PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL Tempo: 2.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. y 1 (t) + + y(t) H(f) = 1 4

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1 INFO (DF-M) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) x(t) g(x) z(t) H(f) H(f) y (t) + + y (t) y(t) H(f) = 4 ( e j π ff0 ) Con riferimento alla figura, g(x) = + x + x è un sistema non lineare, e x(t) = cos(πf 0 t). (a) Calcolare la serie di Fourier del segnale z(t); (b) Determinare il segnale y(t) e calcolare il suo valor medio, la sua potenza e la sua energia. ESERCIZIO (0 punti) x(t) H (f) z(t) campion. z[n] ricostr. z r (t) H (f) x r (t) f c Con riferimento alla figura, il campionamento è effettuato a frequenza f c = 300 khz (senza filtraggio antialiasing), la ricostruzione avviene con un filtro passabasso ideale con frequenza di taglio f c / e guadagno in continua /f c, e i filtri hanno espressione (le frequenze sono espresse in khz):, ( per f 50; 5 H (f) = f 50 0, per f > 50; ), per 50 < f 50; f c H (f) = j sgn(f) Nell ipotesi che x(t) = cos(π00t) + cos(π00t) (tempi in ms), determinare i segnali z(t), z[n], z r (t) e x r (t). ESERCIZIO 3 (0 punti) Sia X una variabile aleatoria caratterizzata dalla seguente CDF: 0, x < 0, F X (x) = x, 0 x <, k, x <,, x. (a) Sapendo che P ( < X 3) = 4, determinare il valore di k e rappresentare graficamente la CDF. (b) Stabilire se X è una variabile aleatoria continua, discreta o mista. (c) Determinare la pdf di X, verificare che sia una valida pdf e rappresentarla graficamente. (d) Calcolare media e varianza di X (esprimere i risultati in forma frazionaria).

2 INFO (DF-M) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) x g (t) 0 T T t Il segnale x g (t) riportato in figura è replicato con periodo T 0 = T, ottenendo così il segnale periodico x(t) =rep T0 [x g (t)] = + m= x g(t mt 0 ). (a) Calcolare i coefficienti della serie di Fourier del segnale x(t). (b) Nell ipotesi in cui x(t) sia posto in ingresso ad un filtro SLS ideale con risposta in frequenza { π/, per 0.5/T 0 f.5/t 0 ; H(f) = 0, altrimenti; calcolare la corrispondente uscita y(t). ESERCIZIO (0 punti) x(t) h(t) y(t) campion. y[n] ricostr. y r (t) f c Con riferimento alla figura, la risposta impulsiva del filtro SLS è h(t) = πt, il campionamento è effettuato a frequenza f c = 300 khz (senza filtraggio antialiasing), e la ricostruzione avviene con un filtro passabasso ideale con frequenza di taglio f c / e guadagno in continua /f c. Nell ipotesi che x(t) =cos(π00t)+sin(π00t) (tempi in ms), determinare i segnali y(t), y[n],ey r (t), e calcolare la potenza di y r (t). ESERCIZIO 3 (0 punti) Il risultato di un esperimento aleatorio è un numero U distribuito uniformemente nell intervallo Ω= [0, ]. Si supponga di costruire una variabile aleatoria X su Ω nel seguente modo: 0, se U [0, /4]; X =, se U ]/4, /]; U +, se U ]/, ]. (a) Determinare e rappresentare graficamente la CDF di X, e verificare che sia una valida CDF. (b) Stabilire se X è una variabile aleatoria continua, discreta o mista. (c) Determinare e rappresentare graficamente la pdf di X, e verificare che sia una valida pdf. (d) Calcolare le probabilità P ( X 5/) e P ( <X 5/) (esprimere i risultati in forma frazionaria). f c

3 INFO (DF-M) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) x(t) S w(t) S v(t) S z(t) S y(t) sistema complessivo Con riferimento allo schema in figura, il sistema S è SLS con risposta impulsiva h (t) = W sinc (W t) (W > 0), mentre il sistema S è caratterizzato dal seguente legame ingresso-uscita: v(t) = w( t). (a) Calcolare il legame ingresso-uscita del sistema complessivo nel dominio della frequenza. (b) Utilizzando il risultato del punto precedente, stabilire se il sistema complessivo è SLS ed, in caso affermativo, determinare la sua risposta in frequenza H(f) e rappresentarla graficamente. (c) Nell ipotesi in cui il segnale di ingresso sia x(t) = cos(πf 0 t), determinare per quali valori di f 0 l uscita corrispondente sia: (c) y(t) = x(t); (c) y(t) = 0; (c3) y(t) = 4 x(t). ESERCIZIO (0 punti) x(t) H (f) y(t) H (f) z(t) campion. ideale z[n] ricostr. ideale z r (t) Con riferimento allo schema in figura, x(t) = rep T0 [Λ ( t T 0 )] H (f) = j π 4 f T 0. f c f c (T 0 > 0), H (f) = rect ( f T0 5 (a) Calcolare i coefficienti X k della serie di Fourier del segnale x(t), e diagrammarli in ampiezza e fase. (b) Determinare l espressione esplicita dei segnali y(t) e z(t). (c) Nell ipotesi che f c = T 0, determinare l espressione esplicita dei segnali z[n] e z r (t). ), ESERCIZIO 3 (0 punti) Il signor S. Santos è il titolare di una fabbrica che produce palloni da calcio per i mondiali del 006. Il peso dei palloni prodotti (espresso in grammi) è approssimativamente una variabile aleatoria gaussiana X N(µ, σ), con µ = 45 e σ = 58. Prima di accettare i palloni, la FIFA esegue un controllo sul loro peso, ritenendo regolamentari solo i palloni il cui peso sia compreso tra 396 e 454 grammi. (a) Calcolare la frazione di palloni del signor Santos che non risultano regolamentari. (b) Per ridurre la frazione dei palloni non regolamentari, il signor Santos decide di adottare un diverso sistema di produzione che consente di diminuire la varianza σ di X (lasciando invariata la sua media µ). Quanto deve valere σ affichè solo il 4.6% dei palloni sia non regolamentare?

4 INFO (DF-M) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) x g (t) Si consideri il segnale periodico x(t) = x g (t kt 0 ) (T 0 > 0), k= avente per generatore il segnale x g (t) rappresentato in figura. 3 4 T 0 T 0 t (a) Calcolare la componente continua e la potenza del segnale x(t). (b) Calcolare i coefficienti della serie di Fourier del segnale x(t). (c) Nell ipotesi che il segnale x(t) sia posto in ingresso ad un sistema SLS avente risposta impulsiva h(t) = rect ( t 0.5 T0 T 0 ), calcolare l espressione esplicita dell uscita y(t) del sistema. ESERCIZIO (0 punti) x(t) ( ) y(t) campion. y[n] ricostr. y r (t) f c f c Con riferimento alla figura, il campionamento è effettuato a frequenza f c = 50 khz (senza filtraggio antialiasing), e la ricostruzione avviene con un filtro passabasso ideale con frequenza di taglio f c / e guadagno in continua /f c. Nell ipotesi che x(t) = cos(π0t) + cos(π0t) (tempi in ms), determinare i segnali y(t), y[n], e y r (t), e calcolare la potenza di y r (t). ESERCIZIO 3 (0 punti) S A D B Nella rete di telecomunicazioni di figura, un messaggio emesso dalla sorgente S può raggiungere la destinazione D seguendo il percorso S-A-D oppure il percorso S-B-A- D. Sapendo che ciascuno dei quattro collegamenti S-A, S-B, B-A, D-A è fuori servizio (indipendentemente dagli altri) con probabilità p = 0, calcolare la probabilità che sia possibile inviare un messaggio dalla sorgente alla destinazione. [Esprimere il risultato in forma frazionaria]

5 BIO/INFO (DF-M) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) Si consideri il sistema SLS il cui legame ingresso/uscita è descritto dall equazione differenziale: d dt y(t) + 0 d y(t) + 50 y(t) = x(t), dt dove x(t) rappresenta l ingresso e y(t) è la corrispondente uscita. (a) Ragionando nel dominio della frequenza, determinare la risposta in frequenza H(f) del sistema. (b) Rappresentare accuratamente la risposta in ampiezza H(f) del sistema, e stabilire se il sistema è passabasso, passabanda oppure passaalto. ESERCIZIO (0 punti) x(t) filtro a-a y(t) campion. y[n] ricostr. y r (t) f c f c Con riferimento alla figura, la risposta armonica H(f) del filtro antialiasing (a-a) (le frequenze sono in khz) è: {, f 4; H(f) = 4 f, f > 4, il campionamento è effettuato a frequenza f c = 8 khz (senza filtraggio antialiasing), e la ricostruzione avviene con un filtro passabasso ideale con frequenza di taglio f c / e guadagno in continua /f c. Nell ipotesi che x(t) = cos(π4t) + cos(π8t) + sin(πt) (tempi in ms), determinare i segnali y(t), y[n], e y r (t), e calcolare la potenza di y r (t). ESERCIZIO 3 (0 punti) Un indagine condotta dal ministero della pubblica istruzione mostra che, nelle famiglie italiane, la probabilità che un figlio completi il percorso degli studi obbligatori è pari ad p = 4/5 e, inoltre, che il percorso degli studi seguito da un figlio è indipendente da quello affrontato dagli altri figli. (a) Con riferimento ad una famiglia avente tre figli, detta X la variabile aleatoria discreta che rappresenta il numero di figli che non completano il percorso degli studi obbligatori, calcolare e rappresentare graficamente CDF e pdf di X (esprimere i risultati intermedi e finali in forma frazionaria). (b) Calcolare media e varianza della variabile X caratterizzata al punto precedente (esprimere i risultati in forma frazionaria).

6 BIO/INFO (DF-M) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) Si consideri il sistema SLS avente risposta impulsiva h(t) = c δ(t) + c δ(t T ), con c, c costanti reali e T > 0. (a) Calcolare l espressione della risposta armonica H(f) del sistema. (b) Determinare le costanti c e c in modo che: (i) c > c ; (ii) il guadagno in continua H(0) del sistema sia unitario; (iii) la potenza del segnale di uscita y(t) corrispondente al segnale reale in ingresso x(t) = A sin(πf 0 t + ψ), con f 0 = /( T ), sia attenuata di 6 db rispetto a quella di x(t). (c) Utilizzando i valori di c e c calcolati al punto precedente, determinare la risposta y(t) del sistema al segnale periodico x(t) = + k= X k e j π T kt. ESERCIZIO (0 punti) x(t) z(t) H(f) camp. x[n] quant. x[n] f c Con riferimento alla figura, z(t) = cos(π5t) + cos (π5t) [tempi in ms e ampiezze in Volt (V)], f c = 0 khz, e H(f) = j f ( ) f 5 rect [frequenze in khz]. (a) Determinare l espressione esplicita dei segnali x(t) e x[n]. (b) Supponendo che il quantizzatore sia uniforme e simmetrico con massimo valore di restituzione X max = V, determinare il numero di bit b necessari ad ottenere un rapporto segnale-rumore di quantizzazione non inferiore a 45 db. (c) Utilizzando il risultato del punto (b), determinare la velocità (in bit/s o multipli) del flusso di bit generati dal convertitore A/D. ESERCIZIO 3 (0 punti) Sia X una variabile aleatoria avente pdf f X (x) = e x u(x), e si definisca la variabile aleatoria discreta Y come la parte intera di X, cioè Y = k se e solo se k X < k, k =,, 3,... (a) Calcolare i valori della probabilità P (Y = k), per ogni k =,, 3,.... (b) Verificare che le probabilità calcolate al punto precedente soddisfino l assioma di normalizzazione. (c) Calcolare la probabilità dell evento A = {Y 5}.

7 BIO/INFO (DF-M) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) Si consideri il seguente segnale periodico: x(t) = + m= [ ] 4(t mt ) T ( ) m rect T, con T > 0. (a) Rappresentare graficamente il segnale x(t) ed individuarne il periodo T 0. (b) Calcolare i coefficienti X k della serie di Fourier di x(t). (c) Nell ipotesi in cui il segnale x(t) sia posto in ingresso ad un sistema SLS avente risposta impulsiva h(t) = g(t) + g(t T ), dove g(t) è un segnale arbitrario dotato di trasformata di Fourier limitata G(f), determinare il corrispondente segnale di uscita ỹ(t). ESERCIZIO (0 punti) x (t) y(t) camp. y[n] ricostr. y r (t) x (t) f c Con riferimento allo schema di figura, i segnali x (t) ed x (t) sono entrambi segnali passabasso a banda rigorosamente limitata, aventi banda monolatera pari, rispettivamente, a W e W, il campionamento è ideale (senza filtro antialiasing), e la ricostruzione avviene con un filtro passabasso ideale con frequenza di taglio f c / e guadagno in continua /f c. (a) Determinare il minimo valore della frequenza di campionamento f c per la perfetta ricostruzione del segnale y(t) a partire dai suoi campioni y[n]. (b) Nell ipotesi che x (t) = cos(π3t) (tempi in ms), x (t) = cos(π5t) (tempi in ms), f c = 0 khz, stabilire se la condizione determinata al punto (a) è verificata, e determinare in ogni caso l espressione esplicita dei segnali y[n] e y r (t). ESERCIZIO 3 (0 punti) Sia X una variabile aleatoria uniforme nell intervallo ( 3, 3), e sia Y = g(x) la variabile aleatoria ottenuta da X mediante la seguente trasformazione: x, x < 0; g(x) =, 0 x < ; x, x. Utilizzando il teorema fondamentale della media, calcolare media, valor quadratico medio e varianza di Y (esprimere tutti i risultati intermedi e finali in forma frazionaria).

8 BIO/INFO (DF-M) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) x(t) g(x) z(t) H (f) H (f) y (t) + + y (t) y(t) H (f) = ( ) f 3 rect W [ ( )] f H (f) = rect W Con riferimento alla figura, g(x) = ( + x) è un sistema non lineare, x(t) = cos(πf 0 t), W = f 0, W = 3 f 0. (a) Calcolare l espressione esplicita del segnale y(t). (b) Calcolare la potenza mutua P yx tra il segnale y(t), determinato al punto (a), ed il segnale x(t). ESERCIZIO (0 punti) x(t) ( ) y(t) z(t) h(t) campion. z[n] Con riferimento allo schema di figura, x(t) = sinc ( t T ) (T > 0), h(t) è la risposta impulsiva di un filtro ideale passabasso con banda monolatera fc e guadagno unitario, ed f c = T. (a) Calcolare e rappresentare graficamente gli spettri dei segnali y(t) e z(t). (b) Calcolare e rappresentare graficamente lo spettro del segnale z[n]. (c) Stabilire se la frequenza di campionamento scelta è sufficiente a garantire la perfetta ricostruzione del segnale z(t) a partire dai suoi campioni z[n]. f c ESERCIZIO 3 (0 punti) Paolo riceve in regalo due calze della befana: la prima contiene 6 cioccolatini rossi e 4 blu, la seconda 4 cioccolatini rossi e 6 blu. Paolo sceglie a caso una delle due calze, ed estrae da essa (senza sostituzione) tre cioccolatini. (a) Calcolare la probabilità che i tre cioccolatini estratti siano tutti rossi. (b) Sapendo che i tre cioccolatini estratti sono tutti rossi, calcolare la probabilità che Paolo abbia scelto la prima calza.

9 BIO/INFO (DF-M) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) x(t) H (f) H (f) u(t) ( ) v(t) H 3 (f) y(t) H (f) = e jπ f f ( ) f H (f) = rect e jπ f f 5f ( ) f H 3 (f) = rect e jπ f f 5f Con riferimento alla figura, x(t) = cos (πf t) (f > 0). (a) Determinare l espressione esplicita dei segnali u(t), v(t), e y(t), e calcolare le rispettive potenze P u, P v, e P y. (b) Dopo aver determinato la frequenza fondamentale f 0 del segnale y(t), calcolare i coefficienti Y k della serie di Fourier di y(t) e rappresentarli graficamente in funzione di k. ESERCIZIO (0 punti) x(t) camp. x[n] quant. x[n] f c Con riferimento alla figura, x(t) = sin(π00t) + cos(π00t) [tempi in ms e ampiezze in Volt (V)], e f c = 800 khz. (a) Determinare l espressione esplicita del segnale x[n] e calcolare la sua potenza ed il suo valore efficace. (b) Supponendo che il quantizzatore sia uniforme e simmetrico, con b = e valore efficace del rumore di quantizzazione pari a 800 µv, calcolare il massimo valore di restituzione X max (in V), il fattore di carico k c, ed il rapporto segnale-rumore (in db). ESERCIZIO 3 (0 punti) Sia X una variabile aleatoria avente pdf f X (x) = h(x) + δ(x), dove { k x, < x <, h(x) = 0, altrimenti. (a) Determinare il valore di k affinché f X (x) sia una valida pdf e rappresentarla graficamente. (b) Calcolare la CDF di X e rappresentarla graficamente. (c) Stabilire se X è una variabile aleatoria continua, discreta, o mista. (d) Calcolare P ( < X ), P (0 X ), P (0 < X ), P (X = ), P (X = 0).

10 BIO/INFO (DF-M) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) h(t) x(t) sin(πf 0 t) y (t) y (t) y(t) Con riferimento alla figura, il segnale in ingresso al sistema complessivo è x(t) = sin(πf 0 t) (con f 0 > 0), e il sistema SLS ha risposta impulsiva h(t) = πt. (a) Determinare i coefficienti della serie di Fourier di y(t). (b) Calcolare valor medio, energia e potenza di y(t). ESERCIZIO (0 punti) x(t) z(t) H(f) camp. x[n] quant. x[n] Con riferimento alla figura, z(t) =cos(π5t) +cos(π0t) +cos(π5t) [tempi in ms e ampiezze in Volt (V)], f c =0kHz, e H(f) = f c [ f ] ( ) f rect 0 40 (frequenze in khz) (a) Determinare l espressione esplicita dei segnali x(t) e x[n]. (b) Supponendo che il quantizzatore sia uniforme e simmetrico con massimo valore di restituzione X max =5V, determinare il numero di bit b necessari ad ottenere un rapporto segnale-rumore di quantizzazione non inferiore a 70 db. ESERCIZIO 3 (0 punti) Un paese versa in una grave crisi economica e il reddito mensile X, espresso in kiloeuro (ke), dei suoi abitanti è una variabile aleatoria esponenziale, con media E(X) = 0.5. In prossimità delle elezioni politiche, gli schieramenti A e B confrontano le loro politiche fiscali: lo schieramento A propone una tassa Y A sul reddito X in modo che i redditi al di sotto di ke non siano tassati, cioè Y A =0per 0 X, mentre quelli al di sopra di tale soglia siano soggetti ad una tassa progressiva Y A =0.5 X [ e (X ) ], per X>; lo schieramento B propone invece di tassare tutti i redditi con la stessa aliquota del 0%, cioè di calcolare la tassa come Y B =0. X. (a) Calcolare la tassa media mensile secondo le proposte dei due schieramenti e stabilire quale delle due proposte è più conveniente per gli elettori. (b) Stabilire (se esiste) un valore dell aliquota fissa proposta dallo schieramento B che rende coincidenti i valori della tassa media mensile proposta dai due schieramenti.

11 BIO/INFO (DF-M) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) Il segnale periodico x(t) = + k= x g (t k), dove x g (t) = α rect( t) + rect(4 t) ed α è un numero reale non nullo, è posto in ingresso al sistema SLS avente risposta impulsiva h(t) = sin(πt) cos(πt). t Determinare il valore della costante α in modo che il segnale y(t) in uscita al sistema abbia potenza unitaria. ESERCIZIO (0 punti) Con riferimento allo schema di figura, il campionamento è effettuato a frequenza f c = khz (senza filtraggio antialiasing) e la ricostruzione avviene con un filtro passabasso ideale avente frequenza di taglio f c / e guadagno in continua /f c (interpolazione ideale). x(t) campion. x[n] ricostr. x r (t) f c (a) Determinare il segnale ricostruito x r (t) per i seguenti segnali x(t): () x(t) = sinc (500t); () x(t) = cos(π400t); (3) x(t) = + cos(π400t) + cos(π600t) + cos(π000t); (4) x(t) = cos(π00t) + sin(π800t) [tempi espressi in s]. (b) Ripetere i calcoli del punto (a) supponendo di sottoporre x(t) a filtraggio antialiasing prima del campionamento (si supponga di utilizzare un filtro passabasso ideale con frequenza di taglio f c / e guadagno in continua unitario). f c ESERCIZIO 3 (0 punti) Sia X una v.a. caratterizzata dalla seguente CDF: 0, x < 0, F X (x) = x, 0 x <, k, x <,, x. (a) Sapendo che P ( < X 3) =, determinare il valore di k e rappresentare graficamente F X(x). (b) Stabilire se X è una v.a. continua, discreta o mista. (c) Determinare e rappresentare graficamente la pdf di X e, inoltre, verificare che sia una valida pdf. (d) Calcolare media e varianza di X (esprimere i risultati in forma frazionaria).

12 INFO (DF-M) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) x(t) + S S y(t) Con riferimento alla figura a lato, il sistema S è un SLS con risposta impulsiva h (t) = πt, ed il sistema S è un filtro passabasso ideale avente banda monolatera B = khz e guadagno unitario. (a) Calcolare la risposta in frequenza H eq (f) del sistema complessivo, avente come ingresso x(t) e come uscita y(t), e rappresentare graficamente sia la risposta in ampiezza che quella in fase. (b) Nell ipotesi in cui x(t) = cos(πf t) + cos(πf t), con f = khz e f = 3 khz, determinare l uscita y(t), e calcolare il suo valor medio, la sua potenza e la sua energia. ESERCIZIO (0 punti) x(t) ( ) y(t) campion. y[n] ricostr. y r (t) f c f c Con riferimento alla figura, x(t) = cos(πt) + cos(π3t) (tempi in ms), il campionamento è effettuato a frequenza f c = 7 khz (senza filtraggio antialiasing), e la ricostruzione avviene con un filtro passabasso ideale con frequenza di taglio f c / e guadagno in continua /f c. (a) Determinare i segnali y(t), y[n], e y r (t). (b) Calcolare la potenza di y r (t) e la potenza mutua tra x(t) e y r (t). ESERCIZIO 3 (0 punti) Ital. Germ. Fran. Port. Ital. 5/0 5/0 7/0 Germ. 6/0 9/0 Fran. 8/0 Port. Le semifinali dei campionati del mondo di calcio 006 sono Italia-Germania e Francia-Portogallo; le vincenti delle semifinali si affronteranno in finale per la vittoria del campionato. Nella tabella a lato sono riportate le probabilità che la squadra indicata sulla riga batta la squadra indicata sulla colonna in uno scontro diretto (ad esempio, la probabilità che l Italia batta la Germania è 5/0). (a) Completare la tabella, calcolando tutte le probabilità mancanti (ricordate che il pareggio non è ammesso!) (b) Supponendo che i risultati di tutte le partite siano indipendenti tra loro, calcolare la probabilità che l Italia vinca il campionato del mondo (esprimere risultati intermedi e finali in forma frazionaria).

13 INFO (DF-M) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) x(t) S S z (t) + z (t) y(t) Con riferimento alla figura a lato, il sistema S è caratterizzato dal legame ingresso-uscita z (t) = x(t)+x(t T ), e il sistema S è SLS con risposta impulsiva h (t) = δ(t T/), con T numero reale positivo. (a) Calcolare la risposta in frequenza H(f) del sistema complessivo [ingresso x(t) e uscita y(t)]. (b) Nell ipotesi in cui x(t) = T sinc(4tt ), determinare e rappresentare graficamente gli spettri di ampiezza e fase dell uscita y(t), e calcolare la sua energia E y e potenza P y. ESERCIZIO (0 punti) x(t) S y(t) S z(t) campion. z[n] ricostr. z r (t) Con riferimento alla figura, x(t) è un segnale periodico di periodo T 0 = ms, avente come generatore il segnale x g (t) = rect(tt0 ) rect[(t 0.5T 0 )T0 ], S è un filtro ideale passabasso avente guadagno π/4 e banda monolatera.5 khz, S è un sistema non lineare senza memoria la cui relazione ingresso-uscita è z(t) = y(t) + y (t), il campionamento è effettuato a frequenza f c = 3 khz (senza filtraggio antialiasing), e la ricostruzione avviene con un filtro passabasso ideale con frequenza di taglio f c / e guadagno in continua /f c. (a) Determinare i coefficienti della serie di Fourier di x(t), il valor medio di x(t) e la potenza di x(t). (b) Determinare i segnali y(t), z(t), z[n], e z r (t). (c) Calcolare la potenza mutua tra y(t) e z r (t). f c f c ESERCIZIO 3 (0 punti) Sia X Exp(λ) una variabile aleatoria esponenziale di parametro λ > 0. Al fine di ottenere una variabile aleatoria discreta Y che possa assumere solo M possibili valori y 0, y,..., y M, con M numero intero positivo, la variabile aleatoria X è quantizzata uniformemente come segue: Y = y n = x n + x n+ se e solo se x n < X x n+, per n {0,,..., M }, dove x n = n, per n {0,,..., M}, con > 0 che rappresenta il passo di quantizzazione. (a) Calcolare la probabilità p Y (n) = P (Y = y n ), per n {0,,..., M }. (b) Determinare il valore del parametro λ (in funzione di M e ) in modo che P c = P (X > x M ) sia pari a e 3 (probabilità di sovraccarico circa uguale al 5%). (c) Utilizzando i risultati ottenuti ai punti (a) e (b), determinare M (numero dei livelli di quantizzazione) in modo che la probabilità che Y assuma il suo valore più grande y M sia pari a e volte la probabilità che Y assuma il suo valore più piccolo y 0, ossia p Y (M ) = e p Y (0).

14 BIO/INFO (DF-M) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) x(t) SLS SLS SLS 3 y(t) Con riferimento allo schema di figura, i tre sistemi SLS sono caratterizzati rispettivamente dalle risposte impulsive h (t) = δ(t)+ 4 δ(t+ W )+ 4 δ(t W ), h (t) = W sinc(w t), h 3 (t) = δ(t W ), con W > 0. (a) Calcolare la risposta armonica H(f) del sistema complessivo [ingresso x(t), uscita y(t)] e rappresentarla graficamente in modulo e fase. (b) Calcolare l uscita y(t) corrispondente al segnale di ingresso x(t) = cos(πw t). ESERCIZIO (0 punti) x(t) y(t) SLS camp. y[n] ricostr. y r (t) f c Con riferimento allo schema di figura, il sistema SLS è caratterizzato dalla risposta impulsiva h(t) = 3 W sinc(w t)sinc(3w t), con W > 0, il campionamento è effettuato a frequenza f c = W, e la ricostruzione avviene con un filtro passabasso ideale avente frequenza di taglio f c / e guadagno in continua /f c (interpolazione ideale). (a) Calcolare la risposta armonica H(f) del sistema SLS e rappresentarla graficamente. (b) Nell ipotesi che x(t) = + cos(πw t) + sin(3πw t), determinare i segnali y(t), y[n], y r (t). ESERCIZIO 3 (0 punti) Si consideri l esperimento costituito dal lancio di due dadi (indipendenti e bilanciati): detti d e d i risultati dei due lanci, si costruisca la seguente variabile aleatoria: X = max(d, d ). (a) Determinare CDF e pdf della variabile aleatoria X e rappresentarle graficamente. (b) Stabilire se X è una v.a. continua, discreta o mista. (c) Calcolare media e varianza di X (esprimere i risultati in forma frazionaria).

15 BIO/INFO (DF-M) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) x(t) h (t) h (t) y(t) I due sistemi SLS in figura sono caratterizzati dalle seguenti risposte impulsive (con B > 0): h (t) = B sinc( B t) [ ( h (t) = 4 B sinc 4 B t + )] B (a) Calcolare la risposta armonica H(f) del sistema complessivo [ingresso x(t) e uscita y(t)] e rappresentarla graficamente in modulo e fase. (b) Nell ipotesi in cui B = 00 Hz, f = 50 Hz e f = 300 Hz, calcolare l uscita y(t) corrispondente al segnale di ingresso x(t) = cos(πf t) + cos(πf t) + B sinc (B t). ESERCIZIO (0 punti) x(t) z(t) h(t) camp. x[n] quant. x[n] f c Con riferimento alla figura, z(t) = 4 cos (π5t) + sin(π30t) [tempi in ms e ampiezze in Volt (V)], h(t) = δ(t) B sinc (Bt), con B = 0 khz, f c = 40 khz, ed il quantizzatore è uniforme e simmetrico con M = b livelli e passo di quantizzazione = mv. (a) Determinare l espressione esplicita dei segnali x(t) e x[n]. (b) Utilizzando il segnale x[n] calcolato al punto (a), calcolare il valore in db del rapporto segnalerumore (SNR) di quantizzazione. (c) Utilizzando il segnale x[n] calcolato al punto (a), determinare il minimo numero di bit b necessario ad ottenere un valore del fattore di carico k c del quantizzatore maggiore o uguale a. ESERCIZIO 3 (0 punti) Sia X una variabile aleatoria caratterizzata dalla seguente pdf: f X (x) = ( rect x ) + k δ(x ) + k δ(x ). (a) Determinare k in modo che f X (x) sia una valida pdf e rappresentare graficamente f X (x). (b) Determinare e rappresentare graficamente la CDF di X, verificando che sia una valida CDF. (c) Stabilire se X è una variabile aleatoria continua, discreta o mista. (d) Calcolare le seguenti probabilità (esprimere tutti i risultati in forma frazionaria): P ( < X ), P ( X ), P ( X < ), P ( < X < ), P (X > 3/) e P (X = ).

16 BIO/INFO (DF-M) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) h (t) u (t) - + w 3 (t) h 3 (t) u 3 (t) h 4 (t) u 4 (t) + + y(t) x(t) h (t) u (t) Sistema complessivo I quattro sistemi SLS in figura sono caratterizzati dalle seguenti risposte impulsive: h (t) =h 3 (t) =δ(t ), h (t) =e t u(t) e h 4 (t) =e 3(t+) u(t +). (a) Calcolare la risposta impulsiva h(t) e la risposta armonica H(f) del sistema complessivo. (b) Classificare il sistema complessivo, motivando brevemente le risposte, sulla base delle sue proprietà di dispersività, causalità e stabilità. ( ) ( ) πt πt (c) Calcolare l uscita y(t) corrispondente al segnale di ingresso x(t) =+sin cos. ESERCIZIO (0 punti) ( πn ) ( ) 7πn Il segnale a tempo discreto x[n] =cos +cos (ampiezze espressa in V) è quantizzato 3 3 con un quantizzatore simmetrico. (a) Determinare il massimo valore di restituzione X max del quantizzatore se il fattore di carico del quantizzatore è k c =4. (b) Utilizzando il valore di X max determinato al punto (a), determinare il minimo numero di bit b per ottenere un SNR di almeno 60 db, e calcolare l SNR effettivo. ESERCIZIO 3 (0 punti) Sia X una variabile aleatoria avente pdf arbitraria, e si consideri la variabile aleatoria Y =X. (a) Esprimere media e varianza di Y in funzione di E(X ) ed E(X 4 ). (b) Utilizzando il risultato del punto (a), calcolare media e varianza di Y quando X U(, ). (c) Utilizzando il risultato del punto (a), calcolare media e varianza di Y quando X Bern(/).

17 BIO/INFO (DF-M) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) Si consideri il segnale periodico x(t) = il segnale generatore x g (t) è dato da x g (t) = Λ + k= x g (t k T ), dove T > 0 è il periodo di replicazione e ( ) t u(t) ( ) 4 t T T rect. T (a) Nell ipotesi in cui il segnale x(t) passi attraverso il sistema SLS avente risposta in frequenza H(f) = j πf, determinare il corrispondente segnale di uscita y(t). (b) Supposto che il segnale y(t) sia a sua volta posto in ingresso ad un filtro ideale passabasso di guadagno unitario e banda monolatera W = /( T ), calcolare il segnale di uscita z(t). ESERCIZIO (0 punti) Con riferimento allo schema di figura, il campionamento è effettuato a frequenza f c = 40 khz (senza filtraggio antialiasing), il sistema realizza la trasformazione y[n] = x [n], e la ricostruzione avviene con un filtro passabasso ideale avente frequenza di taglio f c / e guadagno in continua /f c (interpolazione ideale). x(t) campion. x[n] sistema y[n] ricostr. y r (t) f c f c Nell ipotesi che x(t) = cos(π5t) + cos(π5t) (tempi in ms), determinare il segnale ricostruito y r (t). ESERCIZIO 3 (0 punti) Sia X una variabile aleatoria caratterizzata dalla seguente pdf: ( f X (x) = k ( x)rect x ) + k δ(x ). (a) Sapendo che P ( X < ) = 4, determinare k e k in modo che f X (x) sia una valida pdf e rappresentare graficamente f X (x). (b) Determinare e rappresentare graficamente la CDF di X, verificando che sia una valida CDF. (c) Calcolare media e varianza di X. [Esprimere risultati intermedi e finali in forma frazionaria.]

18 PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL (soluzione). ESERCIZIO (0 punti) (a) Facendo un grafico del segnale si vede che { ( ) x g (t) = 4t T 0 t T 0 altrimenti Poiché x(t) = k= x g(t kt ) ed il sistema H(f) = jπf effettua una derivata nel dominio del tempo, non conviene calcolare i coefficienti della serie di Fourier ma scrivere direttamente: y(t) = x (t) = d dt [ k= x g (t kt ) ] = k= d dt x g(t kt ) = k= x g(t kt ) ovvero un generatore di y(t) = x (t) è y g (t) = x g(t). Dal grafico di x g (t) si calcola facilmente la sua derivata: y g (t) = x g(t) = δ(t) + ( δ t T ) ( ) t T/4 T rect T/ da cui si ottiene facilmente un grafico di y(t) replicando y g (t) con passo T. (b) Il segnale y(t) è periodico di periodo T, le sue armoniche sono allora alle frequenze k/t il filtro passabasso con frequenza di taglio W = /(T ) lascia passare solo la componente continua. Ma poiché Y 0 = T T/ T/ y(t) dt = T T/ T/ y g (t) dt = T (area del generatore) = 0 in quanto il generatore y g (t) ha area nulla, essendo la derivata di x g (t) z(t) = 0. ESERCIZIO (0 punti) Conviene operare sui segnali a tempo-discreto riportando sempre le frequenze numeriche nell intervallo ( /, /) per evidenziare l aliasing ed ottenere il segnale correttamente ricostruito. Tenendo conto anche della parità di cos( ), si ha con facili passaggi: x[n] = cos = cos ( π 5 ) 40 n + cos ) ( π 5 40 n y[n] = x [n] = 4 cos ( π 5 [ ( = + cos π 0 40 n ( π 5 40 n ) 40 n )] ) = cos ( π 5 40 n ) [ ( ) ] 5 + cos π 40 n [ ( = + cos π 30 )] { [ ( ) ]} n = + cos π 40 n y r (t) = [ + cos (π0t)]

19 ESERCIZIO 3 (0 punti) (a) Per calcolare k e k servono due equazioni, una è la condizione di normalizzazione della pdf, l altra si ricava sviluppando P { X < } = 4 : P { X < } = f X (x) dx = k ( x) dx + k δ(x ) dx / / / } {{ } =0 Il secondo integrale è zero perché l impulso non è interno all intervallo di integrazione. Sviluppando il primo integrale si trova k =. Imponendo poi la condizione di normalizzazione: f X (x) dx = k ( x) dx + k 0 da cui si ricava k = 3/4. Pertanto f X (x) = ( ( x)rect x ) + 3 δ(x ) 4 δ(x ) dx = k + k = (b) La CDF si calcola applicando la formula: F X (x) = x f X (u) du Un grafico della pdf aiuta ad individuare gli estremi di integrazione nei vari intervalli. Si ha: per x < 0 F X (x) = 0; per 0 x < F X (x) = x 0 ( u) du = x ( x ) ; per x F X (x) =. Dal grafico si vede che la CDF è continua per x = 0 e presenta un salto di discontinuità per x = (il salto è di ampiezza 3/4 pari evidentemente all area dell impulso in x = presente nella pdf). (c) Media e varianza si calcolano banalmente (la seconda passando attraverso il calcolo del valore quadratico medio). Si ha: E(X) = E(X ) = xf X (x) dx = x f X (x) dx = 0 0 x( x) dx x ( x) dx Var(X) = E(X ) E (X) = = 7 7 xδ(x ) dx = 5 6 x δ(x ) dx = 9 4

20 BIO/INFO (DF-M) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DELL Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) + x(t) S S y(t) Con riferimento allo schema in retroazione a lato, i sistemi S ed S sono entrambi SLS, aventi risposte impulsive h (t) = W sinc(w t) e h (t) = W sinc(w t), rispettivamente, con W = 0 khz e W = 0 khz. (a) Calcolare la risposta in frequenza H(f) del sistema SLS complessivo, avente come ingresso x(t) e come uscita y(t), e rappresentarla graficamente. (b) A partire dalla H(f) calcolata al punto precedente, determinare la risposta impulsiva h(t) del sistema SLS complessivo. (c) Calcolare l uscita y(t) corrispondente al segnale di ingresso x(t) = cos (πf 0 t), con f 0 = 3 khz. ESERCIZIO (0 punti) Con riferimento allo schema di figura, il campionamento è effettuato a frequenza f c = 5 khz (senza filtraggio antialiasing), il sistema realizza la trasformazione y[n] = +x[n]+x [n], e la ricostruzione avviene con un filtro passabasso ideale avente frequenza di taglio f c / e guadagno in continua /f c (interpolazione ideale). x(t) campion. x[n] sistema y[n] ricostr. y r (t) f c f c Nell ipotesi che x(t) = + cos(πf 0 t), con f 0 = 0 khz, determinare il segnale ricostruito y r (t). ESERCIZIO 3 (0 punti) Sia X una variabile aleatoria caratterizzata dalla seguente pdf: f X (x) = k ( x ) x rect. (a) Determinare k in modo che f X (x) sia una valida pdf e rappresentare graficamente f X (x). (b) Determinare e rappresentare graficamente la CDF di X, verificando che sia una valida CDF. (c) Calcolare P ( X < ). [Esprimere risultati intermedi e finali in forma frazionaria.]

21 BIO/INFO (DF-M) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) x(t) H (f) + ( f H (f) y(t) H (f) = rect f ( f ) ) H (f) = rect f f = 0 khz, f = 0 khz (a) Calcolare la risposta in frequenza H(f) del sistema SLS complessivo, avente come ingresso x(t) e come uscita y(t), e rappresentarla graficamente. (b) A partire dalla H(f) calcolata al punto precedente, determinare la risposta impulsiva h(t) del sistema SLS complessivo, e rappresentarla graficamente. (c) Calcolare l uscita y(t) corrispondente al segnale di ingresso x(t) = f sinc (f t). ESERCIZIO (0 punti) H(f) y (t) x(t) y(t) campion. y[n] ricostr. y r (t) f c πf j Con riferimento allo schema di figura, x(t) = cos(πf 0 t), H(f) = e f 0, il campionamento è effettuato a frequenza f c = 3f 0 (senza filtraggio antialiasing), e la ricostruzione avviene con un filtro passabasso ideale avente frequenza di taglio f c / e guadagno in continua /f c (interpolazione ideale). (a) Determinare l espressione esplicita dei segnali y (t), y(t) e y[n]. (b) Determinare l espressione esplicita del segnale ricostruito y r (t). (c) Stabilire se x(t) e y r (t) sono ortogonali. [Il simbolo utilizzato nello schema denota il prodotto algebrico, non la convoluzione.] ESERCIZIO 3 (0 punti) Su un tavolo ci sono tre scatole uguali, ciascuna delle quali contiene 0 palle di diverso colore (rosse e bianche): più precisamente, la scatola S contiene 5 palle rosse e 5 bianche, la scatola S contiene 8 palle rosse e bianche, la scatola S 3 contiene palle rosse e 8 bianche. Scelgo una scatola a caso ed estraggo da essa in successione (senza sostituzione) 4 palle tutte rosse. (a) Calcolare la probabilità che abbia scelto la scatola S. (b) Ripetere il calcolo del punto (a) per le scatole S ed S 3. [Esprimere risultati intermedi e finali in forma frazionaria. Nei risultati finali le frazioni devono essere ridotte ai minimi termini.] f c

22 PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL (soluzione). ESERCIZIO (0 punti) (a) La risposta in frequenza del sistema complessivo si ottiene facilmente utilizzando le formule per i sistemi in parallelo ed in serie: H(f) = [ H (f)]h (f) Il grafico è quello di una funzione H(f) = per f f f (filtro passabanda). (b) Dal grafico osservo che una possibile espressione analitica per H(f), utile per antitrasformare, è la seguente: ( ) ( ) f f0 f + f0 H(f) = rect + rect W W con f 0 = f +f e W = f f. Antitrasformando trovo: h(t) = W sinc(w t)e jπf 0t + W sinc(w t)e jπf 0t = W sinc(w t) cos(πf 0 t) Il grafico di h(t) è quello della funzione cos(πf 0 t) con inviluppo W sinc(w t), per cui basta disegnare quest ultima funzione ed un coseno che oscilla tra i valori ±W sinc(w t). (c) Poiché X(f) = Λ(f/f ), si ha che [vedi grafico di H(f] Y (f) = X(f)H(f) 0 da cui y(t) 0. ESERCIZIO (0 punti) (a) y (t) = H(f 0 ) cos(πf 0 t + arg H(f 0 )) = cos(πf 0 t π/) = sin(πf 0 t) y(t) = x(t) y (t) = cos(πf 0 t) sin(πf ) 0 t) = sin(πf 0t) y[n] = y(n/f c ) = (π sin f 0 3f 0 n = sin ( π 3 n) (b) Poiché ν 0 = f 0 f c = /3 > /, ho aliasing e quindi posso ridurre la frequenza numerica all interno dell intervallo ( /, /) sottraendo un numero intero arbitrario: sin (π 3 n ) = sin [ π ( 3 ) ] n = [ sin π ( 3 ) n per cui trovo, moltiplicando la nuova frequenza numerica /3 per f c = 3f 0 : y r (t) = sin(πf 0t) ] = sin (π 3 n ) (c) I segnali y r (t) e x(t) sono ortogonali perché la loro potenza mutua vale P yrx = y r (t)x(t) = sin(πf 0t) cos(πf 0 t) = 4 sin(πf 0t) = 0

23 ESERCIZIO 3 (0 punti) (a) Per Bayes: Per la probabilità totale: 4 3 P (S 4R) = P (4R S )P (S ) P (4R) P (4R) = 3 P (4R S k )P (S k ) k= dove P (4R S ) = = (regola della catena), P (4R S ) = = (regola della catena), P (4R S 3 ) = 0 (S 3 contiene solo palle rosse), P (S ) = P (S ) = P (S 3 ) = 3 (le scatole sono scelte a caso cioè in maniera equiprobabile). Sostituendo i valori precedenti si trova P (4R) = e quindi P (S 4R) = = = 5 (b) Con calcoli simili a quelli del punto (a) si trova P (S 4R) = 4 5, P (S 3 4R) = 0. Si noti che vale la condizione di normalizzazione 3 k= P (S k 4R) =.

24 BIO/INFO (DF-M) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) In risposta al segnale di ingresso x (t), un sistema SLS produce in uscita il segnale y (t), dove { sin(πt) per 0 < t <, sin(πt) per 0 < t <, x (t) = ed y (t) = sin[π(t )] per < t <, 0 altrimenti. 0 altrimenti. (a) Calcolare e diagrammare la risposta impulsiva h(t) e la risposta in frequenza H(f) del sistema. (b) Determinare l uscita y (t) del sistema corrispondente al seguente segnale di ingresso: sin(πt) per 0 < t <, x (t) = sin[π(t )] per < t <, 0 altrimenti. ESERCIZIO (0 punti) x(t) H (f) H (f) y(t) g(x) z(t) campion. f c z[n] ricostr. f c z r (t) ( ) ( ) Con riferimento allo schema di figura, H (f) = rect f 4W e H (f) = rect f W, x(t) = cos(πw t)+ sin(3πw t), g(x) = x è una non-linearità senza memoria, il campionamento è effettuato a frequenza f c = 3W (senza filtraggio antialiasing), e la ricostruzione avviene con un filtro passabasso ideale avente frequenza di taglio f c / e guadagno in continua /f c (interpolazione ideale). (a) Determinare l espressione esplicita dei segnali y(t), z(t) e z[n]. (b) Determinare l espressione esplicita del segnale ricostruito z r (t). ESERCIZIO 3 (0 punti) Uno stabilimento siderurgico ha due linee di produzione di travi aventi lunghezza nominale di 00 cm. La lunghezza effettiva di una trave prodotta dalla prima linea è una variabile aleatoria gaussiana con media 00 cm e deviazione standard cm, mentre quella di una trave prodotta dalla seconda linea è una variabile aleatoria gaussiana avente media 00 cm e deviazione standard cm. La prima linea produce 00 travi/ora, mentre la seconda linea produce 400 travi/ora; ogni ora, viene sottoposto al controllo di qualità il 0% delle travi prodotte da ciascuna linea. Per poter superare tale controllo, la trave deve avere una lunghezza compresa tra 98 e 0 cm. (a) Calcolare la probabilità che una trave superi il controllo di qualità. (b) Calcolare la probabilità che una trave che ha superato il controllo di qualità sia stata prodotta dalla prima linea.

25 BIO/INFO (DF-M) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) x(t) + S y(t) S Nello schema di figura, il sistema S è caratterizzato dalla risposta impulsiva h S (t) = δ(t T ) (T > 0). (a) Calcolare la risposta in frequenza H(f) del sistema SLS complessivo avente x(t) come ingresso e y(t) come uscita. (b) Calcolare e rappresentare graficamente la risposta in ampiezza H(f) e la risposta in fase H(f). (c) Calcolare l uscita corrispondente al segnale di ingresso x(t) = + cos ( π T t) + sin ( π T t). ESERCIZIO (0 punti) x(t) camp. x[n] quant. x[n] f c Con riferimento alla figura, x(t) = cos(π0t) + cos(π0t) [tempi in ms e ampiezze in Volt (V)], e f c = 30 khz. (a) Determinare l espressione esplicita del segnale x[n] e calcolare la sua potenza ed il suo valore efficace. (b) Supponendo che il quantizzatore sia uniforme e simmetrico, con potenza del rumore di quantizzazione pari a mv, calcolare il rapporto segnale-rumore (in db). (c) Calcolare il numero di bit b necessario per ottenere un fattore di carico k c non inferiore a 4. (d) Utilizzando il valore di b determinato al punto (c), calcolare il valore effettivo di k c ed il massimo valore di restituzione X max (espresso in V). ESERCIZIO 3 (0 punti) Sia X una variabile aleatoria caratterizzata dalla seguente pdf: f X (x) = k ( x ) ( x) rect + k δ(x ) (a) Sapendo che E(X) =, determinare i valori di k e k affinché f X (x) sia una valida pdf e rappresentarla graficamente. (b) Calcolare la CDF di X e rappresentarla graficamente. (c) Calcolare P (X = 0), P (X = ), P ( X > ), P ( X ), P ( < X < ). [Esprimere tutti i risultati intermedi e finali in forma frazionaria.]

26 BIO/INFO (DF-M) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) Si consideri il segnale periodico x(t) = [ x g (t) = A rect + k= ( t (a) Rappresentare accuratamente il segnale x(t). T 0 x g (t kt 0 ), dove il segnale generatore è ) ( 4t + Λ (b) Determinare la serie di Fourier del segnale x(t). T 0 )] con A, T 0 R +. (c) Nell ipotesi in cui il segnale x(t) sia posto in ingresso al sistema SLS avente risposta impulsiva h(t) = sinc( t T 0 ) sinc ( t T 0 ), calcolare la corrispondente uscita y(t). ESERCIZIO (0 punti) y(t) x(t) H(f) A/D f c y(n) H(f) = j f 0 + j f 0 (frequenze f in khz) Con riferimento alla figura, x(t) = cos (π5t) (tempi in ms, ampiezze in Volt), e f c = 30 khz. (a) Determinare l espressione esplicita del segnale y(t) e calcolare la sua potenza P y. (b) Supponendo che il convertitore A/D adoperi un quantizzatore uniforme e simmetrico con massimo valore di restituzione X max = V, determinare il numero di bit b necessari ad ottenere un rapporto segnale-rumore di quantizzazione non inferiore a 90 db. (c) Utilizzando i risultati del punto (b), determinare la velocità R (in bit/s o multipli) del flusso di bit generati dal convertitore A/D. ESERCIZIO 3 (0 punti) Si consideri l esperimento costituito dal lancio di due monete indipendenti, il cui spazio campione è Ω = {T T, T C, CT, CC}. La prima moneta è ben bilanciata, mentre la seconda moneta è truccata con probabilità che esca testa uguale a p ]0, [. Si costruisca su Ω una variabile aleatoria X che conta il numero di croci uscite nei due lanci. (a) Determinare CDF e pdf di X e rappresentarle graficamente. (b) Stabilire se X è una v.a. continua, discreta o mista. (c) Determinare p in modo che la media di X sia uguale a 5/4. (d) Utilizzando il valore di p calcolato precedentemente, calcolare la varianza di X. N.B. Esprimere tutti i risultati intermedi e finali in forma frazionaria.

27 INFO (DF-M) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) Si consideri la seguente equazione differenziale: d dt y(t) + y(t) = α d dt x(t) + α d dt x(t) con α R +. (a) Nell ipotesi che l equazione differenziale definisca un sistema LTI, determinare e rappresentare graficamente la risposta in frequenza H(f) del sistema. (b) Determinare la costante α in modo che il segnale di uscita y(t) corrispondente al segnale di ingresso x(t) = cos(t) abbia una potenza P y inferiore di 0 db rispetto a quella P x di x(t). ESERCIZIO (0 punti) x(n) z(n) S S y(n) Con riferimento allo schema in figura, i sistemi S ed S sono entrambi LTI, con legami i-u: z(n) = [x(n) + x(n )], y(n) = [z(n) z(n )]. (a) Determinare la risposta in frequenza H(ν) del sistema complessivo e rappresentarla graficamente nell intervallo ν ( /, /). (b) Calcolare l uscita y(n) corrispondente al segnale di ingresso x(n) = + cos ( ) πn. ESERCIZIO 3 (0 punti) Sia X una variabile aleatoria caratterizzata dalla seguente pdf: f(x) = rect ( x x0 ) + δ(x ). (a) Determinare x 0 e in modo che f(x) sia una valida pdf e che E(X) =, e rappresentare graficamente la pdf risultante. (b) Determinare e rappresentare graficamente la CDF F (x) di X, verificando che sia una valida CDF. (c) Stabilire se X è una variabile aleatoria continua, discreta o mista. (d) Calcolare le seguenti probabilità (esprimere tutti i risultati in forma frazionaria): P (X = ), P ( < X ), P ( X ), P (/ < X < 3/4).

28 INFO (DF-M) (vecchio programma) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) x (t) x(t) [ H(f) y(t) H(f) = rect f (f + f ) ] e jπ 4f f x (t) Con riferimento alla figura, x (t) = cos(πf t) + cos(πf t), x (t) = cos(πf t) cos(πf t), con f = 5 khz e f = 9 khz. Determinare l espressione esplicita del segnale y(t) e calcolare la sua potenza P y. ESERCIZIO (0 punti) Con riferimento allo schema di figura, il campionamento è effettuato a frequenza f c = 5 khz (senza filtraggio antialiasing), il sistema realizza la trasformazione y[n] = x[n] + x [n], e la ricostruzione avviene con un filtro passabasso ideale avente frequenza di taglio f c / e guadagno in continua /f c (interpolazione ideale). x(t) campion. x[n] sistema y[n] ricostr. y r (t) f c f c Nell ipotesi che x(t) = cos(π0t) (tempi in ms), determinare il segnale ricostruito y r (t) e calcolare la sua potenza. ESERCIZIO 3 (0 punti) Sia X una variabile aleatoria caratterizzata dalla seguente pdf: f(x) = rect ( x x0 ) + δ(x ). (a) Determinare x 0 e in modo che f(x) sia una valida pdf e che E(X) =, e rappresentare graficamente la pdf risultante. (b) Determinare e rappresentare graficamente la CDF F (x) di X, verificando che sia una valida CDF. (c) Stabilire se X è una variabile aleatoria continua, discreta o mista. (d) Calcolare le seguenti probabilità (esprimere tutti i risultati in forma frazionaria): P (X = ), P ( < X ), P ( X ), P (/ < X < 3/4).

29 PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL (soluzione). ESERCIZIO (0 punti) (a) Calcolando la trasformata di Fourier dell equazione differenziale (applicando le proprietà di linearità e derivazione nel tempo) si trova H(f) = Y (f) X(f) = α ( 8π f +jπf) +j4πf = α(jπf) (b) Il sistema, a meno di una costante moltiplicativa, coincide con un derivatore, per cui y(t) = α d dt cos(t) = α sin(t); poiché P x = e P y = α, si ha 0 log 0 P y P x = 0 P y P x 0 α = 0. ESERCIZIO (0 punti) (a) Poiché ( h (n) ) = [δ(n) δ(n ( )] e h (n) = [δ(n) + δ(n )], trasformando si trova H (ν) = e jπν e H (ν) = ) + e jπν, per cui H(ν) = H (ν)h (ν) = ( e jπν ) ( + e jπν ) = ( e j4πν ) = j 4 e jπν sin(πν) Le risposte in ampiezza e in fase sono: H(ν) = sin(πν), { H(ν) = π π πν + sin(πν) = πν ν (0, /) πν ν ( /, 0) (b) Per la sovrapposizione degli effetti, risulta y(n) = H(0) + ( H [ 4) cos π 4 n + H ( 4)]. Poiché H(0) = 0 e H(/4) = /, si ha y(n) = cos ( ) πn. ESERCIZIO 3 (0 punti) (a) Dalla condizione di normalizzazione, si trova =. Dalla condizione sulla media, si ricava x 0 =. (b) Applicando la relazione tra CDF e pdf (aiutandosi con il grafico della pdf) si ha 0, x < x ; x F X (x) = f X (u) du = 4, x < ; x + 4, x < 3 ;, x 3. (c) Mista. (d) Applicando note proprietà della CDF, si ha π P (X = ) = F () F ( ) = =, P ( < X ) = F () F () = 3 4 = 4, P ( X ) = F () F ( ) = 4 = 3 4, P ( < X < ( 4) 3 = P < X < ) ( ) ( ) 3 4 = F 3 4 F = 8 0 = 8.

30 INFO (DF-M) PROVA SCRITTA DI TEORIA DEI SEGNALI DEL Tempo:.5 ore. È consentito l uso di libri ed appunti propri. ESERCIZIO (0 punti) Il segnale x(t) = cos(πf 0 t) + cos(4πf 0 t), con f 0 costante reale e positiva, è posto in ingresso ad un filtro RC avente risposta in frequenza H(f) = + j f f 3, dove f 3 (reale e positiva) rappresenta la frequenza di taglio a 3 db del filtro. Determinare f 3 (in funzione di f 0 ) in modo che la potenza della sinusoide a frequenza f 0 in uscita al filtro RC sia inferiore di 3 db rispetto alla potenza della sinusoide a frequenza f 0 in uscita al filtro RC. ESERCIZIO (0 punti) Si consideri il sistema LTI a TD descritto dalla seguente relazione i-u: y(n) = a x(n) + a x(n ) + a 3 x(n ), dove a, a e a 3 sono coefficienti reali. (a) Sapendo che all ingresso x(n) = +cos ( ) πn corrisponde l uscita y(n) =, determinare i valori dei coefficienti a, a, a 3. (b) Utilizzando i coefficienti determinati al punto (a), calcolare la risposta in frequenza H(ν) del sistema e rappresentarla graficamente nell intervallo ν ( /, /). ESERCIZIO 3 (0 punti) Un esperimento aleatorio consiste nell estrazione di tre palle, senza sostituzione, da una scatola che contiene 3 palle bianche e 3 palle rosse. Detto Ω lo spazio campione, ad ogni possibile risultato ω Ω dell estrazione (una terna di palle), si associa un numero X(ω) uguale al numero di palle rosse della terna, costruendo così una variabile aleatoria X su Ω. (a) Calcolare la CDF e la pdf della variabile aleatoria X e rappresentarle graficamente. (b) Calcolare media e varianza della variabile aleatoria X. Esprimere tutti i risultati in forma frazionaria.