f (a)δa = C e (a a*)2 h 2 Δa

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1 Distribuzione di Gauss Se la variabile non e` discreta ma puo` variare in modo continuo in un certo intervallo e ad ogni suo valore resta assegnata una probabilita` di verificarsi, dalla distribuzione Binomiale per n si ottiene (per p costante) la distribuzione di Gauss Vedi T. di De Moivre-Laplace Per n e p costante dalla Binomiale si ottiene una funzione continua f(a) tale che: f (a)δa = C e (a a*)2 h 2 Δa E` la probabilita` che per un numero di eventi molto elevato la variabile assuma un valore compreso nell intervallo tra a-δa/2 a+δa/2

2 a* e` il valore di aspettazione relativo alla distribuzione della variabile casuale a nel caso discreto a = i P(a i )a i = np e si dimostra che nel caso continuo a = a 2 a 1 f (a)ada dove a 1 e a 2 sono gli estremi dell'intervallo in cui e` definita la variabile a Se definiamo l errore della misura come x=a-a*, la probabilita` di trovare un errore x nell intervallo x Δx 2 e`,x + Δx 2 f (x)δx = C e x 2 h 2 Δx e quindi la probabilita` di trovare un valore x qualsiasi in un intervallo finito tra x 1 e x 2 P = x 2 x 1 f (x) dx

3 Y 1,2 1,8,6,4,2 Studio della funzione y = f (x) = Ce x 2 h Per x= y=c il grafico si riferisce ad un valore di C=1 X h=.5 h=.2 x ± y x = che significa (a = a ) y = C La funzione ha due flessi d 2 y dx 2 = per x = ± 1 2h = ±σ La costante C e` determinata dalla condizione di normalizzazione - f (x)dx =1 Quando eseguiamo una misura abbiamo la certezza che essa sara` affetta da un errore compreso tra - e +

4 Ce x2h2 dx= 1 Ce x$ 2 h 2 d x$ - h - x $ = hx risolvendo l'integrale si ottiene Ce x2h2 dx=c π =1 - h da cui e x2 h 2 dx = π h C = h π f (x) = h π e x2 h 2 Curva normale di Gauss Densita` di probabilita`

5 Y,3,25,2,15,1 La condizione di normalizzazione a 1 implica che quanto piu` il massimo della gaussiana e` accentuato quanto piu` le code laterali sono basse e viceversa, x Ascissa dei punti di flesso σ = 1 h 2,3,25,2,15 Modulo di precisione : h 1 2σ,1, x -σ +σ

6 Esempio: su un campione di 137 giovani è stato valutato il numero di globuli rossi. In tabella sono ripotati il numero di giovani (n) con globuli rossi compresi negli intervalli di ampiezza Δx=.3milioni/cm 3 No gluobuli rossi in milioni/cm 3 n Riportare l istogramma delle frequenze in funzione del numero di globuli rossi -Ricavare il valore medio -La deviazione standard -Confrontare l istogramma con le previsioni della distribuzione Gaussiana

7 Test del χ 2 Per verificare se la distribuzione gaussiana riproduce soddisfacentemente il nostro istogramma (oltre ad una analisi visiva) possiamo affidarci ad un parametro oggettivo ossia il calcolo del χ 2 χ 2 = n th ( f k f k ) 2 k=1 f k th Dove f k sono le frequenze osservate, f k th il valore previsto dalla distrib. Gaussiana calcolata la centro dell intervallino considerato se χ 2 n l accordo con la distribuzione gaussiana è soddisfacente se χ 2 >> n le misure effettuate non sono governate dalla distribuzione gaussiana.

8 Errore medio il valore aspettato per gli errori casuali che hanno una distribuzione gaussiana e` nullo per la simmetria della distribuzione xf (x) = xf (x) + xf (x) = Calcoliamo allora il valore di aspettazione dei moduli degli errori θ = x f (x) = 2 xf (x) = 1 h π Errore medio Un altra valutazione dell errore si puo` ottenere calcolando il valore di aspettazione dei quadrati degli errori x 2 f (x) = 1 2h 2 = σ 2 Errore quadratico medio Dispersione o deviazione standard La radice quadrata rappresenta proprio l ascissa dei punti di flesso della gaussiana

9 Un altra quantita` significativa e` l errore probabile r: la probabilita` di avere una misura con un errore compreso tra -r ed r e` del 5% +r f (x)dx =.5 r Gli integrali del tipo +z z f (x)dx = 2h π z e h 2 x 2 dx si calcolano numericamente e sono disponibili delle tabelle e` importante sapere che: +σ f (x)dx.68 σ +2σ f (x)dx.95 2σ +3σ f (x)dx.997 3σ

10 Quale relazione esiste tra errore probabile (r), errore medio (θ) ed errore quadratico medio (σ)?,3,25,2,15 r/σ.674 θ/σ.798,1, r θ σ x

11 Quale di queste tre definizioni di errore si sceglie? L errore quadratico medio σ (dispersione o deviazione standard) puo` essere facilmente individuato geometricamente essendo l ascissa dei punti di flesso della gaussiana e resta associato alla larghezza della curva Circa il 68% delle misure sono affette da un errore in modulo minore o uguale a σ e basta considerare multipli di σ come 2σ e 3σ per avere il 95% e il 99,7% (quasi la totalita`) delle misure affette da errore in modulo minore o al piu` uguale a 2σ e 3σ rispettivemente