STATISTICA ESERCITAZIONE 11 Dott. Giuseppe Pandolfo 3 febbraio Modelli continui di probabilità: la v.c. uniforme continua

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1 STATISTICA ESERCITAZIONE 11 Dott. Giuseppe Pandolfo febbraio 2015 Modelli continui di probabilità: la v.c. uniforme continua Esercizio 1 Anna ha una gift card da 50 euro. Non si sa se sia mai stata utilizzata e nel caso sia stata usata non si conosce l ammontare ancora disponibile, è possibile ipotizzare che tale ammontare X abbia una distribuzione di probabilità uniforme continua. 1. Calcolare valore atteso e varianza di X; 2. Anna vuole fare un acquisto il cui costo sarà di 20 euro. Calcolare la probabilità che la gift card abbia credito sufficiente per fare tale acquisto? 1) E ragionevole assumere per X (la disponibilità residua della scheda) una distribuzione uniforme continua nell intervallo (0,5): X U(0, 50) Per tanto il valore atteso di X è: La varianza: E X = a + b 2 = 50/2 = 25 E X = a b 2 12 = 2500/12 = 208, 2) La probabilità da calcolare é P(X 20). Usando la formula per la funzione di ripartizione di una variabile casuale uniforme otteniamo:

2 P X 20 = 1 P X 20 = 1 x a b a = = 1 0, 4 = 0, Esercizio 2 La v.c. Normale: uso delle tavole E noto che un certo tipo di dati si distribuiscono secondo una gaussiana di media 7 e deviazione standard pari a. Calcolare: a) P(5,5 X 7,4) b) P(4 X 10) c) P(X 6,4) Determinare inoltre: d) il secondo decile e) il primo quartile f) il 80-esimo percentile a) P 5,5 X 7,4 = P 5,5 7 Z 7,4 7 = P 0,5 Z 0,1 = P Z 0,1 1 P Z 0,5 = 0, ,6915 = 0,5517 0,085 = 0,242 b) P 4 X 10 = P 4 7 Z 10 7 = P 1 Z 1 = P Z 1 1 P Z 1 = 0, ,841 = 0,841 0,1587 = 0,6826

3 c) P X 6,4 = 1 P Z 6, ,579 =0,579 = 1 P Z 0,2 = 1 1 P Z 0,2 = 1 d) Il secondo decile corrisponde a: P Z > z 0,20 = 0,80 Vista la proprietà di simmetria della distribuzione Normale il secondo decile corrisponde al 80- esimo percentile, occorre quindi individuare il valore in ascissa alla sinistra del quale si trova il 90% della distribuzione di probabilità: P Z z 0,80 = 0,80 Dalle tavole risulta che il valore più vicino a 0,80 è tra 0,84 0,85, per cui z 0,80 = 0,845 e z 0,20 = 0,845. Partendo dalla standardizzazione di X abbiamo che il secondo decile corrisponde a: X 0,20 = μ + σ z 0,20 = 7 + 0,845 = 4,465 e) il primo quartile: P Z > z 0,25 = 0,75 Per la proprietà della simmetria P Z z 0,75 = 0,75 Dalle tavole risulta che il valore più vicino a 0.75 è compreso tra 0.67 e 0.68, per cui z 0,75 = 0,675 e z 0,25 = 0,675. Il primo quartile corrisponde a: X 0,25 = μ + σ z 0,25 = 7 + 0,675 = 4,975

4 f) il 80-esimo decile corrisponde al secondo decile già calcolato in precedenza. Esercizio La durata delle gomme per auto segue una distribuzione normale di media 8000 km e deviazione standard km. a) Qual è la proporzione delle gomme che durano meno di 7000 km? b) La pubblicità dice che il 90% delle nostre gomme durano più di x km. Qual è il valore di x? Per calcolare tale probabilità occorre standardizzare la distribuzione delle gomme per ricondurla alla normale standardizzata. Se X~N μ = 8000, σ = Allora e quindi abbiamo che: Z = X 8000 ~N 0,1 P X < 7000 = P X 8000 < = 1 0,9515 = 0, = P Z < = P Z < 1,66 Per risolvere il secondo punto dobbiamo trovare il percentile della distribuzione standardizzata per poi applicare la trasformazione inversa alla standardizzazione quindi si ha che: P Z < q Z = 0,9 q Z 1,28 P Z > q Z = 0,9 q Z 1,28 q Z = 1, = q x = 722

5 Esercizio 4 Una azienda che produce accumulatori di energia per impianti industriali. Sa che la durata di un accumulatore (in giorni) si distribuisce come una normale con µ = 1400 e σ 2 = 000. Essa risarcisce 000 euro all acquirente se la durata della macchina è inferiore a Calcolare la probabilità che 1) in seguito alla vendita di un accumulatori l azienda debba risarcire 000 euro; 2) su 5 accumulatori venduti l azienda debba risarcire al massimo 000 euro; 1) La durata in giorni di un accumulatore sia definita X, e allora X~N 1400,000 L azienda risarcisce il compratore solamente se l accumulatore ha durata inferiore a Dunque la probabilità da calcolare è: P X < 1200 = P Z < 000 = P Z <,65 = 1 0,99 = 0,01 2) Dire che su 5 accumulatori venduti l azienda deve risarcire al massimo 000 euro è equivalente a dire che su 5 accumulatori venduti al massimo uno ha durata inferiore a Pertanto la probabilità richiesta è la probabilità che su 5 accumulatori al massimo uno dura meno di 1200 giorni. Indicando con N la variabile casuale che descrive il numero di accumulatori con durata inferiore a 1200 tra i 5 venduti, si ha N Bin(5, p = 0, 01), dove la probabilità di successo della binomiale p è in questo caso data dalla probabilità che un accumulatore abbia durata inferiore a 1200 giorni (calcolata al punto 1). Quindi P N 1 = P N = 0 + P N = 1 = 5 0 0, , , ,01 4 = 0, ,01 0,96 = 0,998

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