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1 Università di Napoli Parthenope Facoltà di Ingegneria Corso di Comunicazioni Elettriche docente: Prof. Vito Pascazio 1 a Lezione: 9/04/003

2 Sommario Caratterizzazione energetica di processi aleatori Processi aleatori nel dominio della frequenza Densità spettrale di potenza di un p.a. eorema di Wiener-Khinchin

3 Caratterizzazione energetica dei segnali aleatori orniamo sulla definizione di potenza (o contenuto di potenza) di un segnale aleatorio stazionario (t) P = E lim E () t dt 4443 t ( ) P = E = 1 lim [ () ] t ed estendiamola al caso di segnali aleatori arbitrari: E 1 [ () ] t dt = lim R ( t, t) Se il processo (t) è stazionario, allora R (t,t)=r (0), quindi: P 1 = lim R 0 ( 0) dt = R ( ) dt 3

4 Caratterizzazione energetica dei segnali aleatori Se inoltre il processo aleatorio (t) oltre che stazionario è anche ergodico, allora si ha che ( ) Pi P = R 0 = dove P i è la potenza calcolata come media temporale di una generica funzione realizzazione del processo aleatorio. Quanto determinato per il calcolo della potenza di un segnale aleatorio, può essere esteso, con le opportune differenziazioni, al caso del calcolo dell energia di un segnale aleatorio. 4

5 Processi Aleatori nel Dominio della Frequenza Nel contesto dei segnali deterministici è stato già osservato che l uso di tecniche che operino nel dominio della frequenza, soprattutto nel caso di interazione degli stessi con sistemi LI, semplifica notevolmente la trattazione. Inoltre, la rappresentazione nel dominio della frequenza, di per sé, permette di introdurre altri concetti fondamentali come il concetto di banda, di attenuazione, etc. Ora cerchiamo di estendere questi concetti ai segnali aleatori. 5

6 Processi Aleatori nel Dominio della Frequenza Si potrebbe cominciare definendo la trasformata di Fourier di ogni funzione campione del processo: x F () t x ( f ) funzione campione del processo nel d.t. ~ funzione campione del processo nel d.f. introducendo quindi un nuovo processo aleatorio che descriva la trasformata di Fourier del processo. Un problema nasce dalla impossibilità di garantire che ogni funzione campione abbia una rasformata di Fourier. 6

7 Processi Aleatori nel Dominio della Frequenza Un approccio alternativo consiste nel definire le densità spettrali di potenza. Per la verità, anche per le densità spettrali di potenza, ottenute dall estensione della definizione data nel caso di segnali deterministici, si hanno problemi legati all impossibilità di calcolare per ogni funzione campione la loro espressione. Dobbiamo allora definire in maniera appropriata una densità spettrale nel caso dei segnali aleatori. 7

8 Processi Aleatori nel Dominio della Frequenza Sia (t) un processo aleatorio, e sia x (t)= (t,ζ ) una sua realizzazione. Per definire la densità spettrale di questa funzione campione del processo, ne definiamo un troncamento: x () t = x 0, () t, t altrove In questo modo siamo sicuri che il segnale troncato sia un segnale di energia per cui è possibile calcolare la trasformata di Fourier. 8

9 x troncamento della funzione campione del processo nel d.t. Processi Aleatori nel Dominio della Frequenza ~ F () t x ( f ) rasformata di Fourier del troncamento della funzione campione del processo Sia x () t, sia ~ x ( f ) sono funzioni campione dei rispettivi ~ processi aleatori t e f () ( ). La corrispondente densità spettrale di energia è data da: ~ f x ( ) Una volta nota la densità spettrale di energia, possiamo definire la densità spettrale di potenza del troncamento della funzione campione del processo aleatorio: ~ x ( f ) 9

10 Processi Aleatori nel Dominio della Frequenza Ora, facendo tendere ad infinito, possiamo definire la densità spettrale di potenza della funzione campione del processo S x ( f ) = lim ~ x ( f ) Quest ultima, a sua volta, descrive un processo aleatorio, cioè per ogni funzione campione del processo abbiamo una funzione campione della sua densità spettrale di potenza, o detto in altro modo, per ogni f abbiamo una variabile aleatoria legata alla quantità di potenza associata al processo a quella frequenza. 10

11 Processi Aleatori nel Dominio della Frequenza Definiamo allora densità spettrale di potenza del processo aleatorio la seguente quantità: S ( f ) = E lim ~ ( f ) ( f ) ~ = lim E Che è una estensione al caso aleatorio della definizione data nel caso di segnali deterministici. 11

12 Esempio Processi Aleatori nel Dominio della Frequenza x 1 (t)= (t,ζ 1 ) () t = A A variabile aleatorie A U[-1,1] x (t)= (t,ζ ) t Processo aleatorio a tempo continuo e a valori continui x (t)= (t,ζ ) t t 1

13 Esempio (continua) Processi Aleatori nel Dominio della Frequenza x 1 (t)= (t,ζ 1 ) t ~ () t t = AΠ F ( f ) = Asinc( f ) x (t)= (t,ζ ) t x (t)= (t,ζ ) t 13

14 Esempio (continua) x 1 (t)= (t,ζ 1 ) Processi Aleatori nel Dominio della Frequenza F ~ x 1 ( f ) t f x (t)= (t,ζ ) F ~ x ( f ) t f x (t)= (t,ζ ) F ~ x 3 ( f ) t f 14

15 Esempio (continua) Processi Aleatori nel Dominio della Frequenza A questo punto possiamo calcolare la densità spettrale di potenza sfruttando la definizione: S ( f ) = ( f ) ~ lim E ( f ) = Asinc( f ) ~ con S ( ) [ ] f = lim E A sinc ( f ) limsinc ( ) ( ) [ f = δ f, E A ] = 1 3 che alla fine diventa: S 1 3 ( f ) = δ ( f ) 15

16 eorema di Wiener-Khinchin È un importantissimo teorema che lega la densità spettrale di potenza di un processo aleatorio con la sua funzione di autocorrelazione. eorema di W-K Sia (t) un processo aleatorio e sia R (t+τ,t)=e[(t +τ)(t)] la sua funzione di autocorrelazione. Se per ogni valore finito τ, e per ogni intervallo I di durata τ si ha che: R I ( t + τ, t) dt <, allora la densità spettrale di potenza S (f) di (t) è la trasformata di Fourier di: 1 + ( t τ, t) = lim R ( t + τ, t) dt s ( τ ) R = 16

17 eorema di Wiener-Khinchin Corollario del eorema di W-K Sia (t) un processo aleatorio stazionario per cui τr (τ) assuma valori finiti per ogni valore finito τ. Allora S ( f ) = F [ ( τ )] R La cui dimostrazione deriva direttamente dal teorema precedente. Infatti: 1 + ( t τ, t) = R ( τ ) = lim R ( τ ) dt R ( τ ) R = 17

18 eorema di Wiener-Khinchin Ricordiamo la definizione di potenza di un segnale aleatorio data precedentemente: [ () ] 1 P = E t = E () t dt lim Calcoliamo ora la potenza seguendo un altra via, integrando cioè la densità spettrale di potenza appena introdotta: S τ = 0 τ = 0 jπfτ ( f ) df = S ( f ) e df = R ( t + τ, t) = = 1 lim E 1 = lim [ ( t + τ ) ( t) ] dt = E = () t dt P τ = 0 18

19 eorema di Wiener-Khinchin Consideriamo un generico processo aleatorio stazionario ed ergodico. Consideriamo una sua funzione campione x (t), e ne calcoliamo dapprima la funzione di autocorrelazione deterministica r x 1 = ( τ ) lim x () t x ( t τ )dt e poi la funzione densità spettrale di potenza: S x ( f ) r ( τ ) e d j τ = π f x τ 19

20 eorema di Wiener-Khinchin Ora, dato che il processo è ergodico, la autocorrelazione deterministica della generica funzione campione coincide con la autocorrelazione statistica del processo: R m. q. 1 = ( τ ) E[ ( t) ( t τ )] = lim x () t x ( t τ ) dt = r ( τ ), x Di conseguenza, trasformando secondo Fourier: E applicando il eorema di W-K nelle due forme: F [ R ( τ )] = F r ( τ ) [ ], aleatorio e deterministico S ( f ) = ( f ), Sx x 0

21 eorema di Wiener-Khinchin E cioè, per processi aleatori stazionari ed ergodici, la densità spettrale di potenza di ogni funzione campione del processo è uguale alla densità spettrale di potenza del processo. Come commento finale alla densità spettrale di potenza, va sottolineato che è una funzione reale, non negativa, ed è una funzione pari della frequenza. 1

22 Fine 1 a Lezione

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