ELEMENTI DI STATISTICA PER IDROLOGIA

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "ELEMENTI DI STATISTICA PER IDROLOGIA"

Transcript

1 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 ELEMETI DI STATISTICA PER IDROLOGIA Introduzione Una variabile si dice casuale quando assume valori che dipendono da un numero elevato di cause sconosciute e/o parzialmente note e che, quindi, non sono prevedibili a priori. Le grandezze idrologiche possono essere considerate variabili casuali. Ad esempio le portate massime annuali in un corso d acqua non sono prevedibili e si succedono con variazioni di entità rilevante e possono quindi apparire come una serie di numeri casuali. Per determinare il possibile campo di valori che può assumere una grandezza idrologica si esegue sulla base di dati noti un analisi statistico-probabilistico al fine di individuare la distribuzione di probabilità che segue per associare ad ogni valore che può assumere la grandezza idrologica la frequenza con cui si verifica. Per tempo di ritorno Tr si intende l intervallo di tempo, per essere più precisi il numero di anni, in cui un dato valore di una grandezza idrologica viene mediamente uguagliato o superato una sola volta. Per evento si intende il verificarsi di un qualsiasi valore della variabile casuale superiore od inferiore ad un valore prefissato o compreso in un possibile intervallo due valori prestabiliti. Il verificarsi di un valore della grandezza idrologica uguale o superiore a quello prefissato è un evento con tempo di ritorno Tr pari al numero di anni di osservazione. Il tempo di ritorno è quindi univocamente collegato ad un prefissato valore della grandezza idrologica. Ad esempio se un anno il valore massimo della portata convogliata dal fiume Po è Q = 7 m 3 /s e l anno successivo è Q = 6 m 3 /s, il primo valore corrisponde ad un tempo di ritorno di due anni, ovvero accade ogni due anni, mentre il secondo corrisponde ad un tempo di ritorno di un anno, ovvero viene uguagliato o superato ogni anno. ell esempio sopra riportato la stima del tempo di ritorno associata ad un evento (verificarsi del valore della grandezza idrologica) è basata su una finestra di osservazione di due anni. Prendendo in considerazione una finestra di osservazione di più anni, i tempi di ritorno associati ai valori considerati possono cambiare. Data una qualsiasi variabile casuale si definisce popolazione l insieme di tutti i valori che la variabile casuale può assumere. Si definisce campione di dimensione, un insieme di valori estratto dalla popolazione della variabile casuale. Ad esempio i valori di precipitazione massima annuale registrati da un pluviometro per la durata di un ora per il periodo 97- costituiscono un campione della popolazione della variabile casuale precipitazione massima annuale per la durata di un ora nella località in cui è stata registrata.

2 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 Analisi statistica preliminare del campione e funzioni di frequenza L analisi statistica preliminare del campione si esegue per descrivere l andamento dei valori del campione. Si ordinano gli valori della variabile casuale che costituiscono il campione in senso crescente o decrescente. Il campione viene quindi suddiviso in classi che comprendono più di un elemento. Il numero di classi k è stabilito mediante la relazione di Snedecor: k = +.33 ln () Il valore di k ottenuto tramite la relazione () deve essere arrotondato ad un numero intero: con =, k = 4.98, si assume k = 5, con = 5, k = 6., si assume k = 6. Si determinano quindi gli estremi delle classi in cui si vuole suddividere il campione. L estremo inferiore della prima classe x è un valore della variabile casuale minore del valore minimo del campione mentre l estremo superiore dell ultima classe x è un valore della variabile casuale maggiore od uguale al valore massimo del campione. Fissati gli estremi inferiore e superiore della prima ed ultima classe si stabiliscono gli estremi delle rimanenti classi dividendo l intervallo tra i due estremi in parti uguali o diseguali. Gli elementi del campione facenti parte di una classe di estremi x i ed x i+ (x i < x i+ ) sono quelli per cui il loro valore x è compreso tra gli estremi della classe che viene considerata chiusa a destra: x i < x x i+ Il numero di elementi di un campione f Ai contenuti in una classe è denominato frequenza assoluta di classe. Si definisce frequenza relativa f Ri il rapporto fra la frequenza assoluta di classe e la dimensione del campione: f Ri = f Ai /. La frequenza relativa di classe indica la percentuale di elementi del campione compresi in quella classe, ovvero la frequenza con cui si presenta un qualsiasi elemento contenuto in quella classe. Si introduce il rapporto g i = f Ai /( (x i+ x i )), denominato densità di frequenza relativa che rapporta la frequenza relativa f Ai / all ampiezza della classe (x i+ x i ). La rappresentazione grafica della densità di frequenza relativa è l istogramma di frequenza relativa costituito da un insieme di rettangoli aventi per base l ampiezza di classe x i+ x i e per altezza la densità di frequenza relativa g i (fig. ). La densità di frequenza relativa indica come è distribuita la frequenza relativa in funzione dei valori del campione. Ad esempio se un campione è composto di 9 elementi divisi in due classi la cui ampiezza è l una il doppio dell altra e con un corrispondente numero di elementi l uno il doppio

3 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 3 dell altro la densità di frequenza relativa è uguale per ogni classe, ovvero il campione è distribuito uniformemente e qualsiasi elemento del campione si presenta con la stessa frequenza (fig. a). g x x x 3 x 4 x 5 x 6 x Figura. Istogramma di frequenza relativa. Se invece il numero di elementi del campione in classi di ampiezza l una il doppio dell altra è l uno la metà dell altro la distribuzione non è uniforme è la densità di frequenza con cui si presentano gli elementi appartenenti alla classe di ampiezza maggiore è ¼ di quella con cui si presentano gli elementi appartenenti alla classe di ampiezza minore (fig. b). L istogramma di frequenza relativa permette di visualizzare la distribuzione di frequenza relativa per tutti i valori degli elementi del campione. La somma delle aree delle barre costituenti l istogramma è perchè rappresenta la frequenza con cui si presenta l insieme di tutti gli elementi del campione. g.3 a) g.3 b) x x Fig.. Istogrammi di frequenza relativa con 6 elementi nella prima classe e 3 elementi nella seconda (a) e con 3 elementi nella prima classe e 6 elementi nella seconda (b). Si definisce frequenza cumulata di non superamento F a il numero di elementi del campione che hanno un valore minore od uguale ad uno prefissato: x x prefissato. Se si scelgono come valori prefissati gli estremi superiori di ogni classe la frequenza cumulata di non superamento coincide con la somma progressiva delle frequenze assolute di classe f ai :

4 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 4 i F a (x x i+ ) = f aj () j= el caso si scelgano come valori prefissati gli elementi stessi del campione la frequenza cumulata di non superamento è il numero di ordine in senso crescente dell elemento: con F a (x x i ) = i (3) F a Si definisce frequenza cumulata relativa di non superamento F, la frequenza cumulata di non superamento divisa per la dimensione del campione (numero di elementi dello stesso). In questo caso: i F(x x i ) = (4) con / F La frequenza cumulata di non superamento è rappresentata graficamente dalla curva spezzata di cumulata di non superamento (fig. 4). La frequenza relativa e la densità di frequenza relativa insieme alle frequenza cumulata di superamento/non superamento sono funzioni di frequenza, ovvero indicano la frequenza con cui si presentano uno od un insieme di elementi del campione. Il tempo di ritorno di un elemento del campione per la definizione al paragrafo precedente è: Tr (x = x i ) = = (6) F(x x ) - F(x < x ) i i Ad esempio considerando un campione di dieci valori di portata massima annuale in un corso d acqua posto in ordine crescente (Q i i =,; Q i < Q i+ ) l elemento Q 9 viene uguagliato o superato due volte in dieci anni e per cui si verifica mediamente una volta ogni cinque anni ed ha quindi un tempo di ritorno pari a 5 anni. La frequenza cumulata relativa di superamento è / = /5 che è il valore inverso del tempo di ritorno.

5 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 5 Secondo la relazione (4) vale F(x x ) = / =, il che significa associare al valore massimo del campione x una frequenza cumulata relativa di non superamento pari ad uno, ovvero, tutti i valori del campione sono minori od uguali di x, il che esteso alla popolazione da cui il campione è estratto significa che tutti gli elementi della popolazione devono essere minori od uguali di x che può non essere vero. Per ovviare a questo inconveniente la frequenza cumulata di non superamento viene stimata mediante la formula di plotting position di Weibull: i F(x x i ) = (5) + per cui al valore massimo del campione viene associata una frequenza cumulata relativa di non superamento leggermente inferiore ad uno (/(+)). ella tabella I, in prima colonna, sono presentate le precipitazioni massime annuali corrispondenti alla durata h misurate dalla stazione pluviometrica di San Martino di Castrozza (T) negli anni che vengono ordinate in senso crescente in seconda colonna. In terza colonna sono poste le corrispondenti frequenze cumulate relative di non superamento ed in quarta colonna il corrispondente tempo di ritorno relativo alla finestra di osservazione di 3 anni, uno in più della reale finestra di osservazione per tener conto dell utilizzo della formula di plotting position: + Tr = = (7) i + - i + Tabella. Precipitazione massime annuali (x) di durata ora registrati dalla stazione pluviometrica di San Martino di Castrozza (Tn) e le corrispondenti funzioni di frequenza ed il tempo di ritorno associato. Anno x (mm) i x i (mm) F(x x i ) Tr

6 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7// Gli anni in cui non si hanno dati (ad esempio il 953) non sono considerati e nel caso che in anni differenti sia registrato lo stesso valore di precipitazione, questi, viene considerato per ogni anno in cui compare come un valore a se stante e quindi nella tabella nella colonna x j si possono avere valori uguali e consecutivi ma caratterizzati da una frequenza diversa proprio perché considerati indipendenti l uno dall altro. elle figure 3 e 4 sono illustrati l istogramma di frequenza relativa e la spezzata di cumulata relativa di non superamento del campione in tabella I.

7 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 7. g x Figura 3. Istogramma di frequenza relativa del campione in tabella. F x Figura 4. Spezzata di frequenza cumulata relativadi non superamento per il campione in tabella. 3 Concetto di probabilità e di probabilità cumulata di non superamento La densità di probabilità p(x) associata ad un dato valore x della popolazione della variabile casuale esprime la frequenza con cui il valore x si può presentare. La probabilità cumulata di non superamento P(x X) esprime la frequenza con cui si presenta un valore x della variabile casuale minore od uguale del prefissato X. La probabilità cumulata di superamento P(x X) esprime la frequenza con cui si presenta un valore x della variabile casuale

8 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 8 maggiore od uguale del prefissato X. La probabilità cumulata di non superamento e la probabilità cumulata di superamento sono complementari rispetto ad perché qualsiasi valore generico x della variabile casuale è sicuramente o maggiore o minore od uguale a X e quindi si presenta sempre e la sua frequenza è l unità. Vale: P(x X) + P(x > X) = Ambedue la probabilità cumulata di non superamento e di superamento sono comprese tra ed. In base alla definizione della probabilità cumulata di superamento il tempo di ritorno è l inverso della probabilità cumulata di superamento ed è tale che: Tr = = (8) P(x X) - P(x < X) 4 Curva densità di probabilità e curva probabilità cumulata di non superamento L istogramma di frequenza relativa è costruito con un campione di elementi estratto da una popolazione di una variabile casuale. Se si aumenta la dimensione del campione, aumenta il numero di classi k (eq. ) e diminuisce l ampiezza delle stesse per cui si ottiene un istogramma meglio definito nella forma (fig. 5). Se la dimensione del campione tende ad infinito, ovvero estendendo il campione all intera popolazione, il numero di classi tende all infinito, l ampiezza delle stesse a zero. La densità di frequenza relativa diviene, quindi, rappresentativa di un solo valore x della variabile casuale e non più ad un intervallo di valori e viene chiamata densità di probabilità ed è indicata con p(x) mentre l istogramma di frequenza relativa diventa una curva continua chiamata curva densità di probabilità (fig. 6). La densità di probabilità p(x) esprime la frequenza con cui si presenta il valore x della variabile casuale cui si riferisce ed il prodotto p(x) dx, area sottesa dalla curva densità di probabilità tra i valori x dx/ e x + dx/, esprime la frequenza con cui si presenta un valore della variabile compreso tra x dx/ e x + dx/ (analogamente all istogramma). L area sottesa dalla curva p(x) per x x x, e tratteggiata in figura 6 esprime la frequenza con cui si presenta un valore di x compreso nel precedente intervallo.

9 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 9 g x Figura 5. Istogramma di frequenza relativa per un campione di dimensione = 5 L area sottesa dalla curva densità di probabilità vale perché rappresenta la frequenza con cui si presenta un qualsiasi possibile valore x della variabile casuale che è un evento certo: p(x) dx = (9) p( x) X X x Figura 6. Curva densità di probabilità (distribuzione doppio esponenziale) con area sottesa per x x x.

10 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 Analogamente la spezzata di cumulata di non superamento, estendendo il campione alla popolazione, diviene una curva continua e la frequenza cumulata relativa di non superamento F(x X) diviene la probabilità cumulata di non superamento P(x X) (fig. 7). Il valore della probabilità cumulata di non superamento è sempre minore od uguale ad, come spiegato nel paragrafo precedente. L area sottesa dalla curva densità di probabilità compresa tra il valore minimo che può assumere la nostra variabile casuale ed il valore X (fig. 8) è la probabilità cumulata di non superamento: p( ) x.4 X P(x X) = p(x) dx () X x Figura 7. Curva di probabilità cumulata di non superamento (distribuzione doppio esponenziale). P(xX) x Figura 8. Area sottesa per x X dalla curva densità di probabilità (distribuzione doppio esponenziale)

11 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 L estremo inferiore di integrazione è x = perché le variabili casuali considerate sono le grandezze idrologiche (precipitazioni, portate etc etc) caratterizzate da valori positivi altrimenti l estremo minore di integrazione è x = -. Essendo la derivata di un integrale la funzione integranda vale: p(x) = dp(x X) dx () Se la variabile casuale x è funzione della variabile casuale, = f(x), per cui Y = f(x) vale: e quindi: p() = P(x X) = P( Y) () dp( Y) dp(x X) = d dx dx d = dx p(x) d (3) p() d = p(x) dx (4) 5 Parametri I parametri sono entità che descrivono quantitativamente alcune caratteristiche della distribuzione dei valori di un campione o di una popolazione della variabile casuale generica x. I parametri si dividono in parametri di tendenza centrale che quantificano i valori verso cui si accentrano i valori del campione/popolazione e di dispersione che quantificano la dispersione dei valori del campione/popolazione rispetto ai primi. Appartiene ai parametri di tendenza centrale il valor medio (o media) dei valori del campione/popolazione. Il valor medio dei valori di un campione di dimensione estratto dalla popolazione della variabile casuale x è: x i i= x = (5) La densità di probabilità p(x) rappresenta la frequenza probabile con cui si presenta il generico valore x rispetto a tutti gli altri valori della variabile casuale. Il prodotto x p(x) rappresenta quindi il valore mediato del generico valore x rispetto a tutti gli altri valori della popolazione. Il valore medio dei valori che costituiscono la popolazione della variabile casuale è la somma di tutti i valori mediati :

12 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 µ = x p(x) dx (6) X Se la variabile casuale = a x + b è funzione lineare e crescente della variabile casuale x, tenendo conto della relazione (4), si ha: = p() d = (a x + b) p(x) dx = a x p(x) dx + b p(x) dx = a µ b (7) µ Y X + Appartengono ai parametri di dispersione, la deviazione standard, lo scarto quadratico medio e la varianza. Si definisce scarto la quantità x i - x differenza tra un valore del campione ed il suo valore medio. La somma degli scarti per gli elementi del campione è nulla per definizione di valore i i i i = = = medio (eq. 5): (x x) = x x = x x. La somma del quadrato degli scarti non è nulla perché vengono sommate quantità positive. La stessa proprietà vale per la popolazione. Si definisce deviazione standard per un campione di valori estratto da una popolazione di una variabile casuale la seguente: s X = i= (x i x) (8) Per la popolazione, il quadrato dello uno scarto viene mediato sulla popolazione tramite la densità di probabilità, e la deviazione standard assume la seguente espressione: X = X (x - µ ) p(x) dx (9) Si definisce varianza il quadrato della deviazione standard. Per il campione la varianza è la media del quadrato degli scarti: s X = i= (x i x) () Per la popolazione la varianza è il valore del quadrato dello scarto rispetto al valor medio mediato sull intera popolazione:

13 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 3 X = X (x - µ ) p(x) dx () Definito il valore atteso, il valore medio di una qualunque serie di valori o quantità generiche, il valor medio si suddivide la popolazione di una variabile casuale in campioni. Il valore atteso del valor medio dei singoli campioni estratti dalla popolazione risulta uguale al valor medio della popolazione: E( x ) = µ X Il valore atteso della varianza dei singoli campioni non è però uguale alla varianza della popolazione: E(s X ) X per cui la deviazione standard, per il campione, viene corretta, mediando il quadrato degli scarti su - valori, invece che con valori: s XC = i= (x i - x) () Analogamente la varianza del campione viene sostituita con la varianza corretta: per cui s XC = i= (x i - x) E(s XC ) = X (3) Le quantità deviazione standard e varianza indicano la dispersione dei valori del campione/popolazione intorno al valor medio degli stessi. Valori elevati di questi parametri significano grande dispersione dei valori del campione/popolazione, ovvero la maggior parte dei valori del campione/popolazione sono lontani dal valor medio mentre bassi valori di questi parametri indicano che la maggior parte dei valori del campione/popolazione sono vicini al valor medio. La deviazione standard non corretta è anche denominata scarto quadratico medio.

14 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 4 ella figura 9 sono illustrati i grafici delle funzioni di frequenza per il campione e le corrispondenti per la popolazione. ella tabella seguente si illustrano le grandezze ed i parametri che descrivono il campione e le corrispondenti grandezze e parametri della popolazione. Tabella. Rappresentazione di parametri e frequenze per il campione e la popolazione Campione frequenza relativa di classe g i Popolazione Densità di probabilità p(x) Frequenza relativa f ai /(x i+ - x i ) Frequenza relativa attesa p(x) dx Frequenza relativa cumulata di non superamento F(x X) g i (x i+ x i ) = Probabilità cumulata di non superamento P(x X) dx = Valor medio x = i= x i Valor medio µ X = x p(x) dx Deviazione standard s XC = Varianza s XC = i= i= (x i - (x i x) Deviazione standard X = (x - µ - x) Varianza X = (x - µ X X ) ) p(x) dx p(x) dx

15 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 5 g..5 p( x)..5 F x P(xX) x x x x x 35 4 x Figura 9. Funzioni di frequenza per il campione e le corrispondenti per la popolazione. 6 Distribuzioni di probabilità Le espressioni della densità di probabilità p(x) e della probabilità cumulata di non superamento P(X x) sono anche indicate con il termine distribuzioni di probabilità perché rappresentano la distribuzione delle funzioni di frequenza per tutti i valori della popolazione della variabile casuale. Le distribuzioni di probabilità sono, in genere, funzioni della variabile casuale x e dei parametri valor medio e varianza o funzioni di questi parametri. 7 Distribuzione doppio esponenziale o di Gumbel La distribuzione doppio esponenziale, nota anche come distribuzione di Gumbel o dei valori estremi di tipo, segue la seguente legge: xu P(x X) = e e (4) essendo ed u due costanti che cambiano da popolazione a popolazione. Si introduce la variabile ridotta : x u = (5)

16 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 6 e l eq. 4 diventa: P( Y) = e e (6) che è di più semplice utilizzo. La densità di probabilità p() è: p() = dp( Y) d = - e e e (7) Il valore medio della popolazione della variabile casuale che segue la distribuzione di probabilità secondo la relazione (7) è: e µ = e e d =.577 (8) L integrale ha come estremo di integrazione minore - invece che perché la variabile casuale può assumere valori negativi in corrispondenza di valori positivi della variabile casuale x. La varianza della distribuzione di probabilità della variabile casuale è: Y = ( - µ Y ) p() d = ( -.577) p() d = (9) Essendo funzione lineare di x secondo le costanti parametriche u ed si ha (equazione 7): µ u = (3) x µ Y = x - u µ x u x µ x x ( - µ Y ) p() d = - p(x) dx = - p(x) dx = (3) - Combinando l eq. (9) con l eq. (3) si ha: = 6 x (3) che sostituita insieme alla (8) nella (3) porge:

17 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 7 6 u = x µ x.577 (33) Le equazioni (3) e (33) esprimono i parametri della distribuzione doppio esponenziale in funzione del valor medio e della varianza della popolazione che segue quella distribuzione. Si introduce una proprietà della distribuzione doppio esponenziale tramite l utilizzo del legame tra tempo di ritorno Tr e probabilità cumulata di non superamento. Tramite l eq. (6) si ottiene: Dall eq. (8) si ottiene: ln ln ( P( Y) ) = - e ( ln( P( Y) )) = ( ln( P( Y) )) = ln (34) - P( Y) = Tr Tr - P( Y) = - = (35) Tr Tr che sostituita a secondo membro dell eq. (35) permette: Tr = lnln (36) Tr - sostituendo nella relazione (36) l espressione che la lega la variabile casuale alla variabile casuale x si ottiene: e quindi x - u Tr = lnln Tr - Tr x = lnln + u (37) Tr - oto il valore del tempo di ritorno Tr, il corrispondente valore della variabile casuale x viene calcolato tramite l eq. (37), mentre, noto il valore della variabile casuale x, il corrispondente valore del tempo di ritorno si ottiene tramite l eq. (8) dopo aver calcolato il valore della variabile ridotta

18 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 8 tramite l eq. (5) e della corrispondente probabilità cumulata di non superamento P( Y) tramite l eq. (6) tenendo conto che P(x X) = P( Y). 8 Distribuzione lognormale La distribuzione di probabilità lognormale è la distribuzione di una variabile casuale continua x tale che la variabile casuale = ln x segue la distribuzione di probabilità normale di Gauss: µ p() = e (38) essendo funzione di x vale la relazione (4) per cui: e p(x) = p() d/dx ln x µ p(x) = e (39) x I parametri della distribuzione sono µ Y e Y che sono legati ai parametri della popolazione della variabile casuale x dalle seguenti relazioni ottenute introducendo la variabile ridotta: µ z = (4) per cui: z d p(z) = p() = p() = e (4) dz z + µ µ = = = = x x p(x) dx x p() d e p() d e p(z) dz

19 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 9 µ x -.5 z = e + z + µ dz = µ e + / (4) da cui: µ x µ / = e + (43) µ = ln µ x (44) X = ( x - x µ x + µ x ) p(x) dx = x p(x) dx - µ x x p(x) dx µ x (x - µ x ) p(x) dx = + - p(x) dx introducendo la variabile si ottiene: e quindi la variabile z: X e p() d - µ x µ x - += ( z ) -.5 z z µ µ X = e p(z) dz - µ x = e dz - µ x - - sostituendo la 4 e la 4 si ottiene: x 4 µ + µ + ( + ) µ = e = e = e µ e x e da cui: e = x µ x + = ln x + (45) µ x I parametri µ e sono legati ai parametri µ x e x della popolazione tramite le relazioni (44) e (45). Si introduce una proprietà della distribuzione lognormale. La variabile ridotta z segue la legge di

20 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 distribuzione data dalla relazione (4) e fissato Z rimane fissata la probabilità cumulata di non superamento: Z z P(z Z) = e dz (46) I valori di P(z Z) secondo la (46) sono tabulati in funzione di z. Se è noto il valore di z è anche noto il valore di P(z Z) e quindi il tempo di ritorno Tr = /( P(z Z)). Se, invece, è noto Tr, si ottiene P(z Z) = (Tr-)/Tr e tramite i valori tabulati si stima il corrispondente valore di z. Conoscendo i parametri della distribuzione tramite la (4) ed essendo = ln x dal valore z si ottiene il corrispondente valore della variabile casuale x e viceversa. 9 Carta probabilistica La carta probabilistica è un diagramma con in ascissa il valore della variabile casuale ed in ordinata il corrispondente valore della probabilità cumulata di non superamento. Poiché quest ultima è legata al tempo di ritorno Tr (eq. (8)) è presente un secondo asse delle ordinate con il tempo di ritorno. Il procedimento di associare ad un qualunque valore della variabile casuale x, il corrispondente della probabilità cumulata di non superamento si realizza tramite la variabile ridotta che diventa il terzo asse delle ordinate della carta probabilistica. Per la distribuzione doppio esponenziale la relazione tra variabile casuale x e variabile ridotta è (eq. 5): x u = mentre quello tra la variabile ridotta e la probabilità cumulata di non superamento (eq. (34)) è: = ln ( ln( P( Y) )) Poiché la variabile è funzione della probabilità cumulata di non superamento, la retta = (x u)/ individua la popolazione dei valori della variabile casuale x che segue la distribuzione doppio esponenziale di parametri u ed (fig. ). ella figura è illustrata la carta probabilistica della distribuzione doppio esponenziale in cui in ascissa in scala decimale è posta la variabile x ed in

21 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 ordinata in scala decimale c e la variabile ridotta ed in scala dipendente dal legame = f(p) e/o = f(tr) ci sono la probabilità cumulata di non superamento P( Y) ed il tempo di ritorno Tr. Figura. Rappresentazione di una popolazione di valori tramite una retta nella carta probabilistica della distribuzione doppio esponenziale. Figura. Carta probabilistica della distribuzione doppio esponenziale. Per la distribuzione lognormale la relazione tra il logaritmo della variabile casuale x, = ln x, e variabile ridotta z è (eq. 4):

22 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 z = µ Poiché la variabile ridotta z segue la distribuzione normale di Gauss è possibile stabilire noto un valore z della stessa il corrispondente valore della probabilità cumulata di non superamento P(z Z) tramite la tabella 3. La retta z = ( µ )/ individua la popolazione dei valori del logaritmo della variabile casuale x che segue la distribuzione lognormale di parametri µ ed (fig. ). ella figura 3 è illustrata la carta probabilistica della distribuzione lognormale in cui in ascissa in scala logaritmica c e la variabile x ed in ordinata in scala decimale c e la variabile ridotta z ed in scala dipendente dalla distribuzione normale di Gauss la probabilità cumulata di non superamento P(z Z). µ Figura. Rappresentazione di una popolazione di valori tramite una retta nella carta probabilistica della distribuzione lognormale I valori in tabella 3 esprimono la probabilità secondo la distribuzione normale di Gauss che si abbia z Z. el caso Z =.7, questa probabilità è.6 (area tratteggiata in figura 4). La distribuzione di densità di probabilità normale di Gauss è simmetrica rispetto all origine. Per calcolare la probabilità cumulata di non superamento, per il caso di Z positivo al valore in tabella deve essere aggiunto la quantità.5 pari a all area sottostante la curva densità di probabilità per i valori negativi di Z (fig. 4). Per esempio la probabilità cumulata di non superamento per Z =.7 è P(.7) = =.76. el caso di valori negativi di z la probabilità cumulata di non superamento è il complementare a.5 del valore in tabella 3 (fig. 4). Per esempio la probabilità cumulata di non superamento per Z = -.7 è P(-.7) = = -.388

23 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 3 Figura 3. Carta probabilistica della distribuzione lognormale. Tabella 3. Valori della probabilità secondo la distribuzione normale di Gauss per z Z. Z l

24 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7// Figura 4. Curva densità di probabilità della distribuzione normale di Gauss.

25 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 5 Adattamento di una distribuzione di probabilità ad un campione: interferenza statistica L obbiettivo dell analisi statistico-probabilistico è quella di individuare la distribuzione di probabilità della variabile casuale considerata che permette di associare ad ogni valore della variabile casuale la sua frequenza probabile, ovvero il suo tempo di ritorno. Ipotizzata una possibile distribuzione di probabilità seguita dalla popolazione le incognite da determinare per stimare la frequenza corrispondente ad ogni singolo valore della variabile casuale sono i parametri della distribuzione stessa. Una qualsiasi retta sulla carta probabilistica individua una popolazione che segue la distribuzione di probabilità con parametri individuati tramite il coefficiente angolare e l intercetta sull asse delle ordinate. I parametri della distribuzione vengono stimati ricercando la retta che permette il miglior allineamento possibile dei valori del campione riportati sulla carta probabilistica. I valori del campione sono riportati sulla carta probabilistica approssimando la probabilità cumulata di non superamento con la frequenza cumulata di non superamento stimata mediante una formula di plotting position. Questa assunzione è tanto più vera quanto più è grande la dimensione del campione. Si consideri una variabile casuale x, distribuita con probabilità P(x) e si estragga dalla sua popolazione un campione di valori. La differenza tra la frequenza cumulata di non superamento e la probabilità cumulata di non superamento di ogni singolo valore tende a zero all aumentare di. Questa affermazione non si può dimostrare e costituisce un postulato che viene accettato dall esperienza: al crescere del numero di osservazioni la frequenza cumulata di non superamento associata ad un evento converge alla probabilità cumulata di non superamento. Affinché tale procedura di stima abbia un significato statistico il campione deve essere sufficientemente rappresentativo della popolazione, ovvero questi deve avere una dimensione superiore od uguale a 3. In caso contrario la media e la varianza del campione possono differire sensibilmente dai corrispondenti valori della popolazione ed l adattamento della distribuzione di probabilità al campione non è assicurato.la ricerca della miglior retta possibile viene eseguita tramite il metodo dei momenti, il metodo dei minimi quadrati ed il metodo di Gumbel.

26 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 6 Metodo dei momenti Il metodo dei momenti consiste nello stimare i parametri della distribuzione di probabilità tramite il valor medio e la varianza del campione. La retta di miglior allineamento è quindi individuata dai parametri del campione. Si attribuiscono alla popolazione il valor medio e la varianza del campione: µ X = x X = s XC Per la distribuzione doppio esponenziale le relazioni che legano i parametri ed u alla media ed alla varianza della popolazione (eq. 3 e 33) diventano: 6 sxc = (47) 6 sxc u = x.577 (48) Le espressioni (47) e (48), sostituite nell eq. (5), permettono di individuare la retta di miglior allineamento secondo il presente criterio: 6 s XC x x x u = = (49) 6 s XC Sulla carta probabilistica si riportano i valori del campione e la retta secondo l eq. (49). Il disegno della retta permette una stima visiva e soggettiva per la verifica del miglior all allineamento dei punti del campione. Tramite la retta è possibile determinare un valore della variabile casuale x per un assegnato tempo di ritorno Tr e viceversa (fig. 5). L utilizzo della retta esemplifica le operazioni analitiche per determinare le coppie di valori (x,tr), l uno in funzione dell altro, tramite l eq. (37) o tramite le eq. (5), (6) e (35). In tabella 4 si riportano i valori del campione in tabella insieme al quadrato dello scarto (x i - x ) corrispondente ad ogni valore.

27 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 7 Figura 5. Utilizzo della retta che rappresenta la popolazione per determinare il valore della variabile x corrispondente ad un fissato tempo di ritorno Tr. Tabella 4. Valori del campione ed i corrispondenti quadrati degli scarti dal valor medio. i x i (mm) (x i - x )

28 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7// La somma dei valori del campione e del quadrato degli scarti sono e Il valor medio, la deviazione standard e la varianza corrette sono: x = 458.4/3 = 4.79 mm s XC = 86.7/3 = 8.73 s XC = 8.73 / = 5.36 I parametri ed u secondo le eq. (47) e (48) sono: 6 x 8.73 = = x 8.73 u = x =.38 Sostituendo i valori di u ed nella eq. (5) si ottiene la retta che individua la popolazione sulla carta probabilistica: =.39 x.96 La retta viene disegnata in figura 6 congiungendo due coppie di valori determinate tramite l equazione di cui sopra: (,-.57) e (,.8) insieme ai valori del campione rappresentati dai punti di coordinate (x i, F i ) secondo la tabella (le frequenze cumulate di non superamento sono considerate come probabilità cumulate di non superamento).

29 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 9 Figura 6. Adattamento della distribuzione doppio esponenziale al campione: metodo dei momenti. Per la distribuzione lognormale l utilizzo del metodo dei momenti permette la stima dei parametri µ Y e Y attribuendo alla popolazione il valor medio e la varianza del campione e le eq. (45) e (44) diventano: s XC = ln + (5) x µ s XC = ln x.5 ln + x (5) Le espressioni (5) e (5), sostituite nell eq. (4), permettono di individuare la retta di miglior allineamento secondo il presente criterio: z = µ Y Y s ln x ln x +.5 ln x = s ln XC + x XC + (5) Dato il campione di = 3 elementi riportato in tabella, i parametri µ Y e Y secondo le eq. (5) e (5) sono:

30 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7// = ln + = Y = µ = ln x ln + = La retta che individua la popolazione sulla carta probabilistica è: z =.865 ln x La retta viene disegnata in figura 7 congiungendo due coppie di valori determinate tramite l equazione di cui sopra: (,-.947) e (,.39) insieme ai valori del campione secondo la tabella. Figura 7. Adattamento della distribuzione lognormale al campione: metodo dei momenti. Metodo dei minimi quadrati Il metodo dei minimi quadrati assume come retta di miglior allineamento quella per cui si ha il minimo della somma dei quadrati degli scarti tra i valori x i del campione ed i corrispondenti della retta incognita xˆ i (fig 8).

31 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 3 Figura 8. Interpolazione lineare ai minimi quadrati. Questa retta è denominata retta ai minimi quadrati o di interpolazione lineare ed il procedimento è anche noto come interpolazione lineare. La retta ai minimi quadrati, x = A + B, minimizza la somma dei quadrati degli scarti D per le coppie di valori (x i, i ): D = i= (x i xˆ ) i = i= (x i (A i + B)) I valori di A e B che rendono minimo D sono quelli per cui le derivate di D rispetto ad A ed B si annullano: D = A D = B La soluzione del sistema costituito dalle due soprascritte è: s A = (53) s XY Y B = x A (54) essendo x ed i valori medi delle coordinate degli valori ed s XY la covarianza:

32 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 3 s XY (x i x)(i ) i= = (55) el caso si fosse minimizzata la somma degli scarti orizzontali, ovvero gli scarti della variabile, le relazioni (53) e (54) valgono ancora sostituendo a denominatore della (53) s X con s Y. Il calcolo della covarianza s XY può essere semplificato utilizzando i valori medi di x ed : (x i x)(i ) (x ii x i - xi + x) x ii x i i i= i= i= i= i= sxy = = = x + x x ii x i i x ii i= i= i= i= sxy = x + x = x x + x s XY = i= x i i x (56) Per la distribuzione doppio esponenziale valgono le eq. (34) e (36) per cui: = ln ( ln( P( Y) )) Tr = lnln Tr - Si approssima la probabilità cumulata di non superamento dei valori del campione con la frequenza di probabilità cumulata di non superamento stimata mediante la formula di plotting position di Weibull (eq. 5). Per il campione estratto da una popolazione che segue la distribuzione doppio esponenziale vale: Tr = ln( ln( F( Y) )) = lnln (57) Tr - Essendo la frequenza cumulata di non superamento F( Y) stimata con la formula di Weibull (eq. 5) F( i ) = i/(+) il valor medio, la deviazione standard s Y e la varianza s Y della variabile ridotta dipendono dalla dimensione del campione e sono tabulati nelle tabelle 5a,b. In questo caso per la

33 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 33 deviazione standard e la varianza si utilizzano le espressioni (8) e (9), ovvero si fa riferimento ai parametri non corretti. Tabella 5. Valori medi e deviazione standard della variabile ridotta in funzione della dimensione del campione Valore medio della variabile ridotta Deviazione standard della variabile ridotta s Y rappresenta le decine e la prima riga le unità: per esempio: =4, m =.5448, S =.458) Il legame lineare tra x ed espresso dalla retta ai minimi quadrati esplicitando è: x B = A (58) Confrontando le eq. (5) e (58) e tenendo conto delle (53) e (54) si ha: s = A = s XY Y (59) sxy u = B = x (6) s Y Sostituendo i valori di u ed nella eq. (5) o di A ed B nella eq. (58) si ottiene la retta di miglior allineamento secondo il presente criterio:

34 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 34 x - u s Y = = (x - x) + (6) s XY In tabella 6 sono riportati i valori di x i ed i con i corrispondenti prodotti x i i. Tabella 6. Valori x del campione con i corrispondenti valori di ed il prodotto x i x i (mm) F i i x i i

35 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 35 La sommatoria dei prodotti x i i è il valore di, secondo la tabella 5 (=3) è.537 (il valor medio x, stimato nel paragrafo precedente è 4.79). La covarianza calcolata secondo l eq. (56) per il campione in tabella è: s XY = 46.33/ x.537 = 5.89 La deviazione standard della variabile ridotta secondo la tabella 5 è s Y =.4 e la varianza è: s Y =.4 =.37 I valori di A () ed B (u) secondo le equazioni (53) e (54) sono: A = = s XY /s Y = 5.89/.37 = B = u = x - A = x.537 =.7 Sostituendo i valori A ed B nell espressione (58) (o di ed u nell eq. (5)) si ottiene la retta che individua la popolazione sulla carta probabilistica: =.3 x.6 La retta viene disegnata in figura 9 congiungendo due coppie di valori determinate tramite l equazione di cui sopra: (,-.48) e (,.65) insieme ai valori del campione secondo la tabella ed alla retta ottenuta con il metodo dei momenti. La retta ottenuta col metodo dei momenti permette un miglior allineamento rispetto alla retta ottenuta col metodo dei minimi quadrati. La retta ai minimi quadrati, essendo un interpolazione nel piano (x,), risente della dispersione dei punti sul cartogramma probabilistico, ovvero risente dell approssimazione della probabilità cumulata di non superamento dei valori del campione con la frequenza cumulata di non superamento determinata con la formula di plotting position, mentre la retta ottenuta con il metodo dei momenti dipendendo dalla deviazione standard e dalla media dei valori del campione non ne risente. Per la distribuzione lognormale non è possibile utilizzare in modo diretto il metodo dei minimi quadrati perché i valori della variabile ridotta z non sono noti a priori, ovvero non esiste una relazione analitica, come per la distribuzione doppio esponenziale, che esprima la variabile ridotta z in funzione della probabilità cumulata di non superamento o del tempo di ritorno. Per poter

36 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 36 utilizzare il metodo dei minimi quadrati occorre riportare sulla carta probabilistica tutti i valori del campione ed elemento per elemento determinare il valore della variabile ridotta z corrispondente alla frequenza cumulata di non superamento determinata tramite la formula di Weibull. Figura 9. Adattamento della distribuzione doppio esponenziale al campione: metodo dei minimi quadrati. 3 Metodo di Gumbel Il metodo di Gumbel per la ricerca della retta di miglior allineamento dei valori del campione nella carta probabilistica è un metodo di interpolazione analogo al metodo ai minimi quadrati. La retta di interpolazione viene determinata minimizzando invece che gli scarti la distanza delle coppie di valori ( i,x i ) del campione dalla retta stessa (fig. ). In questo caso i coefficienti A ed B della retta di interpolazione x = A + B diventano: sx A = (6) s Y B = x A (63)

37 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 37 Figura. Interpolazione lineare ai minimi quadrati tramite la distanza dalla retta. Le relazioni (eq. 59 e 6) che esprimono i parametri della distribuzione ed u in funzione di A e B rimangono valide sostituendo s XY con s X ed s Y con s Y e l espressione della retta di interpolazione per cui si ha il miglior allineamento dei punti, secondo il presente criterio è: x - u s Y = = (x - x) + (64) s X L espressione della retta è uguale a quella ottenuta tramite il metodo dei momenti (eq. 49) se =.577, s Y = / 6 ed s X = s XC. La procedura di adattamento della distribuzione doppio esponenziale al campione in tabella viene eseguita utilizzando i risultati ottenuti nei paragrafi precedenti. La somma del quadrato degli scarti è 86.7 e la standard non corretta è: 86.7 s X = = La deviazione standard non corretta della variabile ridotta (tabella 6, =3) è: s Y =.4 Il valore di, secondo la tabella 5 (=3) è:

38 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 38 =.537 Il coefficiente angolare A e l intercetta B della retta secondo il metodo di Gumbel, secondo le equazioni (6) e (63) sono: A = s X /s Y = 5.7/.4 = 4.58 B = x - A = x.537 =.56 Sostituendo i valori A ed B nell espressione (58) si ottiene la retta che individua la popolazione sulla carta probabilistica: =.4 x 3. In figura è disegnata la retta corrispondente al metodo di Gumbel insieme alle rette ottenute con il metodo dei momenti e dei minimi quadrati oltre ai valori del campione. Figura. Adattamento della distribuzione doppio esponenziale al campione: metodo di Gumbel. La retta ottenuta con il metodo di Gumbel permette un miglior allineamento dei punti del campione rispetto a quella ottenuta con i minimi quadrati perché la distanza tra punto e retta presenta una minor dispersione rispetto allo scarto sia verticale che orizzontale, ma uno peggiore rispetto alla retta ottenuta con il metodo dei momenti perché, quest ultima non risente dell approssimazione

39 Carlo Gregoretti Corso di Idraulica ed Idrologia Elementi di statist. per Idrolog.-7//4 39 della probabilità cumulata di non superamento dei valori del campione con la frequenza cumulata di non superamento determinata con la formula di plotting position. 4 Test di Pearson o del Il test di pearson o del è un test convenzionale per stabilire se accettare o meno l adattamento di una distribuzione di probabilità ad un campione. Il campione viene diviso in un numero k di classi equi-probabili: la probabilità che un valore della popolazione ha di cadere in una classe è la stessa per tutte le classi. Indicata con p* = /k la probabilità che ha un valore di cadere in una classe equi-probabile, gli estremi delle classi equiprobabili dipendono dalla distribuzione di probabilità adattata. Gli estremi delle classi equiprobabili sono quei valori per cui P(x) = n p* (n =, k-), come illustrato nella figura, essendo p* k =. Figura. Divisione in intervalli equi-probabili della distribuzione doppio esponenziale (p* =.). Si confronta quindi per ogni classe il numero di elementi del campione che ricade nella classe con p* (/k), numero che rappresenta il numero di elementi del campione che cadrebbe in una classe equi-probabile se la distribuzione di probabilità si adattasse perfettamente al campione: punti allineati ed appartenenti alla retta che rappresenta la popolazione nella carta probabilistica.

Relazioni statistiche: regressione e correlazione

Relazioni statistiche: regressione e correlazione Relazioni statistiche: regressione e correlazione È detto studio della connessione lo studio si occupa della ricerca di relazioni fra due variabili statistiche o fra una mutabile e una variabile statistica

Dettagli

Un po di statistica. Christian Ferrari. Laboratorio di Matematica

Un po di statistica. Christian Ferrari. Laboratorio di Matematica Un po di statistica Christian Ferrari Laboratorio di Matematica 1 Introduzione La statistica è una parte della matematica applicata che si occupa della raccolta, dell analisi e dell interpretazione di

Dettagli

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto:

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto: PROBLEMA 1. Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all estero, un canone fisso di 10 euro al mese, più 10 centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando

Dettagli

I punteggi zeta e la distribuzione normale

I punteggi zeta e la distribuzione normale QUINTA UNITA I punteggi zeta e la distribuzione normale I punteggi ottenuti attraverso una misurazione risultano di difficile interpretazione se presi in stessi. Affinché acquistino significato è necessario

Dettagli

Statistica descrittiva: prime informazioni dai dati sperimentali

Statistica descrittiva: prime informazioni dai dati sperimentali SECONDO APPUNTAMENTO CON LA SPERIMENTAZIONE IN AGRICOLTURA Statistica descrittiva: prime informazioni dai dati sperimentali La statistica descrittiva rappresenta la base di partenza per le applicazioni

Dettagli

Basi di matematica per il corso di micro

Basi di matematica per il corso di micro Basi di matematica per il corso di micro Microeconomia (anno accademico 2006-2007) Lezione del 21 Marzo 2007 Marianna Belloc 1 Le funzioni 1.1 Definizione Una funzione è una regola che descrive una relazione

Dettagli

Analisi statistica degli errori

Analisi statistica degli errori Analisi statistica degli errori I valori numerici di misure ripetute risultano ogni volta diversi l operazione di misura può essere considerata un evento casuale a cui è associata una variabile casuale

Dettagli

Introduzione alla Teoria degli Errori

Introduzione alla Teoria degli Errori Introduzione alla Teoria degli Errori 1 Gli errori di misura sono inevitabili Una misura non ha significato se non viene accompagnata da una ragionevole stima dell errore ( Una scienza si dice esatta non

Dettagli

VARIABILI ALEATORIE MULTIPLE E TEOREMI ASSOCIATI. Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile aleatoria, che

VARIABILI ALEATORIE MULTIPLE E TEOREMI ASSOCIATI. Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile aleatoria, che VARIABILI ALATORI MULTIPL TORMI ASSOCIATI Fonti: Cicchitelli Dall Aglio Mood-Grabill. Moduli 6 9 0 del programma. VARIABILI ALATORI DOPPI Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile

Dettagli

Il concetto di valore medio in generale

Il concetto di valore medio in generale Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo

Dettagli

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t) CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare

Dettagli

Accuratezza di uno strumento

Accuratezza di uno strumento Accuratezza di uno strumento Come abbiamo già accennato la volta scora, il risultato della misurazione di una grandezza fisica, qualsiasi sia lo strumento utilizzato, non è mai un valore numerico X univocamente

Dettagli

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario:

1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: Esempi di domande risposta multipla (Modulo II) 1) Si consideri un esperimento che consiste nel lancio di 5 dadi. Lo spazio campionario: 1) ha un numero di elementi pari a 5; 2) ha un numero di elementi

Dettagli

Università del Piemonte Orientale. Corsi di Laurea Triennale. Corso di Statistica e Biometria. Introduzione e Statistica descrittiva

Università del Piemonte Orientale. Corsi di Laurea Triennale. Corso di Statistica e Biometria. Introduzione e Statistica descrittiva Università del Piemonte Orientale Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria Introduzione e Statistica descrittiva Corsi di Laurea Triennale Corso di Statistica e Biometria: Introduzione

Dettagli

1. Distribuzioni campionarie

1. Distribuzioni campionarie Università degli Studi di Basilicata Facoltà di Economia Corso di Laurea in Economia Aziendale - a.a. 2012/2013 lezioni di statistica del 3 e 6 giugno 2013 - di Massimo Cristallo - 1. Distribuzioni campionarie

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

Capitolo 20: Scelta Intertemporale

Capitolo 20: Scelta Intertemporale Capitolo 20: Scelta Intertemporale 20.1: Introduzione Gli elementi di teoria economica trattati finora possono essere applicati a vari contesti. Tra questi, due rivestono particolare importanza: la scelta

Dettagli

Grafici delle distribuzioni di frequenza

Grafici delle distribuzioni di frequenza Grafici delle distribuzioni di frequenza L osservazione del grafico può far notare irregolarità o comportamenti anomali non direttamente osservabili sui dati; ad esempio errori di misurazione 1) Diagramma

Dettagli

Regressione Mario Guarracino Data Mining a.a. 2010/2011

Regressione Mario Guarracino Data Mining a.a. 2010/2011 Regressione Esempio Un azienda manifatturiera vuole analizzare il legame che intercorre tra il volume produttivo X per uno dei propri stabilimenti e il corrispondente costo mensile Y di produzione. Volume

Dettagli

(accuratezza) ovvero (esattezza)

(accuratezza) ovvero (esattezza) Capitolo n 2 2.1 - Misure ed errori In un analisi chimica si misurano dei valori chimico-fisici di svariate grandezze; tuttavia ogni misura comporta sempre una incertezza, dovuta alla presenza non eliminabile

Dettagli

CAPITOLO 10. Controllo di qualità. Strumenti per il controllo della qualità e la sua gestione

CAPITOLO 10. Controllo di qualità. Strumenti per il controllo della qualità e la sua gestione CAPITOLO 10 Controllo di qualità Strumenti per il controllo della qualità e la sua gestione STRUMENTI PER IL CONTROLLO E LA GESTIONE DELLA QUALITÀ - DIAGRAMMI CAUSA/EFFETTO - DIAGRAMMI A BARRE - ISTOGRAMMI

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA UNIVARIATA

STATISTICA DESCRITTIVA UNIVARIATA Capitolo zero: STATISTICA DESCRITTIVA UNIVARIATA La STATISTICA è la scienza che si occupa di fenomeni collettivi che richiedono lo studio di un grande numero di dati. Il termine STATISTICA deriva dalla

Dettagli

11. Analisi statistica degli eventi idrologici estremi

11. Analisi statistica degli eventi idrologici estremi . Analisi statistica degli eventi idrologici estremi I processi idrologici evolvono, nello spazio e nel tempo, secondo modalità che sono in parte predicibili (deterministiche) ed in parte casuali (stocastiche

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

La categoria «ES» presenta (di solito) gli stessi comandi

La categoria «ES» presenta (di solito) gli stessi comandi Utilizzo delle calcolatrici FX 991 ES+ Parte II PARMA, 11 Marzo 2014 Prof. Francesco Bologna bolfra@gmail.com ARGOMENTI DELLA LEZIONE 1. Richiami lezione precedente 2.Calcolo delle statistiche di regressione:

Dettagli

Scheda n.5: variabili aleatorie e valori medi

Scheda n.5: variabili aleatorie e valori medi Scheda n.5: variabili aleatorie e valori medi October 26, 2008 1 Variabili aleatorie Per la definizione rigorosa di variabile aleatoria rimandiamo ai testi di probabilità; essa è non del tutto immediata

Dettagli

VARIANZA CAMPIONARIA E DEVIAZIONE STANDARD. Si definisce scarto quadratico medio o deviazione standard la radice quadrata della varianza.

VARIANZA CAMPIONARIA E DEVIAZIONE STANDARD. Si definisce scarto quadratico medio o deviazione standard la radice quadrata della varianza. VARIANZA CAMPIONARIA E DEVIAZIONE STANDARD Si definisce varianza campionaria l indice s 2 = 1 (x i x) 2 = 1 ( xi 2 n x 2) Si definisce scarto quadratico medio o deviazione standard la radice quadrata della

Dettagli

La distribuzione Gaussiana

La distribuzione Gaussiana Università del Piemonte Orientale Corso di Laurea in Biotecnologie Corso di Statistica Medica La distribuzione Normale (o di Gauss) Corso di laurea in biotecnologie - Corso di Statistica Medica La distribuzione

Dettagli

Statistica descrittiva univariata

Statistica descrittiva univariata Statistica descrittiva univariata Elementi di statistica 2 1 Tavola di dati Una tavola (o tabella) di dati è l insieme dei caratteri osservati nel corso di un esperimento o di un rilievo. Solitamente si

Dettagli

Elementi di Statistica

Elementi di Statistica Elementi di Statistica Contenuti Contenuti di Statistica nel corso di Data Base Elementi di statistica descrittiva: media, moda, mediana, indici di dispersione Introduzione alle variabili casuali e alle

Dettagli

1 Associazione tra variabili quantitative COVARIANZA E CORRELAZIONE

1 Associazione tra variabili quantitative COVARIANZA E CORRELAZIONE 1 Associazione tra variabili quantitative ASSOCIAZIONE FRA CARATTERI QUANTITATIVI: COVARIANZA E CORRELAZIONE 2 Associazione tra variabili quantitative Un esempio Prezzo medio per Nr. Albergo cliente (Euro)

Dettagli

Metodi statistici per le ricerche di mercato

Metodi statistici per le ricerche di mercato Metodi statistici per le ricerche di mercato Prof.ssa Isabella Mingo A.A. 2013-2014 Facoltà di Scienze Politiche, Sociologia, Comunicazione Corso di laurea Magistrale in «Organizzazione e marketing per

Dettagli

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3.

LEZIONE 7. Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2. 2, x3 +2x +3. 7 LEZIONE 7 Esercizio 7.1. Quale delle seguenti funzioni è decrescente in ( 3, 0) e ha derivata prima in 3 che vale 0? x 3 3 + x2 2 6x, x3 +2x 2 6x, 3x + x2 2, x3 +2x +3. Le derivate sono rispettivamente,

Dettagli

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI

PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIANZA DELLE QUANTITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIONE CON I DATI OSSERVATI statistica, Università Cattaneo-Liuc, AA 006-007, lezione del 08.05.07 IDICE (lezione 08.05.07 PROBABILITA, VALORE ATTESO E VARIAZA DELLE QUATITÁ ALEATORIE E LORO RELAZIOE CO I DATI OSSERVATI 3.1 Valore

Dettagli

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale

La distribuzione Normale. La distribuzione Normale La Distribuzione Normale o Gaussiana è la distribuzione più importante ed utilizzata in tutta la statistica La curva delle frequenze della distribuzione Normale ha una forma caratteristica, simile ad una

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1

Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 Elementi di Psicometria con Laboratorio di SPSS 1 5-Indici di variabilità (vers. 1.0c, 20 ottobre 2015) Germano Rossi 1 germano.rossi@unimib.it 1 Dipartimento di Psicologia, Università di Milano-Bicocca

Dettagli

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento TERIA CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI. LE FUNZINI Non si ha una funzione se anche a un solo elemento di A non è associato un elemento di B, oppure ne sono associati più di uno. DEFINIZINE Funzione Una

Dettagli

LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ LA STATISTICA E IL CALCOLO DELLE PROBABILITÀ Prof. Francesco Tottoli Versione 3 del 20 febbraio 2012 DEFINIZIONE È una scienza giovane e rappresenta uno strumento essenziale per la scoperta di leggi e

Dettagli

1. Richiami di Statistica. Stefano Di Colli

1. Richiami di Statistica. Stefano Di Colli 1. Richiami di Statistica Metodi Statistici per il Credito e la Finanza Stefano Di Colli Dati: Fonti e Tipi I dati sperimentali sono provenienti da un contesto delimitato, definito per rispettare le caratteristiche

Dettagli

SPC e distribuzione normale con Access

SPC e distribuzione normale con Access SPC e distribuzione normale con Access In questo articolo esamineremo una applicazione Access per il calcolo e la rappresentazione grafica della distribuzione normale, collegata con tabelle di Clienti,

Dettagli

Prova di autovalutazione Prof. Roberta Siciliano

Prova di autovalutazione Prof. Roberta Siciliano Prova di autovalutazione Prof. Roberta Siciliano Esercizio 1 Nella seguente tabella è riportata la distribuzione di frequenza dei prezzi per camera di alcuni agriturismi, situati nella regione Basilicata.

Dettagli

Diagrammi di Bode. I Diagrammi di Bode sono due: 1) il diagramma delle ampiezze rappresenta α = ln G(jω) in funzione

Diagrammi di Bode. I Diagrammi di Bode sono due: 1) il diagramma delle ampiezze rappresenta α = ln G(jω) in funzione 0.0. 3.2 Diagrammi di Bode Possibili rappresentazioni grafiche della funzione di risposta armonica F (ω) = G(jω) sono: i Diagrammi di Bode, i Diagrammi di Nyquist e i Diagrammi di Nichols. I Diagrammi

Dettagli

Insegnamento di Idrologia. Esercitazione n. 2

Insegnamento di Idrologia. Esercitazione n. 2 Insegnamento di Idrologia Esercitazione n. 2 Si vuole determinare la quota da assegnare alla sommità di un argine del Po, posto in corrispondenza del ponte ferroviario di Piacenza, dove esiste una stazione

Dettagli

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA

ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA ESERCIZI SVOLTI PER LA PROVA DI STATISTICA Stefania Naddeo (anno accademico 4/5) INDICE PARTE PRIMA: STATISTICA DESCRITTIVA. DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA E FUNZIONE DI RIPARTIZIONE. VALORI CARATTERISTICI

Dettagli

Lezione n. 2 (a cura di Chiara Rossi)

Lezione n. 2 (a cura di Chiara Rossi) Lezione n. 2 (a cura di Chiara Rossi) QUANTILE Data una variabile casuale X, si definisce Quantile superiore x p : X P (X x p ) = p Quantile inferiore x p : X P (X x p ) = p p p=0.05 x p x p Graficamente,

Dettagli

MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE

MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE MINIMI QUADRATI. REGRESSIONE LINEARE Se il coefficiente di correlazione r è prossimo a 1 o a -1 e se il diagramma di dispersione suggerisce una relazione di tipo lineare, ha senso determinare l equazione

Dettagli

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Sequenza dei passi Classificazione In pratica Classifica il tipo di funzione: Funzione razionale: intera / fratta Funzione irrazionale: intera

Dettagli

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI

Capitolo 9: PROPAGAZIONE DEGLI ERRORI Capitolo 9: PROPAGAZIOE DEGLI ERRORI 9.1 Propagazione degli errori massimi ella maggior parte dei casi le grandezze fisiche vengono misurate per via indiretta. Il valore della grandezza viene cioè dedotto

Dettagli

allora la retta di equazione x=c è asintoto (verticale) della funzione

allora la retta di equazione x=c è asintoto (verticale) della funzione 1)Cosa rappresenta il seguente limite e quale ne è il valore? E il limite del rapporto incrementale della funzione f(x)= con punto iniziale, al tendere a 0 dell incremento h. Il valore del limite può essere

Dettagli

STATISTICA DESCRITTIVA SCHEDA N. 5: REGRESSIONE LINEARE

STATISTICA DESCRITTIVA SCHEDA N. 5: REGRESSIONE LINEARE STATISTICA DESCRITTIVA SCHEDA N. : REGRESSIONE LINEARE Nella Scheda precedente abbiamo visto che il coefficiente di correlazione fra due variabili quantitative X e Y fornisce informazioni sull esistenza

Dettagli

Slide Cerbara parte1 5. Le distribuzioni teoriche

Slide Cerbara parte1 5. Le distribuzioni teoriche Slide Cerbara parte1 5 Le distribuzioni teoriche I fenomeni biologici, demografici, sociali ed economici, che sono il principale oggetto della statistica, non sono retti da leggi matematiche. Però dalle

Dettagli

ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA

ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA Statistica, CLEA p. 1/55 ELEMENTI DI CALCOLO DELLE PROBABILITA Premessa importante: il comportamento della popolazione rispetto una variabile casuale X viene descritto attraverso una funzione parametrica

Dettagli

Analisi bivariata. Dott. Cazzaniga Paolo. Dip. di Scienze Umane e Sociali paolo.cazzaniga@unibg.it

Analisi bivariata. Dott. Cazzaniga Paolo. Dip. di Scienze Umane e Sociali paolo.cazzaniga@unibg.it Dip. di Scienze Umane e Sociali paolo.cazzaniga@unibg.it Introduzione : analisi delle relazioni tra due caratteristiche osservate sulle stesse unità statistiche studio del comportamento di due caratteri

Dettagli

Facciamo qualche precisazione

Facciamo qualche precisazione Abbiamo introdotto alcuni indici statistici (di posizione, di variabilità e di forma) ottenibili da Excel con la funzione Riepilogo Statistiche Facciamo qualche precisazione Al fine della partecipazione

Dettagli

Abbiamo visto due definizioni del valore medio e della deviazione standard di una grandezza casuale, in funzione dalle informazioni disponibili:

Abbiamo visto due definizioni del valore medio e della deviazione standard di una grandezza casuale, in funzione dalle informazioni disponibili: Incertezze di misura Argomenti: classificazione delle incertezze; definizione di incertezza tipo e schemi di calcolo; schemi per il calcolo dell incertezza di grandezze combinate; confronto di misure affette

Dettagli

Il concetto di correlazione

Il concetto di correlazione SESTA UNITA Il concetto di correlazione Fino a questo momento ci siamo interessati alle varie statistiche che ci consentono di descrivere la distribuzione dei punteggi di una data variabile e di collegare

Dettagli

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 2015

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 2015 SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 TEMA DI MATEMATICA ESAME DI STATO 015 1. Indicando con i minuti di conversazione effettuati nel mese considerato, la spesa totale mensile in euro è espressa dalla funzione f()

Dettagli

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito. INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati

Dettagli

09 - Funzioni reali di due variabili reali

09 - Funzioni reali di due variabili reali Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 09 - Funzioni reali di due variabili reali Anno Accademico 2013/2014

Dettagli

Stima per intervalli Nei metodi di stima puntuale è sempre presente un ^ errore θ θ dovuto al fatto che la stima di θ in genere non coincide con il parametro θ. Sorge quindi l esigenza di determinare una

Dettagli

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE STUDIO DI FUNZIONE Passaggi fondamentali Per effettuare uno studio di funzione completo, che non lascia quindi margine a una quasi sicuramente errata inventiva, sono necessari i seguenti 7 passaggi: 1.

Dettagli

CENNI DI METODI STATISTICI

CENNI DI METODI STATISTICI Corso di Laurea in Ingegneria Aerospaziale CENNI DI METODI STATISTICI Docente: Page 1 Page 2 Page 3 Due eventi si dicono indipendenti quando il verificarsi di uno non influisce sulla probabilità di accadimento

Dettagli

Dott.ssa Caterina Gurrieri

Dott.ssa Caterina Gurrieri Dott.ssa Caterina Gurrieri Le relazioni tra caratteri Data una tabella a doppia entrata, grande importanza riveste il misurare se e in che misura le variabili in essa riportata sono in qualche modo

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA E ANALISI DEI DATI SPERIMENTALI CON EXCEL

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA E ANALISI DEI DATI SPERIMENTALI CON EXCEL RAPPRESENTAZIONE GRAFICA E ANALISI DEI DATI SPERIMENTALI CON EXCEL 1 RAPPRESENTAZIONE GRAFICA Per l analisi dati con Excel si fa riferimento alla versione 2007 di Office, le versioni successive non differiscono

Dettagli

Brugnaro Luca Boscaro Gianni (2009) 1

Brugnaro Luca Boscaro Gianni (2009) 1 STATISTICA PER LE PROFESSIONI SANITARIE - LIVELLO BASE Brugnaro Luca Boscaro Gianni (2009) 1 Perché la statistica Prendere decisioni Bibliografia non soddisfacente Richieste nuove conoscenze Raccolta delle

Dettagli

Elementi di Statistica descrittiva Parte I

Elementi di Statistica descrittiva Parte I Elementi di Statistica descrittiva Parte I Che cos è la statistica Metodo di studio di caratteri variabili, rilevabili su collettività. La statistica si occupa di caratteri (ossia aspetti osservabili)

Dettagli

Cenni di statistica descrittiva

Cenni di statistica descrittiva Cenni di statistica descrittiva La statistica descrittiva è la disciplina nella quale si studiano le metodologie di cui si serve uno sperimentatore per raccogliere, rappresentare ed elaborare dei dati

Dettagli

Variabili Casuali Continue e Distribuzione Normale

Variabili Casuali Continue e Distribuzione Normale Variabili Casuali Continue e Distribuzione Normale Nel Capitolo 5 si è definita variabile casuale continua una variabile casuale che può assumere tutti valori compresi fra gli estremi di un intervallo

Dettagli

Scale Logaritmiche SCALA LOGARITMICA:

Scale Logaritmiche SCALA LOGARITMICA: Scale Logaritmiche SCALA LOGARITMICA: sull asse prescelto (ad es. asse x) si rappresenta il punto di ascissa 1 = 10 0 nella direzione positiva si rappresentano, a distanze uguali fra di loro, i punti di

Dettagli

Indice. 1 La statistica, i dati e altri concetti fondamentali ---------------------------------------------------- 3

Indice. 1 La statistica, i dati e altri concetti fondamentali ---------------------------------------------------- 3 LEZIONE ELEMENTI DI STATISTICA DESCRITTIVA PROF. CRISTIAN SIMONI Indice 1 La statistica, i dati e altri concetti fondamentali ---------------------------------------------------- 3 1.1. Popolazione --------------------------------------------------------------------------------------------

Dettagli

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE

VARIABILI ALEATORIE CONTINUE VARIABILI ALEATORIE CONTINUE Se X è una variabile aleatoria continua, la probabilità che X assuma un certo valore x fissato è in generale zero, quindi non ha senso definire una distribuzione di probabilità

Dettagli

L analisi dei dati. Capitolo 4. 4.1 Il foglio elettronico

L analisi dei dati. Capitolo 4. 4.1 Il foglio elettronico Capitolo 4 4.1 Il foglio elettronico Le più importanti operazioni richieste dall analisi matematica dei dati sperimentali possono essere agevolmente portate a termine da un comune foglio elettronico. Prenderemo

Dettagli

Definizione DEFINIZIONE

Definizione DEFINIZIONE Definizione Funzione reale di due variabili reali Indichiamo con R 2 l insieme di tutti i vettori bidimensionali. Dato un sottoinsiemed R 2, una funzione f: D R è una legge che assegna a ogni punto (x,

Dettagli

Elementi di topologia della retta

Elementi di topologia della retta Elementi di topologia della retta nome insieme definizione l insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi: Per insieme

Dettagli

VERIFICA DELLE IPOTESI

VERIFICA DELLE IPOTESI VERIFICA DELLE IPOTESI Introduzione Livelli di significatività Verifica di ipotesi sulla media di una popolazione normale Verifica di ipotesi sulla varianza di una popolazione normale Verifica di ipotesi

Dettagli

ISI MANUALE PER CORSI QUALITÀ CONTROLLO STATISTICO DEL PROCESSO MANUALE DI UTILIZZO ISI PAGINA 1 DI 9

ISI MANUALE PER CORSI QUALITÀ CONTROLLO STATISTICO DEL PROCESSO MANUALE DI UTILIZZO ISI PAGINA 1 DI 9 CONTROLLO STATISTICO DEL PROCESSO MANUALE DI UTILIZZO ISI PAGINA 1 DI 9 INTRODUZIONE 1.0 PREVENZIONE CONTRO INDIVIDUAZIONE. L'approccio tradizionale nella fabbricazione dei prodotti consiste nel controllo

Dettagli

TECNICHE DI SIMULAZIONE

TECNICHE DI SIMULAZIONE TECNICHE DI SIMULAZIONE MODELLI STATISTICI NELLA SIMULAZIONE Francesca Mazzia Dipartimento di Matematica Università di Bari a.a. 2004/2005 TECNICHE DI SIMULAZIONE p. 1 Modelli statistici nella simulazione

Dettagli

Statistica descrittiva

Statistica descrittiva Corso di Laurea in Ingegneria per l Ambiente ed il Territorio Corso di Costruzioni Idrauliche A.A. 2004-05 www.dica.unict.it/users/costruzioni Statistica descrittiva Ing. Antonino Cancelliere Dipartimento

Dettagli

Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore

Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore Capitolo 13: L offerta dell impresa e il surplus del produttore 13.1: Introduzione L analisi dei due capitoli precedenti ha fornito tutti i concetti necessari per affrontare l argomento di questo capitolo:

Dettagli

Esercizi di Analisi Matematica

Esercizi di Analisi Matematica Esercizi di Analisi Matematica CAPITOLO 1 LE FUNZIONI Exercise 1.0.1. Risolvere le seguenti disuguaglianze: (1) x 1 < 3 () x + 1 > (3) x + 1 < 1 (4) x 1 < x + 1 x 1 < 3 x + 1 < 3 x < 4 Caso: (a): x 1

Dettagli

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità

Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Probabilità Probabilità Gli eventi sono stati definiti come i possibili risultati di un esperimento. Ogni evento ha una probabilità Se tutti gli eventi fossero ugualmente possibili, la probabilità p(e)

Dettagli

Appunti di Statistica Descrittiva

Appunti di Statistica Descrittiva Appunti di Statistica Descrittiva 30 dicembre 009 1 La tabella a doppia entrata Per studiare dei fenomeni con caratteristiche statistiche si utilizza l espediente della tabella a doppia entrata Per esempio

Dettagli

Come descrivere un fenomeno in ambito sanitario fondamenti di statistica descrittiva. Brugnaro Luca

Come descrivere un fenomeno in ambito sanitario fondamenti di statistica descrittiva. Brugnaro Luca Come descrivere un fenomeno in ambito sanitario fondamenti di statistica descrittiva Brugnaro Luca Progetto formativo complessivo Obiettivo: incrementare le competenze degli operatori sanitari nelle metodiche

Dettagli

0. Piano cartesiano 1

0. Piano cartesiano 1 0. Piano cartesiano Per piano cartesiano si intende un piano dotato di due assi (che per ragioni pratiche possiamo scegliere ortogonali). Il punto in comune ai due assi è detto origine, e funziona da origine

Dettagli

LEZIONE n. 5 (a cura di Antonio Di Marco)

LEZIONE n. 5 (a cura di Antonio Di Marco) LEZIONE n. 5 (a cura di Antonio Di Marco) IL P-VALUE (α) Data un ipotesi nulla (H 0 ), questa la si può accettare o rifiutare in base al valore del p- value. In genere il suo valore è un numero molto piccolo,

Dettagli

Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B. Evento prodotto: Evento in cui si verifica sia A che B ; p(a&b) = p(a) x p(b/a)

Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B. Evento prodotto: Evento in cui si verifica sia A che B ; p(a&b) = p(a) x p(b/a) Probabilità condizionata: p(a/b) che avvenga A, una volta accaduto B Eventi indipendenti: un evento non influenza l altro Eventi disgiunti: il verificarsi di un evento esclude l altro Evento prodotto:

Dettagli

Esplorazione dei dati

Esplorazione dei dati Esplorazione dei dati Introduzione L analisi esplorativa dei dati evidenzia, tramite grafici ed indicatori sintetici, le caratteristiche di ciascun attributo presente in un dataset. Il processo di esplorazione

Dettagli

RISCHIO E RENDIMENTO DEGLI STRUMENTI FINANZIARI. Docente: Prof. Massimo Mariani

RISCHIO E RENDIMENTO DEGLI STRUMENTI FINANZIARI. Docente: Prof. Massimo Mariani RISCHIO E RENDIMENTO DEGLI STRUMENTI FINANZIARI Docente: Prof. Massimo Mariani 1 SOMMARIO Il rendimento di un attività finanziaria: i parametri rilevanti Rendimento totale, periodale e medio Il market

Dettagli

Geometria analitica di base (prima parte)

Geometria analitica di base (prima parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: come fissare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale il significato di equazione di una retta il significato di coefficiente angolare di una

Dettagli

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è:

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è: Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA È data la funzione di equazione: k f( ). a) Determinare i valori di k per cui la funzione ammette punti di massimo e minimo relativi. b) Scrivere

Dettagli

LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO Può essere espressa sia nel dominio della s che nel dominio della j Definizione nel dominio della s. è riferita ai soli sistemi con un ingresso ed un uscita 2. ha per oggetto

Dettagli

Soluzioni Esercizi elementari

Soluzioni Esercizi elementari Soluzioni sercizi elementari Capitolo. carattere: itolo di Studio, carattere qualitativo ordinato modalità: Diploma, Licenza media, Laurea, Licenza elementare unità statistiche: Individui. carattere: Fatturato,

Dettagli

STATISTICA E PROBABILITá

STATISTICA E PROBABILITá STATISTICA E PROBABILITá Statistica La statistica è una branca della matematica, che descrive un qualsiasi fenomeno basandosi sulla raccolta di informazioni, sottoforma di dati. Questi ultimi risultano

Dettagli

i=1 Y i, dove Y i, i = 1,, n sono indipendenti e somiglianti e con la stessa distribuzione di Y.

i=1 Y i, dove Y i, i = 1,, n sono indipendenti e somiglianti e con la stessa distribuzione di Y. Lezione n. 5 5.1 Grafici e distribuzioni Esempio 5.1 Legame tra Weibull ed esponenziale; TLC per v.a. esponenziali Supponiamo che X Weibull(α, β). (i) Si consideri la distribuzione di Y = X β. (ii) Fissato

Dettagli

La Distribuzione Normale (Curva di Gauss)

La Distribuzione Normale (Curva di Gauss) 1 DISTRIBUZIONE NORMALE o CURVA DI GAUSS 1. E la più importante distribuzione statistica continua e trova numerose applicazioni nello studio dei fenomeni biologici. 2. Fu proposta da Gauss (1809) nell'ambito

Dettagli

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FIRENZE Facoltà di Scienze M.F.N. Corso di Laurea in Fisica. Prof. Roberto Falciani. Prof.

UNIVERSITA DEGLI STUDI DI FIRENZE Facoltà di Scienze M.F.N. Corso di Laurea in Fisica. Prof. Roberto Falciani. Prof. UIVERSITA DEGLI STUDI DI FIREZE Facoltà di Scienze M.F.. Corso di Laurea in Fisica Prof. Roberto Falciani Prof. Andrea Stefanini Appunti aggiuntivi al corso di ESPERIMETAZIOI I Analisi statistica degli

Dettagli

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria).

Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Politecnico di Milano. Facoltà di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 2. Sezione D-G. (Docente: Federico Lastaria). Aprile 20 Indice Serie numeriche. Serie convergenti, divergenti, indeterminate.....................

Dettagli