SEQUENZE DI NUMERI PSEUDO- CASUALI

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1 SEQUENZE DI NUMERI PSEUDO- CASUALI Test Statistici sulle Sequenze Pseudo Casuali E di fondamentale importanza per una buona riuscita della SIMULAZIONE ( affidabilità dei risultati), che le sequenze pseudo casuali abbiano due proprietà: INDIPENDENZA le variabili casuali i e j sono considerate INDIPENDENTI se, quando i accade prima di j, in nessun modo j sia statisticamente dipendente da l valore assunto da i e viceversa UNIFORMITA se si assume che una sequenza sia UNIFORMEMENTE DISTRIBUITA, per esempio in (0,), allora ogni SOTTOSEQUENZA di questi numeri è UNIFORMEMENTE DISTRIBUITA in (0,) Per verificare tali proprietà si utilizzano dei TEST STATISTICI, la maggior parte dei quali si fonda su di una procedura generale detta TEST CHI QUADRO 2

2 Distribuzioni e Inverse Distribuzione CDF F() Inverse Esponenziale Valori estremi Geometrica Logistica e a e / ( p) ln( p) + e ( a) / b ( µ )/ b alnu a + bln ln u ln u µ b ln µ Pareto Weibull a e / ( a ) b / µ a / a ( ln u)b 3 Generatori di Numeri Non Uniformemente Distribuiti La DISTRIBUZIONE UNIFORME può essere utilizzata per generare numeri pseudo casuali derivanti da una DISTRIBUZIONE QUALSIASI Ciò è dovuto alla seguente proprietà METODO DELLA TRASFORMAZIONE INVERSA, Se: Xi è una sequenza uniformemente distribuita in (0,) ha DENSITA f() e DISTRIBUZIONE F() Allora La sequenza i ottenuta da i = F ( i ) ha f come inversa 4 2

3 Esempio (generazione sequenza ESPONENZIALMENTE DISTRIBUITA) f ( ) e = α Usando la precedente formula si ha Altri esempi in Introduzione alla Simulazione Discreta F α ( ) = e F ( i ) = i e i / α = e i /α = i = α ln i ( ) i i 5 Altri Generatori di Numeri Uniformemente Distribuiti METODO QUADRATICO CONGRUENTE 2 ( + a c) mod m n+ = α n n + METODO COMPOSITO (o di Mc Laren Marsaglia) Basato sull uso di due generatori (può avere un periodo molto ampio = prodotto del periodo dei due generatori METODO FSR ( Feedback Shift Register ) La lunghezza del periodo è indipendente dalla macchina; ho però maggiore lentezza 6 3

4 Generatore Congruente Lineare Uno dei GENERATORI più utilizzati per produrre sequenze PSEUDO CASUALI decimali n+ = ( an + c) mod m La scelta dei parametri a, c, m determina la lunghezza del periodo Siccome m determina la lunghezza massima del k periodo, di solito si sceglie m = 2 massimo intero rappresentabile (potenza di 2 per verificare operazioni di moduli) 7 Esempio a=9 c= periodo = 8 (non massimo) m=7 Questo metodo è detto MOLTIPLICATIVO se c=0 seme n Xn (9Xn+)mod7 (Xn+)/7 0 Xo=7 X=3 0,7647 X=3 X2=6 0,942 2 X2=6 X3=9 0, X3=9 X4=4 0, X4=4 X5=8 0, X5=8 X6=5 0,294 6 X6=5 X7=2 0, X7=2 X8=7 0,48 8 X8=7 X9=3 0, X9=3 X0=6 0,942 0 X0=6 X=9 0,

5 Generatori di Numeri Pseudo Casuali Fattori che determinano l accettabilità di un GENERATORE I numeri devono essere uniformemente distribuiti nella sequenza I numeri devono risultare (non essere!) STATISTICAMENTE INDIPENDENTI nella sequenza La sequenza deve essere riproducibile La sequenza deve poter avere un PERIODO di lunghezza arbitraria Il generatore deve essere efficiente deve produrre numeri rapidamente Uniformemente Distribuiti Generatori di numeri Non Uniformemente Distribuiti Generazione di Numeri Pseudo Casuali (2) GENERATORE DI NUMERI PSEUDO CASUALI Ogni meccanismo che produce numeri PSEUDO CASUALI INDIPENDENTI ( apparentemente ) La probabilità di generare un numero qualsiasi (dell intervallo previsto) rimane la stessa per ogni numero prodotto Questi generatori producono, in realtà, una SEQUENZA DI NUMERI PSEUDO CASUALI NON INDIPENDENTI, in quanto ottenuti l uno dall altro a partire dal SEME 0 5

6 Generazione di Numeri Pseudo Casuali Ovvero Come estrarre Valore dalle Distribuzioni NUMERO CASUALE Ogni numero ottenuto in un modo del quale non è possibile comprendere il metodo, lo scopo o la ragione IMPREDICIBILE Per esempio l estrazione da un urna di palle numerate NUMERO PSEUDO CASUALE Numero ottenuto con un algoritmo (e quindi PREDICIBILE a partire da un numero precedente, ma che apparentemente non ha nulla a che fare con questo) 6