Università del Piemonte Orientale. Corso di Laurea Triennale di Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia. Corso di Statistica Medica

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1 Università del Piemonte Orientale Corso di Laurea Triennale di Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia Corso di Statistica Medica Le distribuzioni teoriche di probabilità La distribuzione Normale (o di Gauss)

2 Riprendiamo alcune definizioni: Qualsiasi caratteristica che può essere misurata o categorizzata: variabile Variabile che può assumere diversi valori per effetto del caso: variabile casuale o variabile aleatoria

3 Possiamo costruire in modo empirico la distribuzione di frequenza di una variabile in un gruppo di soggetti. es. QUENCY CORPUSCOLI MIDPOINT

4 Possiamo anche compiere un passo successivo identificando una curva matematica che descriva l'andamento del grafico. In tal modo potremmo: - descrivere la distribuzione dei dati senza bisogno di mostrare la distribuzione di frequenza ma solo in base ai parametri della curva matematica. - confrontare gruppi di soggetti diversi in base ai parametri delle rispettive curve. - costruire una distribuzione di frequenza attesa, sulla base dei valori dei parametri.

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6 ETA

7 L'uso di modelli matematici è comune alla maggior parte delle discipline: ad esempio, la curva esponenziale può essere usata per descrivere la crescita del numero di batteri in laboratorio, in assenza di condizioni limitanti y = ae bt I parametri sono a (numero iniziale) e b (velocità di crescita). Stimati questi parametri possiamo stimare il numero di batteri a determinati intervalli (t) dall'inizio dell'esperimento. - il parametro b corrisponde alla velocità di accrescimento, che possiamo confrontare per ceppi diversi

8 n CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. curve di crescita esponenziale b=0,4 b=0, t

9 - La funzione matematica che descrive un fenomeno (biologico, statistico ecc ) è definita 'MODELLO'. In questo caso possiamo parlare di Modello Esponenziale della crescita batterica. - Un modello adeguato descrive gli aspetti importanti del fenomeno che vogliamo studiare, senza entrare in dettagli inutili.

10 In questo caso la curva a campana è un modello soddisfacente CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità.

11 La distribuzione Gaussiana È la distribuzione di probabilità che meglio rappresenta molte variabili biologiche È la distribuzione di probabilità degli errori casuali È la distribuzione di probabilità delle statistiche campionarie È la distribuzione limite per altre distribuzioni di probabilità quando n

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13 La distribuzione Gaussiana È la distribuzione di probabilità che meglio rappresenta molte variabili biologiche È la distribuzione di probabilità degli errori casuali È la distribuzione di probabilità delle statistiche campionarie È la distribuzione limite per altre distribuzioni di probabilità quando n

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15 Distribuzione delle differenze tra glicemia misurata al polpastrello ed all avambraccio CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità.

16 La distribuzione Gaussiana È la distribuzione di probabilità che meglio rappresenta molte variabili biologiche È la distribuzione di probabilità degli errori casuali È la distribuzione di probabilità delle statistiche campionarie È la distribuzione limite per altre distribuzioni di probabilità quando n

17 Popolazione Medie campionarie

18 La distribuzione Gaussiana È la distribuzione di probabilità che meglio rappresenta molte variabili biologiche È la distribuzione di probabilità degli errori casuali È la distribuzione di probabilità delle statistiche campionarie È la distribuzione limite per altre distribuzioni di probabilità quando n

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20 La distribuzione gaussiana come modello di una distribuzione di probabilità empirica Es. istogramma che descrive la distribuzione di frequenza di una variabile numerica in un gruppo di 400 soggetti

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22 Aumento progressivamente la suddivisione dell istogramma CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità.

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25 Distribuzione di probabilità (teorica) Distribuzione di frequenza (empirica)

26 La forma della distribuzione di probabilità normale flesso - +

27 La formula della distribuzione normale. E definita da Media (µ) e Deviazione Standard (σ) f ( x) = σ 1 2 π * exp ( x µ ) 2 σ 2 2

28 La distribuzione gaussiana o normale comprende una famiglia di curve, i cui parametri sono Media (µ) e Deviazione Standard (σ)

29 edia (µ): posizione centrale eviazione Standard (σ): 'ampiezza' della curva

30 Il grafico seguente mostra due curve normali con DS=1 (curva nera) e DS=2 (c.rossa). Entrambe hanno media=0. y DS= DS= x0

31 Data una variabile la cui distribuzione di probabilità è gaussiana, possiamo misurare la probabilità corrispondente a determinati intervalli di valori CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità.

32 0,95 0,50 0,50 P=0,025 x = 1,960 P=0,025

33 0,975 X=1,960 0,025 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità.

34 0,95 P=0,05 X = 1,645 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità.

35 0,95 P=0,025 x = 1,960 P=0,025

36 Applicazione delle regole della distribuzione gaussiana Data una variabile con distribuzione gaussiana (es. la statura), sono interessato a calcolare la probabilità di osservare un soggetto con valore x (o superiore). Conosco i parametri che descrivono la distribuzione di probabilità (media: µ e Deviazione Standard: σ). Come procedo?

37 Valore? CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità.

38 Calcolo il valore della statistica U, che mi consente di conoscere il valore di probabilità con l ausilio delle tavole della Distribuzione Normale Standardizzata Il calcolo della statistica U corrisponde ad una operazione di Normalizzazione. La statistica U indica la distanza tra x e la media, esprimendo la distanza in multipli della deviazione standard dove: U x: valore cui siamo interessati σ: deviazione standard nella popolazione µ: media nella popolazione = x µ σ U: deviata normale standardizzata corrispondente ai valori dati per (x, σ, µ).

39 Il calcolo di U corrisponde ad un operazione di standardizzazione. La curva iniziale viene dapprima centrata sullo 0 e quindi il valore sulle ascisse viene espresso in unità di deviazione standard

40 La curva iniziale CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità.

41 U = x µ σ La curva viene centrata sul valore 0

42 U = x µ σ il valore sulle ascisse viene espresso in unità di deviazione standard

43 Data una distribuzione normale con media µ e deviazione standard σ, il valore U, calcolato partendo dai valori dati per x, σ, µ e riportato sulle apposite tabelle indica la probabilità di osservare un valore compreso tra U e

44 da U a U CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità.

45 Area sottesa alla curva tra U e U 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , , ,2 0, , , , , , , , , , ,3 0, , , , , , , , , , ,4 0, , , , , , , , , , ,5 0, , , , , , , , , , ,6 0, , , , , , , , , , ,7 0, , , , , , , , , , ,8 0, , , , , , , , , , ,9 0, , , , , , , , , , ,0 0, , , , , , , , , , ,1 0, , , , , , , , , ,00001 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità.

46 Viene sempre mantenuta la corrispondenza tra la distribuzione normale standard e la distribuzione normale di partenza

47 da U a U=1,96 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità.

48 U CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. da U a da X a X=186,7

49 Attenzione A volte le tabelle forniscono la probabilità calcolata secondo altri riferimenti, ad esempio tra - e U, oppure tra 0 ed U. prestate attenzione alle spiegazioni fornite insieme alle tavole. Si può comunque sempre passare da un sistema all altro sfruttando la regola delle probabilità complementari.

50 Probabilità cumulativa per la Distribuzione Normale Standard (p da - a U). La tavola indica il valore di P(u), dato il valore di U Second digit of U U CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità.

51 U CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. da - a U da U a +

52 U CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. da - a U da U a +

53 Alcuni valori utili da ricordare U = + 1,96 coda dx, 2,5% tra U = - 1,96 e U = 1,96 area centrale 95% U = - 1,96 coda sx, 2,5%

54 0,950 P=0,025 U = -1,960 U = 1,960 P=0,025

55 Esempio, quale sarà la probabilità di osservare un soggetto di statura inferiore a m 1,8672 data una popolazione con distribuzione gaussiana definita da altezza media 1,730 e deviazione standard 0,07? U = (1,8672-1,730) / 0,07 = + 1,96

56 Probabilità cumulativa per la Distribuzione Normale Standard. (p da - a U). La tavola indica il valore di P(u), dato il valore di U Second digit of U U CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità.

57 U CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. p=0,975 p = 0,025

58 Esempio, quale sarà la probabilità di osservare un soggetto di statura superiore a m 1,8672 data una popolazione con altezza media 1,730 e deviazione standard 0,07? U = (1,8672-1,730) / 0,07 = + 1,96 posso riferiremi alla tabella da U a oppure a quella da - a U, usando la regola delle probabilità di eventi complementari.

59 U CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. p=0,975 p = 0,025

60 Probabilità cumulativa per la Distribuzione Normale Standard (p da - a U). La tavola indica il valore di P(u), dato il valore di U Second digit of U U CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità.

61 Probabilità cumulativa per la Distribuzione Normale Standard. (p da - a U). La tavola indica il valore di P(u), dato il valore di U Second digit of U U CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità.

62 Attenzione Nelle tabelle spesso si fa riferimento al valore della distribuzione normale standard indicandolo come Z invece che come U.

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64 Esempio, quale sarà la probabilità di osservare un soggetto di statura inferiore a m 1,5928 data una popolazione con altezza media 1,730 e deviazione standard 0,07? U = (1,5928-1,730) / 0,07 = - 1,96

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67 Se U < 0 ho due possibilità: 1. Se dispongo della tabella con la distribuzione di z da - a + oppure da - a 0, ricavo direttamente il valore di probabilità. 2. altrimenti calcolo U = -1 * U e ricavo p quindi p = 1- p

68 U = -1 * -1,96 = 1,96 p = 0,975 p= 1-p = 1 0,975 = 0,025

69 Posso infine calcolare la probabilità di estrarre casualmente dalla popolazione un soggetto che ha un valore compreso entro un certo scostamento dalla media della popolazione, in entrambe le direzioni. p(x > µ+x oppure x < µ-x norm(µ,σ))

70 Quale sarà la probabilità di osservare un soggetto la cui statura si scosta dalla media della popolazione di almeno m 0,1372?(data una popolazione con altezza media 1,730 e deviazione standard 0,07) Equivale al calcolo della probabilità di osservare: un soggetto con [altezza < (1,730-0,1372)] O un soggetto con [altezza > (1, ,1372)]

71 X = 1,730-0,1372 = 1,5928 X = 1, ,1372 = 1,8672

72 ??

73 X = 1,730-0,1372 = 1,5928 X = 1, ,1372 = 1,8672 U = (1,5928-1,730) / 0,07 = - 1,96 U = (1,8672-1,730) / 0,07 = + 1,96

74 0,950 P=0,025 U = -1,960 U = 1,960 P=0,025

75 x = 1,5928 x = 1,8672 CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità. 0, ,025

76 Esercizio Si consideri una popolazione con altezza distribuita come una Gaussiana con media (µ) = 172,5 cm e deviazione standard (σ) =6,25 cm. Qual è la probabilità di incontrare un individuo estratto da tale popolazione e di altezza superiore a cm 190? U = ( ,5) / 6,25 = 2,8 Da cui p= 0,00256

77 Esercizio Si consideri una popolazione con altezza distribuita come una Gaussiana con media (µ) = 172,5 cm e deviazione standard (σ) =6,25 cm. Qual è la probabilità che un individuo estratto da tale popolazione sia di altezza compresa tra cm 165 e 170? Qual è la probabilità che 2 individui estratti da tale popolazione siano entrambi di altezza compresa tra cm 165 e 170?

78 Esercizi consigliati da: Fowler et al, ed Edises. Cap 9 (p 225) es 4 Cap 9 (p 225) es 7 Cap 9 (p 225) es 10

79 Possiamo calcolare la probabilità di estrarre un campione con valore dato da una popolazione che segue una distribuzione di probabilità gaussiana?

80 Procediamo in modo analogo, sostituendo l Errore Standard alla Deviazione Standard. Z = x σ / µ x = n ES µ

81 Media campionaria Z = x σ / µ x = n ES µ

82 Media della popolazione Z = x σ / µ x = n ES µ

83 Z = x σ / µ x = n ES µ Deviazione standard della popolazione

84 Z = x σ / µ x = n ES µ Dimensione del campione

85 Qual è la probabilità di estrarre un campione di altezza media superiore o uguale a 176 cm di dimensione 10 soggetti da una popolazione di altezza media 170 e deviazione standard 11? Z = x µ = σ / n / 10 = 1,725

86 Probabilità cumulativa per la Distribuzione Normale Standard. (p da - a Z). La tavola indica il valore di P(z), dato il valore di Z Second digit of Z U CdL Infermieristica Pediatrica ed Ostetricia - Statistica Medica - Le distribuzioni teoriche di probabilità.

87 Normal Distribution (for a variable X) Parameters Graphs Mean (µ) 170 Scale Standard Deviation (σ) 3,47851 Left 140 Right 190 Probability Value of Variable (x) = 176 0,14 P(X = x) = 0 P(X x) = 0,95773 P(X x) = 0,04227 P( X between µ and x) = 0,45773 Inverse Probability P(X x) = 0,3 x = 168,176 P(-x X x) = 0,95 x = 176,818 P(X x) = 0,3 x = 171,824 0,12 0,1 0,08 0,06 0,04 0,02 0 Extra Tools Type pdf cdf Shade cumulative probability P(X <= 176) None X