SOLUZIONI ESERCITAZIONE NR. 6 Variabili casuali binomiale e normale

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1 SOLUZIONI ESERCITAZIONE NR. 6 Variabili casuali binomiale e normale ESERCIZIO nr. 1 I Presidi delle scuole medie superiori di una certa cittá italiana hanno indetto tra gli studenti dell ultimo anno una gara di comprensione della lingua inglese con in palio 4 vacanze studio nel Regno Unito. La gara prevede l ascolto di 5 brani di difficoltá crescente ( A2 PRE-INTERMEDIATE, B1 LOWER- INTERMEDIATE, B2 UPPER-INTERMEDIATE, C1 ADVANCED, C2 PROFICIENCY ) e l esecuzione di un test finalizzato ad appurare la comprensione di ciascun brano ascoltato. Il livello di comprensione della lingua inglese conseguito da ciascun studente é stato identificato nel piú alto livello di difficoltá per il quale il test sia stato superato con successo; seguono i risultati ottenuti: Livello di comprensione della lingua inglese conseguito % A2 PRE-INTERMEDIATE 15 B1 LOWER-INTERMEDIATE 38 B2 UPPER-INTERMEDIATE 28 C1 ADVANCED 12 C2 PROFICIENCY 7 Si supponga che i Presidi decidano di attribuire le vacanze studio in palio a 4 studenti scelti casualmente tramite estrazioni con reinserimento. Ció premesso, si valutino: 1. la probabilitá che i 4 studenti estratti abbiano conseguito livello di comprensione della lingua inglese B1 LOWER-INTERMEDIATE Si indichi con X la variabile casuale che interpreti il numero di studenti che nel campione bernoulliano di ampiezza n 4 estratto abbiano conseguito livello di comprensione della lingua inglese B1 LOWER-INTERMEDIATE. Poiché: a. l esperimento casuale in questione consiste nell esecuzione di n 4 estrazioni che prevedono, ciascuna di esse, il reinserimento dello studente estratto (ossia le estrazioni sono tra loro indipendenti, cioé l esito di ciascuna estrazione non influenza probabilisticamente l esito delle estrazioni successive), b. ciascuna prova ha come esito uno solo di due eventi tra loro contrari ed esaustivi, B1 LOWER-INTERMEDIATE, identificato alla stregua di successo e un qualunque altro livello di comprensione della lingua inglese differente da esso, identificato alla stregua di insuccesso, c. la probabilitá di estrazione di un successo (ossia di uno studente avente conseguito livello di comprensione della lingua inglese B1 LOWER-INTERMEDIATE ) é nota, é pari a p (corrispondente alla frequenza percentuale degli studenti aventi conseguito livello di comprensione della lingua inglese B1 LOWER- 100 INTERMEDIATE nella popolazione di partenza divisa per 100: la probabilitá é un numero compreso tra 0 e 1!) ed é costante in ciascuna prova,

2 si ha che: X Bin(n 4, p 0.38), ossia X é variabile casuale Binomiale di parametri n 4 (ampiezza campionaria) e p 0.38 (probabilitá di successo), dunque caratterizzata da funzione di probabilitá: ( ) 4 P (X x) 0.38 x (1 0.38) 4 x x x!(4 x)! 0.38x x, x 0, 1, 2, 3, 4. Ció premesso, quanto richiesto dal quesito corrisponde dunque a: P (X 4) 0! la probabilitá che almeno 3 dei 4 studenti estratti abbiano conseguito livello di comprensione della lingua inglese B1 LOWER-INTERMEDIATE Poiché la dicitura almeno equivale alla dicitura maggiore o uguale a, quanto richiesto dal quesito (sfruttando evidentemente quanto determinato al punto precedente) corrisponde a: P (X 3) P (X 3) + P (X 4) 3! 1! Nonostante una qualunque calcolatrice scientifica consenta il calcolo del fattoriale (!) di qualunque numero, ai fini del calcolo sopra proposto si noti che (3 2 1) 4 3!. 3. la probabilitá che al piú 1 dei 4 studenti estratti abbia conseguito livello di comprensione della lingua inglese B1 LOWER-INTERMEDIATE Poiché la dicitura al piú equivale alla dicitura minore o uguale a, quanto richiesto dal quesito corrisponde a: P (X 1) P (X 0) + P (X 1) 0! ! 3! Si determinino infine media e deviazione standard del numero di studenti estratti aventi conseguito livello di comprensione della lingua inglese B1 LOWER-INTERMEDIATE commentando i risultati ottenuti

3 La media o valore atteso del numero di studenti estratti aventi conseguito livello di comprensione della lingua inglese B1 LOWER-INTERMEDIATE, ossia il valore atteso di X, risulta: E (X) np , dunque estraendo 4 studenti con reinserimento dalla popolazione in esame ci si attende di riscontrare mediamente tra 1 e 2 studenti aventi conseguito livello di comprensione della lingua inglese B1 LOWER-INTERMEDIATE. La deviazione standard di X risulta: SD (X) V (X) np (1 p) (1 0.38) , ossia, mediamente, il numero di studenti estratti aventi conseguito livello di comprensione della lingua inglese B1 LOWER-INTERMEDIATE si discosta in piú o in meno dal numero atteso di studenti in questione di circa 1 studente. In definitiva, estraendo con reinserimento 4 studenti, ci si attende 1.52 ± studenti aventi conseguito livello di comprensione della lingua inglese B1 LOWER-INTERMEDIATE. ESERCIZIO nr. 2 Il settore marketing di una nota compagnia telefonica intende introdurre alcuni nuovi piani tariffari. Al fine di proporre delle innovazioni compatibili con le esigenze della clientela e di acquisire il maggior numero possibile di nuovi clienti, la compagnia in questione decide anzitutto di condurre un indagine sul traffico telefonico effettuato dai propri utenti. Da tale indagine si riscontra che la durata in secondi delle chiamate effettuate possa ragionevolmente essere interpretata da una variabile casuale Normale di media 2 secondi e deviazione standard secondi. Ciò premesso, si valutino: 1. la probabilitá che una telefonata duri non piú di un minuto Si indichi con X la variabile casuale che interpreti la durata in secondi delle chiamate effettuate dall utenza della compagnia telefonica in questione; per quanto suggerito dal testo dell esercizio, X é una variabile casuale Normale di media µ 2 secondi e varianza σ secondi 2, ossia: X N (2, 6400). Ció premesso, essendo 1 minuto pari a 60 secondi, quanto richiesto dal quesito si identifica in: P (X 60).

4 Ricorrendo, a tal fine, alla standardizzazione di X, risulta dunque: ( X µ P (X 60) P 60 µ ) ( ) 60 2 P Z P (Z 2.75). Poiché z 2.75 < 0 non é presente tra i valori di z contemplati dalle tavole della variabile casuale Normale standardizzata (rappresentati dai numeri reali non negativi e inferiori a 3.5), ai fini della valutazione della probabilitá dell evento in questione, si rende necessario nell ordine: a. sfruttare la proprietá di simmetria rispetto alla propria media (pari a zero) della curva a campana che rappresenta la funzione di densitá della variabile casuale Normale standardizzata, che garantisce che: P (Z 2.75) P (Z 2.75), b. sfruttare il fatto che l area totale sotto la curva a campana in questione é pari a 1; ció garantisce che: P (Z 2.75) 1 P (Z < 2.75), c. ricordare che includendo od escludendo gli estremi di un intervallo non si altera la probabilitá che Z assuma valori in tale intervallo (essendo Z variabile casuale continua); ció garantisce che: In definitiva, risulta: P (Z < 2.75) P (Z 2.75). P (X 60) 1 P (Z 2.75). Ai fini della determinazione di P (Z 2.75) é possibile stavolta ricorrere alle tavole in questione, dalle quali, incentrando l attenzione sulla casella giacente sull intersezione tra la riga intestata con 2.7 (parte intera e prima cifra dopo la virgola di z 2.75) e la colonna intestata con.05 (seconda cifra dopo la virgola di z 2.75), risulta: In conclusione: P (Z 2.75) P (X 60) 1 P (Z 2.75) la probabilitá che una telefonata duri piú di 5 minuti Essendo 5 minuti pari a secondi, quanto richiesto dal quesito si identifica in: P (X > 300).

5 Ricorrendo, a tal fine, alla standardizzazione di X, risulta dunque: ( X µ P (X > 300) P > 300 µ ) ( ) P Z > P (Z > 0.25). Per ricondursi ad una probabilitá del tipo P (Z z) con z positivo (dunque per porsi nelle condizioni che consentano il ricorso alle tavole della variabile casuale Normale standard) si rende necessario sfruttare il fatto che l area totale sotto la curva a campana che rappresenta la funzione di densitá della variabile casuale Normale standard é pari a 1; ció garantisce che: P (Z > 0.25) 1 P (Z 0.25). A questo punto, ai fini della determinazione di P (Z 0.25) é possibile ricorrere alle tavole in questione, dalle quali, incentrando l attenzione sulla casella giacente sull intersezione tra la riga intestata con 0.2 (parte intera e prima cifra dopo la virgola di z 0.25) e la colonna intestata con.05 (seconda cifra dopo la virgola di z 0.25), risulta: P (Z 0.25) In conclusione: P (X > 300) 1 P (Z 0.25) la probabilitá che la durata di una telefonata sia compresa tra 2 e 4 minuti Essendo 2 minuti pari a secondi e 4 minuti pari a secondi, quanto richiesto dal quesito si identifica in: P (120 < X < 240). Ricorrendo, a tal fine, alla standardizzazione di X, risulta dunque: P (120 < X < 240) P (X < 240) P (X 120) ( X µ P < 240 µ ) ( X µ P 120 µ ) ( ) ( ) P Z < P Z P (Z < 0.5) P (Z 2). Per ricondursi ad una probabilitá del tipo P (Z z) con z positivo (dunque per porsi nelle condizioni che consentano il ricorso alle tavole della variabile casuale Normale standard) si rende necessario nell ordine: a. sfruttare la proprietá di simmetria rispetto alla propria media (pari a zero) della curva a campana che rappresenta la funzione di densitá della variabile casuale Normale standardizzata, che garantisce che: P (Z < 0.5) P (Z > 0.5), P (Z 2) P (Z 2)

6 b. sfruttare il fatto che l area totale sotto la curva a campana in questione é pari a 1; ció garantisce che: P (Z > 0.5) 1 P (Z 0.5), P (Z 2) 1 P (Z < 2) c. ricordare che includendo od escludendo gli estremi di un intervallo non si altera la probabilitá che Z assuma valori in tale intervallo (essendo Z variabile casuale continua); ció garantisce che: In definitiva, risultano: P (Z < 2) P (Z 2). P (X < 240) 1 P (Z 0.5), P (X 120) 1 P (Z 2). A questo punto, ai fini della determinazione di P (Z 0.5) e di P (Z 2) é possibile ricorrere alle tavole in questione, dalle quali: a. incentrando l attenzione sulla casella giacente sull intersezione tra la riga intestata con 0.5 (parte intera e prima cifra dopo la virgola di z 0.5) e la colonna intestata con.00 (seconda cifra dopo la virgola di z 0.5), risulta: P (Z 0.5) , b. incentrando l attenzione sulla casella giacente sull intersezione tra la riga intestata con 2.0 (parte intera e prima cifra dopo la virgola di z 2) e la colonna intestata con.00 (seconda cifra dopo la virgola di z 2), risulta: In conclusione: P (Z 2) P (X < 240) 1 P (Z 0.5) e dunque: P (X 120) 1 P (Z 2) , P (120 < X < 240) P (X < 240) P (X 120)

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