Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni

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1 Corso di Fondamenti di Telecomunicazioni Prof. Mario Barbera [parte ] Variabili aleatorie Esempio: sia dato l esperimento: Scegliere un qualunque giorno non festivo della settimana, per verificare casualmente il traffico di un autostrada settimana per settimana. Lo spazio campione è: { Lun, Mar, Mer, Gio, Ven Sab} S, non si presta a essere trattato matematicamente Si definisce variabile aleatoria una funzione reale definita su uno spazio campione S, che associ ad ogni risultato dell esperimento aleatorio un numero reale

2 Variabili aleatorie ΩS ωs ω s Quindi, dato lo spazio campione: sω 3 { Lun, Mar, Mer, Gio, Ven Sab} S, (s 3 R possiamo definire la variabile aleatoria (s : S R (lun, (mar,, (sab6 Segue che: se la probabilità dell evento elementare lun è P(lun/6 e (lun { ( s } 6 P 3 Assegnazione delle probabilità ad una variabile aleatoria discreta Lancio di una moneta S(T, C Poniamo (T (C0 Abbiamo: P { } P{ 0 } Condizione da rispettare: i P ( i 4

3 Assegnazione delle probabilità ad una variabile aleatoria continua Estrazione di un numero reale casuale nell intervallo S [0,] definiamo la v.a. ( i i Risulta: 0 i P( i 0 poiché in uno spazio continuo le probabilità puntuali sono nulle (insieme di misura nulla Determiniamo le probabilità per un sottoinsieme di valori (intervallo di misura non nulla che la v.a. può assumere P( A/. dove Amisura dell intervallo A 0 5 Funzione distribuzione cumulativa di una variabile aleatoria Funzione distribuzione di probabilità cumulativa (cdf di (funzione della variabile reale [-,+] F Proprietà della cdf: ( Pr{ } 6

4 Funzione distribuzione cumulativa di una variabile aleatoria Proprietà della cdf: 7 Funzione distribuzione cumulativa di una variabile aleatoria Proprietà della cdf: 8

5 Esempi di funzione distribuzione cumulativa Variabile aleatoria continua Variabile aleatoria discreta Variabile aleatoria mista 9 Calcolo di F ( per variabili aleatorie discrete Pr Esempio: lancio del dado (s i i P { } lim P( ε < lim F ε 0 ε 0 ( F ( ε F ( F ( 6 ( Pr{ } { i} P{ s } i, K, 6 i F 5/6 4/6 3/6 /6 / Se è discontinua in, l ampiezza del salto in è pari alla probabilità Pr{ } 0

6 Funzione densità di probabilità (pdf di una variabile aleatoria Definizione: df f ( d ( F ( f ( u du f Pr ( 0 poiché la F ( è monotona non decrescente f ( { a < b} F ( b F ( a f ( f ( d F + F ( ( b a d f ( d F ( F ( F ( Funzione densità di probabilità per una v.a. discreta F ( Pr{ } /6 /6 3/6 4/6 5/6 F ( Pr{ } u( f ( / f ( p δ (

7 Esempi di funzioni densità di probabilità Variabile aleatoria continua Variabile aleatoria discreta Variabile aleatoria mista 3 Indici caratteristici di una distribuzione Notiamo che: Non sempre è possibile arrivare a una conoscenza completa di una variabile aleatoria (cdf o pdf Molto più spesso, ci si accontenta della conoscenza di alcuni parametri statistici semplificati o indici caratteristici Valore atteso o valore medio di una distribuzione ( d E{ } η f per v.a. continua {} f ( d pδ( - d p δ ( d η E - p per v.a. discreta 4

8 f ( Indici caratteristici di una distribuzione Proprietà del valore medio: Rappresenta un valore baricentrico attorno al quale si distribuiscono i valori della variabile aleatoria stessa È un operatore lineare: E{ α + β υ} α E{ } + β E{ υ} Esempio: /6 f ( p δ ( η E{} p Indici caratteristici di una distribuzione v.a. continua Varianza: {( η } ( f ( d E η σ ( f f X (( f f X f υ ( ( σ v.a. discreta E {( η } ( η f ( ( η pδ( - p ( η ( - ( δ d p η d d η X Densità di probabilità con ugual valore atteso ma diversa varianza > σ (σ υ 6

9 Indici caratteristici di una distribuzione Deviazione standard: σ varianza Valore quadratico medio o potenza di una v.a.: v.a.continua { } f ( d m E m { } f ( d p E v.a. discreta NOTA: per la linearità dell operatore E, risulta: {( η } E{ + η η } E{ } + E{ η } E{ η } σ E m + η m η η 7 Indici caratteristici di una distribuzione Momenti di ordine l : v.a.continua m l l { } f ( d l E m l E l l l { } f ( d p v.a. discreta 8

10 La variabile aleatoria uniforme Una variabile aleatoria continua è uniforme sull intervallo se a,b la sua densità di probabilità è costante ( in tale intervallo e si annulla al di fuori di esso Esempio: trovare la F e la f della v.a. coordinata di un punto scelto equiprobabilmente tra a e b f a b ( F 0 a b a se < a ( se a b ( se > b f df d b a se a b altrove 9 La variabile aleatoria uniforme Grafici e parametri caratteristici: F f ( ( 0 a b a df d b a se < a se a b se > b se a b altrove /(b-a a b f f (y Y Y( F (y ( y a + b η m a b + ab + 3 ( b a σ 0

11 La variabile aleatoria esponenziale unilatera Una variabile aleatoria continua è esponenziale unilatera se: f ( ep u( η η Funzione densità di probabilità F ( f ( α dα [ ep( η ] u( Funzione distribuzione cumulativa η f m 0 ( d ( η ep( η d η 0 ( η ep( η d η /η F ( X ( σ { } η η E η f ( f X ( Variabile aleatoria gaussiana o normale Una variabile aleatoria continua è gaussiana o normale se: f ( ( η X σ X e caratterizzata da πσ X σ η varianza valor medio f (

12 Variabile aleatoria normale standard Una variabile aleatoria continua è normale standard se: è normale con valor medio: e varianza: 0 η σ..0 QQ(n ( Φ ( ( ( N Φ FΦ(n ( Funzione densità di probabilità f ( N ( e π Funzione distribuzione cumulativa ( N / Φ( F ( e d π ff ( N N (n ( n non esprimibile in forma chiusa 3 Funzioni erf( ed erfc( θ + θ erf ( e d θ 0 π erfc( erf ( e d θ π Funzione error function Funzione error function complementare 4

13 Funzioni erf( ed erfc( 5 Relazioni matematiche importanti Variabile aleatoria normale caratterizzata da valor medio e varianza generici N( η, σ η F Φ ( σ Legame v.a. normale standard funzione erf Φ( + erf Probabilità che una v.a. Gaussiana assuma valori in un intervallo [a,b] 6

14 Φ( + erf Relazioni matematiche importanti Probabilità che una v.a. Gaussiana assuma valori in un intervallo [a,b] 7 Trasformazione di una variabile aleatoria y g( η ( s i s i S η( s i y g( Per il calcolo delle statistiche di η a partire di quelle di si può osservare che: dove A { : g( y} { η y} Pr{ g( y } F y Pr f ( d ( η A 8

15 Trasformazione di una variabile aleatoria Nel caso in cui la funzione g( sia strettamente monotona: { η y} Pr{ g( y} Pr{ g ( y } F ( g ( y Fη ( y Pr { η y} Pr{ g( y} Pr{ g ( y } F ( g ( y Fη ( y Pr Se g( é crescente Se g( é decrescente ( g ( y ( g ( y ( f dg y f ( y f ( g ( y η dt g f ( g ( y ( g ( y dg ( y f ( y f ( g ( y η dt g Se g( é crescente Se g( é decrescente ( g ( y ( g ( y f f ( y η g 9 Trasformazione di una variabile aleatoria y g( ( s i s i S η( s i y g( η Teorema del valor medio E + { g( } g( f ( d 30

16 Generazione di una v.a. con una data distribuzione NOTA: è un caso particolare del cambio di variabile, dove: y g( u F ( X 3 Generazione di una v.a. con una data distribuzione Graficamente U ( s i s i s S u 0 η( s i y η( u F η s ( X ( u 3

17 Generazione di una v.a. esponenziale 33