1.5. ISTOGRAMMA 17. Figura 1.3: Istogramma ottenuto mediante campionamento da VA Gaussiana (η x =0, σ 2 X =1).

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Mariangela Gattini
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1 .5. ISTOGRAMMA 7.5 Istogramma A partire dalle considerazioni svolte nel paragrafo precedente, posto x m = min(x,,x N e x M = max(x,,x N, possiamo ottenere una stima della densità di probabilità p (x suddividendo la dinamica D = x M x m osservata sul campione in K intervalli I k,k =,,K, ciascuno d'ampiezza k. La stima della p (x si ottiene dividendo per k il rapporto di frequenza µ k /N, i.e. µ k ˆp (x = = ˆP k N k k Tale stima prende il nome di istogramma. Tutte le considerazioni svolte in precedenza circa l accuratezza del rapporto di frequenza come stimatore della probabilità si riportano sull istogramma. In particolare, continuano a valere le (. e (.3, con l accortezza di sostituire P con P k = P {x I k }. Quando k è abbastanza piccolo da considerare la p (x approssimativamente costante in I k, possiamo porre P k k p (x k, dove x k denota l ascissa centrale dell intervallo I k. L andamento tipico di un istogramma è riportato in Fig..3. Figura.3: Istogramma ottenuto mediante campionamento da VA Gaussiana (η x =, σ =..6 Il metodo MonteCarlo Quanto esposto nel par..3 può essere esteso al valore atteso di una generica funzione g(, i.e. p. lim N Av(N {g (x n } =E{g(x} = g(x p (x dx (.4 La (.4 costituisce il fondamento del cosiddetto metodo MonteCarlo.5 per la valutazione d'integrali del tipo g(x p (x dx (.5 ove nell integrando si possa evidenziare.6 una funzione positiva p (x, normalizzata in area, che giochi il ruolo di densità di probabilità. Generati, allora, un numero N sufficientemente grande di determinazioni della VA x, il metodo MonteCarlo approssima l integrale (.5 come segue: g(x p (x dx Av (N {g (x n } (.6.5 Il nome MonteCarlo ricorda il principato sede del Casinò più famoso del mondo..6 Possiamo sempre scrivere con p (x densità di probabilità scelta opportunamente. f(x dx = f(x p(x dx p (x

dinamica D = x M x m osservata sul campione in K intervalli I k,k =,,K, ciascuno d'ampiezza k. La stima della p (x si ottiene dividendo per k il rapporto di frequenza µ k /N, i.e. µ k ˆp (x = = ˆP k N k k Tale stima prende il nome di istogramma.

2 8 CAPITOLO. STATISTICA MATEMATICA L accuratezza dell approssimazione è valutabile mediante i momenti fino al secondo ordine dell errore ossia e(n =Av (N {g (x n } E {g(x} η E (N =E{e(N} dove, normalmente, risulta σ E(N =Var{e(N} = m E(N η E(N η E (N =+o ( (N σ E(N =C σ,g Var {g(x} N ( + o (N N con C σ,g opportuna costante positiva dipendente da g(. Qualora non si abbia a disposizione la possibilità di effettuare N prove del fenomeno aleatorio al quale è associato la VA x, è possibile ricorrere alla simulazione al calcolatore basata su tecniche di generazione di numeri pseudo-aleatori..6. Generazione di Numeri Pseudo-Aleatori Uniformemente Distribuiti Una tecnica di generazione di numeri pseudo-aleatori.7 con distribuzione uniforme tra e m si basa sulla valutazione ricorsiva della seguente equazione non-lineare u[n] =(a u[n ] + c modm (.7 inizializzata con un certo valore (seme u[], con a, c, m costanti opportune. La (.7 descrive il meccanismo cosiddetto di generazione congruenziale lineare. Per avere numeri distribuiti uniformemente tra e basta dividere u[n] per m. Due esempi di terne (a, c, m sono riportate nella Tab... Con tali valori, la generazione (.7 si può implementare con interi a 3bit, i.e. il tipo primitivo long int di molti compilatori C/C++. CERN Minimal Standard RNG a c m 3 3 Tabella.: Parametri usati nella generazione congruenziale lineare di numeri pseudo-aleatori. Ulteriori dettagli si trovano in [3]. Altri metodi di generazione, anche più efficienti, sono possibili, e sono oggetto di continua evoluzione e raffinamento. Si consiglia al lettore interessato di ricercare le ultime novità direttamente sulla Nei testi anglosassoni s'incontra la locuzione Random Number Generation (RNG.

risulta σ E(N =Var{e(N} = m E(N η E(N η E (N =+o ( (N σ E(N =C σ,g Var {g(x} N ( + o (N N con C σ,g opportuna costante positiva dipendente da g(.

3 .6. IL METODO MONTECARLO 9.6. Generazione di Numeri Pseudo-Aleatori mediante Trasformazioni Nonlineari Una popolare tecnica di generazione di numeri pseudo-aleatori con misura di probabilità assegnata si basa sull impiego di trasformazioni nonlineari, opportunamente disegnate per lo scopo d interesse. Il trasferimento della misura di probabilità sotto una trasformazione nonlineare di variabili aleatorie è descritto in Appendice ai parr.b.. e B Trasformazioni Nonlineari di Numeri Pseudo-Uniformi La (B..3 esprime l equilibrio tra le misure di probabilità delle variabili aleatorie u e x legate dalla trasformazione invertibile x = g(u, i.e. u = γ(x. Consideriamo il caso notevole di variabile aleatoria u a distribuzione uniforme nell intervallo (,, funzione γ( monotona crescente, con condizioni al contorno γ( =e γ(+ =. In queste condizioni, poichè risulta p U (γ(x =, eγ (x, la (B..3 assume la forma seguente: p (x =γ (x (.8 Trasformazione Nonlineare di Variabile Aleatoria a Distribuzione Uniforme Nel caso particolare di variabile aleatoria u a distribuzione uniforme nell intervallo (,, la variabile aleatoria x = g(u è descritta dalla seguente densità di probabilità: p (x =γ (x = g (γ(x (.9 La nonlinearità g(, attraverso la sua derivata, controlla completamente la densità di probabilità dopo la trasformazione. Il disegno della nonlinearità g( si esegue integrando la (.9. In realtà, otteniamo più semplicemente la funzione inversa γ(, di cui ricordiamo la condizione al contorno γ( =: γ(x = x p (ξ dξ = D (x essendo D (x la funzione di distribuzione della variabile aleatoria x. Dunque, la nonlinearità cercata è: g(u =D (u La Fig..4 illustra sommariamente quanto esposto; in essa abbiamo riportato la variabile aleatoria uniforme u sull asse verticale, e la variabile aleatoria trasformata x sull asse orizzontale, in modo tale la funzione di distribuzione D (x appaia nel maniera usuale. Resta quindi dimostrata la seguente: Proposizione. Sia x una variabile aleatoria con funzione di distribuzione D (x e densità di probabilità p (x = D (x / x, e sia u una variabile aleatoria uniformemente distribuita tra e. Allora, la variabile aleatoria x si ottiene dalla variabile aleatoria u mediante la seguente trasformazione nonlineare: x = D (u (. Quindi, numeri pseudo-aleatori con distribuzione di probabilità diversa da quella uniforme possono essere ottenuti mediante la trasformazione nonlineare (..

Il trasferimento della misura di probabilità sotto una trasformazione nonlineare di variabili aleatorie è descritto in Appendice ai parr.b.. e B..3..6.

4 CAPITOLO. STATISTICA MATEMATICA u ( x u uniforme in (, x g( u d.d. p. dopo la trasformazione (analisi: p ( x '( x x sintesi della trasformazione inversa: ( x z p ( d D x ( - risultato della sintesi: gu ( D ( x Figura.4: Sintesi della nonlinearità che ottiene una variabile aleatoria x con misura di probabilità assegnata p (x a partire da una variabile aleatoria u a distribuzione uniforme. Esempio: distribuzione di probabilità Rayleigh Sia r una variabile aleatoria con la seguente distribuzione di probabilità Rayleigh p R (r =r exp ( r u(r Calcoliamo la funzione di distribuzione: r r D R (r = λ exp ( λ / dλ = e ρ dρ = e ρ = / r / e r (r e la sua inversa D R (u = log( u. Quindi, per u variabile aleatoria uniformemente distribuita tra e, la variabile aleatoria Rayleigh si ottiene mediante la trasformazione nonlineare r = log( u Esempio: distribuzione di probabilità normale In questo caso, la trasformazione nonlineare si applica a una coppia di variabili aleatorie. Il caso generale è descritto in Appendice al par.b..3. Qui consideriamo due variabili aleatorie, x N(,, ex N(,, statisticamente indipendenti, i.e.: p, (x,x = ( π exp x + x e la traformazione in coordinate polari, i.e.: r = x + x Le relazioni inverse sono semplici da scrivere: ϕ =arctan x x x = r cos ϕ x = r sin ϕ

4: Sintesi della nonlinearità che ottiene una variabile aleatoria x con misura di probabilità assegnata p (x a partire da una variabile aleatoria u a distribuzione uniforme.

5 .6. IL METODO MONTECARLO e dalla (B.. otteniamo essendo J lo Jacobiano della trasformazione, i.e.: Infine scriviamo J(r, ϕ = det x (r, ϕ r x (r, ϕ r p R,Φ (r, ϕ = π }{{} p Φ (ϕ p R,Φ (r, ϕ =p, (x (r, ϕ,x (r, ϕ J(r, ϕ } {{ } π exp( r / x (r, ϕ ϕ x (r, ϕ ϕ cos ϕ = det sin ϕ ( r r sin ϕ = r ( cos ϕ +sin ϕ = r r cos ϕ r exp = p Φ (ϕ p R (r (r ; ϕ π (. } {{ } p R (r Ispezionando la (., riconosciamo anche che le variabili aleatorie r e ϕ sono anch esse statisticamente indipendenti, con distribuzioni marginali p Φ (ϕ = ( ϕ π π p R (r =r exp ( r (r Allora, per generare una coppia di numeri pseudi-normali, si può operare la seguente sequenza di passi. Metodo di Box-Mueller per la Generazione Numeri Pseudo-Gaussiani. si generano due numeri u e u, pseudo-indipendenti statisticamente, e pseudo-uniformi tra e ;. si genera il numero ϕ pseudo-uniforme tra e π mediante la trasformazione ϕ =π u ; 3. si genera il numero r pseudo-rayleigh mediante la trasformazione nonlineare r = log( u ; 4. si generano i numeri x e x pseudo-normali, con media nulla e varianza unitaria, mediante le trasformazioni nonlineari x = r cos ϕ ; x = r sin ϕ.

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