Soluzioni di Esercizi di Esame di Segnali Aleatori per Telecomunicazioni

Transcript

1 Corso di Laurea in Ingegneria Informatica corso di Telecomunicazioni (rof. G. Giunta) (editing a cura dell ing. F. Benedetto) Soluzioni di sercizi di same di Segnali Aleatori per Telecomunicazioni same del 5 Febbraio 00 sercizio Si consideri la ariabile aleatoria ottenuta dalla seguente trasformazione: 7+p+u oe p e una ariabile aleatoria binomiale che può assumere i soli due alori {,-} con eguale probabilità, mentre u è una ariabile aleatoria, indipendente da p, uniformemente distribuita nell interallo {0,}. Determinare: a) il grafico della densità di probabilità di. b) il alore atteso, la arianza ed il alore quadratico medio della ariabile. c) inoltre, il alore atteso, la arianza ed il alore quadratico medio della ariabile y, definita dalla relazione: y. Soluzione Dapprima rappresentiamo graficamente le d.d.p. di p ediu e calcoliamone i momenti statistici del primo e del secondo ordine. p (p) / / - p M VQM σ p + 0 ( ) + ()

2 u (u) M ( 0) σ u VQM M + σ u oniamo ora 7+uin modo da ottenere una nuoa ariabile aleatoria caratterizzata dalla seguente d.d.p.: () 5 () rect 7 rect 7 8 d i cui momenti statistici del primo e secondo ordine sono, rispettiamente: 5 M [] [ 7 + u] 7 + [] u σ σ u 99 VQM Si noti che la arianza non cambia in quanto essa non dipende dalla traslazione effettuata. Si può ora scriere p+, ottenendo, per la d.d.p. di la seguente formula: ( ) ( p) ( ) p Oero, riscriendo la conoluzione in : ( ) ( p) ( ) rect( 5 ) δ ( + ) + δ ( ) p () per le proprietà della Delta di Dirac rect( 5 + ) + rect( 5 ) [ rect( ) + rect( 7 )] / Calcoliamo ora i momenti statistici di : M VQM Var σ [] [ p + ] [ p] + [] [ ] [ ( p + ) ] [ p ] + [ ] + [ p ] [ ] [] ( ) 5 9

3 Infine eseguiamo la trasformazione y, ottenendo una ariabile aleatoria caratterizzata dai seguenti momenti: σ y [ y] [ ] [ ] 5 [ y ] [ ( ) ] 4[ ] [ y ] ( [ y] ) e descritta dalla seguente d.d.p.: y y ( y) [ rect ( y ) + rect ( y 7) ]

4 same del 7 Aprile 00 sercizio Si consideri la ariabile aleatoria ottenuta dalla seguente trasformazione: +u u oe u eusono due ariabili aleatorie indipendenti, uniformemente distribuite negli interalli {6,7} e {,}, rispettiamente. Determinare: a) il grafico della densità di probabilità di. b) il alore atteso, la arianza ed il alore quadratico medio della ariabile. c) inoltre, il alore atteso, la arianza ed il alore quadratico medio della ariabile y, definita dalla relazione: y. Soluzione Dapprima rappresentiamo graficamente le due d.d.p. di u ed u : u (u ) u (u ) 6 7 oniamo ora -+ue w-u, ottenendo due nuoe ariabili aleatorie le cui d.d.p. sono rappresentate di seguito: () w (w) A questo punto, la ariabile aleatoria sarà data dalla trasformazione +w oero, in termini di d.d.p.: ( ) ( w) ( ) w Dalla teoria è ben noto che la conoluzione di due rect di pari base ed altezza è una tri di base doppia, centrata nella somma dei ritardi delle due rect. Oero, nel nostro caso, centrata in 8. 4

5 Otteniamo quindi una ariabile aleatoria la cui d.d.p. è rappresentata nella figura seguente ed i cui momenti statistici sono: () σ [] [ + w] 8 [ ] [ ( + w) ] [ ] + [ w ] + [ w] [ ] ( [] ) A L altezza della tri dee essere tale che l area sottesa alla d.d.p. sia unitaria. Infine eseguiamo la trasformazione y-, ottenendo una ariabile aleatoria caratterizzata dai seguenti momenti: σ y [ y] [ ] [ ] [ ] 9[ ] [ y ] ( ) [ y ] [ y] ( )

6 same del 9 Giugno 00 sercizio Si consideri la ariabile aleatoria ottenuta dalla seguente trasformazione: g+u +u oe u eusono due ariabili aleatorie indipendenti, uniformemente distribuite negli interalli {,} e {,8}, g e una ariabile gaussiana indipendente a media nulla e arianza unitaria, rispettiamente. Determinare: a) il alore atteso, la arianza ed il alore quadratico medio della ariabile. b) il grafico della densita di probabilita di. Soluzione Dapprima rappresentiamo graficamente le due d.d.p. di u, u edig: u (u ) u (u ) /7 8 g (g) Con la trasformazione u +u si ottiene una nuoa ariabile aleatoria descritta da una densità di probabilità pari a: u, oero graficamente si ha: () ( ) ( ) u u u A/ Affinchè l area della d.d.p. sia unitaria si ricaa immediatamente che l altezza del trapezio dee alere A /7. 6

7 Si ottiene g+, con d.d.p. definita da: ( ) ( ) ( g) I cui momenti sono dati da: σ [] [ + g] [] + [] g g 6 [ ] [ ( + g) ] [ ] + [ g ] + [ g] [ u ] + [ u ] + [ g ] + [ u] [ u] [ ] ( [] ) Graficamente si ottiene (approssimatiamente) una cura del tipo rappresentata nella figura seguente: 47 6 () σ.7 []6 7

8 same del 0 Settembre 00 sercizio Si consideri la ariabile aleatoria ottenuta dalla seguente trasformazione: -+b-b oe b ebsono ariabili aleatorie binomiali (alori possibili: {0,}) indipendenti con probabilità p(b)0., p(b0)0.8, p(b)0.6, p(b0)0.4. Determinare: a) il alore atteso, la arianza ed il alore quadratico medio della ariabile aleatoria ; b) il grafico p () della densità di probabilità di ; c) il grafico d () della funzione di distribuzione cumulatia di ; Soluzione Dapprima rappresentiamo graficamente le due d.d.p. di b ed b : (b ) (b ) 0 In seguito poniamo w-8+b dalle seguenti d.d.p.: 0 e z-b in modo da ottenere due ariabili aleatorie caratterizzate (w) (z) La V.A. sarà ottenuta da w+zcon densità di probabilità pari alla conoluzione delle singole d.d.p. e caratterizzata dai seguenti momenti statistici: [ ] [ w [ -8-7 ] [ + z] ( 8 0.8) + ( 7 0.) + ( 0.6) ( w + z) ] [ w ] + [ z ] + [ w z] ] ( [] ) σ [ Momenti ottenuti ricordando la definizione dei momenti statistici di una ariabile aleatoria binomiale. 8

9 Il grafico della d.d.p. di è rappresentato in figura, notare che la somma totale degli impulsi è sempre pari ad () Calcoliamo ora la funzione di distribuzione cumulatia di. ssa graficamente è pari a: 0.9 d ()