucci. Report RdS/PAR2013/191

Analisi termografica su celle litio-ione sottoposte ad esperienze di second life Francesco D'Annibale, Francesco Vellucci. Report RdS/PAR2013/191 Agenzia nazionale per le nuove tecnologie, l energia e lo sviluppo economico sostenibile MINISTERO DELLO SVILUPPO ECONOMICO Analisi termografica su celle litio-ione sottoposte ad esperienze di "second

Dettagli

MODELLI LINEARI E NON LINEARI IN R

MODELLI LINEARI E NON LINEARI IN R MODELLI LINEARI E NON LINEARI IN R Angelo M. Mineo Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche S. Vianelli Università degli Studi di Palermo Copyright 2008 Angelo M. Mineo. All rights reserved. i

Dettagli

Comunicazioni obbligatorie e altri archivi amministrativi: dati e indicatori sul buon lavoro Luigi Fabbris

Comunicazioni obbligatorie e altri archivi amministrativi: dati e indicatori sul buon lavoro Luigi Fabbris Comunicazioni obbligatorie e altri archivi amministrativi: dati e indicatori sul buon lavoro Luigi Fabbris Università di Padova Comstat Schema della presentazione 1. Il progetto PLUG_IN 2. Il buon lavoro

Dettagli

FUNZIONI AVANZATE DI EXCEL

FUNZIONI AVANZATE DI EXCEL FUNZIONI AVANZATE DI EXCEL Inserire una funzione dalla barra dei menu Clicca sulla scheda "Formule" e clicca su "Fx" (Inserisci Funzione). Dalla finestra di dialogo "Inserisci Funzione" clicca sulla categoria

Dettagli

Zuccheri. Zuccheri, dolci e bevande. zuccherate: nei giusti limiti

Zuccheri. Zuccheri, dolci e bevande. zuccherate: nei giusti limiti 4. Zuccheri Zuccheri, dolci e bevande zuccherate: nei giusti limiti 4. Zuccheri, dolci e bevande zuccherate: nei giusti limiti 36 1. ZUCCHERI E SAPORE DOLCE Tutti gli zuccheri sono fonti di energia e non

Dettagli

ANALISI DELLA VARIANZA A PIU CRITERI DI CLASSIFICAZIONE

ANALISI DELLA VARIANZA A PIU CRITERI DI CLASSIFICAZIONE ANALISI DELLA VARIANZA A PIU CRITERI DI CLASSIFICAZIONE CON REPLICHE INTRODUZIONE Lo studio di un fenomeno non si deve limitareit alla valutazione dei singoli fattori in studio ma molto spesso è importante

Dettagli

L approccio parametrico o delle varianze-covarianze

L approccio parametrico o delle varianze-covarianze L approccio parametrico o delle varianze-covarianze Slides tratte da: Andrea Resti Andrea Sironi Rischio e valore nelle banche Misura, regolamentazione, gestione Egea, 2008 AGENDA Il VaR nell ipotesi di

Dettagli

IL CONTROLLO STATISTICO DI QUALITA

IL CONTROLLO STATISTICO DI QUALITA IL CONTROLLO STATISTICO DI QUALITA 1. Introduzione Realizzare un prodotto di qualità significa produrre rispettando certe specifiche e livelli di tolleranza prestabiliti, sulla base delle aspettative e

Dettagli

ITCG Cattaneo via Matilde di canossa n.3 - Castelnovo ne' Monti (RE) SEZIONE I.T.I. - Corso di Fisica - prof. Massimo Manvilli

ITCG Cattaneo via Matilde di canossa n.3 - Castelnovo ne' Monti (RE) SEZIONE I.T.I. - Corso di Fisica - prof. Massimo Manvilli ITCG C. CATTANEO via Matilde di Canossa n.3 - Castelnovo ne' Monti (Reggio Emilia) Costruzione del grafico di una funzione con Microsoft Excel Supponiamo di aver costruito la tabella riportata in figura

Dettagli

GUIDA CONFIGURAZIONE ED UTILIZZO GPS SAFE COME ANTIFURTO PER MOTO

GUIDA CONFIGURAZIONE ED UTILIZZO GPS SAFE COME ANTIFURTO PER MOTO GUIDA CFIGURAZIE ED UTILIZZO GPS SAFE COME ANTIFURTO PER MOTO Sommario: Download ed aggiornamento firmware GPS SAFE... 3 Track Manager, download ed installazione.... 4 Configurazione GPS SAFE ed utilizzo

Dettagli

4. Operazioni elementari per righe e colonne

4. Operazioni elementari per righe e colonne 4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:

Dettagli

Addio agli studi. L impatto dei fattori sociali e delle motivazioni individuali sulla scelta di abbandonare l università

Addio agli studi. L impatto dei fattori sociali e delle motivazioni individuali sulla scelta di abbandonare l università Università degli Studi di Milano - Bicocca Nucleo di Valutazione Addio agli studi. L impatto dei fattori sociali e delle motivazioni individuali sulla scelta di abbandonare l università Alessandra Caserini

Dettagli

Gli indicatori socio-sanitari. sanitari

Gli indicatori socio-sanitari. sanitari Gli indicatori socio-sanitari sanitari 1 1 INDICATORI SOCIO-SANITARI Misurare: EFFICACIA (rispetto degli obiettivi prefissati) EFFICIENZA (rispetto delle azioni e risorse impegnate) del sistema ospedaliero

Dettagli

Dall italiano alla logica proposizionale

Dall italiano alla logica proposizionale Rappresentare l italiano in LP Dall italiano alla logica proposizionale Sandro Zucchi 2009-10 In questa lezione, vediamo come fare uso del linguaggio LP per rappresentare frasi dell italiano. Questo ci

Dettagli

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i

DISTRIBUZIONE di PROBABILITA. Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che può assumere i DISTRIBUZIONE di PROBABILITA Si dice variabile aleatoria (o casuale) discreta X una quantità variabile che uò assumere i valori: ; ;, n al verificarsi degli eventi incomatibili e comlementari: E ; E ;..;

Dettagli

LINEE GUIDA PER LA REVISIONE SISTEMATICA DI LETTERATURA

LINEE GUIDA PER LA REVISIONE SISTEMATICA DI LETTERATURA LINEE GUIDA PER LA REVISIONE SISTEMATICA DI LETTERATURA report tecnico nr. 03/08 v. 1 indice dei contenuti 1. Utilità delle RSL Pag. 1 2. Principali metodi Pag. 2 3. Esempi di RSL Pag. 3 4. Protocollo

Dettagli

Filomena Maggino, L analisi dei dati nell indagine statistica. Volume 1: la realizzazione dell indagine e l analisi preliminare dei dati, ISBN:

Filomena Maggino, L analisi dei dati nell indagine statistica. Volume 1: la realizzazione dell indagine e l analisi preliminare dei dati, ISBN: Filomena Maggino, L analisi dei dati nell indagine statistica. Volume 1: la realizzazione dell indagine e l analisi preliminare dei dati, ISBN: 88-8453-208-6 (print) ISBN: 88-8453-207-8 (online), Firenze

Dettagli

Dall italiano al linguaggio della logica proposizionale

Dall italiano al linguaggio della logica proposizionale Dall italiano al linguaggio della logica proposizionale Dall italiano al linguaggio della logica proposizionale Enunciati atomici e congiunzione In questa lezione e nelle successive, vedremo come fare

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Lezioni di STATISTICA MATEMATICA A

Lezioni di STATISTICA MATEMATICA A Università di Modena e Reggio Emilia Facoltà di Ingegneria Lezioni di STATISTICA MATEMATICA A Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Corso di Laurea in Ingegneria dei Materiali - Anno Accademico 010/11

Dettagli

Consumo medio giornaliero di sodio e potassio nella popolazione italiana adulta

Consumo medio giornaliero di sodio e potassio nella popolazione italiana adulta PROGRAMMA MINISAL Sottoprogetto ISS www.menosalepiusalute.it MINISAL-GIRCSI BUONE PRATICHE SULL'ALIMENTAZIONE: VALUTAZIONE DEL CONTENUTO DI SODIO, POTASSIO E IODIO NELLA DIETA DEGLI ITALIANI Consumo medio

Dettagli

1. Scopo dell esperienza.

1. Scopo dell esperienza. 1. Scopo dell esperienza. Lo scopo di questa esperienza è ricavare la misura di tre resistenze il 4 cui ordine di grandezza varia tra i 10 e 10 Ohm utilizzando il metodo olt- Amperometrico. Tale misura

Dettagli

Principal Component Analysis (PCA)

Principal Component Analysis (PCA) Principal Component Analysis (PCA) Come evidenziare l informazione contenuta nei dati S. Marsili-Libelli: Calibrazione di Modelli Dinamici pag. Perche PCA? E un semplice metodo non-parametrico per estrarre

Dettagli

STUDI CLINICI 1. Che cosa è uno studio clinico e a cosa serve? 2. Come nasce la sperimentazione clinica e che tipi di studi esistono?

STUDI CLINICI 1. Che cosa è uno studio clinico e a cosa serve? 2. Come nasce la sperimentazione clinica e che tipi di studi esistono? STUDI CLINICI 1. Che cosa è uno studio clinico e a cosa serve? Si definisce sperimentazione clinica, o studio clinico controllato, (in inglese: clinical trial), un esperimento scientifico che genera dati

Dettagli

La programmazione di uno studio clinico: dalla domanda al disegno

La programmazione di uno studio clinico: dalla domanda al disegno Metodo epidemiologici per la clinica _efficacia / 1 La programmazione di uno studio clinico: dalla domanda al disegno La buona ricerca clinica Non è etico ciò che non è rilevante scientificamente Non è

Dettagli

Statistical Process Control

Statistical Process Control Statistical Process Control 1 Introduzione SPC si occupa del miglioramento della qualità. I metodi per il miglioramento della qualità possono essere applicati a qualsiasi area in una fabbrica o organizzazione

Dettagli

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue.

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. 10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Lo scopo principale di questo capitolo è quello di far vedere che esistono sottoinsiemi di R h che non sono misurabili secondo Lebesgue. La costruzione di insiemi

Dettagli